方程的根与函数的零点

1、3.1 3.1 函数与方程函数与方程3.1.1 3.1.1 方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点问题一：问题一： 1.1.对于数学关系式：对于数学关系式：2x-1=02x-1=0与与y=2x-1y=2x-1它们的含它们的含义分别如何？义分别如何？ 2. 2.方程方程 2x-1=02x-1=0的根，函数的根，函数y=2x-1y=2x-1的图象与的图象与x x轴的轴的交点分别是什么？交点分别是什么？思考：思考：方程方程2x-1=02x-1=0的实根与对应的一次函数的实根与对应的一次函数y=2x-1y=2x-1的图象与的图象与x x轴的交点有什么关系？轴的交点有什么关系？ 方程的根等于对应函数的

2、图象与方程的根等于对应函数的图象与x x轴的轴的交点的横坐标交点的横坐标 问题1填表：(1,0)，(3,0)(1,0)无交点无交点思考思考1 1：方程的根与对应函数的图方程的根与对应函数的图象与象与x轴的交点有什么关系轴的交点有什么关系?方程的根等于对应函数的图方程的根等于对应函数的图象与象与x x轴的交点的横坐标轴的交点的横坐标. .思考思考2 2：二次函数二次函数yax2bxc(a0)的图象与的图象与x轴的交点和相应的一元二次方轴的交点和相应的一元二次方程程ax2bxc0(a0)的根有什么关系？的根有什么关系？210210讲讲 授授 新新 课课 对于函数对于函数yf(x)，我们把，我们把使

3、使f(x)0的实数的实数x叫做叫做函数函数yf(x)的的零点零点.1.函数零点的概念：函数零点的概念：函数零点概念的理解函数零点概念的理解: :(1)(1)函数函数y yf(x)f(x)有零有零点，则零点一定在其定义域内点，则零点一定在其定义域内(2)(2)若若c c是函数是函数y yf(x)f(x)的零点，则有的零点，则有f(c)f(c)0.0.(3)(3)函数的零点函数的零点不是点，是不是点，是y yf(x)f(x)与与x x轴交轴交点的横坐标点的横坐标，即，即零点是个实数零点是个实数2 2方程的根与函数的零点的关系方程的根与函数的零点的关系交点的横坐标零点例例1 1：求下列函数的零点：求

4、下列函数的零点函数零点的求法函数零点的求法(1)(1)代数法：代数法：求方程f(x)0的实数根；(2)(2)几何法：几何法：对于不能求出方程f(x)0的根，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点A AD D3.1 3.1 函数与方程函数与方程3.1.1 3.1.1 方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点1.函数的零点(1)定义：对于函数yf(x)，我们把使_ 成立的实数x叫做函数yf(x)的零点(2)几何意义：函数yf(x)的图象与_的交点的_就是函数yf(x)的零点(3)结论：方程f(x)0有_函数yf(x)的图象与x轴有_函数yf(x)有_f(x)

5、f(x)0 0 x x轴轴横坐标横坐标实数根实数根交点交点零点零点2.2.函数零点的求法函数零点的求法(1)(1)代数法代数法 (2)(2)几何法几何法1 1：作出函数：作出函数f(x)=2x-1f(x)=2x-1的图像，思考函的图像，思考函数数f(x)=2x-1f(x)=2x-1的图象在零点两侧如何分布？的图象在零点两侧如何分布？ 2 2：作出二次函数：作出二次函数f(x)=xf(x)=x2 2-2x-3-2x-3的图像，的图像，思考函数思考函数f(x)=xf(x)=x2 2-2x-3-2x-3的图象在零点附的图象在零点附近如何分布？近如何分布？ 思考思考: :(1)(1)如果函数如果函数y

6、=f(x)y=f(x)在区间在区间1,21,2上的图象上的图象是连续不断的一条曲线，那么在下列那种情况下，是连续不断的一条曲线，那么在下列那种情况下，函数函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(1,2)(1,2)内一定有零点？内一定有零点？(1)f(1)(1)f(1)0,f(2)0,f(2)0;0;(2)f(1)(2)f(1)0,f(2)0,f(2)0;0;(3)f(1)(3)f(1)0,f(2)0,f(2)0;0;(4)f(1)(4)f(1) 0,f(2)0,f(2)0.0.(2)(2)一般地，如果函数一般地，如果函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间aa，bb上的上的图象是连续不断的一

7、条曲线，那么在什么条件图象是连续不断的一条曲线，那么在什么条件下，函数下，函数y=f(x)y=f(x)在区间（在区间（a,ba,b）内一定有零点？）内一定有零点？ 如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间aa，bb上的图象是上的图象是连续不断连续不断的一条曲线，并且有的一条曲线，并且有 f(a)f(b)0f(a)f(b)0f(a)f(b)0时，函数时，函数y=f(x)y=f(x)在区间（在区间（a a，b b）内一定没有零点吗？）内一定没有零点吗？ 判断函数零点所在区间的三个步骤判断函数零点所在区间的三个步骤(3)(3)结：结：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，若符号为正且函数

8、在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点则在该区间内无零点; ;若符号为负且函数连续，则在该区间内至若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点少有一个零点; ;若符号为负且函数在该区间内是单调函数，若符号为负且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内有且只有一个零点。则在该区间内有且只有一个零点。(1)(1)代：代：将区间端点代入函数求出函数的值将区间端点代入函数求出函数的值(2)(2)判：判：把所得函数值相乘，并进行符号判断把所得函数值相乘，并进行符号判断 思路探究 1函数零点存在性定理的两个必备条件是什么？常采用怎样的策略来解决函数零点所在区间问题？ 2函数在区间(a，b)上存在唯一零

9、点应具备什么条件？例3：求下列函数的零点个数（3）f(x)2xlg(x1)20,ln20, 32)() 1 (2xxxxxxfxxxf1)()2(确定函数零点个数的方法：确定函数零点个数的方法：(1)解方程法：解方程法：可转化为方程可转化为方程f(x)=0的根的个数问的根的个数问题，方程有几个根，则函数有几个零点；题，方程有几个根，则函数有几个零点；(2)图象法：图象法：一个函数图像：作出一个函数图像：作出y=f(x)的图像，图像与的图像，图像与x轴轴有几个交点，函数就有几个零点；有几个交点，函数就有几个零点；两个函数图像：将两个函数图像：将y=f(x)转化为两个函数转化为两个函数y=g(x)和和y=h(x),作出作出y=g(x)和和y=h(x)的图像，两函数图像的图像，两函数图像有几个交点，则有几个交点，则y=f(x)有几个零点。有几个零点。1函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为()A1 B2C3 D41.1.求下列函数的零点：求下列