理论力学下册第二章碰撞

1、第二章第二章碰碰 撞撞1.碰撞的分类 2 21 1 碰撞的分类碰撞的分类碰撞问题的简化碰撞问题的简化 对心碰撞 偏心碰撞正碰撞斜碰撞碰撞时两物体间的相互作用力称为碰撞力光滑碰撞与非光滑碰撞 完全弹性碰撞 弹性碰撞2.对碰撞问题的两个简化碰撞现象的特点是 碰撞时间极短（一般为 ）s101043速度变化为有限值 加速度变化相当巨大碰撞力极大塑性碰撞由于碰撞时碰撞力极大而碰撞时间极短在研究一般的碰撞问题时通常做如下两点简化（1）在碰撞过程中 由于碰撞力非常大重力弹性力等等普通力远远不能与之相比因此这些普通力的冲量忽略不计（2）由于碰撞过程非常短促 碰撞过程中速度变化为有限值物体在碰撞开始和碰撞结束时

2、的位置变化很小因此在碰撞过程中 物体的位移忽略不计 2 22 2 用于碰撞过程的基本定理用于碰撞过程的基本定理 1.1.用于碰撞过程的动量定理用于碰撞过程的动量定理冲量定理冲量定理设质点的质量为m碰撞过程开始瞬时的速度为结束时的速度为则质点的动量定理为ItFmmt0d（21）式中 为碰撞冲量I普通力的冲量忽略不计质点系) i ()(ieiiiiiIImm设质点系有n个质点对于每个质点都可列出如上的方程将n个方程相加得niinieiniiiniiiIImm1) i (1)(11因为01)(iieiI于是得nieiniiiniiiImm1)(11（22）式（22）是用于碰撞过程的质点系动量定理因此

3、又称为冲量定理：质点系在碰撞开始和结束时动量的变化等于作用于质点系的外碰撞冲量的主矢（22）可写成nieiCCImm1)(（23）式中 和 分别是碰撞开始和结束时质心的速度CC2.用于碰撞过程的动量矩定理冲量矩定理质点系动量矩定理)(1)(1)(ddeiniieiniOOFrFMLt上式可写成)(1)(1dddeiniieiniiOIrtFrL积分得)(10dd21einitiLLOIrLOO或teiniieinitiOOIrIrLL0)(1)(1012dd或)()(1)(112einiOeiniiOOIMIrLL（24）称 为冲量矩)(eiiIr其中不计普通力的冲量矩（24）是用于碰撞过程的

4、动量矩定理又称为冲量矩定理：质点系在碰撞开始和结束时对点O的动量矩的变化等于作用于质点系的外碰撞冲量对同一点的主矩3.刚体平面运动的碰撞方程（用于刚体平面运动碰撞过程中的基本定理）用于碰撞过程的质点系相对于质心的动量矩定理)()(112einiCCCIMLL（25）式中 为碰撞前与后质点系相对质心C的动量矩21CCLL，右端项为碰撞冲量对质心之矩的几何和（对质心的主矩）对于平行于其对称面的平面运动刚体CCJL式（25）可写为)()(12eiCCCIMJJ（26）式中 分别为平面运动刚体碰撞前后的角速度21，上式中不计普通力的冲量矩式（26）与（23）结合起来可用来分析平面运动刚体的碰撞问题称为

5、刚体平面运动的碰撞方程 2 23 3 质点对固定面的碰撞质点对固定面的碰撞恢复因数恢复因数 第一阶段碰撞冲量为1I1)(0Im第二阶段碰撞冲量为2I2)0(Im于是得12II（27）k（28）常数k恒取正值称为恢复因数恢复因数需要用试验测定12gh22gh于是得恢复因数12hhk几种材料的恢复因数见表碰撞物体的材料铁对铅木对胶木木对木钢对钢象牙对象牙玻璃对玻璃恢复因数0.140.260.500.560.890.94对于各种实际的材料 均有0k1由这些材料做成的物体发生的碰撞称为弹性碰撞物体在弹性碰撞结束时变形不能完全恢复动能有损失k=1称为完全弹性碰撞 k=0称为非弹性碰撞或塑性碰撞由式（27

6、）和（28）有12IIk即恢复因数又等于正碰撞的两个阶段中作用于物体的碰撞冲量大小的比值如图所示 此为斜碰撞 此时定义恢复因数为nnk式中 和 分别是速度 和 在法线方向的投影nn由于不计摩擦 和 在切线方向的投影相等由图可见tantannn于是tantannnk对于实际材料有k1 由上式可见当碰撞物体表面光滑时 应有在不考虑摩擦的一般情况下碰撞前后的两个物体都在运动此时恢复因数定义为nrnrk（29）式中 和 分别为碰撞后和碰撞前两物体接触点沿接触面法线方向的相对速度nrnr 2 24 4 碰撞问题举例碰撞问题举例 例 21两物体的质量分别为 和1m2m恢复因数为k产生对心正碰撞 如图所示求

7、碰撞结束时各自质心的速度和碰撞过程中动能的损失解：有22112211mmmm（a）由恢复因数定义 由式（29）有2112k（b）联立（a）和（b）二式 解得)()1 ()()1 (21211222121211mmmkmmmk（c）在理想情况下k=1 有)(2)(221211222121211mmmmmm，如果21mm 则1221，即两物体在碰撞结束时交换了速度当两物体做塑性碰撞时即k=0 有21221121mmmm即碰撞结束时 两物体速度相同一起运动以 和 分别表示此两物体组成的质点系在碰撞过程开始和结束时的动能1T2T则有2222112222211121212121mmTmmT，在碰撞过程中

8、质点系损失的动能为)(21)(21)(21)(212222211111222222121121mmmmTTT将式（c）代入上式 得两物体在正碰撞过程中损失的动能)()()1 (21221121212121mmmmkTTT由式（b）得)(2121k于是得2212212121)(1 ()(2kmmmmTTT（d）在理想情况下k1021TTT在塑性碰撞时 k=0 动能损失为221212121)()(2mmmmTTT如果第二个物体在塑性碰撞开始时处于静止即02则动能损失为21212121)(2mmmmTTT注意到211121mT 上式可改写为12112122111TmmTmmmTTT（e）可见 在塑性

9、碰撞过程中 损失的动能与两物体质量比有关当 时12mm 1TT 当 时12mm 0T例 22如图所示为一测量子弹速度的装置称为射击摆其是一个悬挂于水平轴O的填满砂土的筒当子弹水平射入砂筒后 使筒绕轴O转过一偏角测量偏角的大小即可求出子弹的速度已知摆的质量为1m对于轴O的转动惯量为OJ摆的重心C到轴O的距离为h子弹的质量为2m子弹射入砂筒时悬挂索的重量不计求子弹的速度子弹到轴O的距离为d解： 设碰撞开始时子弹速度为则dmLO21设碰撞结束时摆的角速度为则)(22222dmJdmJLOOO因21OOLL解得dmdmJO222碰撞结束后 摆与子弹一起绕轴O转过角度应用动能定理 有)cos()cos(

10、)2121(0212222ddgmhhgmdmJO即gdmhmdmJO)cos1)()(2121222因2sin2cos122sin22221gdmJdmhmO代入上式中解得于是得子弹射入砂筒前的速度为gdmhmdmJdmO)(2sin221222例 23均质细杆长l质量为m杆与地面成角速度为 平行于杆斜撞于光滑地面 如图所示求撞后杆的角速度如为完全弹性碰撞解：xCxCxImm（a）yCyCyImm（b）)()(12eCCCIMJJ（c）地面光滑杆只受有y方向的碰撞冲量I0 xI有sinCxCx选质心为基点有ACCA沿y轴投影有2cos21CyAy（d）由恢复因数1sinAyAyAyk代入式（

11、d） 得cos21sin2Cy（e）由（b）和（c）两式得ImmCysin（f）cos212122lIml（g）由（f）（g）两式消去I得sincos62lCy代入式（e） 解得l )cos31 (2sin622 2 25 5 碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用用撞击中心撞击中心1.定轴转动刚体受碰撞时角速度的变化)()(112einizzzIMLL即)()(112einizzzIMJJ角速度的变化为zeizJIM)()(12（210）2.支座的反碰撞冲量撞击中心设刚体有质量对称平面且绕垂直于此对称面的轴转动并设图示平面图形则刚体的质心C必在图面内是刚体的质量对称面今有

12、外碰撞冲量 作用在此对称面内I求轴承O的反碰撞冲量 和OyIOxI取Oy轴通过质心Cx轴与y轴垂直应用冲量定理有：OxxCxCxIImmOyyCyCyIImm因为0CyCy于是yOyxCxCxOxIIImI，)(（211）由此可见一般情况下在轴承处将引起碰撞冲量分析式（211）可见若：)()2(0) 1 (CxCxxymII则有00OyOxII，由（1）0yI即要求外碰撞冲量与y轴垂直即 必须垂直于支点O与质心C的连线I如图所示由（2）设质心C到轴O的距离为a则)(12 maIx将式（210）代入得IJIlmaz式中l=OK点K是外碰撞冲量 的作用线与OC的交点I解得maJlz（212）满足式（212）的点K称为撞击中心 于是得出结论：当外碰撞冲量作用于物体质量对称平面内的撞击中心且垂直于轴承中心与质心的连线时在轴承处不引起碰撞冲量例 24均质杆质量为m其上端由圆柱铰链固定长为2a如图所示杆由水平位置无初速地落下设恢复因数为k撞上一固定的物块求（1）轴承的碰撞冲量（2）撞击中心的位置解：在碰撞前 杆自水平位置自由落下 应用动能定理：mgaJO02121求得agJmgaO2321撞击点碰