数学建模统计预测方法及预测模型

1、会计学1数学建模统计预测方法及预测模型数学建模统计预测方法及预测模型 统计预测的基本问题统计预测的基本问题1趋势外推预测趋势外推预测2 时间序列的确定性因素分析时间序列的确定性因素分析3回归预测法回归预测法41多元线性回归模型及其假定条件多元线性回归模型及其假定条件510.1.2 10.1.2 统计预测方法的分类及其选择统计预测方法的分类及其选择 10.1.3 10.1.3 统计预测的原则和步骤统计预测的原则和步骤 10.1.1 10.1.1 统计预测的概念和作用统计预测的概念和作用 1106.7221973604.01119622849.43219831023.3211972607.7101

2、9612570.0311982929.2201971696.9919602350.0301981858.0191970638.0819592140.0291980801.5181969548.0719581800.0281979737.3171968474.2619571558.6271978770.5161967461.0519561432.8261977732.8151966392.2419551339.4251976670.3141965381.1319541271.1241975638.2131964348.0219531163.6231974604.5121963276.811952

3、总额总额（ yt ）时序时序（t）年份年份总额总额 （ yt ）时序时序（t）年份年份总额总额 （ yt ）时序时序（t）年份年份v 实际资料是预测的依据；实际资料是预测的依据；v 理论是预测的基础；理论是预测的基础；v 数学模型是预测的手段。数学模型是预测的手段。统计预测的三个要素：统计预测的三个要素：统计预测方法是一种具有通用性的方法。统计预测方法是一种具有通用性的方法。 在市场经济条件下，预测的作用是通过各个企业或在市场经济条件下，预测的作用是通过各个企业或行业内部的行动计划和决策来实现的行业内部的行动计划和决策来实现的; ; 统计预测作用的大小取决于预测结果所产生的效益的统计预测作用的

4、大小取决于预测结果所产生的效益的多少。多少。 影响预测作用大小的因素主要有：影响预测作用大小的因素主要有：预测费用的高低；预测费用的高低；预测方法的难易程度；预测方法的难易程度；预测结果的精确程度。预测结果的精确程度。 ( (一一) )统计预测方法的分类统计预测方法的分类( (二二) )统计预测方法的选择统计预测方法的选择 统计预测方法时，主要考虑下列三个问题：统计预测方法时，主要考虑下列三个问题：v 合适性合适性v 费用费用v 精确性精确性只需要因变量的历只需要因变量的历史资料，但用趋势史资料，但用趋势图做试探时很费时图做试探时很费时必须收集历史数据必须收集历史数据，并用几个非线性，并用几个

5、非线性模型试验模型试验为所有变量收集历为所有变量收集历史数据是此预测中史数据是此预测中最费时的最费时的为两个变量收集历史为两个变量收集历史数据，此项工作是此数据，此项工作是此预测中最费时的预测中最费时的需做大量的调查研需做大量的调查研究工作究工作应做工作应做工作与非线性回归与非线性回归预测法相同预测法相同在两个变量情况在两个变量情况下可用计算器，下可用计算器，多于两个变量的多于两个变量的情况下用计算机情况下用计算机在两个自变量情况在两个自变量情况下可用计算器，多下可用计算器，多于两个自变量的情于两个自变量的情况下用计算机况下用计算机计算器计算器计算器计算器计算机硬件计算机硬件最低要求最低要求当

6、被预测项目的有当被预测项目的有关变量用时间表示关变量用时间表示时，用非线性回归时，用非线性回归因变量与一个自变因变量与一个自变量或多个其它自变量或多个其它自变量之间存在某种非量之间存在某种非线性关系线性关系因变量与两个或两因变量与两个或两个以上自变量之间个以上自变量之间存在线性关系存在线性关系自变量与因变量之自变量与因变量之间存在线性关系间存在线性关系对缺乏历史统计资料对缺乏历史统计资料或趋势面临转折的事或趋势面临转折的事件进行预测件进行预测 适用情况适用情况中期到长中期到长期期短、中期短、中期短、中期短、中期短、中期短、中期短、中、短、中、长期长期时间范围时间范围趋势外推法趋势外推法非线性回

7、非线性回归预测法归预测法多元线性回多元线性回归预测法归预测法一元线性回一元线性回归预测法归预测法定性预测法定性预测法方法方法 只需要序列的历史只需要序列的历史资料资料计算器计算器适用于一次性的短适用于一次性的短期预测或在使用其期预测或在使用其他预测方法前消除他预测方法前消除季节变动的因素季节变动的因素短期短期分解分析法分解分析法计算过程复杂、繁琐计算过程复杂、繁琐只需要因变量的历史只需要因变量的历史资料，但制定并检查资料，但制定并检查模型规格很费时间模型规格很费时间只需要因变量的历史资只需要因变量的历史资料，是一切反复预测中料，是一切反复预测中最简易的方法，但建立最简易的方法，但建立模型所费的

8、时间与自适模型所费的时间与自适应过滤法不相上下应过滤法不相上下只需要因变量的历史资只需要因变量的历史资料，但初次选择权数时料，但初次选择权数时很费时间很费时间应做工作应做工作计算机计算机计算机计算机在用计算机在用计算机建立模型后建立模型后进行预测时进行预测时，只需计算，只需计算器就行了器就行了计算器计算器计算机硬件计算机硬件最低要求最低要求适用于任何序列的适用于任何序列的发展型态的一种高发展型态的一种高级预测方法级预测方法适用于趋势型态的适用于趋势型态的性质随时间而变化性质随时间而变化，而且没有季节变，而且没有季节变动的反复预测动的反复预测具有或不具有季具有或不具有季节变动的反复预节变动的反复

9、预测测不带季节变动的不带季节变动的反复预测反复预测 适用情况适用情况短期短期短期短期短期短期短期短期时间范围时间范围平稳时间序列平稳时间序列预测法预测法自适应过滤法自适应过滤法指数平滑法指数平滑法移动平均法移动平均法方法方法方法方法时间范围时间范围 适用情况适用情况计算机硬件最计算机硬件最低要求低要求应做工作应做工作干预分析模干预分析模型预测法型预测法短期短期适用于当时间序列适用于当时间序列受到政策干预或突受到政策干预或突发事件影响的预测发事件影响的预测计算机计算机 收集历史收集历史数据及影响数据及影响时间时间景气预测法景气预测法短、中期短、中期适用于时间趋势延适用于时间趋势延续及转折预测续及

10、转折预测计算机计算机收集大量历收集大量历史资料和数史资料和数据并需大量据并需大量计算计算灰色预测法灰色预测法短、中期短、中期适用于时间序列的适用于时间序列的发展呈指数型趋势发展呈指数型趋势计算机计算机收集对象的收集对象的历史数据历史数据状态空间模状态空间模型和卡尔曼型和卡尔曼滤波滤波短、中期短、中期适用于各类时间序适用于各类时间序列的预测列的预测计算机计算机收集对象的收集对象的历史数据并历史数据并建立状态空建立状态空间模型间模型10.1.3 10.1.3 统计预测的原则和步骤统计预测的原则和步骤 ( (一一) )统计预测的原则统计预测的原则( (二二) )统计预测的步骤统计预测的步骤确定预测目

11、的确定预测目的搜索和审核资料搜索和审核资料分析预测误差，改进预测模型分析预测误差，改进预测模型选择预测模型和方法选择预测模型和方法提出预测报告提出预测报告( )yf t某家用电器厂某家用电器厂1998199820082008年利润额数据年利润额数据年份19931994199519961997199819992000200120022003利润额yt2003003504005006307007508509501020yabx某商场某种商品过去9个月的销量数据某商场过去9年市场需求量统计数据051015202530354045012345678910销售量（万件）05101520253035404

12、5012345678910销售量（万件）010002000300040005000600070008000900010000012345678910总需求量（件）2yabxcxbtyae01tybb t2012ktkybb tb tb t 例例3.13.1 某家用电器厂某家用电器厂1993199320032003年利润额数据资料如表年利润额数据资料如表3.13.1所示。试预测所示。试预测20042004、20052005年该企业的利润。年该企业的利润。年份年份19931993199419941995199519961996199719971998199819991999200020002001

13、20012002200220032003利润额利润额y yt t20020030030035035040040050050063063070070075075085085095095010201020 ？ ？02004006008001000120019921993 19941995 19961997 19981999 20002001 20022003 20042005利润额yt系列2线性(利润额yt)?A 拟合直线方程法拟合直线方程法22yab x 11yab x 33yab x 11y a bx 使用最小二乘法拟合直线eettteyy离差：11()nnttttteyy离差和：2211()

14、nnitttteyy离差平方和最小拟合程度最好6y6 y最小二乘法原理2211()nnttttteyy离差平方和2211()()( , )nnttttttyyyabxQ a b11111122211111()()()()()()nnttttnnnnttttttttttnnnttttttaybxybxnnnx yxyxxyybnxxxx0QQab112()02()0ntttnttttQybxaaQx ybxab x= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13代入相应的x，得出预测值y yabx解例解例3.13.1 某家用电器厂某家用电器厂1993200319932003年利润额

15、数据资料如表年利润额数据资料如表3.13.1所示。试预所示。试预测测20042004、20052005年该企业的利润。年该企业的利润。年份年份1993199319941994199519951996199619971997199819981999199920002000200120012002200220032003利润额利润额20020030030035035040040050050063063070070075075085085095095010201020年份年份利润额利润额yt1993200199430019953501996400199750019986301999700200075

16、02001850200295020031020 xt1234567891011xt2149162536496481100121xt*yt2006001050160025003780490060007650950011220预测值y191273.7356.4439.1521.8604.5687.2769.9852.6935.310186650665064900011111221111()()()nnttttnnnttittttnnttttaybxnnnx yxybnxx108.3a 82.7b 108.382.7yx200412,1100.7xy年，200513,1183.4xy年，111111

17、nnnttttttaybxyynnn1111222111()()()nnnnttttttttttnnnttttttnx yxyx ybnxxx对于时间序列，xt 的取值为1到 n , 即自变量 xt 的取值等于其下标 t。采用正负对称编号法可简化计算。特别，当n为奇数时，取其中位数的编号为0，可使 10nttx拟合直线方程法的特点n 拟合直线方程的一阶差分为常数（一阶导数为常数） ty 1tybty n 只适用于时间序列呈直线上升（或下降）趋势变化。n 对时间序列数据，不论其远近都一律同等看待。n 用最小二乘原理拟合的直线方程消除了不规则因素的影响，使趋势值都落在拟合的直线上。n基本过程如下图

18、:2211()nnttttteyy根 据 模 型预 测求 解 模 型参 数 ， 确定 模 型模 型 检 验根 据 观 察的 历 史 数据 画 出 散点 图根 据 曲 线 形状 选 择 模 型(模 型 识 别）拟合直线方程法预测步骤图开 始0121,n 001,11取值越大（越接近于 ）衰减速度越慢衰减速度越慢0取值越小（越接近于 ）衰减速度越快衰减速度越快1？ttyabx设加权拟合直线方程为：0121,n 由近及远的离差平方和的权重分别为：20211122222111)()()()(nnnnnnyyyyyyyy nttttnnttttnbxayyyQ1212)()( nttttnnttttnb

19、xayyyQ1212)()( 求导求导和和对对ba0111 ntttnnttnntttnxbayaQ 01211 ntttntnttnnttttnxbxayxbQ ba？使用加权拟合直线方程法解前例使用加权拟合直线方程法解前例3.1 3.1 某家用电器厂某家用电器厂1993200319932003年利润额数据资料如下表所示。试预测年利润额数据资料如下表所示。试预测20042004、20052005年该企业的利润。年该企业的利润。年份年份19931993199419941995199519961996199719971998199819991999200020002001200120022002

20、20032003利润额利润额200200300300350350400400500500630630700700750750850850950950102010200.8年份年份x xt t利润额利润额y yt tn-tn-ta a(n-t)(n-t)a a(n-1)(n-1)y yt ta a(n-1)(n-1)x xt ty yt ta a(n-1)(n-1)x xt ta a(n-1)(n-1)x xt t2 2199319931 120020010100.1074 0.1074 21.474836521.474836521.4748364821.474836480.1073740.10

21、73740.1073741820.107374182199419942 23003009 90.1342 0.1342 40.265318440.265318480.530636880.53063680.2684350.2684350.5368709120.536870912199519953 33503508 80.1678 0.1678 58.72025658.720256176.160768176.1607680.5033160.5033161.509949441.50994944199619964 44004007 70.2097 0.2097 83.8860883.88608335.

22、54432335.544320.8388610.8388613.35544323.3554432199719975 55005006 60.2621 0.2621 131.072131.072655.36655.361.310721.310726.55366.5536199819986 66306305 50.3277 0.3277 206.4384206.43841238.63041238.63041.966081.9660811.7964811.79648199919997 77007004 40.4096 0.4096 286.72286.722007.042007.042.86722.

23、867220.070420.0704200020008 87507503 30.5120 0.5120 384384307230724.0964.09632.76832.768200120019 98508502 20.6400 0.6400 544544489648965.765.7651.8451.842002200210109509501 10.8000 0.8000 760760760076008 88080200320031111102010200 01.0000 1.0000 10201020112201122011111211214.5705 4.5705 3536.5769 3

24、536.5769 31302.7410 31302.7410 36.7180 36.7180 329.5381 329.5381 0111 ntttnnttnntttnxbay 01211 ntttntnttnnttttnxbxayx 3536.5784.5736.720ab 31302.7436.72329.540ab 83.66101.70ab预测模型为：101.7083.66ttyx某商品过去九年的市场总需求量时间（年）123456789总需求量（件）16527045074012202010312054609000作图观察其变化趋势（图中公式为趋势线函数方程）：作图观察其变化趋势（图中公

25、式为趋势线函数方程）：010002000300040005000600070008000900010000012345678910某商品总需求量010002000300040005000600070008000900010000012345678910某商品总需求量tbxtyae某商品过去九年的市场总需求量0100020003000400050006000199019911992199319941995199619971998199920002001200220032004某公司1991到2003年销售额txtyab又例又例2:某公司某公司19912003年销售额（单位：万元）年销售额（单位：

26、万元）sinttyabxsinttxx ttyabxta bxtyetbxtyaelnty tylnlntyatyattyabx ttyabx变换变换txtyab模型：对于上式两边取对数：lnlnlnlnlntxttyabaxb令：ty lntyalnab lnb则有：ttyab x运用拟合直线方程法，可求得：11111221111()()()nnttttnnnttittttnnttttaybxnnnx yxybnxx11111221111lnln()(ln)()nnttttnnnttittttnnttttaybxnnnxyxybnxx 进一步用正负编号法11211lnlnnttntttntt

27、aynnxybnx 观察期销售额1993181994721995901996210199727019983901999570200090020011500200223102003405020044800200554000100020003000400050006000199219931994199519961997199819992000200120022003200420052006某公司1993到2005年销售额0100020003000400050006000199219931994199519961997199819992000200120022003200420052006某公司19

28、93到2005年销售额观察期观察期销售额销售额xtxt2lnytxt lnyt199318-6362.890 -17.342 199472-5254.277 -21.383 199590-4164.500 -17.999 1996210-395.347 -16.041 1997270-245.598 -11.197 1998390-115.966 -5.966 1999570006.346 0.000 2000900116.802 6.802 20011500247.313 14.626 20022310397.745 23.235 200340504168.306 33.226 200448

29、005258.476 42.382 200554006368.594 51.565 SUM18282.162 81.907 设：该趋势的曲线模型为：设：该趋势的曲线模型为：txtyab11211lnlnnttntttnttaynnxybnx ?ab 6.320.45ab 观察期观察期销售额销售额xt199318-63.620 37.334 199472-54.070 58.553 199590-44.520 91.833 1996210-34.970 144.029 1997270-25.420 225.892 1998390-15.870 354.283 199957006.320 555.

30、649 200090016.770 871.466 2001150027.220 1366.787 2002231037.670 2143.636 2003405048.120 3362.027 2004480058.570 5272.922 2005540069.020 8269.924 200679.470 12970.350 设：该趋势线的模型为：设：该趋势线的模型为：txtyab6.320.45ab tyttyab xty lnty?ty ty6.320.45ttyx 01000200030004000500060007000800090001992199319941995199619

31、97199819992000200120022003200420052006某公司1993到2005年销售额预测值预测预测2006年的销售额：年的销售额：20066.320.4579.470y9.470200612970.35yebttyaettyabclntyabt1tb tLya etbtyk a1tttyyy1122ttttttyyyyyy差分特性差分特性使用模型使用模型一阶差分相等或大致相等一阶差分相等或大致相等一次线性模型一次线性模型二阶差分相等或大致相等二阶差分相等或大致相等二次线性模型二次线性模型三阶差分相等或大致相等三阶差分相等或大致相等三次线性模型三次线性模型一阶差分比率相等

32、或大致相等一阶差分比率相等或大致相等指数曲线模型指数曲线模型一阶差分的一阶比率相等或大致相等一阶差分的一阶比率相等或大致相等修正指数曲线模型修正指数曲线模型2012tybbtb t1y2yny22201201211(,)()()nntttttQ b b byyybbtb t最小值4231202322102210tbtbtbyttbtbtbtytbtbnby1106.71106.7222219731973604.0604.01111196219622849.42849.43232198319831023.31023.3212119721972607.7607.71010196119612570.

33、02570.0313119821982929.2929.2202019711971696.9696.99 9196019602350.02350.0303019811981858.0858.0191919701970638.0638.08 8195919592140.02140.0292919801980801.5801.5181819691969548.0548.07 7195819581800.01800.0282819791979737.3737.3171719681968474.2474.26 6195719571558.61558.6272719781978770.5770.5161

34、619671967461.0461.05 5195619561432.81432.8262619771977732.8732.8151519661966392.2392.24 4195519551339.41339.4252519761976670.3670.3141419651965381.1381.13 3195419541271.11271.1242419751975638.2638.2131319641964348.0348.02 2195319531163.61163.6232319741974604.5604.5121219631963276.8276.81 119521952总额

35、总额（ y yt t ）时序时序（t t）年份年份总额总额 （ y yt t ）时序时序（t t）年份年份总额总额 （ y yt t ）时序时序（t t）年份年份2012tybbtb tbttyae2t2577.2444.333.29tytt20.9524R 0.05290(2,29)FFbttyaelnlntyabtlntylnln 303.690.0627tyt0 .0 6 2 73 0 3 .6 9ttye20.9547R 0.05632.6(1,30)FF2577.2444.333.29tytt230123tybbtb tb t1y223 20123012311( , ,)()()nn

36、tttttQ b b b byyybbtb tbt最小值6352413035342312024332210332210tbtbtbtbyttbtbtbtbyttbtbtbtbtytbtbtbnby2ynybttyae0)( aaeybttlnlntyabtln,lnttYy AatYAbt) 10( cbcaytttbtykalglglgtykbatbtyka(1) lg(1) lga a0 00 0b b11(2) lg(2) lga a0 11(3) lg(3) lga a0 00 0b b10 0 b b11k kk kk kk k(1) lg(1) lga a0 00 0b b11k

37、k 渐进线（渐进线（k k）意味着市场对某类产品的需求）意味着市场对某类产品的需求 已逐渐接近饱和状态已逐渐接近饱和状态 。(2) lg(2) lga a0 11k k 渐进线（渐进线（k k）意味着市场对某类产品的需求）意味着市场对某类产品的需求已由饱和状态开始下降已由饱和状态开始下降 。(3) lg(3) lga a0 00 0b b10 0 b b11k k 渐进线（渐进线（k k）意味着市场对某类产品的需求）意味着市场对某类产品的需求从最低水平从最低水平k k迅速上升。迅速上升。1tbtLyae2()yySEn222)(11iiiyYYTSSRSSTSSESSR确定性因素分解确定性因素

38、分解趋势分析趋势分析季节效应分析季节效应分析综合分析综合分析分解的模型分解的模型 加法模型加法模型: 乘法模型乘法模型: 混合模型混合模型: )(ttttITSxttttITSxttttITSxttttITSx)(, 0)(ttttIVarIEIbtax2)(, 0)(40,2 , 1,ttttIVarIEtIbtax12.89,69.8498ba变换后模型变换后模型迭代法迭代法迭代法迭代法迭代法迭代法线性最小二乘估计线性最小二乘估计线性最小二乘估计线性最小二乘估计参数估计方法参数估计方法变换变换模型模型2ctbtaTtttabT ttbcaTtbcateTttbcaT122tt ttTTln

39、aalnbbln2ctbtaTttbaTt2ctbtaTt22tt 20952. 02517.502tTt为偶数，为奇数，nxxxxxnnxxxxxnxntnttntntntnttntntt)2121(1)(12121222112112121tx2tx1tx1tx2tx52112ttttttxxxxxx5期中心移动平均期中心移动平均tx1tx2tx3tx4tx51234ttttttxxxxxx)(111nttttxxxnx5期移动平均期移动平均)(121nlTlTlTlTxxxnxilxilxxilTilTilT,2Tx2TxTx45. 548 . 54 . 556 . 5416 . 542

40、. 68 . 54 . 554121123211TTTTTTTTTTxxxxxxxxxx321212212112161165414141TTTTTTTTTTTTTTTTxxxxxxxxxxxxxxxxTx165 月份月份 1 2 3 4 5 6销售额（万元）销售额（万元） 33 34 35 37 38 40677840 38 37 35 3436.8536.8 40 38 37 3537.365解：（万元）（万元）xMxM66 56575432156538 3735 343335.440 3335.485536.5xxxxMxxxxxMM（万元）或（万元）（万元）36.375348 .368

41、.365577678xxMMx一次指数平滑法为平滑系数，St(1)为t时刻的一次指数平滑值。(1)(1)11(1)ttttxSxS1011221 1tttttxa xa xa xax10001,1tiiaa0,(1) ,1,2,1,01jjaajt1(1)()ttttttxxxxxx二次指数平滑法(2)(1)(2)1(1)tttSSSt TttxabT(1)(2)(1)(2)2,1ttttttaSSbSS预测公式t为预测起点，T为预测步长。三次指数平滑(3)(2)(3)11tttSSS212t TtttxabTcT预测公式(1)(2)(3)(1)(2)(3)22(1)(2)(3)233(65

42、)2(54 )(43 )2(1)22(1)ttttttttttttaSSSbSSScSSS10 xx 11niiiMAExxn周期数周期数 客运量客运量xt St(1) St(2)t（日）（日） （万人次）（万人次） ( =0.3) ( =0.3)012345.17181920505247515969767580505050.649.5249.9649.6764.2367.7669.9372.95505050.1849.9849.9849.8859.2861.7964.2366.85 95.7293.697.0803.096.4952.497.0513.052.496.507.0473.06.

43、50507.0523.050507.0503.013.0,5012014131211111110SSSSSSxSxSttt则有由设 85.6623.647 . 095.723 . 098.4918.507 . 052.493 . 018.50507 . 06 .503 . 050507 . 0503 . 0220232221SSSS则有50, 3 . 01)1(0)2(0 xSS设滞后偏差滞后偏差数据点连线数据点连线一一次次平平滑滑二次平滑二次平滑102020406080Xt（万人次）（万人次）t（日）（日） 05.7985.6695.722222012020SSaTxTt61. 205.79

44、则预测方程为： 61. 285.6695.727 . 03 . 0122012020SSb（万人次）时，有当15.1051061. 205.793030 xTttttrxx11111)1 ()()(1 (ttttttttrxxrrxxx10 xx nxxrn110lTTlTrlxx5125910 xx4325231230 xxr15. 01 . 0时序图时序图ijjijISxxmknxxniikk, 2 , 1,1nmxxnimkik11mkxxSkk, 2 , 1,年度年度销售量第一季度第二季度第三季度第四季度 1996600180150120150 1997660210160130160

45、1998700230170130170 1999750250180140180 2000850300200150200 20011000400220160220 合计4560157010808301080 季节指数1.380.950.730.95 3.各季节销售指数(Ci) C1=262191.38 同理 C20.95，C30.73，C40.95 4.修正2002年各季度预测值 (1)建立时间序列线性回归预测模型 由上表可得知各有关数据，利用公式 (1) (2) y_t=190+1.90T 式中 T=-23,-21,-1,1,3,23 (2)修正2002年各季度预测值 第一季度预测值=(190

46、+1.9025)1.38328(单位) 第二季度预测值=(190+1.9027)0.95229(单位) 第三季度预测值=(190+1.9029)0.73179(单位) 第三季度预测值=(190+1.9031)0.95236(单位) 注意：如果n为奇数，例如n=9，则T=-4，-3，-2，1，0，1，2，3，4.季节销售指数也可以按月计算。 先列出各个年度每个月份的销售量，见下表。计算过程如下： A=各月合计值年数 A1=176/3=58.7(单位) A2 = 189 / 3 = 63(单位) 。A12 = 195 / 3 = 65(单位) 2.计算所有月份的月平均值销售量(B) B=所有月份的

47、合计值年数12 B=197631254.9(单位) 3.求各月份季节销售指数(C) Ci = A / B . 在本例中，由公式(1)(2)得 a=54.9，b=0.13，从而yt = (54.9 + 0.13T)Ci 年度年度年度销售量年度销售量第一季度第一季度第二季度第二季度第三季度第三季度第四季度第四季度 2004600180150120150 2005660210160130160 2006700230170130170 2007750250180140180 2008850300200150200 20091000400220160220 ttttISTxttttISTx)()tttt

48、ttttITSxbITSxa(1)(1)绘制时序图绘制时序图)(ttttITSx月份月份季节指数季节指数月份月份季节指数季节指数10.98270.92920.94380.94030.92091.00140.911101.05450.925111.10060.951121.335ttttITSxtTt93178.20522.1015ttttITSx ( )tt lt lx lSTttttISTY年季度销量（千台）年季度销量（千台）114.831624.125.63637.546.547.8215.8416.325.225.936.83847.448.4电视机销量观测值及其季度预测值7.097.0

49、96.496.498.638.639.199.1945678910第1年1季度第1年2季度第1年3季度第1年4季度第2年1季度第2年2季度第2年3季度第2年4季度第3年1季度第3年2季度第3年3季度第3年4季度第4年1季度第4年2季度第4年3季度第4年4季度第5年1季度第5年2季度第5年3季度第5年4季度例例1 1：研究中国的：研究中国的GDPGDP增长增长10.4.1 10.4.1 实例引入实例引入一、变量：一、变量： 在不同时间、空间有不同状况，取不同数值的在不同时间、空间有不同状况，取不同数值的因素因素称为变量。称为变量。其分类为：其分类为：1 1、被解释变量、被解释变量( (因变量因变

50、量) )变量、参数、数据变量、参数、数据2 2、解释变量、解释变量( (自变量自变量) ) 3 3、滞后变量、滞后变量tYtx1tY被解释变量（因变量）：模型中要分析研究的变量被解释变量（因变量）：模型中要分析研究的变量解释变量解释变量（自变量）：说明因变量变动原因的变量自变量）：说明因变量变动原因的变量 例：收入决定模型例：收入决定模型（其中：消费支出（其中：消费支出C C、 投资投资I I、进口、进口IM IM 、税收、税收T T、收入收入Y Y、政府支出、政府支出G G、出口、出口E E）ttttttYCIGEIM12312ttttIbb Yb Yu12313ttttIMcc Yc Gu

51、121()ttttCaaYTu0.2ttTY 其中：消费支出其中：消费支出C C、 投资投资I I、进口、进口IM IM 、税收、税收T T、收入、收入Y Y是被解释是被解释( (内内生生) )变量政府支出变量政府支出G G、出口、出口E E、是解释变量（通过计划、预算来确定）、是解释变量（通过计划、预算来确定） （有两个滞后变量，作用视同解释变量）（有两个滞后变量，作用视同解释变量）01D事件没有发生 事件发生二、数据二、数据 1 1、时间序列数据：、时间序列数据： 按照时间先后顺序排列的统计数据（例按照时间先后顺序排列的统计数据（例 ：时期：时期、时点指标）、时点指标） 3 3、混合数据：

52、、混合数据： 既有时间序列数据，又有截面数据（例：居民收支调既有时间序列数据，又有截面数据（例：居民收支调查中收集的对各个固定调查户在不同时期的调查数据）。查中收集的对各个固定调查户在不同时期的调查数据）。 2 2、截面数据、截面数据 ：是在同一时间，不同空间的某个指标组成的数列（如：是在同一时间，不同空间的某个指标组成的数列（如：工业普查数据、人口普查数据、家计调查数据等）。：工业普查数据、人口普查数据、家计调查数据等）。 4 4、虚拟变量数据：仅取、虚拟变量数据：仅取0 0和和1 1两个变量值的两个变量值的研究过程研究过程有关理论有关理论实践活动实践活动搜集统计数据搜集统计数据设定计量模型

53、设定计量模型参数估计参数估计模型检验模型检验预测预测政策评价政策评价模型修订模型修订结构分析结构分析符合符合不符合不符合是否符合标准是否符合标准模型应用模型应用 1 1、线性模型、线性模型（对变量、参数）（对变量、参数） 2 2、非线性模型、非线性模型（被解释与解释变量之间、被解释变量与参数之间）（被解释与解释变量之间、被解释变量与参数之间）例如：例如：（1 1、2 2可线性化）可线性化）01 122.kkYxxxu01 122( ).kkE Yxxx221212eYabXcXYaXYXuYXu （1 1）多项式函数）多项式函数常见的可线性化模型：常见的可线性化模型： （2 2）双对数方程）双

54、对数方程 基本形式（幂函数）：基本形式（幂函数）： 01 122.kkYxxxuueXY21XYlnlnln2100ln,ln,lnXXYY 双对数方程的斜率参数双对数方程的斜率参数 可以衡量因变量可以衡量因变量Y Y关于解释变量关于解释变量X X的弹的弹性性( (表示：当表示：当X X每变动每变动1%1%时，因变量时，因变量Y Y平均变动的百分比）。平均变动的百分比）。 事实上，有事实上，有XdXYdYXdXYdYXdYd222)(ln)(ln (3) (3) 半对数方程半对数方程 在第一个方程中在第一个方程中 斜率参数斜率参数 等于等于Y Y的相对变动的相对变动 与与X X绝对变动绝对变动

55、 之比。模型叫增之比。模型叫增长模型，它可以描述某种经济现象随着时间变化而变动的趋势。长模型，它可以描述某种经济现象随着时间变化而变动的趋势。 第二个半对数方程的斜率系数第二个半对数方程的斜率系数 表示当自变量发生一个单位的相对变动时，引起的因变量表示当自变量发生一个单位的相对变动时，引起的因变量Y Y的平均的平均绝对变动。绝对变动。uXY10lnuXYln10 )()()()(ln1XdYYdXdYd1dYYdXXXdYd)()(1（4 4） 倒数变换模型倒数变换模型 基本形式：基本形式：注：注： ，Y Y 随着随着X X增大而非线性地增大，最终接近一条直线增大而非线性地增大，最终接近一条直

56、线 ，Y Y 随着随着X X的增加而非线性地减少。的增加而非线性地减少。 重要特点：被解释变量重要特点：被解释变量Y Y存在极限。存在极限。例：若例：若Y Y为平均成本，为平均成本，X X为产量，则平均成本为产量，则平均成本Y Y随着产量增加而不断下随着产量增加而不断下降，但它决不可能等于或小于降，但它决不可能等于或小于 。uXY11001为渐近线）（以00Y010 用最小二乘法（OLS）进行参数估计 得到的估计表达式为： 在估计了参数之后，就可以得到一元线型方程，这样带入自变量x的值，就可以进行对因变量y的预测。iibxayxbya22xnxyxnyxbiiiii在预测之前，还需要对估计结果

57、作假设检验：1、R检验相关系数R：衡量自变量与因变量关系密切程度的指标，表示自变量解释了因变量变动的百分比。可见相关系数R取值于01之间。一般在实际预测时，|R|0.7就认为因变量与自变量高度相关，x是y的主要影响因素；0.3|R|0.7，认为相关；|R|，说明广告费支出与商品销售额线性关系显著。这与决定系数检验结论一致。 百万元。即：2002年的商品销售额可望达到49.595百万元。4）进行预测。(1)点预测。2002年的广告费支出预计为35万元。350 x万元代入回归方程：595.4935321. 136. 3cy(2)区间预测。计算估计标准误差212.18755.1122nyyScy05

58、. 0036.28,025.02,2ttn，df=8，查t分布表，得即：2002年的商品销售额可望达到49.595百万元。350 x2202,211xxxxnStyync1 .5467 1306. 2595.492731. 3595.49因为当广告费支出达到万元时，商品销售额的预测区间为：即：若以95%的把握程度预测，当广告费支出达到35万元时，商品的销售额在45.864-53.326百万元之间。tKtktttuXXXy22110 其中其中y yt t是被解释变量（因变量），是被解释变量（因变量），x xjt jt 是解释变量（自变量），是解释变量（自变量），u u

59、t t是随机误差项，是随机误差项， i i, , i i = 0, 1, = 0, 1, , , k k - 1 - 1是回归参数（通常未是回归参数（通常未知）。这说明知）。这说明x xjtjt, , j j = 1, = 1, , , k k, , 是是y yt t的重要解释变量。的重要解释变量。 u ut t代表代表众多影响众多影响y yt t变化的微小因素。变化的微小因素。当给定一个容量为当给定一个容量为 的样本，样本观测值为的样本，样本观测值为得得nknknnnkkkkuXXXYuXXXYuXXXY2211022222121021121211101n12( ,)(1,2, )iiiki

60、Y XXXin01122ittkkttYXXXu当给定一个容量为 得：uuuXXXXXXXXXYYYnkknkknnnUBXY2121021222211121121111令YXBU为保证用为保证用OLSOLS法得到最优估计量，该回归模型应满足如下假定条件。法得到最优估计量，该回归模型应满足如下假定条件。 假定假定 随机误差项向量随机误差项向量u u是非自相关的，同方差的。其中每一项都满足是非自相关的，同方差的。其中每一项都满足均值为零，方差为均值为零，方差为 ，相同且为有限值，即，相同且为有限值，即 且且0( )00E u 22100( )1010001Var u2(0,)UN2假定假定 解释