大学物理之第一部分粒子系统——第二章对称性与守恒定律

1、第二章 对称性与守恒定律2-1 系统的对称性概述2-2 功、动能和势能2-3 哈密顿函数2-4 时间平移对称性与能量守恒2-5 势能曲线2-6 空间平移对称性与动量守恒2-7 空间旋转对称性与角动量守恒2-8 碰撞问题的提出问题的提出守恒定律是与宇宙中某些对称性相联系的。守恒定律是与宇宙中某些对称性相联系的。 对称性是统治物理规律的规律。对称性是统治物理规律的规律。守恒定律具有比力学理论更深厚的基础吗？守恒定律具有比力学理论更深厚的基础吗？经典力学理论的局限性经典力学理论的局限性守恒定律的普适性守恒定律的普适性宏观宏观低速低速宏观、微观、低速、高速宏观、微观、低速、高速2-1 系统的对称性概述

2、一、系统一、系统孤立系统孤立系统封闭系统封闭系统开放系统开放系统系系 统统外外 界界物质世界物质世界2-1 系统的对称性概述状态量状态量状态量与系统经历的过程无关。状态量与系统经历的过程无关。状态量是系统自身所具有的物理量，与外界无关。状态量是系统自身所具有的物理量，与外界无关。过程量过程量过程量与系统自身没有必然的联系，过程量是由过程量与系统自身没有必然的联系，过程量是由外界对系统过程产生作用的物理量。外界对系统过程产生作用的物理量。外力外力内力内力i i j jF Fi i f fi i j j f fj j i i niiFF1jiijff 动量、角动量、能量动量、角动量、能量冲量、功冲

3、量、功0 f作用在系统上的合力作用在系统上的合力FF 合2-1 系统的对称性概述二、对称性二、对称性定义定义: :某一研究对象某一研究对象( (体系、体系、事物事物; ;物理规律物理规律) )对其状态进行对其状态进行某种操作某种操作, ,使其状态由使其状态由A到到B。若。若两状态两状态等价等价( (相同相同) )，就说该研究对象，就说该研究对象对该操作对该操作具有对称性。具有对称性。例例对中心对称对中心对称操作操作绕中心旋绕中心旋任意角任意角状态状态A A状态状态B B状态状态A A与状态与状态B B相同或等价相同或等价 对称性破缺对称性破缺2-1 系统的对称性概述三、几种对称操作三、几种对称

4、操作1 1、空间对称操作、空间对称操作- - 空间变换空间变换 1)1)平移平移 2)2)旋转旋转 3)3)镜象反射镜象反射 4)4)空间反演空间反演2-1 系统的对称性概述2 2、时间变换、时间变换 1)1)时间平移时间平移 2)2)时间反演时间反演3 3、时空联合操作、时空联合操作 伽利略变换伽利略变换- - 力学定律具有不变性力学定律具有不变性 洛仑兹变换洛仑兹变换-物理定律具有不变性物理定律具有不变性2-1 系统的对称性概述物理矢量的镜面反射物理矢量的镜面反射 极矢量极矢量 轴矢量轴矢量MMr rrrr平行于镜面的分平行于镜面的分量方向相同，量方向相同，垂直于镜面的分垂直于镜面的分量方

5、向相反。量方向相反。 平行于镜面的分平行于镜面的分量方向相反，量方向相反，垂直于镜面的分垂直于镜面的分量方向相同。量方向相同。FavML2-1 系统的对称性概述时间反演时间反演 ( (t t -t-t) ) 相当于时间倒流相当于时间倒流 物理上物理上: :运动方向反向运动方向反向即即: : 速度对时间反演变号速度对时间反演变号牛顿第二定律牛顿第二定律对保守系统对保守系统-时间反演不变时间反演不变如如 无阻尼的单摆无阻尼的单摆2-1 系统的对称性概述 武打片武打片 动作的真实性动作的真实性紧身衣紧身衣 大袍大袍非保守系统非保守系统不具有时间不具有时间反演不变性反演不变性不真实不真实真实真实阴阳图

6、阴阳图联合操作联合操作2-2 功、动能和势能一、功和功率一、功和功率功功力的空间积累力的空间积累外力作功是外界对系统过程的一个作用量外力作功是外界对系统过程的一个作用量riFiA AB B dzFdyFxdFrdFWzyBAxBAAB 21rrrdFdWW kFjFiFFzyx kdzjdyidxrd dsFrdFdW cos 微分形式微分形式直角坐标系中直角坐标系中2-2 功、动能和势能对于定轴转动的刚体对于定轴转动的刚体 21MdrdFWBAAB rdFdsFrdFdWll rFMl MddW ZFrPO d力矩的功是力做功的角量表述力矩的功是力做功的角量表述单位：焦耳单位：焦耳 J J

7、； 千瓦时千瓦时 2-2 功、动能和势能例例1 1 作用在质点上的力为作用在质点上的力为)(42Nji yF 在下列情况下求质点从在下列情况下求质点从)(21mx 处运动到处运动到)(32mx 处该力作的功：处该力作的功：1. 1. 质点的运动轨道为抛物线质点的运动轨道为抛物线yx42 2. 2. 质点的运动轨道为直线质点的运动轨道为直线64 xyXYO23125. 2yx42 64 xy2-2 功、动能和势能做做功功与与路路径径有有关关)(42Nji yF dzFdyFxdFrdFWzyBAxBAAB J.dydxxdyydx)dyFdxF(Wyyxxy ,xy ,xyx8104242491

8、322121212211 XYO23125. 2yx42 64 xyJ.dydx)x(dyydx)dyFdxF(Wyyxxy ,xy ,xyx252146214249132221212211 2-2 功、动能和势能例例2 2、一陨石从距地面高为、一陨石从距地面高为h h处由静止开始落向地面，处由静止开始落向地面，忽略空气阻力，求陨石下落过程中，万有引力的功忽略空气阻力，求陨石下落过程中，万有引力的功是多少？是多少？解：取地心为原点，引力与矢径方向相反解：取地心为原点，引力与矢径方向相反a ab bh hR Ro o RhRrdFW)(hRRGMmh 2 RhRdrrMmG hRRGMmrdrG

9、MmRhR11 22-2 功、动能和势能例例3 3、质量为、质量为2kg2kg的质点在力的质点在力i tF12(SI)(SI)的作用下，从静止出发，沿的作用下，从静止出发，沿x x轴正向作直线运动。轴正向作直线运动。求前三秒内该力所作的功。求前三秒内该力所作的功。解：（一维运动可以用标量）解：（一维运动可以用标量） vdttrdFW122000032120tdttdtmFadtvvttt JtdttdtttW7299363124303302 2-2 功、动能和势能一对作用力和反作用力的功一对作用力和反作用力的功or1r2r21 m1m2dr1dr2f2f1m m1 1、m m2 2组成一个封闭

10、系统在组成一个封闭系统在dt dt 时间内时间内2211rdfrdfdW 1111rdfrm 2112rrr )rr(df)rdrd(fdW122122 21ff 212rdfdW 2222rdfrm 2-2 功、动能和势能功率功率 力在单位时间内所作的功力在单位时间内所作的功tWP平均功率：dtdWtWPt0lim瞬时功率：瞬时功率等与力与物体速度的标积瞬时功率等与力与物体速度的标积单位：瓦特单位：瓦特 W WrdFdW vFdtrdFP 2-2 功、动能和势能二、动能 iiiikikvmEE221ni, 2 , 1 质点的质点的动能动能质点系统的质点系统的动能动能定轴转动的刚体定轴转动的刚

11、体22222221212121 JdmrdmrdmvEk221 JEk刚体的刚体的转动动能转动动能221mvEk 2-2 功、动能和势能A AB BD rD ri if fi i 质点的动能定理质点的动能定理 合外力对质点所合外力对质点所做的功做的功等于质点等于质点动能的增量动能的增量。功功是质点是质点动能动能变化的量度变化的量度过程量过程量状态量状态量KAKBvvBAABEEmvmvmvdrdfW 2122221212121)(物体受外力作用物体受外力作用运动状态变化运动状态变化动能变化动能变化末态动能末态动能初态动能初态动能动能是动能是相对量相对量2-2 功、动能和势能三、势能三、势能1

12、1、保守力、保守力某些力对质点做功的大小只某些力对质点做功的大小只与质点的始末位置有关与质点的始末位置有关，而而与路径无关与路径无关。这种力称为保守力。这种力称为保守力。典型的保守力：典型的保守力： 重力、万有引力、弹性力重力、万有引力、弹性力与保守力相对应的是与保守力相对应的是耗散力耗散力典型的耗散力：典型的耗散力： 摩擦力摩擦力0 rdFW2-2 功、动能和势能重力的功重力的功m m在重力作用下由在重力作用下由a a运动到运动到b b，取地面为坐标原点，取地面为坐标原点. . baGrdgmW可见，可见，重力是保守力重力是保守力。XYZOab gmrd bazzmgdz ba)kdzjdy

13、idx(k)mg(bamgzmgz 初态量初态量末态量末态量2-2 功、动能和势能弹力的功弹力的功kxF可见，弹性力是保守力。可见，弹性力是保守力。)2121(22abxxkxkxkxdxWba XOab 弹簧振子弹簧振子222121bakxkx 初态量初态量末态量末态量2-2 功、动能和势能引力的功引力的功 两个质点之间在引力作用下相对运动时两个质点之间在引力作用下相对运动时 ，以，以M M所在处为原点所在处为原点, ,M M指向指向m m的方向为矢径的正方向。的方向为矢径的正方向。m m受的引力方向与矢径方向相反。受的引力方向与矢径方向相反。 barrbarrGMmdrrGMmrdfWba

14、1112可见万有引力是保守力。可见万有引力是保守力。rabrdrFM Mmrdra ab b rdrrdrrdr cos2-2 功、动能和势能2 2、势能、势函数、势能、势函数 在受保守力的作用下，质点在受保守力的作用下，质点从从A-BA-B，所做的功与路径无关，所做的功与路径无关，而只与这两点的位置有关。可引而只与这两点的位置有关。可引入一个入一个只只与位置有关的函数与位置有关的函数，A A点点的函数值减去的函数值减去B B点的函数值，定义点的函数值，定义为从为从A A - -B B保守力所做的功，该保守力所做的功，该函数就是势能函数。函数就是势能函数。A AB B定义了势能差定义了势能差选

15、参考点（势能零点），设选参考点（势能零点），设PBPAABEEW 0 PBEPAABEW 2-2 功、动能和势能)()(00bafrMmGrMmGW 222121baskxkxW baGmgzmgzW pppbaEEErdFWba 保保保守力保守力做正功做正功等于相应势能的等于相应势能的减少减少；保守力保守力做负功做负功等于相应势能的等于相应势能的增加增加。KKAKBEEEmvmvW 21222121外力外力做正功做正功等于相应动能的等于相应动能的增加增加；外力外力做负功做负功等于相应动能的等于相应动能的减少减少。比比较较2-2 功、动能和势能重力势能重力势能（以地面为零势能点）（以地面为零势

16、能点）mgyymgmgdyEyP )0(0引力势能引力势能（以无穷远为零势能点）（以无穷远为零势能点）rGMmdrrMmGErP12弹性势能弹性势能（以弹簧原长为零势能点）（以弹簧原长为零势能点）22021210kxkxdxkxExp )(势势能能只只具具有有相相对对意意义义系统的机械能系统的机械能pkEEE 质点在某一点的质点在某一点的势能大小等于在相应的保守力的作用势能大小等于在相应的保守力的作用下，由所在点移动到零势能点时保守力所做的功下，由所在点移动到零势能点时保守力所做的功。2-2 功、动能和势能势能和保守力的关系：势能和保守力的关系：势能是保守力对路径的线积分势能是保守力对路径的线

17、积分baPldFE dldll lF Fl lF FB BA AdldEFPl保守力沿某一给定的保守力沿某一给定的l l方向的分量等于与此保守方向的分量等于与此保守力相应的势能函数沿力相应的势能函数沿l l方向的空间变化率。方向的空间变化率。dlFdlFldFdElPcos保守力所做元功保守力所做元功2-2 功、动能和势能势能是位置的函数，用势能是位置的函数，用U=U(x,y,z)=EU=U(x,y,z)=EP P ( ( x,y,z)x,y,z)表表示，称为势函数示，称为势函数dldEFPlzUFyUFxUFzyx ,)()()(kzUjyUixUkFjFiFFzyx Ukzjyix)( U

18、 质点所受保守力等于质点质点所受保守力等于质点势能梯度的负值势能梯度的负值那勃勒算符那勃勒算符2-2 功、动能和势能注意：注意：1 1、只要有保守力，就可引入相应的势能。、只要有保守力，就可引入相应的势能。2 2、计算势能必须规定零势能参考点。质点在某一、计算势能必须规定零势能参考点。质点在某一点的势能大小等于在相应的保守力的作用下，由所点的势能大小等于在相应的保守力的作用下，由所在点移动到零势能点时保守力所做的功。在点移动到零势能点时保守力所做的功。3 3、势能仅有相对意义，所以必须指出零势能参考、势能仅有相对意义，所以必须指出零势能参考点。两点间的势能差是绝对的，即势能是质点间相点。两点间

19、的势能差是绝对的，即势能是质点间相对位置的单值函数。对位置的单值函数。4 4、势能是属于具有保守力相互作用的质点系统的。、势能是属于具有保守力相互作用的质点系统的。2-3 哈密顿函数描述系统的状态函数描述系统的状态函数一、动量和角动量一、动量和角动量能量、动量角动量是整个物理学中最重要的物理量能量、动量角动量是整个物理学中最重要的物理量大小大小：mv mv 方向方向：速度的方向：速度的方向1 1、动量、动量 （描述质点运动状态，矢量）（描述质点运动状态，矢量）vmp 系统的动量系统的动量等于各质点动量的矢量和等于各质点动量的矢量和 iiivmpp2-3 哈密顿函数在量子理论中，微观粒子的速度概

20、念失去了意义，在量子理论中，微观粒子的速度概念失去了意义，但粒子的动量概念仍然有效。但粒子的动量概念仍然有效。国际单位制中动量的单位是国际单位制中动量的单位是1 smkg牛顿定律的牛顿定律的另一种形式另一种形式dtpddtvdmamF dtpdF 质点所受的外力等于质点的动量质点所受的外力等于质点的动量对时间的变化率对时间的变化率动量具有相对性动量具有相对性mpEk22 动量和能量的关系动量和能量的关系2-3 哈密顿函数2 2、角动量、角动量m mo o r rP PL L用叉积定义用叉积定义角动量角动量prL 轴矢量轴矢量sinmvrL v vr rm ma a角动量方向角动量方向角动量大小

21、角动量大小系统的总角动量系统的总角动量 )(iiiprLL2-3 哈密顿函数例例 一质量为一质量为m m的质点沿着一条空间曲线运动，该曲的质点沿着一条空间曲线运动，该曲线在直角坐标下的矢径为：线在直角坐标下的矢径为：j tbi tar sincos 其中其中a a、b b、 皆为常数，求该质点对原点的角动量。皆为常数，求该质点对原点的角动量。j tbi tadtrdv cossin vmrL 解：已知解：已知ktmabktmab 22sincos kmab j tbi tar sincos 2-3 哈密顿函数定轴转动的刚体定轴转动的刚体Zivirim 刚体上的一个质元刚体上的一个质元, ,绕固

22、定轴做圆绕固定轴做圆周运动角动量为：周运动角动量为：所以刚体绕此轴的角动量为：所以刚体绕此轴的角动量为： JrmLLiiiii )(2 iiiiiimrvmrL2 刚体绕定轴的角动量等于其对定轴的转动惯刚体绕定轴的角动量等于其对定轴的转动惯量与角速度之积。量与角速度之积。 JL 2-3 哈密顿函数刚体转动定律的另一种形式刚体转动定律的另一种形式dtdJJM dtLddtJdM )( dtLdM 刚体所受的外力矩等于刚体刚体所受的外力矩等于刚体角动量对时间的变化率。角动量对时间的变化率。转动动能与角动量的关系转动动能与角动量的关系JLEk2 2 221 JEkmpEk2 2 221 mvEk 2

23、-3 哈密顿函数二、相空间二、相空间三维欧氏空间三维欧氏空间构形空间构形空间抽象空间抽象空间自由度自由度-确定系统位置所需的最少独立坐标数。确定系统位置所需的最少独立坐标数。三维欧氏空间中三维欧氏空间中一个质点：用一个质点：用x,y,zx,y,z确定质点位置，自由度确定质点位置，自由度s s=3=3两个质点：自由度两个质点：自由度s s=6=6，N N个质点：自由度个质点：自由度s s=3=3N N构形空间内的坐标只能确定质点位置构形空间内的坐标只能确定质点位置2-3 哈密顿函数相空间相空间-表示系统状态的空间表示系统状态的空间对一个对一个自由度数为自由度数为s s的系统，它所对应的的系统，它

24、所对应的相空间维数为相空间维数为2 2s s。若系统作一维运动，则其自由度数为若系统作一维运动，则其自由度数为1 1，相空间，相空间维数为维数为2 2。将一维坐标和一维速度分别作轴构成。将一维坐标和一维速度分别作轴构成直角坐标系。该坐标系平面称为直角坐标系。该坐标系平面称为相平面相平面。相平面上的图像称为相平面上的图像称为相图相图，其中各条曲线称为其中各条曲线称为相轨相轨。用质点的用质点的位置坐标位置坐标和和速度分量速度分量来构造空间来构造空间一个质点：用一个质点：用( (x,y,z)x,y,z)和和(v(vx x,v,vy y,v,vz z) )作为坐标，维数为作为坐标，维数为6 62-3

25、哈密顿函数例例 作出无阻尼弹簧振子运动的相图作出无阻尼弹簧振子运动的相图xvoEkxmv222121振子的自由度数为振子的自由度数为1 1，对应的相空间维数为对应的相空间维数为2 2。由上式可知在相空间中由上式可知在相空间中振子的运动轨迹为一椭圆振子的运动轨迹为一椭圆2-3 哈密顿函数构造系统的相空间时，有四点需引起注意：构造系统的相空间时，有四点需引起注意：1 1、相空间的维数一定等于系统自由度数的、相空间的维数一定等于系统自由度数的2 2倍。即倍。即2s2s。2 2、相空间的坐标中，有、相空间的坐标中，有s s个坐标是取自构型空间中表个坐标是取自构型空间中表示系统的位置坐标，另外示系统的位

26、置坐标，另外s s个是系统运动速度或动量的个是系统运动速度或动量的坐标。坐标。3 3、构型空间中坐标表示系统位置的坐标不必是笛卡尔、构型空间中坐标表示系统位置的坐标不必是笛卡尔坐标。它可以是坐标。它可以是位矢、角度、相对距离位矢、角度、相对距离等，这样的坐等，这样的坐标称为标称为广义坐标广义坐标。2-3 哈密顿函数4 4、若采用广义坐标，也必须采用一组相对应的广义速、若采用广义坐标，也必须采用一组相对应的广义速度或度或广义动量广义动量。二、系统的哈密顿函数二、系统的哈密顿函数在相空间中研究系统运动会带来很多的方便在相空间中研究系统运动会带来很多的方便我们的问题是如何在相空间中找到一个自然我们的

27、问题是如何在相空间中找到一个自然表达系统状态的函数。表达系统状态的函数。系统的动能是广义动量的函数系统的动能是广义动量的函数系统的势能是广义坐标的函数系统的势能是广义坐标的函数mpEk2 2 JLEk2 2 221kxEp mghEp 2-3 哈密顿函数定义新函数定义新函数= =系统的动能系统的动能+ +势能势能是广义动量和广义坐标的函数是广义动量和广义坐标的函数可表示相空间中系统的状态函数可表示相空间中系统的状态函数相空间的广义坐标相空间的广义坐标q q ( ( =1,2,=1,2, ,s ,s) )相空间的广义速度相空间的广义速度 ( ( =1,2,=1,2, ,s ,s) ) q 相空间

28、的广义动量相空间的广义动量p p ( ( =1,2,=1,2, ,s ,s) )系统的总动能系统的总动能T=ET=Ek k (p(p1 1, ,p,ps s ,t,t) )系统的总势能系统的总势能U=EU=Ep p (q(q1 1, ,q,qs s ,t,t) )2-3 哈密顿函数哈密顿函数哈密顿函数 定义为保守系统动能函数与势能函数定义为保守系统动能函数与势能函数之和，之和， 即：即：),(tppqqHUTHss11 作机械运动的系统，哈密顿函数就是系统的机械能。作机械运动的系统，哈密顿函数就是系统的机械能。2-3 哈密顿函数例例 求弹簧振子系统的哈密顿函数求弹簧振子系统的哈密顿函数2221

29、2),(kxmptpxH221kxEUp mpmvETk22122 2-3 哈密顿函数引入哈密顿函数后可以方便地导出系统的引入哈密顿函数后可以方便地导出系统的运动运动微分方程微分方程，即，即哈密顿正则方程哈密顿正则方程。pdtdpdtmvddtdvmkxxH)(xvmppHpHqqHps,2, 122212),(kxmptpxH2-3 哈密顿函数单摆的哈密顿量为单摆的哈密顿量为)cos1(212 mglmlH试写出其正则方程试写出其正则方程解解)cos1(22 mglJLH sinmglHL 2mlL JLLH/ 2mlJ lm2-3 哈密顿函数例例 用哈密顿正则方程，求质点在与距离平方反比用

30、哈密顿正则方程，求质点在与距离平方反比的有心引力作用下的运动微分方程。的有心引力作用下的运动微分方程。解：采用极坐标解：采用极坐标)(21222 rrmTk k为常量，为常量， r r、 为广义坐标为广义坐标, , 对应的广义动量对应的广义动量rkmU edtdredtdrvr rMmGEp rmpr 2mrp)(22221rppmTr rkmrppmHr )(22221 2-3 哈密顿函数0 Hp rmpr rkmrppmHr )(22221 22232rkmmrrkmmrprHpr 常数 2mrpL22rkmmrrm 22rkmrrm )( 运动微分方程运动微分方程 2mrp2-3 哈密顿

31、函数三、诺特尔定理三、诺特尔定理 诺特尔诺特尔（E.Nother)E.Nother)对称性可以分为两类，对称性可以分为两类，一类是系统一类是系统自身的对称性自身的对称性，另一类是另一类是物理规律的对称性物理规律的对称性。19181918年建立的诺特尔定理，年建立的诺特尔定理，讲的是物理规律的对称性。讲的是物理规律的对称性。这个定理指出：这个定理指出：如果系统（的哈密如果系统（的哈密顿函数）存在某个不明显依赖时间顿函数）存在某个不明显依赖时间的对称性，就必然存在一个与之对的对称性，就必然存在一个与之对应的守恒量和相应的守恒定律。应的守恒量和相应的守恒定律。2-4 时间平移对称性与能量守恒一、能量

32、守恒定律一、能量守恒定律时间平移的对称性时间平移的对称性意味着时间的均匀性，意味着时间的均匀性，这将导致这将导致能量守恒能量守恒。 ttptptqtqHtH),(),(),(),()(2121 对于小的时间平移，在对于小的时间平移，在t t 附近作泰勒级数展开附近作泰勒级数展开若时间平移具有对称性若时间平移具有对称性)()!1()()(!)()()(1111ttHdtdmttHdtdkttHttHmmmkkmkk 2-4 时间平移对称性与能量守恒)()()(tHttHttH 011 )(!)(tHdtdktkkmkk 1,.,2, 1 mk恒恒量量 )()()(tUtTtH 0 tHdtdkk

33、 0 tHdtd即即011 )(!)(tHdtdktkkmkk 2-4 时间平移对称性与能量守恒 如果系统对于时间平移是对称的，那么系统如果系统对于时间平移是对称的，那么系统的能量一定守恒。的能量一定守恒。能量守恒定律能量守恒定律例例 一个质量为一个质量为m m的物体，从离地面距离为的物体，从离地面距离为h h的地方的地方A A竖直落下，讨论以下两种情况下系统的能量与时间竖直落下，讨论以下两种情况下系统的能量与时间对称性的关系：对称性的关系：1 1）自由落体运动；）自由落体运动；2 2）存在于运动）存在于运动速度成正比的空气阻力作用。速度成正比的空气阻力作用。2-4 时间平移对称性与能量守恒1

34、 1）自由落体运动）自由落体运动gx gttx )(221)(gthtx mghgthmgtmgtmgxtxmtH )21(21)()(21)(2222 AOX2 2）存在空气阻力）存在空气阻力mgxmkxm )1(ktekgx 2-4 时间平移对称性与能量守恒tkgekghxkt )1(20)1()1()(222222222 ktktktktekmgkmgekmgeekmgdttdHmghtkmgekmgekmgtkgekghmgekmgtHktktktkt 22222222222)1()1(21)1()1(21)(2-4 时间平移对称性与能量守恒系统的能量不再守恒，表现在两个方面：系统的能

35、量不再守恒，表现在两个方面：1)1) 存在耗散力的作用存在耗散力的作用 2)2)存在外力作用存在外力作用对于机械系统，表现为：对于机械系统，表现为：系统内部存在非保守力，系统内部存在非保守力，外部有不为零的合外力对系统作功外部有不为零的合外力对系统作功00 非非保保内内外外如如果果WW恒恒量量则则 2211pkpkEEEE机械能守恒定律机械能守恒定律2-4 时间平移对称性与能量守恒二、功能原理二、功能原理对于机械系统，当外力、非保守内力做功不为零时对于机械系统，当外力、非保守内力做功不为零时12EEWW 非非保保内内外外外力对系统和系统非保守内力做功之和等于外力对系统和系统非保守内力做功之和等

36、于系统机械能的增量。系统机械能的增量。2-4 时间平移对称性与能量守恒例例 一个质量为一个质量为、半径为、半径为的定滑的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为一质量为的物体而下垂。忽略轴处的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体摩擦，求物体由静止下落高度由静止下落高度时时的速度和此时滑轮的角速度。的速度和此时滑轮的角速度。解：据机械能守恒定律：解：据机械能守恒定律：MmmghvRv 24可解出 222121mvJmgh 取滑轮、物体、地球为系统取滑轮、物体、地球为系统2-5 势能曲线几种典型的势能曲

37、线几种典型的势能曲线x xE Ep pO O2p21)(kxxE r rE Ep pO OrmMGrE )(pr r0 0E Ep pOr r原子相互作用原子相互作用势能曲线势能曲线势能曲线势能曲线: :势能随位置变化的曲线。势能随位置变化的曲线。2-5 势能曲线1 1、 平衡位置平衡位置00 fdxdU势能曲线有极值，质点处于平衡位置。势能曲线有极值，质点处于平衡位置。 2002000)(21)()(21)()()(xxUxUxxUxxUxUxU 200)(21)()(xxUxUxUX)(xUabc ABCdxdUf 2-5 势能曲线xxUxUf )()(0 xxUxUf )()(0势能曲线

38、取极小值的平衡点势能曲线取极小值的平衡点0)(0 xU0000 fxxfxx力总是指向平衡位置力总是指向平衡位置稳定平衡稳定平衡ca,X)(xUabc ABC2-5 势能曲线势能曲线取极大值的平衡点势能曲线取极大值的平衡点0)(0 xU0000 fxxfxx力总是背离平衡位置力总是背离平衡位置不稳定平衡不稳定平衡bX)(xUabc ABC2-5 势能曲线X)(xUabc ABC图中势能曲线可分成图中势能曲线可分成势阱势阱A A、势阱、势阱C C和势垒和势垒B B三个区间。三个区间。设系统机械能守恒，由此设系统机械能守恒，由此势能曲线可分析系统状态势能曲线可分析系统状态的变化。的变化。1E2E3

39、EE=EE=E1 1 系统被限制在势阱系统被限制在势阱A A中运动中运动E=EE=E2 2 系统在势阱系统在势阱A A或或C C中运动，且二者只居其一。中运动，且二者只居其一。E=EE=E3 3 系统可在系统可在x xx xd d的区域自由运动。的区域自由运动。d 2-5 势能曲线例例 一个质量为一个质量为m m的小球，的小球，由一根长为由一根长为 的细杆连接的细杆连接成摆。可在竖直平面内绕成摆。可在竖直平面内绕O O点自由摆动或转动。点自由摆动或转动。细杆质量忽略不计。细杆质量忽略不计。l lO mg给定机械能给定机械能E E的摆的运动的摆的运动1 1、作、作 pE曲线曲线2 2、对、对5

40、. 3 , 0 . 2 , 0 . 1 , 1 . 0 mglE分别作分别作 曲线曲线对给定的对给定的E E，讨论系统的运动，讨论系统的运动2-5 势能曲线解解：1、摆的重力势能为摆的重力势能为)cos1 ( mglEp2、摆的机械能用摆的机械能用 表示为表示为恒量)cos1 (2122mglmlEEEPK代入代入mglE )cos1(2 lg0cos1 1cos lO mg给定机械能给定机械能E E的摆的运动的摆的运动2-5 势能曲线 0 . 20 . 11 . 0 2 005 . 3 PE)cos1( mglEp)cos1(2 lg 1cos2-6 空间平移对称性与动量守恒一、动量守恒定律

41、一、动量守恒定律 空间平移对称空间平移对称性性意味着空间的均匀性，意味着空间的均匀性，这将导致这将导致动量守恒动量守恒。),(2121ppxxHUTH ),(),(),(212121xxHxxxxHxxxxH 021 xHxH021 pppHqqHp恒量 21pp恒量 21pp2-6 空间平移对称性与动量守恒 如果系统对于空间如果系统对于空间某一方向平移是对称的某一方向平移是对称的，那么系统那么系统在这个方向上的动量守恒在这个方向上的动量守恒。推广推广： 如果系统对于空间任意方向平移是对称的，如果系统对于空间任意方向平移是对称的，那么系统动量守恒。那么系统动量守恒。0iF恒矢量 niiivmp

42、dtpdF 所有速度是对同一个坐标系而言的。所有速度是对同一个坐标系而言的。由力和动量的关系由力和动量的关系2-6 空间平移对称性与动量守恒例例 用空间平移对称性证明牛顿第三定律用空间平移对称性证明牛顿第三定律 设质点由两个质点设质点由两个质点A A、B B组成，在没有外力作用组成，在没有外力作用的条件下，它们的相互作用势能用的条件下，它们的相互作用势能用U U表示。表示。ABA r ABB r rfUBA )(rfUAB UU ABBAff 2-6 空间平移对称性与动量守恒xvo l0vumM如图，车在光滑水平面上运动。已知如图，车在光滑水平面上运动。已知m m、M M、l0v人逆车运动方向

43、从车头经人逆车运动方向从车头经t t 到达车尾。到达车尾。求求：1 1、若人匀速运动，他到达车尾时车的速度；、若人匀速运动，他到达车尾时车的速度； 2 2、车的运动路程；、车的运动路程； 3 3、若人以变速率运动，、若人以变速率运动， 上述结论如何？上述结论如何？ 解解：以人和车为研究：以人和车为研究系统，取地面为参照系统，取地面为参照系。水平方向系统动系。水平方向系统动量守恒。量守恒。)()(0vumvMvmM )()(0vumMvvmM 2-6 空间平移对称性与动量守恒tlmMmvumMmvv 001 1、2 2、lmMmtvttlmMmvvts 00)(3 3、umMmvv 0lmMmt

44、vdtmMmuvvdtstt 0000)(xvo l0vumM2-6 空间平移对称性与动量守恒二、冲量、动量定理二、冲量、动量定理 当系统受到外界作用时，其空间平移对称性被当系统受到外界作用时，其空间平移对称性被破坏，即外界作用导致系统对称破缺，这必然导致破坏，即外界作用导致系统对称破缺，这必然导致动量不守恒，系统与外界将发生动量转移。动量不守恒，系统与外界将发生动量转移。1、冲量冲量 21ttdtFI力的元冲量力的元冲量dtFId 212121ttzzttyyttxxdtFIdtFIdtFIF0tt12tx+tFI 单位：牛顿秒单位：牛顿秒2-6 空间平移对称性与动量守恒2 2、动量定理、动

45、量定理 在一段时间内系统总动量的增量等于这段时间内在一段时间内系统总动量的增量等于这段时间内系统受到外力的冲量。系统受到外力的冲量。12122121vmvmpppddtFIpptt pppI 12ifififnjjjttppttttFF1)(平均冲力平均冲力2-6 空间平移对称性与动量守恒例例 质量为质量为2.5g2.5g的乒乓球以的乒乓球以10m/s10m/s的的速率飞来，被板推挡后，又以速率飞来，被板推挡后，又以20m/s20m/s的速率飞出。设两速度在垂直于板的速率飞出。设两速度在垂直于板面的同一平面内，且它们与板面法面的同一平面内，且它们与板面法线的夹角分别为线的夹角分别为4545o

46、o和和3030o o，求：（，求：（1 1）乒乓球得到的冲量；（乒乓球得到的冲量；（2 2）若撞击时）若撞击时间为间为0.01s0.01s，求板施于球的平均冲力，求板施于球的平均冲力的大小和方向。的大小和方向。4545o o 30 30o o n nv v2 2v v1 12-6 空间平移对称性与动量守恒解：取挡板和球为研究对象，由于作用时间很短，忽略解：取挡板和球为研究对象，由于作用时间很短，忽略重力影响。设挡板对球的冲力为重力影响。设挡板对球的冲力为 则有：则有：F12vmvmdtFI 45o 30o nv2v1Oxy取坐标系，将上式投影，有：取坐标系，将上式投影，有：tFmvmvdtFI

47、xxx )45cos(30cos12tFmvmvdtFIyyy 45sin30sin122-6 空间平移对称性与动量守恒2.5g m/s20 m/s10 0.01s21 m vvt N14.6 N7 .0 N1 .622 yxyxFFFFFsNjijIiIIyx 007. 0061. 0 为平均冲力与为平均冲力与x方向的夹角方向的夹角。6.54 tan 1148.0 xyFF此题也可用此题也可用矢量法解矢量法解 Ns1014. 62 105cos2212222212vvmvmvmtFI 2-6 空间平移对称性与动量守恒 N14. 6 tIF 105sinsin2tFmv 51.86 0.786

48、6sin 86.64551.86 v2v1v1tFx 45o 30o nv2v1Oxy2-6 空间平移对称性与动量守恒例例 一质量均匀分布的柔软细绳铅一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上，如果把绳的上端放开，绳将落在面上，如果把绳的上端放开，绳将落在桌面上。桌面上。试证明试证明：在绳下落的过程中，：在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力，等于已落任意时刻作用于桌面的压力，等于已落到桌面上的绳重量的三倍。到桌面上的绳重量的三倍。o ox x证明：证明： 取如图坐标，设取如图坐标，设t t时刻已有时刻已有x x长的柔绳落至桌面，长的

49、柔绳落至桌面，随后的随后的dtdt时间内将有质量为时间内将有质量为 dxdx（Mdx/L)Mdx/L)的柔绳以的柔绳以dx/dtdx/dt的速率碰到桌面而停止，它的动量变化率为：的速率碰到桌面而停止，它的动量变化率为：2-6 空间平移对称性与动量守恒dtdtdxdxdtdp 根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：2vdtdtdxdxdtdpF 柔绳对桌面的冲力柔绳对桌面的冲力F FF F 即：即：LMgxFgxvvLMvF/2 2 222而2-6 空间平移对称性与动量守恒而已落到桌面上的柔绳的重量为而已落到桌面上的柔绳的重量为mg=Mgx/Lmg=Mgx/L所以所

50、以F F总总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg2-7 空间旋转对称性与角动量守恒 旋转对称性旋转对称性意味着空间的各向同性，这将导致意味着空间的各向同性，这将导致角动量守恒角动量守恒。2 , 1),( rpprHUTH),(),(),(212121 HHH 021 HH021 pppHqqHp恒量 21LLdtLdM 1221LLdtMtt 2-7 空间旋转对称性与角动量守恒外力矩对系统的角冲量（冲量矩）等于角动量的增量。外力矩对系统的角冲量（冲量矩）等于角动量的增量。0 M 12LL 常矢量 J 角动量守恒定律的两种情况：角动量守恒定律的

51、两种情况：1 1、转动惯量保持不变的单个刚体。、转动惯量保持不变的单个刚体。2 2、转动惯量可变的物体。、转动惯量可变的物体。保持不变就增大，从而减小时，当就减小；增大时，当 JJJ000 则时，当,JJM2-7 空间旋转对称性与角动量守恒涡旋星系涡旋星系2-7 空间旋转对称性与角动量守恒例例：证明关：证明关于行星运动于行星运动的开普勒第的开普勒第二定律：行二定律：行星对太阳的星对太阳的矢径在相等矢径在相等的时间内扫的时间内扫过相等的面过相等的面积。这个结积。这个结论也叫论也叫等面等面积原理积原理。2-7 空间旋转对称性与角动量守恒M 0-L 常矢量Lmvrmrtrmr rtmStsinsin

52、sin2122m Lvrr开普勒第二定律开普勒第二定律行星受力方向与矢径在一条行星受力方向与矢径在一条直线（中心力），故角动量守恒。直线（中心力），故角动量守恒。2-8 碰撞物体在短时间内发生相互作用的过程。物体在短时间内发生相互作用的过程。碰撞过程的特点碰撞过程的特点：1 1、各个物体的动量明显改变。、各个物体的动量明显改变。 2 2、系统的总动量、系统的总动量( (总角动量总角动量) )守恒。守恒。弹性碰撞弹性碰撞： E Ek k=0=0碰撞过程中两球的机械能（动能）完全没有损失。碰撞过程中两球的机械能（动能）完全没有损失。非弹性碰撞非弹性碰撞： E Ek k00碰撞过程中两球的机械能（动能）要损失一部分。碰撞过程中两球的机械