疲劳与断裂力学第5章 线弹性断裂力学基础

1、强度强度 材料抵抗破坏的能力材料抵抗破坏的能力断裂力学断裂力学 研究材料内部存在裂纹情况下强度问题的科学。研究材料内部存在裂纹情况下强度问题的科学。 研究带有裂纹的连续介质体中裂纹如何扩展，在什么条件下扩展，从中提炼出一些新的强度和韧度指标。为解决存在裂纹零部件的安全和寿命问题提供新的方法和依据。 一、断裂力学的基本概念一、断裂力学的基本概念断裂力学和材料力学、弹塑性力学的相同点： 都是宏观的强度理论，都研究材料的受力、变形和断裂。断裂力学和材料力学、弹塑性力学的不同点： 材料力学、弹塑性力学的基本假设是材料均匀、连续；而断裂力学则假定材料内部存在着一条或几条裂纹。 断裂力学就是裂纹体力学断裂

2、力学就是裂纹体力学 裂纹裂纹是是断裂力学从实际材料中存在的各种缺陷断裂力学从实际材料中存在的各种缺陷（如气（如气孔、夹杂、疏松、缩孔、白点、应力腐蚀引起的蚀坑、交孔、夹杂、疏松、缩孔、白点、应力腐蚀引起的蚀坑、交变荷载下产生的疲劳源）变荷载下产生的疲劳源）中抽象出来的力学模型中抽象出来的力学模型。 断裂力学中定义的裂纹的最大特点是断裂力学中定义的裂纹的最大特点是 裂纹尖端曲率半径裂纹尖端曲率半径 ，这种裂纹又叫，这种裂纹又叫“尖裂纹尖裂纹”。 断裂力学假设存在于连续介质中的裂纹均为尖裂纹。断裂力学假设存在于连续介质中的裂纹均为尖裂纹。0二、裂纹二、裂纹 断裂力学中处理的裂纹可分为二类：一类是断

3、裂力学中处理的裂纹可分为二类：一类是贯穿裂纹贯穿裂纹（平（平面问题）；一类是面问题）；一类是表面裂纹和深埋裂纹表面裂纹和深埋裂纹（空间问题）。（空间问题）。三、裂纹的分类三、裂纹的分类 无论哪一类裂纹，依据外加应力与裂纹面的取向关系，无论哪一类裂纹，依据外加应力与裂纹面的取向关系，可以有可以有三种变形方式三种变形方式： 1 1）拉开裂纹拉开裂纹这种变形叫张开型或这种变形叫张开型或I I型型，易于实验。，易于实验。 2 2）滑开裂纹滑开裂纹这种变形叫滑开型或这种变形叫滑开型或IIII型型，不易实验。，不易实验。 3 3）撕开裂纹撕开裂纹这种变形叫撕开型或这种变形叫撕开型或IIIIII型型，易于实

4、验。，易于实验。 对于开裂的一般情况可用三种型式的迭加来描述，这时对于开裂的一般情况可用三种型式的迭加来描述，这时称为称为复合型裂纹复合型裂纹。 I I型是在正应力作用下裂纹张开而伸展，这是最危险型是在正应力作用下裂纹张开而伸展，这是最危险的受力状态。的受力状态。 IIII、IIIIII型由于实际裂纹面存在摩擦而降低了裂尖的型由于实际裂纹面存在摩擦而降低了裂尖的应力强度，复合型裂纹也只在裂纹确实张开的条件下才有应力强度，复合型裂纹也只在裂纹确实张开的条件下才有意义。意义。 断裂力学中重点研究断裂力学中重点研究I I型裂纹。型裂纹。 裂纹在应力作用下会发生扩展，裂纹的扩展有慢速扩裂纹在应力作用下

5、会发生扩展，裂纹的扩展有慢速扩展和失稳扩展（快速扩展）。慢扩展不可怕，因为人们有展和失稳扩展（快速扩展）。慢扩展不可怕，因为人们有时间观察它的变化。失稳扩展速度快，导致构件的突然断时间观察它的变化。失稳扩展速度快，导致构件的突然断裂，危险很大，裂，危险很大，断裂力学讨论的就是失稳扩展的条件断裂力学讨论的就是失稳扩展的条件。 由于所研究的工程问题是确保在工作条件（静态，准由于所研究的工程问题是确保在工作条件（静态，准静态）下，裂纹不扩展或随荷载增长而缓慢增长，但不发静态）下，裂纹不扩展或随荷载增长而缓慢增长，但不发生快速扩展。因此，生快速扩展。因此，断裂力学着重研究静态（包括准静态）断裂力学着重

6、研究静态（包括准静态）问题问题。 当外加应力在弹性范围内，而裂纹前端的塑性区很小当外加应力在弹性范围内，而裂纹前端的塑性区很小时，这种断裂问题可以用线性弹性力学处理，这种断裂力时，这种断裂问题可以用线性弹性力学处理，这种断裂力学叫学叫线弹性断裂力学（线弹性断裂力学（LEFMLEFM）。适用于高强低韧金属材料。适用于高强低韧金属材料的平面应变断裂和脆性材料如玻璃、陶瓷、岩石、冰等材的平面应变断裂和脆性材料如玻璃、陶瓷、岩石、冰等材料的断裂情况。料的断裂情况。 四、断裂力学的处理方法四、断裂力学的处理方法 对延性较大的金属材料，其裂纹前端的塑性区已大于对延性较大的金属材料，其裂纹前端的塑性区已大于

7、LEFMLEFM能够处理的极限，这种断裂问题要用弹塑性力学处理，能够处理的极限，这种断裂问题要用弹塑性力学处理，这种断裂力学叫这种断裂力学叫弹塑性断裂力学弹塑性断裂力学(EPFM)(EPFM)。 最后，有一类裂纹完全埋在广大的塑性区中，称为全最后，有一类裂纹完全埋在广大的塑性区中，称为全面屈服断裂，目前只能用工程方法（实验曲线面屈服断裂，目前只能用工程方法（实验曲线- -经验公式）经验公式）处理。处理。 线弹性断裂力学认为，材料和构件在断裂以前基本上处线弹性断裂力学认为，材料和构件在断裂以前基本上处于弹性范围内，可以把物体视为带有裂纹的弹性体。于弹性范围内，可以把物体视为带有裂纹的弹性体。研究

8、裂纹扩展有两种观点：研究裂纹扩展有两种观点： 一种是一种是能量平衡的观点能量平衡的观点，认为裂纹扩展的动力是构件在，认为裂纹扩展的动力是构件在裂纹扩展中所释放出的弹性应变能，它补偿了产生新裂纹表裂纹扩展中所释放出的弹性应变能，它补偿了产生新裂纹表面所消耗的能量，如面所消耗的能量，如GriffithGriffith理论理论； 一种是一种是应力场强度的观点应力场强度的观点，认为裂纹扩展的临界状态是，认为裂纹扩展的临界状态是裂纹尖端的应力场强度达到材料的临界值，如裂纹尖端的应力场强度达到材料的临界值，如IrwinIrwin理论理论。 线弹性断裂力学的基本理论包括： Griffith理论，即能量释放率

9、理论； Irwin理论，即应力强度因子理论。 1913年，Inglis研究了无限大板中含有一个穿透板厚的椭圆孔的问题，得到了弹性力学精确分析解，称之为Inglis解。1920年，Griffith研究玻璃与陶瓷材料脆性断裂问题时，将Inglis解中的短半轴趋于0，得到Griffith裂纹。一、一、Griffith理论理论 Griffith研究了如图所示厚度为研究了如图所示厚度为B的薄平板。上、下端受的薄平板。上、下端受到均匀拉应力作用，将板拉长后，固定两端。由到均匀拉应力作用，将板拉长后，固定两端。由Inglis解得到解得到由于裂纹存在而释放的弹性应变能为由于裂纹存在而释放的弹性应变能为2222

10、211UaBEUaBE平面应变平面应力 另一方面，另一方面，Griffith认为，裂纹扩展形成新的表面，需认为，裂纹扩展形成新的表面，需要吸收的能量为要吸收的能量为 24SAa B其中：其中：为单位面积上的表面能。为单位面积上的表面能。可以得到如下表达式可以得到如下表达式 d()0dUSA临界状态临界状态 d()0dUSA裂纹稳定裂纹稳定 d()0dUSA裂纹不稳定裂纹不稳定 对于对于平面应力问题平面应力问题，d2 dAB a，则，则2ddUaAE d2dSA根据根据临界条件临界条件，有，有22caE 22caE 或或 得得临界应力临界应力为为 122()cEa 表示无限大平板在平面应力状态下

11、，长为表示无限大平板在平面应力状态下，长为2a裂纹失裂纹失稳扩展时，拉应力的临界值，称为稳扩展时，拉应力的临界值，称为剩余强度剩余强度。 临界裂纹长度临界裂纹长度 22cEa对于对于平面应变平面应变有有 2222(1)2(1)ccEaEaGriffith判据判据如下：如下：(1)当外加应力当外加应力 超过临界应力超过临界应力 c(2)当裂纹尺寸当裂纹尺寸 a超过临界裂纹尺寸超过临界裂纹尺寸 ca脆性物体断裂脆性物体断裂 二、二、Orowan与与Irwin对对Griffith理论的解释与发展理论的解释与发展 Orowan在在1948年指出，金属材料在裂纹的扩展过程中，年指出，金属材料在裂纹的扩展

12、过程中，其尖端附近局部区域发生塑性变形。因此，其尖端附近局部区域发生塑性变形。因此，裂纹扩展时，裂纹扩展时，金属材料释放的应变能，不仅用于形成裂纹表面所吸收的金属材料释放的应变能，不仅用于形成裂纹表面所吸收的表面能，同时用于克服裂纹扩展所需要吸收的塑性变形能表面能，同时用于克服裂纹扩展所需要吸收的塑性变形能（也称为塑性功）。（也称为塑性功）。 设金属材料的裂纹扩展单位面积所需要的塑性功为设金属材料的裂纹扩展单位面积所需要的塑性功为 pU，则剩余强度和临界裂纹长度可表示为，则剩余强度和临界裂纹长度可表示为 22 ()(1)2 ()PcPEUaEUa平面应变平面应力2222 ()(1)2 ()Pc

13、PEUaEU平面应变平面应力Irwin在在1948年引入记号年引入记号 G1()2GWUa外力功外力功 释放出的应变能释放出的应变能 能量释放率能量释放率 能量释放率也称为裂纹扩展能力能量释放率也称为裂纹扩展能力 G准则准则 cGGcG临界值临界值, ,由试验确定由试验确定 Irwin的理论适用于金属材料的准脆性破坏的理论适用于金属材料的准脆性破坏破坏前裂纹破坏前裂纹尖端附近有相当范围的塑性变形。尖端附近有相当范围的塑性变形。该理论的提出是线弹性该理论的提出是线弹性断裂力学诞生的标志断裂力学诞生的标志。三、应力强度因子理论三、应力强度因子理论裂纹尖端存在奇异性裂纹尖端存在奇异性, ,即即: :

14、 1( , )(0)iyrrr 基于这种性质，基于这种性质，1957年年Irwin提出新提出新的物理量的物理量应力强度因子应力强度因子K，即：，即：0lim2( ,0)yyrKrr 1960年年Irwin用石墨做实验，测定开始裂纹扩展时的用石墨做实验，测定开始裂纹扩展时的 cKK断裂判据断裂判据( K准则准则) cKK一、裂纹尖端附近的应力场、位移场一、裂纹尖端附近的应力场、位移场 1、型裂纹型裂纹问题的描述：无限大板，有一长为问题的描述：无限大板，有一长为 的穿透裂纹的穿透裂纹, ,在无限远在无限远处受双向拉应力处受双向拉应力 的作用。确定裂纹尖端附近的应力场和位的作用。确定裂纹尖端附近的应

15、力场和位移场。移场。 2aIrwin应用应用Westergaurd的方法进行分析的方法进行分析(1) Westergaurd应力函数应力函数 弹性力学平面问题的求解，归结为要求求一个应力函数。弹性力学平面问题的求解，归结为要求求一个应力函数。该函数边界条件及双调和方程。该函数边界条件及双调和方程。1939年，年，Westergaurd应力函数应力函数ReImZyZ其中：其中： 为解析函数为解析函数; ; 为一次积分和二次积分。为一次积分和二次积分。Z,Z Z首先证明首先证明: : 40满足双调和方程满足双调和方程 42222() ()xyxy 因为因为: : 222Re( Im)ZyZ 解析函

16、数的性质解析函数的性质: :(1)(1)解析函数的导数和积分仍为解析函数解析函数的导数和积分仍为解析函数(2)(2)解析函数的实部和虚部均满足调和方程解析函数的实部和虚部均满足调和方程2Re0Z222222( Im)( Im)( Im)yZyZyZxy22Im(ImIm)ZyyyZZxyyy2222ImImImImZZyZyZxyyy2ImIm2ZyZy 柯西黎曼条件柯西黎曼条件ReImImZZZyx ImReReZZZyx 有有 Im22ReZZy222(2Re)0Z 即函数即函数 是平面问题的应力函数是平面问题的应力函数. .则应力分量则应力分量: :2222(ReIm)xZyZyyReI

17、m(Im)ZZZyyyy( ImImRe)ZZyZyReReZZyyReImZyZ即即 ReImxZyZReImyZyZ0z( (平面应力平面应力) ) ()2 RezxyZ ( (平面应变平面应变) ) RexyyZ 物理方程物理方程: :yxxEEyxyEExyxyG ( (平面应力平面应力) ) 21(1)(1)xxyE 21(1)(1)yyxE xyxyG( (平面应变平面应变) ) 几何方程几何方程: :xuxyuy 得得 1(1)Re(1) ImuZyZE12Im(1) RevZyZE平面应力平面应力1(12 )Re(1) ReuZyZE12(1)ImRevZyZE平面应变平面应变

18、(2) 求解双向拉伸求解双向拉伸型裂纹型裂纹 边界条件边界条件: : 0y xa0yxy z ,0 xyxy 选取选取型裂纹的型裂纹的 函数函数 Z22zZza验证验证: :0y zxa: , 时时22xZxaRe0Z 又又 0y 0yxyb: b: 22limlimzzzZza23222limlim0()zzaZza,0 xyxy 采用新的坐标采用新的坐标 ,zaire( )( )(2 )afZa （ + ）()( )2afa 令令 00lim( )lim( )22KafZKa -应力强度因子应力强度因子 Z( )(cossin)2222KKZir32133( )(cossin)222 2K

19、Zir 3ReImcos(1 sinsin)2222xKZyZr3cos(1 sinsin)2222yKr3cossincos2222xyKr0 xzyz()zxy 平面应变平面应变 0z平面应力平面应力 3(21)coscos4222KrukG3(21)sinsin4222KrvkG0w平面应变平面应变 ()xywdzE 平面应力平面应力 3431k平面应变平面应力2、型裂纹型裂纹 3sin(2coscos)2222xKr 3cossincos2222yKr 3cos(1 sinsin)2222xyKr0 xzyz()zxy 平面应变平面应变 0z平面应力平面应力 3(23)sinsin42

20、22KrukG3(22)coscos4222KrvkG0w平面应变平面应变 ()xywdzE 平面应力平面应力 3、撕开型、撕开型(型型)问题描述问题描述: :无限大板无限大板, ,中心裂纹中心裂纹( (穿透穿透) ,) ,无限远处受与无限远处受与 方向平行的方向平行的 作用作用. .2az反平面反平面( (纵向剪切纵向剪切) )问题问题, , 其位移其位移 ( , ),0ww x y uv根据几何方程和物理方程:1xzxzwrxG1yzyzwryG0 xyxyz单元体的平衡方程单元体的平衡方程: :200yzxzwxy 位移函数满足位移函数满足Laplace方程，所以为调和函数方程，所以为调

21、和函数. 解析函数性质：任意解析函数的实部和虚部都是解析的解析函数性质：任意解析函数的实部和虚部都是解析的1( , )Im( )w x yZzGImImxzZwGZxxImReyzZwGZyy边界条件边界条件: :0,0yzyxa,0,xzyzz选取函数选取函数 22( )zZzza满足边界条件满足边界条件 取新坐标取新坐标 za()( )(2 )aZa 令令 0lim2KZa 假设裂纹闭合假设裂纹闭合 3cos(sinsin)2222yKHr当当 , , 时时 0rx2yKx3(21)sinsin4222KrvkG当当 , , 时时 rax (22)42KaxvkG 二、应力强度因子与能量释

22、放率的关系二、应力强度因子与能量释放率的关系 在闭合时在闭合时, ,应力在应力在 那段所做的功为那段所做的功为 a0ayBvdx200141(22)4242aayKKBaxkGvdxkdxKB aaGGx 平面应力平面应力 23,1KkGE平面应变平面应变 22134kGKE2KGE21EEEE 平面应力平面应变同理同理 2KGE21GKE 计算计算 值的几种方法值的几种方法 K1 1、数学分析法：复变函数法、积分变换；、数学分析法：复变函数法、积分变换；2 2、近似计算法：边界配置法、有限元法；、近似计算法：边界配置法、有限元法；3 3、实验标定法：柔度标定法；、实验标定法：柔度标定法；4

23、4、实验应力分析法：光弹性法。、实验应力分析法：光弹性法。一、三种基本裂纹应力强度因子的计算一、三种基本裂纹应力强度因子的计算1、无限大板、无限大板型裂纹应力强度因子的计算型裂纹应力强度因子的计算 0lim2KZ计算计算 的基本公式的基本公式 K1 1）在）在“无限大无限大”平板中具有长度为平板中具有长度为 的穿透板厚的裂的穿透板厚的裂纹表面上纹表面上, ,距离距离 处各作用一对集中力处各作用一对集中力P P 2axb ReImxZyZReImyZyZRexyyZ 边界条件：边界条件：,0 xyxyz,za 除去除去 处裂纹为自由处裂纹为自由 表面上表面上 zb 0,0yxy如切出如切出 坐标

24、系内的第一象限的薄平板，在坐标系内的第一象限的薄平板，在 轴所在轴所在截面上内力总和为截面上内力总和为P P xyx以新坐标表示以新坐标表示: : 22222 ()()(2 )paabZaba 2202lim2( )()p aKZab选取复变解析函数：选取复变解析函数： 22222()pz abZzb2）在无限大平板中）在无限大平板中,具有长度为具有长度为 的穿透板厚的裂纹表的穿透板厚的裂纹表面上面上,在距离在距离 的范围内受均布载荷的范围内受均布载荷q作用作用 2a1xa 利用叠加原理利用叠加原理 集中力集中力 qdx222()q adKdxax2202()aq aKdxax令令 22cos

25、cosxaaxacosdxad 111sin()10cos22sin ()cosaaaaaaaKqdqa当整个表面受均布载荷时当整个表面受均布载荷时 12sin ( )aaaKqqa3）受二向均布拉力作用的无限大平板，在）受二向均布拉力作用的无限大平板，在 轴上有一系列轴上有一系列长度为长度为 ，间距为，间距为 的裂纹的裂纹 x2a2b单个裂纹时单个裂纹时 22zZza边界条件边界条件是周期的是周期的: :,yxz0,22yaxaabxab 0,0yxy22sin2(sin)(sin)22zbZzabb采用新坐标采用新坐标: : za22sin()2()(sin)(sin)22abZaabb

26、当当 时，时，0sin,cos1222bbbsin()sincoscossin22222aaabbbbbcossin222aabbb 2222sin()() cos2cossin(sin)2222222aaaaabbbbbbb22sin()(sin)2cossin22222aaaabbbbb0sin22cossin222abZaabbb0sin2lim22 tan21cossin222aabKZbbaabbb2tan2baaab 2tan2wbaMab取取 -修正系数修正系数, ,大于大于1,1,表示其他裂纹存在对表示其他裂纹存在对 的影响的影响 K 若裂纹间距离比裂纹本身尺寸大很多（若裂纹间

27、距离比裂纹本身尺寸大很多（ ）可不）可不考虑相互作用考虑相互作用, ,按单个裂纹计算。按单个裂纹计算。 2125ab2、无限大平板、无限大平板、型裂纹问题应力强度因子的计算型裂纹问题应力强度因子的计算1）型裂纹应力强度因子的普遍表达形式型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板无限大板): 0lim( ) 2KZ2）无限大平板中的周期性的）无限大平板中的周期性的II型裂纹，且在无限远的边界上处型裂纹，且在无限远的边界上处于平板面内的纯剪切力作用于平板面内的纯剪切力作用22sin2( )(sin)(sin)22zbZ zzabb22sin()2( )sin()(sin)22abZaabb02li

28、m2( )tan2baKZaab 3）型裂纹应力强度因子的普遍表达形式型裂纹应力强度因子的普遍表达形式(无限大板无限大板)0lim2( )KZ4）型周期性裂纹型周期性裂纹 2tan2baKaab 1950年，格林和斯内登分析了弹性年，格林和斯内登分析了弹性物体的深埋的椭圆形裂纹邻域内的应物体的深埋的椭圆形裂纹邻域内的应力和应变，得到椭圆表面上任意点沿力和应变，得到椭圆表面上任意点沿y方向的张开位移为方向的张开位移为 1222022(1)xzyyac其中其中: : 202(1) ayE 第二类椭圆积分第二类椭圆积分 二、深埋裂纹的应力强度因子的计算二、深埋裂纹的应力强度因子的计算1222220s

29、in( ) cosadc 1962年，年，Irwin利用上述结果计算在这种情况下的应力强利用上述结果计算在这种情况下的应力强度因子度因子 原裂纹面原裂纹面 11cos,sinzx222222221111221xzc xa za cac2222sincosacca假设：椭圆形裂纹扩展时假设：椭圆形裂纹扩展时rf2222sincosrrfcaac边缘上任一点边缘上任一点 有有 ( ,)p x z1()sin(1) sin(1)xrff x 1()cos(1)zrf z 11( ,), ( ,)p x zp x z均在均在 的平面内的平面内 0y 222242222(1)c xa zfa ca c

30、f 1新的裂纹面仍为椭圆新的裂纹面仍为椭圆 长轴长轴 (1)cf c 短轴短轴 (1)af a 22002(1)2(1) (1)(1)af ayf yEE 原有裂纹面原有裂纹面: : 222220()1xzyacy扩展后裂纹面扩展后裂纹面: : 222220()1xzyacy以以 ， 代入代入 1xx 1zz 原有裂纹面的边缘原有裂纹面的边缘 向位移向位移 yy2222sincosrfcaac22222202sincosryycaac 2222211112222222011(1)(1)xzxzyyacfafc 2222221111112222221 (1 2 )(1 2 )12 ()xzxzx

31、zfffacacac 2 f=2222200022 (1)2yfyffyfy设各边缘的法向平面为平面应变设各边缘的法向平面为平面应变, ,有有: :3(21)sinsin4222KrvkG34k当当 时，时， 24(1)2rvKE2222222202216(1)sincos2IryrcaKacE2222222021E()sincos4 1IKycaac202(1) ayE 14122222( ) (sincos)IaKcac 在椭圆的短轴方向上，即在椭圆的短轴方向上，即 ，有，有 2IImaxKK -椭圆片状深埋裂纹的应力强度因子椭圆片状深埋裂纹的应力强度因子 当当 时，时， 2ac2IKa

32、-圆片状深埋裂纹应力强度因子圆片状深埋裂纹应力强度因子 三、半椭圆表面裂纹的应力强度因子计算三、半椭圆表面裂纹的应力强度因子计算1、表面浅裂纹的应力强度因子、表面浅裂纹的应力强度因子 欧文假设：欧文假设： 半椭圆片状表面浅裂纹半椭圆片状表面浅裂纹 与与深埋椭圆裂纹的深埋椭圆裂纹的 之比等于边裂之比等于边裂纹平板纹平板 与中心裂纹平板的与中心裂纹平板的 值之比值之比 IKIKIKIKIIIIKKKK表边埋中1220.1sin(1)tanIIAKWAKW边中又有又有 裂纹长度裂纹长度 板宽度板宽度 当当 时，时， 22sinAAWWtanAAWW 1.21.1IIKK边中1.1IIKK表埋1.16

33、1.1IIaKK埋表-椭圆片状表面裂纹椭圆片状表面裂纹A A处的处的 值值 IK1WA2、表面深裂纹的应力强度因子、表面深裂纹的应力强度因子深裂纹深裂纹：引入前后二个自由表面：引入前后二个自由表面 使裂纹尖端的弹性约束减少使裂纹尖端的弹性约束减少 裂纹容易扩展裂纹容易扩展 增大增大 IK()IIKMe K表面（埋藏）弹性修正系数，由实验确定弹性修正系数，由实验确定 一般情况下一般情况下 12MeMM前自由表面的修正系数前自由表面的修正系数 后自由表面的修正系数后自由表面的修正系数 巴里斯和薛巴里斯和薛0ac时，时， 接近于单边切口试样接近于单边切口试样 11.12M 1ac时，时， 接近于半圆

34、形的表面裂纹接近于半圆形的表面裂纹 11M 利用线性内插法利用线性内插法 110.12(1)aMc 利用中心穿透裂纹弹性体的厚度校正系数利用中心穿透裂纹弹性体的厚度校正系数1222(tan)2BaMaB板厚板厚 裂纹深度裂纹深度 浅裂纹不考后自由表面的影响浅裂纹不考后自由表面的影响 柯巴亚希柯巴亚希. .沙沙. .莫斯莫斯2110.12(1)2aMc 1222(tan)2BaMaB表面深裂纹的应力强度因子（应为最深点处）表面深裂纹的应力强度因子（应为最深点处） IaKMe 四、确定应力强度因子的有限元法四、确定应力强度因子的有限元法 不同裂纹体在不同的开裂方式下的应力强度因子是不同不同裂纹体在

35、不同的开裂方式下的应力强度因子是不同的。一些实验方法和解析方法都有各自的局限性，而有限元的。一些实验方法和解析方法都有各自的局限性，而有限元等数值解法十分有效地求解弹塑性体的应力和位移场，而应等数值解法十分有效地求解弹塑性体的应力和位移场，而应力和位移场与力和位移场与K密切相关，所以，可以通过有限元方法进行密切相关，所以，可以通过有限元方法进行应力强度因子的计算。应力强度因子的计算。1、位移法求应力强度因子、位移法求应力强度因子型型: : 3( , )(21)coscos4222Kru rkG3( , )(21)sinsin4222Krv rkG有限元法有限元法 裂纹尖端位移裂纹尖端位移 22

36、( , )1GKv rkr2、应力法求应力强度因子、应力法求应力强度因子型型: : ( , )( )2iyiyKrfr有限元法有限元法 ( ,0)2yyrKr 利用刚度法求应力时，应力场比利用刚度法求应力时，应力场比位移场的精度低位移场的精度低( (因应力是位移对坐标因应力是位移对坐标的偏导数的偏导数) )。五、叠加原理及其应用五、叠加原理及其应用1、 的叠加原理及其应用的叠加原理及其应用 K 线弹性叠加原理线弹性叠加原理：当：当n个载荷同时作用于某一弹性体上个载荷同时作用于某一弹性体上时，载荷组在某一点上引起的应力和位移等于单个载荷在该时，载荷组在某一点上引起的应力和位移等于单个载荷在该点引

37、起的应力和位移分量之总和。点引起的应力和位移分量之总和。 叠加原理适用于叠加原理适用于 K证明证明: : 00lim2|yrKr 1T(1)(1)(1)000,|lim2|yyrKr 2T(2)(2)(2)000,|lim2|yyrKr 由叠加原理有由叠加原理有 (1)(2)000|yyy(1)(2)KKK实例实例：铆钉孔边双耳裂纹铆钉孔边双耳裂纹 叠加原理叠加原理: : ( )( )( )( )( )( )( )1()2abcdabcKKKKKKK其中其中: : ( )()2baKaD 圆孔直径圆孔直径 板有宽度板有宽度: : ()secaaFWW- - 板宽的修正板宽的修正 (a) (b)

38、 (c) (d)2fDaa有效裂纹长度有效裂纹长度 ( )()2()sec2bDaaKaDW 确定确定 : :无限板宽中心贯穿裂纹受集中力无限板宽中心贯穿裂纹受集中力 作用作用 ( )cKppKa1(2 )2pKDa有限板宽有限板宽: : (2 )()sec2aDaFWW( )(2)(2 )secsec22()()22cpaDWDaKWWDDaa( )(2 )sec()22()22aDaaWKaDWDa2、应力场叠加原理及其应用、应力场叠加原理及其应用0T: :无裂纹时外边界约束在裂纹所处位置产生的内应力场无裂纹时外边界约束在裂纹所处位置产生的内应力场 应力场叠加原理：应力场叠加原理：在复杂的

39、外界约束作用下在复杂的外界约束作用下, ,裂纹前端裂纹前端的应力强度因子等于没有外界约束，但在裂纹表面上反向作的应力强度因子等于没有外界约束，但在裂纹表面上反向作用着无裂纹时外界约束在裂纹处产生的内应力用着无裂纹时外界约束在裂纹处产生的内应力 所致的应所致的应力强度因子。力强度因子。 0T小范围屈服小范围屈服：屈服区较小时：屈服区较小时( (远远小于裂纹尺寸远远小于裂纹尺寸) ) 线弹性断裂力学仍可用线弹性断裂力学仍可用 一、塑性区的形状和大小一、塑性区的形状和大小 1、屈服条件的一般形式、屈服条件的一般形式 屈服条件：屈服条件：材料超过弹性阶段而进入塑性阶段的条件材料超过弹性阶段而进入塑性阶

40、段的条件单向拉压单向拉压: : 12薄壁圆筒扭转薄壁圆筒扭转: : s复杂情况复杂情况: : (,)xyzxyxzyzfc 123(,)fc 2、根据屈服条件确定塑性区形状大小、根据屈服条件确定塑性区形状大小 利用米塞斯利用米塞斯(von Mises)屈服条件屈服条件 当复杂应力状态下的形状改变能密度等于单向拉伸屈当复杂应力状态下的形状改变能密度等于单向拉伸屈服时的形状改变能密度时，材料发生屈服，即服时的形状改变能密度时，材料发生屈服，即 2222122331()()()2s对于对于型裂纹的应力公式型裂纹的应力公式 122()22xyxyxy12cos1 sin222Kr30平面应力平面应力

41、2222cos1 3sin222sKr-平面应力下平面应力下,型裂纹前端屈服区域的边界方程型裂纹前端屈服区域的边界方程 当当 时时, , 0201()2sKr 312()z 平面应变平面应变 22222cos(1 2 )3sin222sKr-平面应变下平面应变下, , 型裂纹前端屈服区的边界方程型裂纹前端屈服区的边界方程 当当 时时, , 0210.16()(0.3)2sKr 221(12 )()2sK 3、应力松弛的影响、应力松弛的影响由于塑性变形引起应力松弛由于塑性变形引起应力松弛 应力松弛应力松弛 依据：单位厚含裂纹平板依据：单位厚含裂纹平板, ,在外力作用下发生局部屈服后在外力作用下发

42、生局部屈服后, , 其净截面的内力应当与外界平衡其净截面的内力应当与外界平衡. . 塑性区尺寸增大塑性区尺寸增大0|2yKr( (图中虚线所示图中虚线所示) ) 此曲线下的面积为此曲线下的面积为1( )yFx dx= =外力外力 理想塑性材料理想塑性材料应力松弛后应力松弛后: : 2yFdx= =外力外力 屈服区内的最大应力称为有效屈服应力屈服区内的最大应力称为有效屈服应力 2 2()()syss平面应变平面应力21()2ysysKr ( )yyx dxdx又又BD与与CE下的面积应相等下的面积应相等 201()2ysysKrr ( (平面应力平面应力) ) 在平面应力条件下在平面应力条件下, ,考虑应力松弛考虑应力松弛, , 轴的屈服区扩大轴的屈服区扩大1 1倍倍. . x2201()2()8