第章--近独立粒子的最概然分布

1、16.1 粒子运动状态的经典描述粒子运动状态的经典描述 粒子粒子是指组成宏观物质系统的基本单元。粒子的是指组成宏观物质系统的基本单元。粒子的运动运动 状态状态是指它的力学运动状态。是指它的力学运动状态。 如果粒子遵从经典力学的运动规律，对粒子运动状态如果粒子遵从经典力学的运动规律，对粒子运动状态的描述称为的描述称为经典描述经典描述。 如果粒子遵从量子力学的运动规律，对粒子运动状态如果粒子遵从量子力学的运动规律，对粒子运动状态的描述称为的描述称为量子描述量子描述。2 设粒子的自由度为设粒子的自由度为r，粒子在任一时刻的力学运动状态由粒，粒子在任一时刻的力学运动状态由粒子的子的r个广义坐标个广义坐

2、标q1、q2、qr和相应的和相应的r个广义动量个广义动量p1、p2、pr在该时刻的数值确定，粒子能量在该时刻的数值确定，粒子能量是其广义坐标和是其广义坐标和广义动量的函数，即广义动量的函数，即 (6.1.1) ),;,(11rrppqq一一. 经典描述经典描述更一般表述为更一般表述为 在分析力学中，一般把以广义坐标和广义动量为自变量的能在分析力学中，一般把以广义坐标和广义动量为自变量的能量函数写成量函数写成H（哈密顿）函数，即（哈密顿）函数，即 粒子的运动满足粒子的运动满足正则运动方程正则运动方程iiiiqHppHq), 2 , 1( ),(ripqii), 2 , 1( ),(ripqHii

3、3 当某一初始时刻当某一初始时刻t0给定了给定了qi、pi 的初值的初值qi0、pi0 之后，由正则运动之后，由正则运动方程可确定在任何相继时刻方程可确定在任何相继时刻t， qi、pi 的数值，因而这个力学系统的的数值，因而这个力学系统的运动状态就完全确定了。所以一组运动状态就完全确定了。所以一组qi、pi数值确定这个系统的一个运数值确定这个系统的一个运动状态，这样所确定的运动状态把每个粒子的运动状态都完全确定了。动状态，这样所确定的运动状态把每个粒子的运动状态都完全确定了。这就是这就是微观运动状态微观运动状态。空间空间: 用用q1、q2、qr ，p1、p2、pr 为直角坐标构成一为直角坐标构

4、成一个个2r维空间，这个空间称为维空间，这个空间称为空间空间。 空间任何一点代表力空间任何一点代表力学体系一个运动状态，这个点称为学体系一个运动状态，这个点称为代表点代表点。当粒子运动状。当粒子运动状态随时间改变时，代表点相应地在态随时间改变时，代表点相应地在空间中移动，描画出一空间中移动，描画出一条轨迹称为条轨迹称为相迹相迹。4二二. 几个例子几个例子1. 自由粒子自由粒子自由度：自由度：r=3 空间维数：空间维数：6广义坐标：广义坐标： , ,321zqyqxq广义动量：广义动量： , , ,321zmppymppxmppzyx动能：动能：(6.1.3) )(21222zyxpppm相迹：

5、以一维为例相迹：以一维为例xpxxL52. 一维线性谐振子一维线性谐振子one dimension linear harmonic oscillator 质量为质量为m m 的粒子在弹性力的粒子在弹性力f=-Axf=-Ax作用下，将在原点附近做圆频率为作用下，将在原点附近做圆频率为 的简谐振动，称为线性谐振子的简谐振动，称为线性谐振子mA/自由度：自由度：r=1 空间维数：空间维数：2广义坐标：广义坐标：xq xmppx广义动量：广义动量：能量：能量：(6.1.4) 2122222222xmmpxAmp相迹：以相迹：以x,p为直角坐标，可构成二维的为直角坐标，可构成二维的空间。若给定能量，空间

6、。若给定能量，代表点的轨道是如下椭圆：代表点的轨道是如下椭圆：1m2xm2p2226q22m2m经典力学中：经典力学中：可取任何正值可取任何正值量子力学中：量子力学中：量子化，取分立值，由量子数量子化，取分立值，由量子数n决定，见图决定，见图6.273. 转子转子 rotatoroxyzrA考虑质量为考虑质量为m m的质点的质点A A被具有一定长度的轻杆系于原点被具有一定长度的轻杆系于原点O O时所作时所作的运动。的运动。直角坐标下，能量直角坐标下，能量)(21222zyxm用球坐标表示用球坐标表示cossinsincossinrzryrx)sin(21222222rrrmsincossinc

7、oscossinsinsincoscossinsincossinrrzrrryrrrx8因为因为r不变不变0r )sin(2122222rrm转子是这样一个物体，它在任何时刻的位置可以由其主轴转子是这样一个物体，它在任何时刻的位置可以由其主轴的空间方位角的空间方位角 确定。确定。,自由度：自由度：r=2 空间维数：空间维数：4广义坐标：广义坐标：)20( ),0(21qq广义动量：广义动量： sin ,22221mrppmrpp动能：动能：)8 . 1 . 6( )sin1(21222ppI9双原子分子的力学模型双原子分子的力学模型将双原子分子看作一根细棒的两端联结着质量为将双原子分子看作一根

8、细棒的两端联结着质量为m1和和m2的的两个两个质点质点绕其质心的转动。然后将两体问题转化为单体问题。绕其质心的转动。然后将两体问题转化为单体问题。即将公式里的即将公式里的m换成约化质量：换成约化质量：2121mmmm1m2m质心质心根据经典力学，在没有外力作用的情况下，转子的总角动根据经典力学，在没有外力作用的情况下，转子的总角动量量 是一个守恒量，其大小和方向都不随时间改变。是一个守恒量，其大小和方向都不随时间改变。由于由于r垂直于垂直于M，质点的运动是在垂直于，质点的运动是在垂直于M的平面内的运动。的平面内的运动。如果选如果选M的方向为的方向为z轴，则必在轴，则必在xy平面内运动。这时平面

9、内运动。这时prM0, 2/p)9 . 1 . 6( 2 2 22IMIp双原子分子转轴过质心且垂直于二原双原子分子转轴过质心且垂直于二原子核连线子核连线 。106.2 粒子运动状态的量子描粒子运动状态的量子描述述一一. 量子描述量子描述1. 微观粒子具有波粒二象性微观粒子具有波粒二象性 法国物理学家法国物理学家德布罗意德布罗意于于19241924年提出一个假说，认为一年提出一个假说，认为一切微观粒子都具有波粒二象性，并把标志波动性质的量切微观粒子都具有波粒二象性，并把标志波动性质的量和和k通过一个普适常数用标志粒子性质的通过一个普适常数用标志粒子性质的和和p联系起来。联系起来。(6.2.1)

10、 ,kp德布罗意关系德布罗意关系sJh3410626. 6普朗克常数称为基本的作用量子。这个作用量子成为判别采普朗克常数称为基本的作用量子。这个作用量子成为判别采用经典描述或量子描述的判据。用经典描述或量子描述的判据。 112. 测不准关系测不准关系hpq测不准关系测不准关系hEtand （严格的（严格的)2/pq 这生动地说明微观粒子的运动不是轨道运动，是微观粒子的运动状这生动地说明微观粒子的运动不是轨道运动，是微观粒子的运动状态不是用坐标和动量来描述的，态不是用坐标和动量来描述的，而是用量子态（波函数）或量子数来描而是用量子态（波函数）或量子数来描述的述的。 量子态由一组量子数表征，这组量

11、子态由一组量子数表征，这组量子数的数目等于粒子的自由量子数的数目等于粒子的自由度数度数。22)(AAAA方差方差(涨落涨落)的概念见附录的概念见附录B.12 继德布罗意之后，继德布罗意之后，1927年，年，海森堡海森堡在研究粒子和波动的二象性时，在研究粒子和波动的二象性时，得到一个重要的结果：得到一个重要的结果：微观粒子不可能同时具有确定的动量和坐标微观粒子不可能同时具有确定的动量和坐标。即用。即用q表示粒子坐标的不确定值和表示粒子坐标的不确定值和p表示粒子动量不确定值，在量子力学所表示粒子动量不确定值，在量子力学所容许的最精确的描述，容许的最精确的描述，q与与p的乘积满足的乘积满足12二二.

12、 几个例子几个例子1. 自旋自旋(spin)质量质量: 电荷：电荷：em自旋角动量量子数：自旋角动量量子数：1/2自旋磁矩：自旋磁矩：自旋角动量：自旋角动量：SmeS沿沿z方向加外磁场方向加外磁场B，角动量，角动量S在在z方向上有两个独立分量方向上有两个独立分量szmS 21sm自旋磁矩和势能为自旋磁矩和势能为Bmemmesz2BmemmBeEs2描述自旋状态只要一个量子数描述自旋状态只要一个量子数sm132. 线性谐振子线性谐振子(6.2.4) 2 , 1 , 0 ),21(nnn能级非简并能级非简并What about 3D? 3. 转子转子量子理论要求角动量平方和角动量量子理论要求角动量

13、平方和角动量z分量是量子化的分量是量子化的2 , 1 , 0 ,) 1(22lllMllllmmMz, 1, 1, ,自由度为自由度为2，等于量子数个数：，等于量子数个数：ml,转子能量：转子能量：(6.2.8) 2) 1(222IllIME基态能级非简并，激发态简并，简并度为基态能级非简并，激发态简并，简并度为2l+1Degenerate! 144. 自由粒子自由粒子根据周期性边界条件根据周期性边界条件(6.2.12) 2222222zyxnnnmLxxnLp2yynLp2zznLp22, 1, 0 xn2, 1, 0yn2, 1, 0zn3维维3个量子数：个量子数：zyxnnn,基态能级非

14、简并，激发态简并基态能级非简并，激发态简并15三三. 粒子的状态与粒子的状态与 空间体积元的对应关系空间体积元的对应关系qprhhpqiirrrhppqq11由测不准关系可知，坐标和动由测不准关系可知，坐标和动量不能同时取确定的值，所以量量不能同时取确定的值，所以量子态不能用子态不能用 空间的一点来描述，空间的一点来描述，而应用一个体积元，称为而应用一个体积元，称为相格相格。自由度为自由度为r的粒子，相格大小为：的粒子，相格大小为：如果将如果将 空间划分为若干个体空间划分为若干个体积元积元l（l =1，2），），则在体则在体积元积元l中粒子可能的状态数为中粒子可能的状态数为l/hr 。rrrh

15、ppqq1116四四. 自由粒子的量子态数自由粒子的量子态数 根据粒子的状态与根据粒子的状态与 空间体积元的对应关系空间体积元的对应关系 三维自由粒子的一个状态对应于三维自由粒子的一个状态对应于 空间中体积为空间中体积为h3的一的一个体积元，以个体积元，以V表示容器的体积，在体积表示容器的体积，在体积V内，在内，在px到到px+dpx， py到到py+dpy, pz到到pz+dpz内，对应内，对应 空间中体积元空间中体积元Vdpxdpydpz, 三三维自由粒子可能的状态数为：维自由粒子可能的状态数为：(6.2.13) 3hdpdpVdpzyx cossinppxsinsinppycosppzd

16、dpdp sin2一般常用动量空间中的球极坐标一般常用动量空间中的球极坐标p,，来描写自由粒子的动量来描写自由粒子的动量, p,与与px、py、pz的关系为：的关系为： ；用球极坐标，动量空间的体积元为：用球极坐标，动量空间的体积元为： 1732sinhddpdVp32302024sinhdpVphdddpVp )17. 2 . 6( 222/12/33dmhVdD在体积在体积V内，动量在内，动量在p到到p+dp,到到+d,到到+d,自由粒子可自由粒子可能的状态数为：能的状态数为：D()表示单位能量间隔内的可能状态数，称为表示单位能量间隔内的可能状态数，称为态密度态密度。以上的计算没有考虑粒子

17、的自旋，如果粒子的自旋不等于零，以上的计算没有考虑粒子的自旋，如果粒子的自旋不等于零，还要考虑自旋的贡献。还要考虑自旋的贡献。 在体积在体积V内，动量绝对值在内，动量绝对值在p到到p+dp的范围内，自由粒子可能的范围内，自由粒子可能的状态数为：的状态数为：以能量形式表示，即以能量形式表示，即 ,因此在因此在V内，在内，在 的范围内，自由粒子可能的状态数为：的范围内，自由粒子可能的状态数为： mp 2/d186.3 系统微观运动状态的描系统微观运动状态的描述述 全同的粒子系统全同的粒子系统就是由具有完全相同的属性（相同就是由具有完全相同的属性（相同的质量、自旋、电荷等）的同类粒子所组成的系统，如

18、的质量、自旋、电荷等）的同类粒子所组成的系统，如自由电子组成的自由电子气体是全同的粒子组成的系统。自由电子组成的自由电子气体是全同的粒子组成的系统。NiiE1 理想气体就是由近独立的粒子组成的系统。理想气体就是由近独立的粒子组成的系统。 近独立粒子体系近独立粒子体系，是指粒子之间的相互作用很弱，是指粒子之间的相互作用很弱，相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量，因而相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之间的相互作用。将整个系统的能量表达可以忽略粒子之间的相互作用。将整个系统的能量表达为单个粒子的能量之和：为单个粒子的能量之和： 19 相依粒子体系又称为非独立粒子体系

19、相依粒子体系又称为非独立粒子体系，体系中，体系中粒子粒子之间的相互作用不能忽略，体系的总能量除了之间的相互作用不能忽略，体系的总能量除了包括各个包括各个粒子的能量之和外，还包括粒子之间的相互作用的位能，粒子的能量之和外，还包括粒子之间的相互作用的位能，即：即：UENii1一一. 系统微观运动状态的经典描述系统微观运动状态的经典描述 全同粒子是可以分辨的（经典中）。如果在含有多个全全同粒子是可以分辨的（经典中）。如果在含有多个全同粒子的系统中，将两个粒子的运动状态加以交换，交换前同粒子的系统中，将两个粒子的运动状态加以交换，交换前后，系统的力学运动状态是不同的。如图后，系统的力学运动状态是不同的

20、。如图6.4,1, 2, ;1, 2,iiqpr iN2Nr个变量来确定。个变量来确定。20 qp21二二. 系统微观运动状态的量子描述系统微观运动状态的量子描述1. 微观粒子全同性原理微观粒子全同性原理全同粒子是不可分辨的全同粒子是不可分辨的0t120t12经典经典量子量子图图6.5对于不可分辨的全同粒子，确定系统的微观状态归结为确定对于不可分辨的全同粒子，确定系统的微观状态归结为确定每一个体量子态上的粒子数。每一个体量子态上的粒子数。222. 玻色子玻色子(bose)和费米子和费米子(fermi)玻色子玻色子：即自旋量子数是整数的。：即自旋量子数是整数的。 如光子自旋量子数为如光子自旋量子

21、数为1、介子自旋量子数为介子自旋量子数为0，是玻，是玻色子。色子。费米子费米子：即自旋量子数为半整数的。：即自旋量子数为半整数的。 如电子、质子、中子等自旋量子数都是如电子、质子、中子等自旋量子数都是1/2，是费米子。，是费米子。不可分辨性导致对称性要求不可分辨性导致对称性要求玻色子：交换玻色子：交换对称对称费米子：交换费米子：交换反对称反对称233. 三类系统三类系统凡是由玻色子构成的凡是由玻色子构成的复合粒子复合粒子是玻色子，由偶数个费是玻色子，由偶数个费米子构成的复合粒子是玻色子，由奇数个费米子构成米子构成的复合粒子是玻色子，由奇数个费米子构成的复合粒子是费米子。的复合粒子是费米子。如：

22、如：4 4HeHe是玻色子，是玻色子，3 3HeHe是费米子是费米子费米子和玻色子遵从不同的统计规律。费米子和玻色子遵从不同的统计规律。玻尔兹曼系统：玻尔兹曼系统：由由可分辨可分辨的全同近独立粒子组成，且处在的全同近独立粒子组成，且处在同一个个体量子态上的同一个个体量子态上的粒子数不受限制粒子数不受限制。 玻色系统：玻色系统：由由不可分辨不可分辨的全同近独立的的全同近独立的玻色玻色粒子组成，不粒子组成，不受泡利不相容原理的约束，即处在同一个个体量子态上的受泡利不相容原理的约束，即处在同一个个体量子态上的粒子数不受限制粒子数不受限制的系统。的系统。 费米系统：费米系统：由由不可分辨不可分辨的全同

23、近独立的的全同近独立的费米费米粒子组成，受粒子组成，受泡利不相容原理的约束，即处在同一个个体量子态上的泡利不相容原理的约束，即处在同一个个体量子态上的粒粒子数最多只能为子数最多只能为1个粒子个粒子的系统。的系统。 24举例说明举例说明设系统由设系统由两两个粒子组成，粒子的个体量子态有个粒子组成，粒子的个体量子态有3个，如果个，如果这两个粒子是这两个粒子是定域子、玻色子、费米子定域子、玻色子、费米子时，试分别讨论系时，试分别讨论系统各有那些可能的微观状态？统各有那些可能的微观状态？微观粒子还受到空间的限制，因而分为微观粒子还受到空间的限制，因而分为定域的和非定域定域的和非定域的，的，定域系统可用

24、粒子的位置来分辨粒子，对于非定域系统，定域系统可用粒子的位置来分辨粒子，对于非定域系统，必须考虑微观粒子的全同性原理。必须考虑微观粒子的全同性原理。定域系统定域系统 玻尔兹曼系统玻尔兹曼系统 25玻尔兹曼系统玻尔兹曼系统玻色系统玻色系统费米系统费米系统态1态2态3ABABABABBAABBAABBA态1态2态3AAAAAAAAAAAA态1态2态3AAAAAA9个个个个个个26经典统计物理学经典统计物理学：在经典力学基础上建立的统计物理学：在经典力学基础上建立的统计物理学量子统计物理学量子统计物理学：在量子力学基础上建立的统计物理学：在量子力学基础上建立的统计物理学两者在统计原理上是相同的，区别

25、在于对微观运动状态的描述。两者在统计原理上是相同的，区别在于对微观运动状态的描述。在一定的条件下，可以由量子统计得到经典统计的结果。在一定的条件下，可以由量子统计得到经典统计的结果。276.4 等概率原理等概率原理平衡态统计物理的基本假设平衡态统计物理的基本假设等概率原理等概率原理一一. 宏观状态和微观状态的区别宏观状态和微观状态的区别宏观状态：平衡状态下由一组参量表示，如，宏观状态：平衡状态下由一组参量表示，如，微观状态：由广义坐标和广义动量或一组量子数表示。微观状态：由广义坐标和广义动量或一组量子数表示。为了研究系统的宏观性质，没有必要实际上也没有可为了研究系统的宏观性质，没有必要实际上也

26、没有可能追随微观状态的复杂变化。只要知道各个微观状态出现能追随微观状态的复杂变化。只要知道各个微观状态出现的概率，就可以用统计方法求微观量的统计平均值。因此的概率，就可以用统计方法求微观量的统计平均值。因此确定各微观状态出现的概率是统计物理的根本问题。确定各微观状态出现的概率是统计物理的根本问题。28玻耳兹曼在玻耳兹曼在19世纪世纪70年代提出了著名的年代提出了著名的等概率原理等概率原理：对于处对于处在平衡态的孤立系统，系统的各个可能的微观状态出现的概在平衡态的孤立系统，系统的各个可能的微观状态出现的概率是相等的。率是相等的。二二. 等概率原理等概率原理既然这些微观状态都同样满足具有确定既然这

27、些微观状态都同样满足具有确定N、E、V的的宏观条件，没有理由认为哪一个状态出现的概率更大一宏观条件，没有理由认为哪一个状态出现的概率更大一些。这些微观状态应当是平权的。些。这些微观状态应当是平权的。 等概率原理是统计物理学中的一个合理的基本假设。它等概率原理是统计物理学中的一个合理的基本假设。它不能从更基本的原理推出，也不能直接从实验上验证。它的不能从更基本的原理推出，也不能直接从实验上验证。它的正确性由正确性由它推出的各种结论与客观实际相符它推出的各种结论与客观实际相符而得到肯定。而得到肯定。必须计算每个宏观态的微观态数。必须计算每个宏观态的微观态数。宏观态由热力学量决定，如宏观态由热力学量

28、决定，如 VnU,等。或等。或VNE,。微观态的标定，微观态的标定，指定量子态，指定量子态，确定粒子对量子态的分布，确定粒子对量子态的分布，改变分布，获得所有的微观态。改变分布，获得所有的微观态。态态1 1态态2 2态态3 3A AA AA AA A费米统计费米统计A AA A微观态数：微观态数：3引言引言6.5 分布和微观状态分布和微观状态2930一一. 分布分布12l1a2ala12l能级能级简并度简并度粒子数粒子数一系统，全同近独立，具有确定的，一系统，全同近独立，具有确定的，分布分布 , :21llaaaa满足：满足：llNa(6.5.1) lllEa分布确定了每个能级上的粒子数分布确

29、定了每个能级上的粒子数31二二. 分布和微观状态的区别分布和微观状态的区别分布只确定了每个能级上的粒子数分布只确定了每个能级上的粒子数微观状态：微观状态：对于玻色和费米系统，要求确定每个量子态上的粒子数；对于玻色和费米系统，要求确定每个量子态上的粒子数；对于玻尔兹曼系统，要求确定每一个粒子的个体量子态。对于玻尔兹曼系统，要求确定每一个粒子的个体量子态。 给定了一个分布，只能确定处在每一个能级 上的粒子数 ，能级的简并度为 ，它与微观状态是两个性质不同的概念。微观状态是粒子的运动状态，它反映的是粒子运动特征，即量子态。粒子占据量子态的不同方式数叫做微观状态数。 就一个确定的分布而言，与它相应的微

30、观状态数是确定的。不同的分布，有不同的微观状态数。 定域系：确定系统的微观状态要求确定每一个粒子的个体量子态。 非定域系：确定系统的微观状态要求确定处在每一个个体量子态上的粒子数。llal321a2a1, 221331a2a1, 221341a2a1, 221351a2a1, 221 361, 2211a2a2, 2211a2a37三三. 三种统计的微观状态数三种统计的微观状态数下面我们将分别讨论玻耳兹曼系统下面我们将分别讨论玻耳兹曼系统(定域系统定域系统)、玻色系、玻色系统、费米系统统、费米系统与一个分布相对应的系统的微观状态数与一个分布相对应的系统的微观状态数。 就一个确定的分布而言，与它

31、相应的微观状态数是确定的。就一个确定的分布而言，与它相应的微观状态数是确定的。不同的分布，有不同的微观状态数。如前例。不同的分布，有不同的微观状态数。如前例。 粒子可以分辨，每个个体量子态能容纳的粒子个数不受限制。粒子可以分辨，每个个体量子态能容纳的粒子个数不受限制。 1. 玻尔兹曼系统玻尔兹曼系统分布相应的系统的微观状态数为：分布相应的系统的微观状态数为：(6.5.2) !.lalllBMlaNlallllallalalllllaNN!38例如：例如：3个可分辨粒子，个可分辨粒子，2个能级，个能级， 某分布为某分布为 1 , 2la1, 221lallllallalalllllaNN!2个编

32、了号的粒子占据能级个编了号的粒子占据能级1的的2个量子态的方式有个量子态的方式有4种：种：42211a1个编了号的粒子占据能级个编了号的粒子占据能级2的的1个量子态的方式有个量子态的方式有1种：种：11122a3个粒子交换数是个粒子交换数是3!=612 313 221 323 131 232 1同一态同一态上粒子交换，不产生新的微观状态，交换数为：上粒子交换，不产生新的微观状态，交换数为：!la该分布对应的微观状态数为：该分布对应的微观状态数为： 1212 121 22 1 392. 玻色系统玻色系统粒子不可分辨，每个个体量子态能容纳的粒子个数不受限制。粒子不可分辨，每个个体量子态能容纳的粒子

33、个数不受限制。 (6.5.3) !1!1.lllllEBaalllllllllllllaaaaaa! 1! 1! 1! 1! 113. 费米系统费米系统粒子不可分辨，每个个体量子态最多只能容纳一个粒子。粒子不可分辨，每个个体量子态最多只能容纳一个粒子。 (6.5.4) )( !.lllllllDFaaa12l12lla2a1a 分布对应的微观态数分布对应的微观态数A. 玻耳兹曼系统（定域系统）（玻耳兹曼玻耳兹曼系统（定域系统）（玻耳兹曼分布）分布）粒子可以编号粒子可以编号。确定，只有确定，只有移动移动和和交换交换粒子可能改变系统的微观态；粒子可能改变系统的微观态； lal4l例如例如5la12

34、34512345a. 移动：移动：la个粒子在个粒子在l个量子态中不同放置导致不同微观态。个量子态中不同放置导致不同微观态。4012345xb. 交换：不同的能级之间的粒子交换导致新的微观态。交换：不同的能级之间的粒子交换导致新的微观态。N个粒子的总交换数个粒子的总交换数 N!lla !改变微观状态的粒子交换的改变微观状态的粒子交换的有效次数有效次数：llaN!/ !la个粒子在个粒子在l个量子态中放置的不同方式的数目个量子态中放置的不同方式的数目lal所以分布所以分布 对应微观态数对应微观态数lallllBlaNa!同能级内粒子交换总数同能级内粒子交换总数。 la41B. 玻色分布玻色分布粒

35、子不可区分，每量子态的粒子数不限。粒子不可区分，每量子态的粒子数不限。12345不动不动量子态量子态与与粒子粒子交换导致不同微观态交换导致不同微观态.不动不动量子态与粒子交换总数量子态与粒子交换总数)!1(lla量子态交换数量子态交换数)!1(l粒子交换数粒子交换数!lalllllEBaa)!1( !)!1(.42C. 费米分布费米分布llalla个量子态中个量子态中选选 个，每个置一个粒子的方法。个，每个置一个粒子的方法。lllllDFaa)!( !.粒子不可分辨，每一个个体量子态最多只能容纳一个粒子。粒子不可分辨，每一个个体量子态最多只能容纳一个粒子。4344(6.5.5) 1llalll

36、llEBaa! 1! 1. lBMlallllllllNaaaal!21. lBMlallllllllllllDFNaaaaal!11!. 式（式（6.5.5）称为）称为经典极限条件，也称非简并性条件经典极限条件，也称非简并性条件。经典极。经典极限条件表示，在所有的能级，粒子数都远小于量子态数。限条件表示，在所有的能级，粒子数都远小于量子态数。如果在玻色系统和费米系统中，任一能级如果在玻色系统和费米系统中，任一能级l上的粒子数均上的粒子数均远小于该能级的量子态数，即远小于该能级的量子态数，即此时有：此时有：经典极限条件经典极限条件45qp0rh0pqh12120 rrrpppqqqh四四. 经

37、典统计中的分布和微观状态数经典统计中的分布和微观状态数对于经典系统，由于对坐标和对于经典系统，由于对坐标和动量的测量总存在一定的误差，动量的测量总存在一定的误差，假设假设 ，这时经典系统，这时经典系统的一个运动状态不能用一个点的一个运动状态不能用一个点表示，而必须用一个体积元表表示，而必须用一个体积元表示，该体积元的大小为示，该体积元的大小为0hqp12120 rrrpppqqqh表示经典系统的一个微观状态表示经典系统的一个微观状态在空间所占的体积，称为在空间所占的体积，称为经典经典相格相格。0h相格对应运动状态相格对应运动状态46llllrlh0/N个粒子的分布可描述为个粒子的分布可描述为1

38、2lrh01rh02rlh012l1a2ala体积元体积元简并度简并度能量能量粒子数粒子数(6.5.8) !0 larlllcllhaN476.6 玻尔兹曼分布玻尔兹曼分布一一. 最概然分布最概然分布每个微观状态数的几率微观状态数每个微观状态数的几率微观状态数 W分布分布 出现的几率：出现的几率： la可能存在这样一个分布，它使系统的微观状态数最多。可能存在这样一个分布，它使系统的微观状态数最多。 根据等概率原理，对处于平衡态的孤立系统，每一个可能的根据等概率原理，对处于平衡态的孤立系统，每一个可能的微观状态数的几率是相等的。因此，微观状态数的几率是相等的。因此，微观状态数最多的分布微观状态数

39、最多的分布，出现的几率最大，称为最概然分布出现的几率最大，称为最概然分布。 参见附录参见附录B：互斥事件的加法定理：互斥事件的加法定理平衡态对应的分布是最概然分布平衡态对应的分布是最概然分布48二二. 玻耳兹曼分布玻耳兹曼分布玻耳兹曼系统粒子的最概然分布玻耳兹曼系统粒子的最概然分布玻耳兹曼分布玻耳兹曼分布 1. 斯特令公式：斯特令公式： ) 1(ln!lnmmmm是远大于是远大于1的整数的整数证明：证明：simple, please see page 182 of textbook.2. 推导玻尔兹曼分布：推导玻尔兹曼分布： 要求使微观状态数要求使微观状态数 为极大的分布。为极大的分布。(6.6.2) !lallllaN49 !lallllaN对两边取对数对两边取对数(6.6.3) ln!ln!lnlnlll