大学物理刚体力学

1、第5章 刚体力学初步前前4章给出了质点运动状态变化的有关规章给出了质点运动状态变化的有关规律律. . 本章介绍具有一定形状和大小物体的机械本章介绍具有一定形状和大小物体的机械运动规律运动规律. .既然既然任何物体都可看成是由大量质点组成任何物体都可看成是由大量质点组成的的, 那么前面的理论在本章中依然有效那么前面的理论在本章中依然有效. .5.1 刚体运动学刚体运动学5.2 刚体平动动力学刚体平动动力学5.3 质心与质心运动定律质心与质心运动定律5.4 刚体绕定轴的转动刚体绕定轴的转动5.5 角动量定理与角动量定理与 角动量守恒定律角动量守恒定律 5.6 定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理

2、与机械能守恒定律与机械能守恒定律1. 刚体刚体物理模型物理模型: : 物体物体在运动和相互作用过程中在运动和相互作用过程中, 其其大小和形状都不发生任何变化大小和形状都不发生任何变化. .推论推论: : 刚体内任意两点间的距离不变刚体内任意两点间的距离不变. .2. 刚体的运动刚体的运动5.1 刚体运动学刚体的一般运动刚体的一般运动=平动平动+定轴转动定轴转动平动平动: : 在运动过程中在运动过程中, 通过通过刚体内任一条直线的刚体内任一条直线的方位始终保持不变方位始终保持不变.特点特点: 刚体平动时刚体平动时, 内部各点运动情况完全相同内部各点运动情况完全相同. . 因此因此, 描述质点运动

3、的物理量描述质点运动的物理量(如位移如位移、速速度和加速度度和加速度)均可用来描述刚体的运动均可用来描述刚体的运动.刚体内任意一点的平动可代表整个刚体的平动刚体内任意一点的平动可代表整个刚体的平动. .转动转动: : 刚体运动时刚体运动时, , 各个质点都绕同一直线各个质点都绕同一直线(转动转动轴轴)作同角速度的圆周运动作同角速度的圆周运动. .定轴转动定轴转动: : 转轴固定不动的转动转轴固定不动的转动. .质心轴质心轴: : 通过质心的转轴通过质心的转轴. .v特点特点: : 定轴转动时定轴转动时, , 刚体转轴上各点保持不动刚体转轴上各点保持不动. . 轴轴外各点在同一时间间隔外各点在同

4、一时间间隔 dt 内内, , 移动的弧长移动的弧长虽然不同虽然不同, , 但其角位移但其角位移 d 却完全一样却完全一样. . 因因此此, 描述刚体的定轴转动可引入新的物理描述刚体的定轴转动可引入新的物理量量, 如如角位移角位移、角速度角速度和和角加速度角加速度. .3. 描述刚体转动的物理量描述刚体转动的物理量角位移角位移: : 在时间间隔在时间间隔 t 内内, , 刚体上任一点相对于刚体上任一点相对于某一特定转轴转过的角度为某一特定转轴转过的角度为 . .zxo特征特征: : (1)角位移角位移 是相对于某一特定转轴而言是相对于某一特定转轴而言的的. . (2)角位移角位移 不是矢量不是矢

5、量, , 它的合成与转它的合成与转动的先后次序有关动的先后次序有关, 不符合矢量的加法交换不符合矢量的加法交换律律. xyzxyzxyzxyzxyzxyzki22ik22角角位位移移不不是是矢矢量量(3) 瞬时角位移瞬时角位移 d 符合矢量运算法则符合矢量运算法则, 为矢量为矢量.dxyzo角速度角速度: : 大小为在某一时刻大小为在某一时刻 t 附附近的单位时间间隔内近的单位时间间隔内, , 刚体上任刚体上任一点角位移的大小一点角位移的大小; ; 其方向在转其方向在转轴方位轴方位, , 可用右手螺旋法则确定可用右手螺旋法则确定. .0dlimd tkktt特征特征: (1) 角速度是矢量角速

6、度是矢量, 它反映了刚体转动瞬时它反映了刚体转动瞬时角位移随时间变化的规律角位移随时间变化的规律. (2) 定轴转动时定轴转动时, 转轴的方向已经给定转轴的方向已经给定, 角角速度的方向可用正负表示速度的方向可用正负表示, 即满足标量即满足标量运算法则运算法则.角加速角加速度度: 在任意时刻在任意时刻 t 附近的单位时间间隔内附近的单位时间间隔内, 刚体转动角速度的变化量刚体转动角速度的变化量, 其方向由矢量运算法其方向由矢量运算法则确定则确定.0dlimdttt 22ddddddtdtddtd 对于定轴转动有对于定轴转动有:速度和角速度的关系速度和角速度的关系:OrROvvP, 以转轴上某点

7、以转轴上某点O 为参考点为参考点vrsinRvrr2dd()dddd()ddRnRtarttrrrrttR eRa ea e ve加速度和加速度和角速度角速度、角加速度的关系角加速度的关系:ddRdtR dt1vvRv22ddtnaRtaRR vv对于定轴转动有对于定轴转动有: 定轴转动定轴转动 直线运动直线运动 角位移 位移位移 x 角速度角速度 速度速度v角加速度角加速度 加速度加速度 a22000000222200112222ttxxtattatax vvvvv = =常数常数 a = =常数常数匀加速定轴转动匀加速定轴转动 匀加速直线运动匀加速直线运动5.2 刚体平动动力学刚体刚体:

8、质点间距离保持不变的质点系质点间距离保持不变的质点系.质量元质量元 mi : 在在刚体上任取一质量元刚体上任取一质量元 mi 视为视为质点质点.质量元外力质量元外力F i: 其它物体施于质量元其它物体施于质量元 mi 的作的作用力用力.质量元内力质量元内力f i: 刚体内其它部分施于质量元刚体内其它部分施于质量元 mi 的作用力的作用力.iiiFfmai由牛顿力学有由牛顿力学有iiiFfm aiiii对所有质量元求和有对所有质量元求和有12ia = aa = a且平动时有且平动时有考虑到考虑到0if i()Fm am aiiiiii所以所以Fma平动运动定律平动运动定律: 刚体平动时刚体平动时

9、, 其运动规律与同质其运动规律与同质量的质点相同量的质点相同, 受力等于刚体所受外力的矢量和受力等于刚体所受外力的矢量和. ()iiiiFm a5.3 质心与质心运动定律对刚体的任意运动对刚体的任意运动, , 由牛顿第二定律有由牛顿第二定律有: :iiiiiFm a刚体任意运动时刚体任意运动时, , 作用在刚体上的合外力等于各作用在刚体上的合外力等于各个质量元的加速度与质量元乘积的矢量和个质量元的加速度与质量元乘积的矢量和. .刚体任意运动时刚体任意运动时, , 每一质量元的加速度不一定相每一质量元的加速度不一定相同同, ,故上式无法确定每一质量元的加速度故上式无法确定每一质量元的加速度. .

10、 但它可但它可以确定刚体中一特殊点以确定刚体中一特殊点质心的加速度质心的加速度. . 1. . 刚体的质心与质心运动定律刚体的质心与质心运动定律222222ddddiixiixiiiiiiyiiyiiiiiiziiziiiixFm amtyFm amtd zFm amdt将上式写成直角坐标分量形式将上式写成直角坐标分量形式: :222222dddiiiixiiiiiyiiiiizim xmFmd tm ymFmd tm zmFmd t这三个量可确定刚体上某这三个量可确定刚体上某点点 c (xc, yc, zc), , 称为刚体的质称为刚体的质量中心量中心, , 简称简称质心质心. .iicii

11、ciicm xxmm yymm zzmiii若令若令cccxdmxdVx =mmydmydVy =mmzdmzdVz =mm若质量连续分布若质量连续分布, , 则有则有其中其中 dV 为质量元为质量元 dm 的体积的体积. .222222222222iicixcxiiciycyiicizczm xdd xmFmmmadtdtm ydd ymFmmmadtdtm zdd zmFmmmadtdtiiiiiiiciF = ma质心运动定律质心运动定律: 刚体任意运动时刚体任意运动时, 作用在刚体上作用在刚体上的合外力等于刚体的质量与质心加速度的乘积的合外力等于刚体的质量与质心加速度的乘积. 代入分量

12、式可代入分量式可得得2. 刚体的重力势能刚体的重力势能piii= Em ghppiiiiiiii= =cEEm ghm hmgmmgh hc为刚体质心的高度为刚体质心的高度, 刚体的重力势能取决于其刚体的重力势能取决于其质心的高度质心的高度.对任一质量元对任一质量元对整个刚体对整个刚体5.4 刚体绕定轴的转动刚体绕定轴的转动1. 1. 转动定律转动定律刚体绕过刚体绕过O点且与投影面点且与投影面垂直的固定轴转动垂直的固定轴转动仅考虑所受的力与转轴垂直的情形仅考虑所受的力与转轴垂直的情形. .im刚体中任一质量元刚体中任一质量元iF该质量元所受合外力该质量元所受合外力fi该质量元所受合内力该质量元

13、所受合内力oimiriFifii由牛顿第二定律由牛顿第二定律: :iiiiF + f = m a写成分量形式写成分量形式: :2 (1) (2)iiiiiini iiiiiiiti iFcos + fcos=ma =mrFsin + f sin=ma =mr对对(2)式乘以式乘以ri : :2sinsini iii iii iiti iFrf rmramr2sinsini iii iii iiiiFrf rmr对对 i 求和求和:2sinsini iii iii iiiiFrf rm r0i iiif rsin=2i iii iFrsinm riiii iiM = FrsiniiMI由内力的特

14、性知由内力的特性知故有故有称为外力称为外力Fi 对转轴的对转轴的力矩力矩称为刚体对该转轴的称为刚体对该转轴的转动惯量转动惯量2i iiI =mr所以所以22ddddMIIItt定轴转动定律定轴转动定律: 刚体绕定轴转动时刚体绕定轴转动时, 作用在刚体作用在刚体上的合外力矩等于刚体对该转轴的转动惯量与角上的合外力矩等于刚体对该转轴的转动惯量与角加速度的乘积加速度的乘积.iiMI以以 表示合外力矩表示合外力矩, , 则有则有 MIiMrFiiiiM2i iImri以矢量形式表示以矢量形式表示其中合外力矩其中合外力矩转动惯量转动惯量力矩指向在转轴方位力矩指向在转轴方位2. 力矩力矩MrForFsin

15、FcosFsinrR定义定义: : 力对某转轴的力矩力对某转轴的力矩, , 等于等于转轴到转轴到力作用点的矢径力作用点的矢径与作用力的叉乘与作用力的叉乘. .M = rFsin= FR特性特性: : 力矩是矢量力矩是矢量; 力矩的和不恒等于合力的力力矩的和不恒等于合力的力矩矩; 每个分力的力矩与力的作用点有关每个分力的力矩与力的作用点有关. .大小大小方向方向: 由由 和和 的右手螺旋法则确定的右手螺旋法则确定.rrFr3. 转动惯量转动惯量222 ddi iiImrrmrV定义定义:特性特性: (1) 转动惯量是标量转动惯量是标量, , 它是反映刚体转动它是反映刚体转动惯性大小的物理量惯性大

16、小的物理量. (2) 它是相对于某一特定转轴而言的它是相对于某一特定转轴而言的. 转转轴不同轴不同, 同一物体的转动惯量则不同同一物体的转动惯量则不同.(3) 它与刚体的质量和质量分布有关它与刚体的质量和质量分布有关. .(4) 它符合加法结合律和交换律它符合加法结合律和交换律和的转动惯和的转动惯量等于转动惯量的和量等于转动惯量的和. .(5) 转动惯量的转动惯量的平行轴定律平行轴定律: :2 cIImd(6) 规则形状刚体相对于对称轴的规则形状刚体相对于对称轴的转动惯量可直接计算求得转动惯量可直接计算求得, , 其它不其它不规则刚体的转动惯量一般由实验规则刚体的转动惯量一般由实验测定测定.

17、.dmIIc4. . 转动惯量的计算转动惯量的计算xdxxo(1) 垂直于细棒且通过质心轴的转动惯量垂直于细棒且通过质心轴的转动惯量.已知已知: 棒长棒长 l , 总质量总质量 m .2Ix dmm l设棒的线密度为设棒的线密度为22222232011 21212lllIx dmxdxx dxlml则有则有(2) 均匀细圆环绕其对称轴的转动惯量均匀细圆环绕其对称轴的转动惯量.已知已知: 半径半径 R, 总质量总质量 m .2222 Ir dmR dmRdmmRdmR(3) 空心圆柱绕其对称轴的转动惯量空心圆柱绕其对称轴的转动惯量.已知已知: 内半径内半径 R1, 外半径外半径 R2 , 高高

18、l , 总质量总质量 m .2221ml RR（）rdrR1R2oldd2dmVrl r 212344212212d 2d()21 ()2RRIrmllrrRRm RR 该式同样适用于薄圆盘该式同样适用于薄圆盘设其密度为设其密度为在半径为在半径为 r 处处, 取厚度为取厚度为 dr 的薄层为质量元薄层为质量元(4) 均匀球体绕其对称轴的转动惯量均匀球体绕其对称轴的转动惯量.已知已知: 球的半径为球的半径为 R , 质量质量 m .33(4)mR22rRx222dddVrxRxx（)ddmV222 21ddd22IrmRxx（）方法方法1: :取距球心为取距球心为 x 处处, , 厚度为厚度为d

19、x、半径为半径为 r 的薄圆盘为质量元的薄圆盘为质量元设其质量密度为设其质量密度为圆盘半径圆盘半径体积元体积元质量元质量元此圆盘的转动惯量此圆盘的转动惯量dxxRr22 222 2052dd2 d82 155RRRIIRxxRxxRmR（）（）222 21ddd22IrmRxx（）薄圆盘的转动惯量薄圆盘的转动惯量那么那么, , 球体的转动惯量为球体的转动惯量为方法方法2:2dsind d dVrr ddmV24324300052( sin) d sind d d ddsind82 155zRIrmrrrrRmR ddrrxyz在球坐标系中取体体积元在球坐标系中取体体积元质量元质量元故球的转动惯

20、量为故球的转动惯量为转动惯量计算的一般步骤转动惯量计算的一般步骤:m VddmVdV22ddIrmrVr=蝌2( , )d d dVIrx y zx y z43sindddVIrr质量密度为质量密度为取体积元取体积元则质量元则质量元直角坐标系直角坐标系球坐标系球坐标系转动惯量转动惯量常见规则刚体的转动惯量常见规则刚体的转动惯量薄圆盘薄圆盘212ImrrR1R2l圆柱圆柱22121()2Im RR细棒细棒213Iml细棒细棒2112Iml球体球体225ImR275ImR例例1. 求半经为求半经为 R 、质量为质量为 m 的均匀圆环的均匀圆环, 对于沿直对于沿直径转轴的转动惯量径转轴的转动惯量Rd

21、mdr解解: 圆环的线密度为圆环的线密度为2mR在环上取长度元在环上取长度元 dS, 相应的相应的质量元质量元 dm , dm 距转轴距转轴 r, 则dm= dS = RdcosrR2222232d 2cosd1 2IrmR R RmR例例4. 在半径分别为在半径分别为 R1 和和 R2 的阶梯形滑轮上反向的阶梯形滑轮上反向绕有两根轻绳绕有两根轻绳, 分别悬挂质量为分别悬挂质量为m1、m2的物体的物体. 如如滑轮与轴间摩擦不计滑轮与轴间摩擦不计, 滑轮转动惯量为滑轮转动惯量为I. 求滑轮的求滑轮的角加速度角加速度 及两绳中的张力及两绳中的张力T1与与T2.1m2m1R2R2mgm22T1mgm

22、11T2T1Ty解解: 取向下为坐标轴的正方向取向下为坐标轴的正方向, , 相应地相应地顺时针顺时针转转向亦为向亦为正方向正方向. . 隔离体受力分析如图隔离体受力分析如图. .由牛顿定律和转动定律列方程如下由牛顿定律和转动定律列方程如下111122221122m gTm am gTm aT RT RI1122aRaR且线量与角量之间的关系式为且线量与角量之间的关系式为1m2m1R2Ry22221211221122I +m R +m R RT =m gI +m R +m R21111222221122I +m R +m R RT =m gI +m R +m R1122221122m R -m

23、R=gI +m R +m R联立求解得联立求解得:例例5. 物体物体 A、B 的质量分别为的质量分别为 m1和和 m2 , 用一轻绳用一轻绳相连相连, 绳子跨过质量为绳子跨过质量为 M、半径为半径为 R 的匀质定滑轮的匀质定滑轮 C. 如如A下降下降, B 与水平桌面间的滑动摩擦系数为与水平桌面间的滑动摩擦系数为 , 且绳与滑轮之间无相对滑动且绳与滑轮之间无相对滑动, 求系统的加速度及求系统的加速度及绳中的张力绳中的张力 T1 和和 T2 .ABCyx解解: : 建立如图坐标系建立如图坐标系, , 并取并取顺时针顺时针转向为转向为正方向正方向. . 隔离物体受力分析如下图隔离物体受力分析如下图

24、. . 由牛顿定律和转动定由牛顿定律和转动定律列出动力学方程律列出动力学方程: :Nfgm22TBAgm11T2T1T111 1m gTma22220Tfm am gNfN12212TRT RIIMRxy12aaaR2222111 121122Tm gm am gTm aT RT RMR整理以上方程有整理以上方程有: 又由运动之间的联系可得又由运动之间的联系可得:211122(1)2()mMTm gmmM122122(1)2()mMTm gmmM联立解得联立解得: 12122()2()mmagmmM5.5 角动量定理与 角动量守恒定律由转动定律有由转动定律有:dd()dddLMIIIttdt令

25、令 , , 称为刚体对该转轴的称为刚体对该转轴的角动量角动量或或动动量矩量矩. .LIddM tL00dtM tLL角动量定理角动量定理: 刚体在定轴转动时刚体在定轴转动时, 角动量的增量角动量的增量等于外力矩作用在刚体上的冲量矩等于外力矩作用在刚体上的冲量矩.一般地一般地, 有有ddLMt00ddtLLM tL0dtM t称为力矩对转轴的称为力矩对转轴的冲量矩冲量矩冲量矩冲量矩: 外力矩对时间的累积外力矩对时间的累积.由角动量定理由角动量定理:角动量守恒定律角动量守恒定律: 刚体在定轴转动时刚体在定轴转动时, 若受到的若受到的合外力矩为零合外力矩为零, 则其角动量保持不变则其角动量保持不变.

26、I11F1I22F2I1+ I200dtM tLL0M,若若0LL 恒矢量恒矢量作用前角动量作用前角动量 作用后角动量作用后角动量 0M()I I II112212例例8. 在质量为在质量为 M、半径为半径为 R 的水平圆盘转台上的水平圆盘转台上, 两两质量均为质量均为 m 的电动汽车分别沿半径为的电动汽车分别沿半径为 R 和和 r (Rr) 的圆形轨道转动圆形轨道转动. 最初最初, 小车和转台都静止不动小车和转台都静止不动.若外轨道上的小车沿逆时针方向转动若外轨道上的小车沿逆时针方向转动, 内轨道小车内轨道小车顺时针转动顺时针转动, 相对于转台的速率均为相对于转台的速率均为v. 求转台对求转

27、台对地面的角速度地面的角速度.rvRv解解: 设顺时针方向为正方向设顺时针方向为正方向, , 转台对地面的角速度转台对地面的角速度为为 . . 由于运动过程中无外力矩作用由于运动过程中无外力矩作用, , 所以系统的所以系统的角动量守恒角动量守恒. .汽车汽车A相对于地面的角速度相对于地面的角速度ARv汽车汽车B相对于地面的角速度相对于地面的角速度Brv由角动量守恒由角动量守恒0AABBI +I +I其中其中2AImR2BI = mr22MRI =代入可得代入可得22202MRmRmRmrmrvv2222()2 ()mRrm RrMRv所以所以, 转台顺时针旋转转台顺时针旋转.5.6 定轴转动的

28、动能定理 与机械能守恒定律刚体定轴转动时刚体定轴转动时, 距转轴为距转轴为 r 的质量元的质量元 dm 的线速线速度为度为 v , 其动能为其动能为orvdm22211ddd22kEmrmv刚体定轴转动时的总刚体定轴转动时的总动能为动能为222221dd211 d22kkEErmrmI1. 刚体的转动动能刚体的转动动能2. 刚体的重力势能刚体的重力势能dpch mEmgmghm3. 刚体的平动动能刚体的平动动能212kEm v4. . 刚体的总机械能刚体的总机械能2211 22kkpcEEEEImmghv5. 刚体转动时外力矩所做的功刚体转动时外力矩所做的功oiriFitFinFd刚体定轴转动

29、时的微角位移为刚体定轴转动时的微角位移为d , 相应地相应地力矩做功为力矩做功为ddddiitit iiAFsF rMdddiiiiAAM2211dddiiAAMM某一力某一力Fi的元功为的元功为所有外力的元功为所有外力的元功为刚体由角刚体由角 1转到角转到角 2过程中过程中, , 外力矩所做的功为外力矩所做的功为6. 刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理由转动定律有由转动定律有ddddddddItItIIMddIM22112221dd1122MIII 21dkAME21222111d22kAMIIE 动能定动能定理理: 刚体在定轴转动过程中刚体在定轴转动过程中, 合外力矩所合外力矩所

30、做的功等于转动动能的增量做的功等于转动动能的增量(力矩的力矩的空间累积效应空间累积效应).6. 刚体机械能守恒定律刚体机械能守恒定律由刚体定轴转动的动能定理有由刚体定轴转动的动能定理有:0kKEE 恒 量00kpKpEEEE 恒量21d0kAME当当 时时0M 若存在重力若存在重力, ,且且 , 则则 0M 一般情况下一般情况下000kpkKpkEEEEEE 恒量0 F 若若 则有则有 0,M kE 为为平动动能平动动能例例1. 质量为质量为 m1 的小球的小球, 运动速度为运动速度为u, 与质量为与质量为 m2 、长为长为 2l 的细棒作完全弹性碰撞的细棒作完全弹性碰撞, 棒绕通过其质心棒绕通过其质心的水平转轴转动的水平转轴转动(如图如图). 求球的反弹速度求球的反弹速度v 和棒的角速度和棒的角速度 . 解：解：小球的重力与冲击力相比可忽略小球的重力与冲击力相比可忽略, 且选顺时且选顺时针转向为正方向针转向为正方向.设小球