华理大学物理第6章气体动理论3

1、1、理想气体压强的统计解释knvnnkTP32213222、温度的统计解释kTk233、能量均分定律kT21kTi2RTiMmkTiNE22理想气体的内能理想气体压强决定于单位体积内的分子数和分子的平均平动动能理想气体的温度是分子平均平动动能的量度，反映了物质内部分子无规则热运动的剧烈程度【思考题 P239 6-4】能量均分定理：处于平衡态的气体分子每一自由度(平动，转动)所占有的能量都为kT/2(1)kT/2：(2)3kT/2：(3)iRT/2：(4)3mRT/2M：分子一个自由度的平均动能分子的平均平动动能自由度为i的1mol气体的内能质量为m，摩尔质量为M的单原子气体的内能v)(vfo)

2、dS(vvvNNlim)(0fvvv dSd物理意义： 2）表示气体分子的速率处于v附近单位速率区间的概率。1d)(d00vvfNNN归一化条件)S(vvvddNN1NlimN101）表示在温度为T 的平衡状态下，速率在v 附近单位速率区间 的分子数占总数的比例 。 dvvNNfd速率位于vv+dv 内分子数占总分子数的比例 4、分子速率分布函数最概然速率vp其物理意义是在vp附近单位速率区间内分子数占总分子数的比率最大；或对一个分子而言，其速率刚好处于vp附近单位速率区间内的概率最大。最概然速率vp是速率分布函数曲线峰值所对应的速率。0)(vfdvd求最概然速率的方法求极值法【思考题P240

3、 6-7】速率位于vv+dv内分子数占总分子数的比例 (1) f v dv (2)Nf v dv 21(3)vvNf v dv 0(4)pvf v dv 201(5)2v f v dv 2211(6)vvvvvf v dvf v dvdN N速率位于vv+dv内的分子数具有速率v1v2之间的分子数速率小于vp的分子数占总分子数的比例分子的平均平动动能具有速率v1v2之间分子的平均速度dNN N N 5、麦克斯韦速率分布函数 1859年 平衡态分子速率分布规律 dvvekT24NdN2kT2v232 2kT2v23vekT24v2f麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数在平衡态下，当气体分子间

4、的相互作用可以忽略时，分布在任一速率区间 vv+dv 的分子数占总分子数的比率为f(v)vvPf(vP)最概然速率vP与 f ( v ) 极大值对应的速率。麦克斯韦速率分布函数曲线 具有vP的分子数占总分子数的比例最高具有vP的分子数最多v2V分子具有vP的概率最大最概然速率（most probable speed）：kT41. 1kT2vp平均速率（mean speed）： 0dvvvv f方均根速率（root-mean-square-speed）： 022dv vfvv 2pVVVkT73.1kT3V2为何提出这三种速度？为何提出这三种速度？0dvdfkT60. 1kT8v)v21(2k

5、2322242vkTfvevkTpvxv若令pdvdxv 224xfv dvex dx2pk Tv同种气体pTv 1ppfvv()pTf v同种气体在不同温度下的速率分布同一温度下不同气体的速率分布123mmm2pkTv0( )1fv dv【例1】如图示两条 f(v)v曲线分别表示氢气和氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线， 从图上数据求出氢气和氧气的最概然速率 .MRT2pv)O()H(22MM)O()H(2p2pvvm/s2000)H(2pv4232)H()O()O()H(222p2pMMvvm/s500)O(2pv)(vf1sm/v2000oH2O26.6 玻尔兹曼分布率第六章 气体动

6、理论(非均匀的稳定分布非均匀的稳定分布) 平衡态下气体的温度处处相同，气体的压强为 pnkTdpppdhddpg h ddpkT nddpn g h hh+dh(d )d0pp SgS hpSddkT nng h 一、重力场中粒子按高度的分布ddnghnkT 00ddnhnnghnkT0ghkTnn epnkT0ghkTp ehOn2T1T21TT0ghkTn kTe在重力场中，粒子数密度随高度增大而减小， 越大，n 减小越迅速；T 越高，n 减小越缓慢。(等温气压公式)式中 p0 是高度为零处的压强。0epkTnn/0dded d dpkTNn Vnx y zpgh平衡态下温度为T 的气体中

7、，位于空间某一小区间 xx+dx ，yy+dy ， zz+dz 中的分子数为 这是粒子关于位置的分布的规律， 常称为玻耳兹曼分布律。它表明，在势场中的分子总是优先占据势能较低的状态。 0eghkTnn它适用于任何形式的保守力场式中p 是位于（x、y、z）处分子 的势能。二、玻耳兹曼分布律平衡态下温度为 T 的气体中，位置在 xx+dx， yy+dy， zz+dz 中, 且速度在 vx vx+dvx , vy vy+dvy ,vz vz+dvz 区间的分子数为/d ( , )edddd d dkTN rCx y zxyzvvvv式中 =k+p 是分子的总能量， C 是与位置坐标和速度无关的比例因

8、子。这一结论，称为麦克斯韦玻耳兹曼分布定律。它给出了分子数按能量的分布规律。 能量的量子化分布 12,i /e, 1,2,3,ikTiNCi玻耳兹曼分布定律【例3】拉萨海拔约为3600m ，气温为273K，忽略气温随高度的变化。当海平面上的气压1.013105 Pa 时，求(1) 拉萨的大气压强；(2) 若某人在海平面上每分钟呼吸17 次，他在拉萨呼吸多少次才能吸入同样的质量的空气。M=2910-3 kg/mol解：由等温气压公式得329 109.8 36005(8.31 273)0e1.013 10 eMghRTpp设人每次吸入空气的容积为V0 ，在拉萨应呼吸x 次 000()(17)p x

9、VpV26.7x 次50.645 10 pa则有6.7 分子的平均碰撞频率和平均自由程 第六章 气体动理论一个分子单位时间内和其它分子碰撞的平均次数，称为分子的平均碰撞频率。 一、分子的平均碰撞频率u 假设(模型)(个别分子的碰撞性质是不可预测的，对于大量分子构成的整体来说，分子间的碰撞却遵从着确定的统计规律。)平均碰撞频率: （1）分子的运动是布朗式 （2）分子形状为球体（3）其他分子不动2Zn d uut内分子与圆柱体内其他分子的碰撞次数2n d u tu考虑到所有分子实际上都在运动，则有u平均碰撞频率为2u v22 Zn dv282 RTn dM分子在连续两次碰撞之间自由运动的平均路程，

10、称为分子的平均自由程 。212Zd nv二、分子的平均自由程 22kTd ppnkT781010 m在标准状态下的平均自由程约为讨论：在恒压下，加热理想气体，则气体分子的平均自由程和平均碰撞次数如何随温度变化？TpZMRTKTpnndZ60. 122pdKT22讨论：如果保持体积不变，加热理想气体，则气体分子的平均自由程和平均碰撞次数将如何变化？TZMRTndZ60. 122nd2213388 8.31 273/1.70 10/3.142 10RTvm sm sM解:按气体分子算术平均速率公式 算得8RTvM按公式 p=nkT 可知单位体积中分子数为53253231.013 102.69101

11、.38 10273pnmmkT【例3】求氢在标准状态下，在1s 内分子的平均碰撞次数。已知氢分子的有效直径为210-10m。319171.70108.10102.1010vZss即在标准状态下，在 1 s 内分子的平均碰撞次数约有 80 亿次。212d n因此21025711.414 3.142 102.69 102.10 10mm【例4】在质子回旋加速器中要使质子在105km的路径上不和空气分子相碰撞，真空室内的压强多大？（T=300K，质子的直径可以不计，且空气分子可以认为静止不动，空气分子的有效直径 ）103 10dm 解：设质子每秒的运动距离为v圆柱内的空气分子数为nvd412 21 4zd v n2244vkTzd nd P2322105344 1.38 103003.143 101010kTPd105.85 10()Pa气体分子热运动图景的量级概念帕帕升升500010