统计物理复习提纲

1、微电子与固体电子学院微电子与固体电子学院张继华张继华总总 结结Part I 热力学部分热力学部分不专门考，但在统计物理部分常常要用到热力学不专门考，但在统计物理部分常常要用到热力学的基本结论。的基本结论。熟练应用热力学的基本结论熟练应用热力学的基本结论热力学第一定律热力学第一定律 能量守恒能量守恒QWUUAB 系统系统内能的变化内能的变化等于外界对系统所做的等于外界对系统所做的功功和系统从外界和系统从外界所吸收的所吸收的热量热量。 A状态状态 B 状态，状态，系统内能的变化为：系统内能的变化为：QWUddd 热力学第热力学第 0 0 定律定律热平衡定律热平衡定律CABA,CB 两个系统分别与第

2、三个系统热平衡，则这两个系统相互两个系统分别与第三个系统热平衡，则这两个系统相互热平衡。此时二者有共同的参数热平衡。此时二者有共同的参数温度温度T1=T21. 熵熵(entropy) 或或熵是一个态函数，其单位是熵是一个态函数，其单位是 J / K，它是广延量。，它是广延量。 BAABTQSS（可可逆逆）d可逆TQS)(dd热力学第二定律热力学第二定律 在任意过程中系统熵的增量大于或等于该过程的热温比积在任意过程中系统熵的增量大于或等于该过程的热温比积分，仅在可逆过程中两者才相等。分，仅在可逆过程中两者才相等。TdQdS 当温度近于绝对零度时，一个化学均匀的系统的熵趋于当温度近于绝对零度时，一

3、个化学均匀的系统的熵趋于一个极限值，这个极限值可以取作零，而与系统的其他状态一个极限值，这个极限值可以取作零，而与系统的其他状态参量无关。参量无关。000lim SST热力学第三定律热力学第三定律热力学基本方程热力学基本方程iiixYdUdWUSTddd对象对象广义力广义力广义坐标广义坐标功功(系统对外界系统对外界)简单系统简单系统压强压强P体积体积VpdV液体表面液体表面表面张力系数表面张力系数 表面积表面积A dA磁介质磁介质磁场强度磁场强度 0Hm磁化强度磁化强度M - 0HmdM电介质极化电介质极化 电场强度电场强度E极化强度极化强度P-EdP化学系统化学系统化学势化学势 粒子数粒子数

4、N- dN iiixYdUdWUSTddd)()(1,UnnSUSTVN)(xUY)(NU恽恽P171 P171 例例2 2 肖特基缺陷肖特基缺陷NTHUM,)(NSVUP,)(P171P171例例1 1， 习题习题8-78-7 习题习题9-89-8推论推论恽恽P171P171例例1 1 二态自旋系统的二态自旋系统的U U、S S、 、总磁矩、总磁矩M M（高（高p106 6.6p106 6.6）ZkTTSUFlnxFYTFSTFTFU高高P103 P103 自由能是正则系综的特性函数，只要求得系统配分函数，写出自由能，自由能是正则系综的特性函数，只要求得系统配分函数，写出自由能，即可求得全部

5、热力学量即可求得全部热力学量FFkTZ1ln dTdQTQCT0limVTVTQC0limVTUpTpTQC0limPTVTVPVUCppTHC热容热容理想气体热容量理想气体热容量C Cp p、C Cv v关系关系nRCCVP用焓用焓(H=U+PV)计算计算 Part II 统计物理部分统计物理部分统计物理的基本思想：统计物理的基本思想：认为宏观系统由大量的微认为宏观系统由大量的微观粒子所组成，微观量与宏观量有一定的内在联系观粒子所组成，微观量与宏观量有一定的内在联系宏观量是微观量的统计平均值。宏观量是微观量的统计平均值。因此，统计力学的任务就是由系统微观结构确定微观因此，统计力学的任务就是由

6、系统微观结构确定微观量量Ai及其分布函数及其分布函数 i，然后求平均得出系统宏观态。，然后求平均得出系统宏观态。iiiiAAA一、基本概念一、基本概念 定域粒子定域粒子：粒子只能在空间某个固定的位置的附近作小范粒子只能在空间某个固定的位置的附近作小范围运动，粒子围运动，粒子可以分辨可以分辨非定域粒子非定域粒子：粒子可以在整个空间自由运动，且没有确定粒子可以在整个空间自由运动，且没有确定的平衡点。粒子的平衡点。粒子不可分辨不可分辨，如气体，如气体, ,自由电子。自由电子。单粒子态单粒子态任何一个粒子可能处的状态。对于具有多任何一个粒子可能处的状态。对于具有多个粒子的系统，处在某个单粒子态的粒子可

7、能有多个。个粒子的系统，处在某个单粒子态的粒子可能有多个。宏观量宏观量从整体上描述系统的状态从整体上描述系统的状态.一般可以直接测量。一般可以直接测量。如压强如压强P、体积、体积V、温度、温度T、内能、内能U、粒子数、粒子数N等。等。微观量微观量描述系统内微观粒子的物理量。如分子的质描述系统内微观粒子的物理量。如分子的质量、直径、速度、动量、能量量、直径、速度、动量、能量等。等。 大大 量量 粒粒 子子 组组 成成 的的 系系 统统微微 观观 态态 描描 述述状状 态态 量量 子子 数数 的的 集集 合合（ n1,n2,n3, ）宏宏 观观 态态 描描 述述几几 个个 宏宏 观观 热热 力力

8、学学 量量（ U,T,N, ）微微 观观 量量宏宏 观观 量量lm1 2 3 4123321(3,2,0)(1,0,0)lm1 2 3 4123321(3,2,0)(1,0,0)2. 粒子运动的量子描述粒子运动的量子描述量子力学中，微观粒子的运动状态由量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数波函数来描述，由一组来描述，由一组量子数量子数来表征，量子数的数目即粒子的自由度数。来表征，量子数的数目即粒子的自由度数。自旋系统自旋系统，一个量子数，一个量子数n (1 OR -1)1D谐振子系统谐振子系统，一个量子数，一个量子数n =0，1，2，3，自由粒子自由粒子，3个量子数个量子数nx, ny, nz

9、粒子微观状态的描述粒子微观状态的描述粒子微观状态的描述粒子微观状态的描述1. 粒子微观状态的准经典描述粒子微观状态的准经典描述如粒子在如粒子在x方向的平动用坐标方向的平动用坐标x和动量分量和动量分量px描述；描述；转动用方位角转动用方位角和角动量和角动量pr描述；描述； 振动用两质点间的相对距离振动用两质点间的相对距离r和相对动量和相对动量pv描述描述.若有若有f 个自由度，就应有个自由度，就应有f 个广义坐标和个广义坐标和f 个广义动量个广义动量来描述一个粒子的运动状态，将这个由来描述一个粒子的运动状态，将这个由f 个广义坐标和个广义坐标和f 个广义动量构成的个广义动量构成的2f 维空间称为

10、维空间称为子相空间子相空间( 空间空间).N个粒子有个粒子有N个子相空间，由个子相空间，由N个子相空间构成的空间个子相空间构成的空间称为相空间（称为相空间（ 空间），有空间），有2Nf 维。维。对自由粒子准经典描述对自由粒子准经典描述 d对自由粒子准经典描述对自由粒子准经典描述单粒子配分函数2/3331)2(1mkThVdpdpdpedqdqdqhZzyxzyx 通常一个宏观态可以包含许多微观态通常一个宏观态可以包含许多微观态宏观态的宏观态的简并度简并度 。简并度通常与宏观态的各宏观参简并度通常与宏观态的各宏观参量有关量有关简并函数简并函数特别地，如果一个能级特别地，如果一个能级(单粒子态单粒

11、子态)的量子态的量子态(微观状态微观状态数数)不止一个，该能级就称为简并的，一个能级的量子不止一个，该能级就称为简并的，一个能级的量子态数称为该态数称为该能级的简并度能级的简并度. 恽恽p165例例3【8-1】【8-2】微观状态数与简并度微观状态数与简并度高高p106 ln SStiring公式 量子描述量子描述准经典描述准经典描述 d = (E)dE=dEEmV212324132殊途同归，殊途同归，求解过程！求解过程！能量态密度能量态密度 (E)能量态密度，能量态密度，能量在能量在E附近的附近的单位能量上的状态数单位能量上的状态数则系统能量在则系统能量在E到到E+dE之间的微观态数目为之间的

12、微观态数目为d = (E)dE1. 1. 三维自由粒子在三维自由粒子在EE+dEEE+dE范围内可实现状态数范围内可实现状态数一维、二维一维、二维)(222222zyxnnnmahE1/8球球体积体积)(21222zyxpppmE转换成动量转换成动量空间球坐标空间球坐标系统能量在系统能量在E E到到E+dEE+dE之间的微观态数目之间的微观态数目 2. 2. 一维谐振子一维谐振子dEdEdEdndEEd1)(【8-4】，【】，【8-6】，【】，【9-2】3. 3. 光子光子【8-3】，【】，【8-11】2/12222/1222)()(zyxzyxnnnLchPPPccPEE内状态数为球体积内状

13、态数为球体积(ni=0, 1, 2,)2/1( nE量量子子经经典典222212xmmPEE内状态数为椭圆面积内状态数为椭圆面积 系统微观态数目系统微观态数目( (关于其他力学量关于其他力学量) )速度速度动量动量能量能量速率速率dmVd212324132zyxzyxdPdPdPhVdPdPdxdydzdPhd331zyxdvdvdvhVmd33dvvhVmd2334麦克斯韦分布麦克斯韦分布准经典描述准经典描述VNVNEENVE,)(1),(ln( 统计意义：体系广义坐标、粒子数不变时，能量增加一个统计意义：体系广义坐标、粒子数不变时，能量增加一个单位，体系微观状态数单位，体系微观状态数 的相

14、对改变量。可用它来表征绝对的相对改变量。可用它来表征绝对温度。温度。二、热力学量的统计意义二、热力学量的统计意义)()(21EEA1，A2处于热平衡 kT11. 热平衡定律，温度热平衡定律，温度2. 热力学第一定律热力学第一定律 设设 为为 处于能量为处于能量为 的的 态的几率。态的几率。r11ArE1rrrrEE无穷小准静态过程无穷小准静态过程 rrrrrdEdEEd)(rrrdEdQ11rrrdEdEdW111外参量（外参量（能级）不变时能级）不变时，对各能级占，对各能级占据的据的几率变化几率变化。即：在无穷小准静态即：在无穷小准静态过程中外参量不变时系统平均能量的过程中外参量不变时系统平

15、均能量的增加值，称为增加值，称为从外界吸收的热量从外界吸收的热量外参量外参量( (与做功联系的参量，广义坐与做功联系的参量，广义坐标，如体积、表面积、电位移矢量、标，如体积、表面积、电位移矢量、磁感应强度等磁感应强度等) )的变化可造成的变化可造成能级的能级的变化变化。即：即：外界对系统做的功外界对系统做的功 3. 统计物理的熵统计物理的熵 系统在给定的宏观条件下，热力学态包含微观态的数系统在给定的宏观条件下，热力学态包含微观态的数目，或系统无规程度的量度。目，或系统无规程度的量度。熵为广延量熵为广延量：kTEVN1)ln(,VNEkT,)ln(1熵熵 lnkSBoltzmann 关系关系 而

16、而 TdS=dU+dWVNUST,1系统平衡时系统平衡时 可看作系统内能可看作系统内能EiiSS恽恽P171 P171 例例2 2 肖特基缺陷肖特基缺陷高高P106 P106 二态自旋系统二态自旋系统夫伦克尔缺陷夫伦克尔缺陷 4. 热力学平衡条件热力学平衡条件VNE,lnENV,ln平衡条件分别为平衡条件分别为 212121,VEE,ln在在N,V不变时，不变时， 22221111,222,11)(ln)(lnEEVNEEVNEEEEN,E不变时不变时 2222112,222,111)(ln)(lnVVENVVENVVVVE,V不变时不变时 2222111,222,111)(ln)(lnNNV

17、ENNVENNNNNEVSTkTp,VENSTkT,Tk1热学、力学、热学、力学、相变平衡条件相变平衡条件212121,ppTT 三、系综理论三、系综理论 sssAA 观观测测微微正正则则分分布布正正则则分分布布巨巨正正则则分分布布consts nENENnnnnnee 1 nEEnnneZeZ 1微微观观结结构构宏宏观观性性质质（T,V, ）不不变变的的开开放放系系统统（E,V,N）不不变变的的孤孤立立系系统统（T,V,N）不不变变的的恒恒温温系系统统 s s: : 分布函数分布函数对所有微观态求和对所有微观态求和或者或者对所有能态求和对所有能态求和( ( ) )ss1确定分布函数是系综确定

18、分布函数是系综理论的根本问题理论的根本问题sEseZsEEssseeE nnEEneEZ )(nE配分函数、巨和的计算配分函数、巨和的计算l对所有能级求和对所有能级求和l 若系统可分为相互独立的子系统时，若系统可分为相互独立的子系统时，Z=Z1Z2 Z3 Zn(1) 配分函数配分函数l 对所有微观态求和对所有微观态求和:恽恽P177 P177 例例2(2(两种方法两种方法) )(nEnEnneE)(nEe nENnne nENnENnnnnneeEN ),(2) 巨和巨和 巨和的计算与配分函数类似。巨和的计算与配分函数类似。l 对所有微观态求和对所有微观态求和: :l 若系统可分为相互独立的子

19、系统时，若系统可分为相互独立的子系统时， = 1 2 3 n恽恽P176 P176 例例1(1(两种方法两种方法) ) 分布函数与热力学量的关系分布函数与热力学量的关系ZZZUln1(1) 内能内能UXZXZZYln111(2) 广义力广义力YlnUZkS ZkTTSUFln(3) 熵熵 STFTFUTFSXFY自由能是正则系统的特性函数自由能是正则系统的特性函数(4)自由能自由能 FlnlnkTN lnUXY ln1lnNUkS正则系统正则系统巨正则系统巨正则系统恽恽P177 P177 顺磁固体顺磁固体8-108-10，1111，1313，1414 量子统计与经典统计的研究对象和研究方法是相

20、同量子统计与经典统计的研究对象和研究方法是相同的，即都是根据对物质微观结构和相互作用的认识，的，即都是根据对物质微观结构和相互作用的认识，用概率统计的方法，为由大量粒子组成的系统的宏用概率统计的方法，为由大量粒子组成的系统的宏观物理性质及其所遵循的宏观规律提供微观解释，观物理性质及其所遵循的宏观规律提供微观解释，并揭示由大量微观粒子组成的系统所固有的统计规并揭示由大量微观粒子组成的系统所固有的统计规律性。律性。量子统计与经典统计的区别在于对微观运动状态的量子统计与经典统计的区别在于对微观运动状态的描述，而不在于统计方法。描述，而不在于统计方法。四、理想气体分布四、理想气体分布1. 量子分布量子

21、分布（2）玻色分布）玻色分布 表达式、意义表达式、意义（1）费米分布）费米分布 表达式、意义表达式、意义2. 经典分布表达式经典分布表达式3. 经典极限条件经典极限条件粒子在单粒子态上的分布粒子在单粒子态上的分布推导过程！推导过程！ 0)(dFdNN00)(dFdNEU根据分布函数的性质，该范围内的粒子数：根据分布函数的性质，该范围内的粒子数：dFdN速度速度动量动量能量能量速率速率d微观态数微观态数F分布函数分布函数速度速度能量能量波尔兹曼分布波尔兹曼分布速率速率费米分费米分布布玻色分玻色分布布4. 体系粒子数分布与分布函数的关系体系粒子数分布与分布函数的关系系统总粒子数系统总粒子数,归一化

22、条件归一化条件内能内能 1. 在经典分布中，常利用配分函数求系统的热力学量在经典分布中，常利用配分函数求系统的热力学量经典分布经典分布玻尔兹曼系统，玻尔兹曼系统，deedFNkTkTB)()()(/令令 单粒子配分函数单粒子配分函数deZkT)(/1kTkTkTBeZNeeF/1/)(则则玻尔兹曼分布可看作是单粒玻尔兹曼分布可看作是单粒子系统的正则分布乘以系统子系统的正则分布乘以系统的粒子数的粒子数系统配分函数系统配分函数 一般地，一般地，Z=(Z1)N对理想气体，对理想气体，全同、非定域粒子全同、非定域粒子NZN!Z)(11N 粒子、体积为粒子、体积为V的的理想气体，配分函数及热力学量理想气

23、体，配分函数及热力学量(F、U、S、P、CV) 2. 麦克斯韦分布麦克斯韦分布经典分布经典分布MaxwellMaxwell分布着重处理系统粒子按不同力学量（能量、速率、分布着重处理系统粒子按不同力学量（能量、速率、速度）的分布几率。速度）的分布几率。最可几能量最可几能量平均能量平均能量mkTvdvfNvv 810 mkTvm2最可几速率最可几速率 平均速率平均速率 方均根速率方均根速率 归一化常数的确定！恽恽9-49-4，9-59-5，9-6 9-6 3. 能量均分原理能量均分原理求单、双原子理想气体，理想固体的能量与热容量求单、双原子理想气体，理想固体的能量与热容量 单原子理想气体：不考虑原

24、子内部电子运动双原子理想气体：不考虑两原子相对运动和势能固体：假设各原子是相对独立的简谐振动只适用于体系能量可按坐标或动量分解为独立二次项的经典只适用于体系能量可按坐标或动量分解为独立二次项的经典系统系统一些无根据一些无根据的假设。的假设。为什么电子对热容量无贡献？为什么电子对热容量无贡献？( (高高P128P128电子气体的比热电子气体的比热) )需要量子理论才能解释。需要量子理论才能解释。 量子分布量子分布T0T0时，时，f的单粒子态上无电子，而低于的单粒子态上无电子，而低于 f的态全部被电子占的态全部被电子占据。据。 f是是T0T0时电子占据的最高能级。时电子占据的最高能级。1. 费米分

25、布费米分布 11)(/ )( kTFDfeF ffFDF 01)(对象：对象：电子系统，如金属中的自由电子，半导体中的导电电子电子系统，如金属中的自由电子，半导体中的导电电子 f 费米能级费米能级 0)()(00)()(21TFTcFddNFDffFD 能量为能量为 d 电子数密度：电子数密度： 量子分布量子分布1. 费米分布费米分布 322222320)3(2)3(2)23(nmVNmcNf0f2/50f023000N53c52dcd)()(FEU0f 00053fNE T=0T=0时的费米能级时的费米能级归一化条件确定归一化条件确定能量能量E: 每个电子平均能量：每个电子平均能量：考虑两个考虑两个自旋方向自旋方向022