等差数列（第1课时）

1、2.22.2等差数列等差数列第1课时复习回顾复习回顾 1.1.数列的概念数列的概念2.2.数列的通项公式数列的通项公式3.3.数列的递推公式数列的递推公式 我们经常这样数数，从我们经常这样数数，从0 0开始，每隔开始，每隔5 5数一次，可以得到数列：数一次，可以得到数列：0 0，5 5，_，_,._,. 水库的管理人员为了保证优质鱼类有良水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清库的办法清理好的生活环境，用定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼水库中的杂鱼. .如果一个水库的水位为如果一个水库的水位为18m18m，自然放水每天水位降低自然放水每天水位降低2.5m2.5m，最低降至

2、，最低降至5m5m，那么从开始放水算起，到可以进行清理工作那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位而组成数列的那天，水库每天的水位而组成数列( (单位：单位：m):18m):18，15.515.5，1313，10.510.5，8 8，5.5.5.5. 这些数列有一个共同特点：从第二这些数列有一个共同特点：从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一项起，每一项与前一项的差都等于同一常数常数.定义中的光键词是什么定义中的光键词是什么? ? 一般的一般的, ,如果一个数列从第如果一个数列从第2 2项起项起, ,每一项每一项与前一项的差等于同一常数与前一项的差等于同一常数, ,那么这

3、个数列就那么这个数列就叫等差数列叫等差数列, ,这个常数叫做等差数列的公差这个常数叫做等差数列的公差. . 等差数列定义等差数列定义判定题：下列数列是否是等差数列？. 9, 7, 5, 3, , -2n+11, ;. -1, 11, 23, 35, , 12n-13, ;. 1, 2, 1, 2, ;. 1, 2, 4, 6, 8, 10, ;. a, a, a, a, , a, ;课堂练习：课堂练习：由等差数列的定义知由等差数列的定义知a an n- -a an n-1-1= =d d，当当d d00时时, ,a an n a an n-1-1，则为递增数列；，则为递增数列； 当当d d=0

4、=0时时, ,a an n= =a an n-1-1，则为常数列；，则为常数列；当当d d00时时, ,a an n a an n-1-1，则为递减数列，则为递减数列. .注意公差注意公差d d：一定是由后项减前项所得：一定是由后项减前项所得. .等差中项 观察如下的两个数之间，插入一个什么数后三个数就观察如下的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：会成为一个等差数列：（1）2 , , 4 （2）-1, , 5（3）-12, , 0 （4）0, , 032-60 如果在如果在a与与b中间插入一个数中间插入一个数A，使，使a，A，b成等差数列，成等差数列，那么那么A叫做叫做a与

5、与b的等差中项的等差中项.2abA其中 一般地，如果等差数列一般地，如果等差数列 的首项是的首项是 公差公差是是 ，我们根据等差数列的定义，可以得到，我们根据等差数列的定义，可以得到na1ad213243.aadaadaad，所以所以21aad ，32112aadaddad，431123aadaddad，因此，因此，1()naad1n 等差数列通项公式等差数列通项公式还可以用累加法得到等差数列通项公式：还可以用累加法得到等差数列通项公式： 一般地，如果等差数列一般地，如果等差数列 的首项是的首项是 公差公差是是 ，我们根据等差数列的定义，可以得到，我们根据等差数列的定义，可以得到na1ad21

6、321.nnaadaadaad，累加得：累加得：1(1) .naand1(1) .naand 例例1 1 （1 1）求等差数列）求等差数列8 8，5 5，2 2，的第的第2020项项. . （2 2）-401-401是不是等差数列是不是等差数列-5-5，-9-9，-13-13，的项？的项？ 如果是，是第几项？如果是，是第几项？运用通项公式解题运用通项公式解题1、求某一项或项数、求某一项或项数18,583,20,adn 解：（1）由得208(20 1) ( 3)49.a 1(2)5,9( 5)454(1)41.1100401100nadannnnnn 由，得这个数列的通项公式为由题意知，本题是要

7、回答是否存在正整数 ，使得-401=-4成立.解这个关于 的方程，得，即是这个数列的第项. 例例2 2 某市出租车的计价标准为某市出租车的计价标准为1.21.2元元/km/km，起步价为起步价为1010元，元，即最初的即最初的4km4km（不含（不含4 4千米）计费千米）计费1010元元. .如果某人乘坐该市的出如果某人乘坐该市的出租车去往租车去往1414kmkm处的目的地，且一路畅通，等候时间为处的目的地，且一路畅通，等候时间为0 0，需要，需要支付多少车费？支付多少车费？ 解：根据题意，该市出租车的行程大于或等于解：根据题意，该市出租车的行程大于或等于4km时，时，每增加每增加1km，乘客

8、需要支付，乘客需要支付1.2元元.所以，我们可以建立所以，我们可以建立一个等差数列一个等差数列 来计算车费来计算车费.na令令 ，表示，表示4km处的车费，公差处的车费，公差 .那么，那么，当出租车行至当出租车行至14km时，时， _，n 111.2a 1.2d 11此时需要支付车费此时需要支付车费 (元元).1111.2(11 1) 1.223.2a答：需要支付车费答：需要支付车费23.2元元.实际应用举例实际应用举例 例例3 已知数列已知数列 的通项公式为的通项公式为 其中其中为常数，那么这个数列是等差数列吗？为常数，那么这个数列是等差数列吗？ na,napnq, p q 分析：判定分析：

9、判定 是否为等差数列，可以利用等差数列是否为等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是说的定义，也就是说 是不是一个与是不是一个与 无关的常无关的常数数.na1(1)nnaann 解：取数列解：取数列 中的任意相邻两项中的任意相邻两项 与与 ，求差得求差得nana1(1)nan1() (1)nnaapnqp nq()pnqpnpqp它是个与它是个与 无关的常数，所以无关的常数，所以 是等差数列是等差数列.nna等差数列的证明等差数列的证明（1）求等差数列 3 ，7 ， 11 ，的第4项和第10项.（2）100是不是等差数列 2 ，9 ，16 ，的项？ 如果是，是第几项？如果不是，说明理由.（3）

10、 -20是不是等差数列 0 ，-3.5 ，-7 ，的项？如果是， 是第几项？如果不是，说明理由.课堂练习一：解： （1） a1=3 ， d=7-3= 4 an=3+4（n-1） = 4n-1 a4=44-1=15 ， a10=410 1=39 （2） a1=2 ， d=9-2=7 an=2+7（n-1) = 7n-5 100=7n-5 n =15 100是该数列的第15项. （3） a1=0 ， d= -3.5 -0 = -3.5 an=0-3.5（n-1） = -3.5n+3.5 -20= -3.5n+3.5无正整数解， -20不是该数列的项.在等差数列an中， （1）已知 a4=10 , a7=19 ，求 a1与 d . （2）已知 a3=9 , a9=3 ，求 a12 .课堂练习二：解： （1）由题意得 a1+3d= 10 a1+6d=19 解得： d=3 , a1=1 . （2）由题意得 a1+2d= 9 a1+8d=3 解得： d= -1 , a1=11 . an=11-1（n-1）=12-n. a12= 12-12 =0.小结小结1、掌握等差数列、等差数列的公差、等差中项等概念、掌握等差数列、等差数列的公差、等差中项等概念.2、掌握等差数列通项公式的一般形式：、掌握等差数列通项