固体物理外场中的运动

1、整理整理ppt 在恒定磁场中电子的运动在恒定磁场中电子的运动v 求解含磁场的求解含磁场的Schrdinger方程方程一、恒定磁场中的准经典运动一、恒定磁场中的准经典运动准经典运动的基本方程准经典运动的基本方程 =Ededt kv kkkFv kB =1讨论晶体中电子在恒定磁场中运动的方法：讨论晶体中电子在恒定磁场中运动的方法：v 准经典近似：优点是简单且物理图象清晰，缺点是准经典近似：优点是简单且物理图象清晰，缺点是 有些量子效应无法从准经典近似中得出。有些量子效应无法从准经典近似中得出。整理整理ppt1. 在在k空间中的运动图象空间中的运动图象ddt kB 在在k空间中电子的运动轨迹是垂直于

2、磁场的平面与等空间中电子的运动轨迹是垂直于磁场的平面与等能面的交线，即电子在垂直于磁场的等能线上运动。能面的交线，即电子在垂直于磁场的等能线上运动。Fv在在k空间中，电子作循环运动空间中，电子作循环运动 ed=dt kv kB沿磁场方向沿磁场方向k的分量不随时间而变，的分量不随时间而变，即在即在k空间中，电子在垂直于磁场空间中，电子在垂直于磁场B的平面内运动。的平面内运动。（Lorentz力不做功）力不做功）电子的能量电子的能量E(k)不随时间而变，即电子在等能面上运动不随时间而变，即电子在等能面上运动整理整理ppt对自由电子：对自由电子： 22kE2mkKz保持不变，电子在保持不变，电子在k

3、x-ky平面内作匀速园周运动，平面内作匀速园周运动，回旋频率为回旋频率为,)(mkkv Bkmqdtkd 若选电子若选电子B沿沿Z方向，则方向，则 0 , , dtdkkmqBdtdkkmqBdtdkzxyyxmqB 0 整理整理pptk 等能线为园等能线为园整理整理ppt2. 在实空间中的运动图象在实空间中的运动图象在实空间中，电子的运动轨迹为一螺旋线。在实空间中，电子的运动轨迹为一螺旋线。对于自由电子：对于自由电子：m k =v如设磁场沿如设磁场沿z 轴方向，有轴方向，有0 xyyxzdveBvdtmdveBvdtmdvdt整理整理ppt0000cossinttxyzvvvvvconst.

4、22200 xyvvveBm 在实空间中电子的运动图象：在实空间中电子的运动图象：沿磁场方向（沿磁场方向（z方向），电子作方向），电子作匀速运动，在垂直于磁场的平面匀速运动，在垂直于磁场的平面内，电子作匀速圆周运动。内，电子作匀速圆周运动。整理整理ppt对于晶体中的电子对于晶体中的电子1*ddtmevFF =vB在主轴坐标系中在主轴坐标系中:1*1*1*xxxyyyzzzdvFdtmdvFdtmdvFdtm整理整理ppt 若磁场方向取在若磁场方向取在z轴方向，轴方向，BBk，即可写出其相，即可写出其相应的准经典运动方程。应的准经典运动方程。*0 xyxyxyzdveBvdtmdveBvdtmd

5、vdt 整理整理ppt二、自由电子的量子理论二、自由电子的量子理论在没有磁场时，自由电子的哈密顿量为在没有磁场时，自由电子的哈密顿量为22pHm当有磁场存在时，电子运动的哈密顿量为当有磁场存在时，电子运动的哈密顿量为212Hem pAA: 磁场的矢势，磁场的矢势， BA若磁场若磁场B沿沿z方向，则可取方向，则可取,0,0By A22212xyzHpeByppm整理整理ppt由于哈密顿算符中不含由于哈密顿算符中不含x和和z，H和和px、pz有共同本征态有共同本征态设设为其共同本征态，有为其共同本征态，有波函数波函数: xzi k x k zeyr代入波动方程代入波动方程HE与与Hxpix zpi

6、z 及及对易对易xxzzpkpk整理整理ppt 222212xyzkeBypkyEym 2222221222zxkkeByyEym ymm 2222002122myyyym y其中其中0,eBm0,xykeB222zkEm这是中心位置在这是中心位置在y=y0，振动圆频率为，振动圆频率为 0的线性谐振子的线性谐振子整理整理ppt解为解为200000exp2nnnmmyyNyyHyyNn为归一化因子，为归一化因子，Hn(y)为厄密多项式为厄密多项式相应的能量本征值为相应的能量本征值为012nnn=0, 1, 2, 0 xzi k x k zneyyr 222201222zznkkEnmmk整理整理

7、ppt 根据量子理论，在垂直于磁场平面内的匀速圆周运根据量子理论，在垂直于磁场平面内的匀速圆周运动对应于一种简谐振动，其能量是量子化的，我们将这动对应于一种简谐振动，其能量是量子化的，我们将这些量子化的能级称为朗道能级。些量子化的能级称为朗道能级。三、晶体中电子的有效质量近似三、晶体中电子的有效质量近似晶体中电子在磁场中运动时，其哈密顿量为晶体中电子在磁场中运动时，其哈密顿量为 212HeUm pAr其中，其中，U(r)为为 晶体的周期性势场晶体的周期性势场整理整理ppt 在有效质量近似的框架内，前面我们对自由电子的在有效质量近似的框架内，前面我们对自由电子的讨论可以推广到晶体中的电子，只需用

8、电子的有效质量讨论可以推广到晶体中的电子，只需用电子的有效质量m*代替自由电子的质量代替自由电子的质量m即可。即可。 一般半导体材料中，在导带底和价带顶附近常常一般半导体材料中，在导带底和价带顶附近常常可以采用有效质量近似。对有些金属材料（如碱金属）可以采用有效质量近似。对有些金属材料（如碱金属）有时也可以采用。有时也可以采用。212*Hem pA在有些情况下，可将哈密顿量近似写成在有些情况下，可将哈密顿量近似写成 有效质量近似有效质量近似整理整理ppt四、电子回旋共振和四、电子回旋共振和De HaasVan Alphen效应效应1. 电子回旋共振电子回旋共振 将一晶片垂直置于磁场中，若沿磁场

9、方向输入一频将一晶片垂直置于磁场中，若沿磁场方向输入一频率为率为 的交变电场，且的交变电场，且E B。Beh讯号讯号当当0时，电子回旋与电时，电子回旋与电场同步，电子吸收电场能场同步，电子吸收电场能量达到极大，这种现象称量达到极大，这种现象称为电子回旋共振。为电子回旋共振。整理整理ppt从量子理论的观点，电子吸收了电场的能量，相当于实从量子理论的观点，电子吸收了电场的能量，相当于实现了电子在朗道能级间的跃迁。测量回旋共振的频率现了电子在朗道能级间的跃迁。测量回旋共振的频率 0 ，即可算出电子（或空穴）的有效质量，即可算出电子（或空穴）的有效质量m*。0*eBm 电子回旋共振不仅可以测量载流子的

10、有效质量电子回旋共振不仅可以测量载流子的有效质量m* ，还可以根据出射波的偏振方向来判断电场的能量是被电还可以根据出射波的偏振方向来判断电场的能量是被电子还是被空穴吸收的。子还是被空穴吸收的。 电子回旋共振被广泛地用来测定半导体导带底电子电子回旋共振被广泛地用来测定半导体导带底电子或价带顶空穴的有效质量，研究其能带结构。或价带顶空穴的有效质量，研究其能带结构。整理整理ppt在半导体的导带底或价带顶附近，其等能面一般为椭球面。在半导体的导带底或价带顶附近，其等能面一般为椭球面。 22222*yxzxyzkkkEmmm k在主轴坐标系中，有在主轴坐标系中，有,)()(21 )()()()(,0,0

11、,0000 kkkkkkkEkkkEkEkEkkk0)( 0)( 0 0 kkEkE在在极极值值点点取取，)()(21)(,0,0,0 kkkkkkkEkEkk 整理整理ppt222222222222211xxyxzyxyyzzxzyzEEEkkkkkEEEmkkkkkEEEkkkkk )()(21)(,0,0,0 kkkkkkkEkEkk 回忆有效质量回忆有效质量张量的定义张量的定义 *)(*)(*)(2)(2,02,02,02zzzyyyxxxmkkmkkmkkkE在在主轴坐标系主轴坐标系座标系中座标系中整理整理ppt当发生电子回旋共振时，当发生电子回旋共振时，0eBm这里，这里，m*为电

12、子回旋共振的有效质量，与外加磁场的方为电子回旋共振的有效质量，与外加磁场的方向有关。向有关。E1gE2g导带底导带底价带顶价带顶整理整理ppt222*1*xyzxyzmmmmmmm其中，其中， 、 、 为磁场在主轴坐标系中的方向余弦。为磁场在主轴坐标系中的方向余弦。 由于电子在运动过程中会受到声子、晶格缺陷以及杂由于电子在运动过程中会受到声子、晶格缺陷以及杂质的散射，因此，为了能观察到回旋共振现象，必须满足质的散射，因此，为了能观察到回旋共振现象，必须满足 0 1，其中，其中 是电子在相邻两次碰撞间的平均自由时间。是电子在相邻两次碰撞间的平均自由时间。 通常，实验都必须在极低温度（液通常，实验

13、都必须在极低温度（液He温度）下，选用温度）下，选用高纯的单晶样品，以提高高纯的单晶样品，以提高 值，同时加强磁场以提高值，同时加强磁场以提高 0 。近年来，利用红外激光为交变讯号源，可以观测到非常清近年来，利用红外激光为交变讯号源，可以观测到非常清晰的共振线。晰的共振线。整理整理ppt2. De HaasVan Alphen效应效应19301930年德年德哈斯和范哈斯和范阿尔芬在低温阿尔芬在低温下强磁场中研究铋单晶的磁化率，下强磁场中研究铋单晶的磁化率，发现了磁化率发现了磁化率 随磁场的倒数随磁场的倒数1/B1/B作作周期振荡的现象，称为周期振荡的现象，称为De HaasDe HaasVan

14、 AlphenVan Alphen效应。效应。整理整理ppt De HaasVan Alphen效应是一个广泛存在的物理现象效应是一个广泛存在的物理现象 这种现象与金属费米面附近的电子在强磁场中的行为有这种现象与金属费米面附近的电子在强磁场中的行为有关，因而与金属的费米面结构有密切关系，这些现象是关，因而与金属的费米面结构有密切关系，这些现象是研究金属费米面结构的有力工具。通过测定研究金属费米面结构的有力工具。通过测定De HaasVan Alphen效应的振荡周期，确定极值的面积，就可以效应的振荡周期，确定极值的面积，就可以相当准确地勾画出费米面的形状。相当准确地勾画出费米面的形状。金属的导

15、电率、比热等物理量在低温强磁场中也有类似金属的导电率、比热等物理量在低温强磁场中也有类似的振荡现象。的振荡现象。整理整理ppt*221220mknEz 上式说明，沿磁场上式说明，沿磁场B的方向的方向(z方向方向)电子保持自由运动，相应的动能电子保持自由运动，相应的动能为为(h2kz2/2m)，在垂直于磁场的，在垂直于磁场的x-y平面上，电子运动是量子化的，平面上，电子运动是量子化的，从准连续的能量从准连续的能量h2(kx2+ky2)/2m变变成成 (n+1/2)h 0。 。相邻邻两圆之间的k简2122022222 nkmkkmxyyx整理整理ppt电子的能谱由准连续的能谱变成一电子的能谱由准连

16、续的能谱变成一维的次能带，每一个次能带是一条维的次能带，每一个次能带是一条抛物线，次能带的能量极小值是抛物线，次能带的能量极小值是(n+1/2)h 0 。在没有外磁场时，状态的代表点在在没有外磁场时，状态的代表点在kx-ky平面上是均匀分布的，每个代平面上是均匀分布的，每个代表点占据的面积为表点占据的面积为(2 )2/LxLy；在；在有外磁场时，能量等于有外磁场时，能量等于(n+1/2)h 0的振子，高度简并。的振子，高度简并。 简并。简并。相邻两圆之间的相邻两圆之间的 0222222122knkmkkmxyyx 整理整理ppt无关。与个电子。为密度，每个状态故简并度为相邻两圆之间面积为nBq

17、BLLDLLLLqBDnqBkknqBmqBnmkkkyxyxyxxyxyxyxyxy222/221d,2d2212212d22222整理整理ppt图甲：某磁场图甲：某磁场B下下 能级恰好填满，能级恰好填满，磁场加入前后电子系统的能量不变；磁场加入前后电子系统的能量不变；如果磁场强度比图甲小一些如果磁场强度比图甲小一些能级简并度减少，电子将要填充到第能级简并度减少，电子将要填充到第( +1)个量子化能级上个量子化能级上(图乙图乙)，加入磁场以后电子系统的能量增加；如，加入磁场以后电子系统的能量增加；如果磁场强度更小，第果磁场强度更小，第( +1)能级上电子占据几率增加，图丙中，加入能级上电子占

18、据几率增加，图丙中，加入磁场以后电子系统磁场以后电子系统能量的增量能量的增量达到极大；如果磁场强度再小，这时加达到极大；如果磁场强度再小，这时加入磁场以后电子系统能量的增加比图丙小入磁场以后电子系统能量的增加比图丙小(图丁，有些电子能量减少图丁，有些电子能量减少了了) 。所以，。所以，电子系统的能量随磁场下降而周期变化电子系统的能量随磁场下降而周期变化。(磁化强度、比磁化强度、比热容等与电子系统能量有关，故也出现周期变化。热容等与电子系统能量有关，故也出现周期变化。)前/后简并整理整理ppt 。面面，可以由此定出极值截，可以由此定出极值截费米圆面积费米圆面积二维自由电子气二维自由电子气对应变化

19、周期为对应变化周期为能级完全填满，有能级完全填满，有时时设设能级完全填满，有能级完全填满，有时时设设FFyxFyxyxyxyxSSqBLLNSNqLLBNqLLBBNqLLBNqBLLNDB 21,2 :1 :1111 ,222111 振荡的周期由垂直于磁场方向的费米面的极值截面决定。振荡的周期由垂直于磁场方向的费米面的极值截面决定。整理整理ppt5.5 金属绝缘体转变金属绝缘体转变在一定条件下，金属和绝缘体可以相互转变。在一定条件下，金属和绝缘体可以相互转变。一、纳米金属的量子尺寸效应一、纳米金属的量子尺寸效应 对于宏观大小的晶体，电子的能级是准连续的。对于宏观大小的晶体，电子的能级是准连续

20、的。根据自由电子论，在费米面附近电子的能态密度为根据自由电子论，在费米面附近电子的能态密度为22/30232FEnm费米能：费米能：0032FFNN EE整理整理ppt当粒子的大小从宏观尺度减小到纳米尺度时，金属费米面附近当粒子的大小从宏观尺度减小到纳米尺度时，金属费米面附近的电子能级将从准连续变为离散能级，半导体纳米颗粒存在最的电子能级将从准连续变为离散能级，半导体纳米颗粒存在最高被占据能级和最低未被占据能级，能隙变宽的现象，称为量高被占据能级和最低未被占据能级，能隙变宽的现象，称为量子尺寸效应。子尺寸效应。在费米能附近，电子的能级密度为在费米能附近，电子的能级密度为0004/32/ )()

21、(FFFENENED 费米能附近的能级间距为费米能附近的能级间距为3/2220)3(234)(/1nmnVEDF 当能级间距当能级间距 与热振动能、静磁能、静电能、光子能量或超导与热振动能、静磁能、静电能、光子能量或超导凝聚能相当时，就必须考虑量子尺寸效应，从而导致纳米微粒凝聚能相当时，就必须考虑量子尺寸效应，从而导致纳米微粒的电、磁、光、声、热和超导电性与宏观晶体的特性明显不同。的电、磁、光、声、热和超导电性与宏观晶体的特性明显不同。整理整理ppt例：例：Ag的电子密度的电子密度n=6 1022cm3，可估算出在，可估算出在1K时出时出 现量子尺寸效应的临界晶粒尺寸现量子尺寸效应的临界晶粒尺

22、寸dc。 22/334228328312341.055 1036 106 109.11 101.38 10cd 14cdnmBckdnmnnmnV 11)3(28)3(23433/2223/222 361cdnnVN 整理整理ppt这意味着在很低温度下，这意味着在很低温度下，d 14 nm的的Ag纳米粒子将出纳米粒子将出现量子尺寸效应。现量子尺寸效应。整理整理ppt实验上也发现，当实验上也发现，当Ag纳米粒子的尺寸纳米粒子的尺寸d 10 nm时，在液氮时，在液氮温区，纳米温区，纳米Ag块体的电阻率比常规块体的电阻率比常规Ag高几个数量级，并且高几个数量级，并且其温度系数也由正变为负值，表现出非

23、金属的导电特性。其温度系数也由正变为负值，表现出非金属的导电特性。120 6h130 6h150 6h这意味着在很低温度下，这意味着在很低温度下，d 14 nm的的Ag纳米粒子将出现量纳米粒子将出现量子尺寸效应。子尺寸效应。整理整理ppt 在纳米块体材料中，存在大量的晶粒间界。而在在纳米块体材料中，存在大量的晶粒间界。而在晶粒间界，原子的排列偏离周期性排列，晶粒尺寸越晶粒间界，原子的排列偏离周期性排列，晶粒尺寸越小，在晶粒间界的原子数就越多，对电子运动的散射小，在晶粒间界的原子数就越多，对电子运动的散射就越强。就越强。粒间界的散射是造成纳米金属高电阻的主要原因。粒间界的散射是造成纳米金属高电阻

24、的主要原因。纳米金属块体的电阻可以看成是由两部分组成：纳米金属块体的电阻可以看成是由两部分组成：l 晶粒电阻晶粒电阻l 界面电阻界面电阻整理整理pptv 当晶粒尺寸大于电子的平均自由程时，晶粒内对电当晶粒尺寸大于电子的平均自由程时，晶粒内对电 子的散射起主要作用，晶粒越大，电阻及电阻温度子的散射起主要作用，晶粒越大，电阻及电阻温度 系数就越接近常规粗晶材料，这时因为常规粗晶材系数就越接近常规粗晶材料，这时因为常规粗晶材 料的电阻主要以晶粒内的散射为主。料的电阻主要以晶粒内的散射为主。v 当晶粒尺寸小于电子的平均自由程时，晶粒间界对当晶粒尺寸小于电子的平均自由程时，晶粒间界对 电子的散射起主要作

25、用。这时材料的电阻以及电阻温电子的散射起主要作用。这时材料的电阻以及电阻温 度系数明显偏离粗晶材料，甚至会出现负电阻温度度系数明显偏离粗晶材料，甚至会出现负电阻温度 系数。系数。 整理整理ppt二、二、Wilson转变转变 在紧束缚近似情况下，能带的宽度取决于近邻原子在紧束缚近似情况下，能带的宽度取决于近邻原子间电子波函数的重叠积分，原子间距越小，电子波函数间电子波函数的重叠积分，原子间距越小，电子波函数的重叠就越多，所形成的能带就越宽。的重叠就越多，所形成的能带就越宽。 在高压下，原子间距变小，就有可能出现能带的重在高压下，原子间距变小，就有可能出现能带的重叠，从而实现绝缘体向金属的转变。叠

26、，从而实现绝缘体向金属的转变。整理整理ppt 实验发现，在足够高的压强下，许多非导体材料实验发现，在足够高的压强下，许多非导体材料可以实现价带与导带的重叠，而表现出金属导电性的可以实现价带与导带的重叠，而表现出金属导电性的特征，材料的电阻率可降低几个数量级，同时电阻率特征，材料的电阻率可降低几个数量级，同时电阻率的温度系数也由负值变为正值，材料也呈现出典型的的温度系数也由负值变为正值，材料也呈现出典型的金属光泽。金属光泽。例如：在例如：在33 GPa下可使下可使Xe（氙）的（氙）的5d能带与能带与6s能带的能带的发生重叠，实现金属化转变。发生重叠，实现金属化转变。 这种与能带是否交叠相对应的金

27、属绝缘体转变这种与能带是否交叠相对应的金属绝缘体转变称为称为Wilson转变。转变。整理整理ppt三、三、Peierls转变转变 设有一一维单原子晶体，原胞大小为设有一一维单原子晶体，原胞大小为a，每个原子，每个原子中只有一个价电子。根据能带论，此晶体为金属导体，中只有一个价电子。根据能带论，此晶体为金属导体，其导带刚好填充了一半，费米波矢为其导带刚好填充了一半，费米波矢为kF= /2a。 如相邻原子发生一小位移，这时，原胞大小就从如相邻原子发生一小位移，这时，原胞大小就从a变为变为2a，每个原胞中有两个原子。相应的布里渊区边界，每个原胞中有两个原子。相应的布里渊区边界从从/a移到移到/2a，

28、恰好落在费米面上。，恰好落在费米面上。 由于电子能量在布里渊区边界时发生突变，即有能由于电子能量在布里渊区边界时发生突变，即有能隙存在，使得电子系统的能量降低。隙存在，使得电子系统的能量降低。整理整理ppt 这种由于原子的位移畸变，导致能带分裂，使电这种由于原子的位移畸变，导致能带分裂，使电子在能带中的填充情况发生变化，从导带变成满带，子在能带中的填充情况发生变化，从导带变成满带，从而由金属变为绝缘体。这种转变称为从而由金属变为绝缘体。这种转变称为Peierls转变。转变。EF满带满带空带空带导带导带0整理整理ppt 对于能带不是填充半满的情况，设费米波矢为对于能带不是填充半满的情况，设费米波

29、矢为kF，那么当位移后的晶格常数为那么当位移后的晶格常数为a= /kF时，将从金属转变为时，将从金属转变为绝缘体。如绝缘体。如a/a为有理数时，称为公度转变；若为无理数为有理数时，称为公度转变；若为无理数时，则称为无公度转变。在链状固体或片状固体中已观时，则称为无公度转变。在链状固体或片状固体中已观察到察到Peierls转变。转变。例：例：Methylethylmorphorlinium tetracyanoquinodimethanide （有机导体）在（有机导体）在335 K发生发生Peierls转变。转变。整理整理ppt四、四、Mott转变转变 当晶格常数很大，晶格中原子间的相互作用可以忽当晶格常数很大，晶格中原子间的相互作用可以忽略时，略时， ns能带就退化为孤立原子的能带就退化为孤立原子的ns能级。而在孤立原能级。而在孤立原子极限下，每个原子都是电中性的，电子被束缚在原子子极限下，每个原子都是电中性的，电子