第二章流体静力学

1、第二章第二章 流体静力学流体静力学 第一节第一节 流体静压强及其特性流体静压强及其特性 第七节第七节 流体平衡微分方程式流体平衡微分方程式 第二节第二节 流体静压强的分布规律流体静压强的分布规律第三节第三节 压强的计算基准和度量单位压强的计算基准和度量单位第四节第四节 液柱测压计液柱测压计第五节第五节 静止流体作用在平面上的总压力静止流体作用在平面上的总压力第六节第六节 静止流体作用在曲面上的总压力静止流体作用在曲面上的总压力第一节第一节 流体静压强及其特性流体静压强及其特性一、流体静压强的定一、流体静压强的定义义APP A 点点 上上 的的 流流 体体 静静 压压 强强 P：APLimPaA

2、 一一.流体静压强的定义流体静压强的定义流体静压力与流体静压强的区别：流体静压力与流体静压强的区别：1、静压强的方向、静压强的方向 沿作用面的内法线方向沿作用面的内法线方向流体静压强的方向流体静压强的方向二、流体静压强的特性二、流体静压强的特性v假定图中某点的静压强不是垂直于作用面，则静压强假定图中某点的静压强不是垂直于作用面，则静压强 p 必然必然可分解为两个分量，可分解为两个分量，个与作用面相切，为切向分量，也就个与作用面相切，为切向分量，也就是切应力；另一个与作用面相垂直，为法向分量。从牛顿内是切应力；另一个与作用面相垂直，为法向分量。从牛顿内摩擦定律中可以看出，静止流体内部是不会出现切

3、应力的，摩擦定律中可以看出，静止流体内部是不会出现切应力的，若若 ，则流体的平衡会遭到破坏。因而在静止的流体，则流体的平衡会遭到破坏。因而在静止的流体中切向分量是不存在的，即中切向分量是不存在的，即 。因此，流体静压强只。因此，流体静压强只可能垂直于作用面。可能垂直于作用面。 v 又因为流体处于静止时不能承受拉应力，拉应力的存在也又因为流体处于静止时不能承受拉应力，拉应力的存在也会破坏流体的平衡，所以流体静压强的方向必然是沿着作用会破坏流体的平衡，所以流体静压强的方向必然是沿着作用面的内法线方向。面的内法线方向。0p0p由于流体内部的表面力只存在着压力，因由于流体内部的表面力只存在着压力，因此

4、流体静力学的根本问题是研究流体静压此流体静力学的根本问题是研究流体静压强的问题。强的问题。2、在静止流体内部，任一点的流体静压强的大小与作用面的方向、在静止流体内部，任一点的流体静压强的大小与作用面的方向无关，只与该点的位置有关。无关，只与该点的位置有关。流体微小四面体平衡流体微小四面体平衡 在静止的或相对静止的流体在静止的或相对静止的流体中，取出一个包括中，取出一个包括O点在内点在内的微小四面体的微小四面体OABC，如图，如图2-3所示，并将所示，并将O点设置为坐点设置为坐标原点。取正交的三个边长标原点。取正交的三个边长分别为分别为dx、dy、dz，它们分，它们分别与坐标轴别与坐标轴x、y、

5、z重合。重合。与坐标面与坐标面x、y、z及倾斜面及倾斜面ABC垂直的面上平均压强分垂直的面上平均压强分别为别为px、py、pz及及pn。作用在各面上的流体静压力等于各面的平均作用在各面上的流体静压力等于各面的平均静压强与该作用面面积的乘积，即静压强与该作用面面积的乘积，即1d d21d d21d d2xxyyzzonPpy zPpxzPpxyPpABCv作用在微小四面体上的质量力在各轴向的分力等于单位质量作用在微小四面体上的质量力在各轴向的分力等于单位质量力在各轴向的分力与流体质量的乘积。流体的质量等于流体力在各轴向的分力与流体质量的乘积。流体的质量等于流体密度与微小四面体体积的乘积。设单位质

6、量力在密度与微小四面体体积的乘积。设单位质量力在x、y、z轴轴的分力分别是，则质量力在各轴向的分力为：的分力分别是，则质量力在各轴向的分力为：1d dd61d dd61d dd6xyzFXxyzFYxyzFZxyzv微小四面体在上述表面力和质量力的作用下处于平衡状态，则外力的轴向平衡关系式为：cos0 1cos0 2cos0 3xnxynyznzPPn xFPPn yFPPn zF（ ）( ）（ ）微小四面体在上述表面力和质量力的作用下处于平衡状态，外微小四面体在上述表面力和质量力的作用下处于平衡状态，外力的轴向平衡关系式为：力的轴向平衡关系式为： ，即各向分力投影之和为零：，即各向分力投影之

7、和为零：cos0 1cos0 2cos0 3xnxynyznzPPn xFPPn yFPPn zF（ ）（ ）（ ）x方向受力分析方向受力分析:上式第（上式第（1）项展开写成：）项展开写成：当四面体无限地趋于当四面体无限地趋于O点时，则点时，则dx趋于趋于0，所以有：所以有：px=pn 。类似地有：类似地有：px=py=pz=pn11ddcosddd0 26xnxpyzpABCn xfxyz1cosdd2ABCn xyz1d0 3xnxppfx1. 静止流体中不同点的压强一般是不等的，一静止流体中不同点的压强一般是不等的，一 点的各向静压强大小相等。点的各向静压强大小相等。2.运动流体是理想流

8、体时，由于运动流体是理想流体时，由于=0，不会产，不会产生切应力，所以理想流体动压强呈静水压强分生切应力，所以理想流体动压强呈静水压强分布特性。布特性。第二节第二节 流体静压强的分布规律流体静压强的分布规律一、重力作用下流体静压强的基本方程一、重力作用下流体静压强的基本方程二、二、 分界面和自由面是水平面分界面和自由面是水平面三、气体压强计算三、气体压强计算四、等密面是水平面四、等密面是水平面一、重力作用下流体静压强的基本方程一、重力作用下流体静压强的基本方程 在静止液体中，任意取出一倾斜放置的微小在静止液体中，任意取出一倾斜放置的微小圆柱体，微小圆柱体长为圆柱体，微小圆柱体长为，端面积为，端

9、面积为dA，并垂直于柱轴线。并垂直于柱轴线。周围的液体对圆柱体有侧面压力及两端面压周围的液体对圆柱体有侧面压力及两端面压力。侧面压力与轴向正交，沿轴向没有分力；力。侧面压力与轴向正交，沿轴向没有分力；轴的两端面的压力为轴的两端面的压力为P1和和P2。 静止液体受的质量力只有重力，重力与轴线静止液体受的质量力只有重力，重力与轴线夹角为夹角为 ，可以分解为平行于轴向的，可以分解为平行于轴向的Gcos 和垂直于轴向的和垂直于轴向的Gsin 两个分力。两个分力。倾斜微小圆柱体轴向力的平衡，就是两端压力倾斜微小圆柱体轴向力的平衡，就是两端压力P1、P2及重力的轴向分力及重力的轴向分力Gcos 三个力作用

10、下三个力作用下的平衡。即的平衡。即微小圆柱体断面积微小圆柱体断面积dA极小，断面上各点极小，断面上各点压强的变化可以忽略不计，可以认为断压强的变化可以忽略不计，可以认为断面各点压强相等面各点压强相等,设圆柱上端面的压强设圆柱上端面的压强p1,下端面的压强下端面的压强p2，端面压力为，端面压力为P1 p1dA，P2 p2dA，重力，重力G=dA，代入上式，代入上式，得得:21cos0p dAp dAldA消去消去dA，并由于，并由于 Gcos =h，整理得压强关系式：，整理得压强关系式：2121 + pphphpph 或或倾斜微小圆柱体的端面是任意选取的。因此，可以得出普遍关系式：倾斜微小圆柱体

11、的端面是任意选取的。因此，可以得出普遍关系式：即静止液体中任两点的压强差等于两点间的深度差乘以容重。压强随即静止液体中任两点的压强差等于两点间的深度差乘以容重。压强随深度不断增加，而深度增加的方向就是静止液体的质量力深度不断增加，而深度增加的方向就是静止液体的质量力重力作重力作用的方向。所以，压强增加的方向就是质量力的作用方向。用的方向。所以，压强增加的方向就是质量力的作用方向。用压强关系式求静止液体内某一点的压强，设液用压强关系式求静止液体内某一点的压强，设液面压强为面压强为po，液体容重为，液体容重为，该点在液面下深度，该点在液面下深度为为h，则：，则：0+ pph流体静力学基本方程式流体

12、静力学基本方程式结论：结论： 1）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强随深）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强随深度按线性规律增加。度按线性规律增加。 2）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强等于）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强等于表面压强加上流体的容重与该点淹没深度的乘积。表面压强加上流体的容重与该点淹没深度的乘积。 3）自由表面下深度）自由表面下深度h相等的各点压强均相等相等的各点压强均相等只有重力只有重力作用下的同一连续连通的静止流体的等压面是水平面。作用下的同一连续连通的静止流体的等压面是水平面。设水箱水面的压强为设水箱水面的压强为po，水中，水中1、2

13、点到任选基准面点到任选基准面oo的高度为的高度为Zl及及Z2，压强为压强为p1及及p2，将式中的深度改为高，将式中的深度改为高度差后得：度差后得：液体静力学基本方程式的另一种形式液体静力学基本方程式的另一种形式这就是液体静力学基本方程式的另一种形式，也是我们常用的这就是液体静力学基本方程式的另一种形式，也是我们常用的水静压强分布规律的一种形式。水静压强分布规律的一种形式。CpZpZpZpZpZpZpZpZ00221100220011几何意义：几何意义：位置水头位置水头z ：任一点在基准面任一点在基准面0-0以上的位置高度，表示单位以上的位置高度，表示单位重量流体从某一基准面算起所具有的位置势能

14、，简称位能。重量流体从某一基准面算起所具有的位置势能，简称位能。 压强水头压强水头 ：表示单位重量流体从压强为大气压算表示单位重量流体从压强为大气压算起所具有的压强势能，简称压能（压强水头），是该点在压起所具有的压强势能，简称压能（压强水头），是该点在压强作用下沿测压管所能上升的高度。强作用下沿测压管所能上升的高度。p测压管水头（测压管水头（ ）：）：测压管水头，它测压管水头，它表示测压管水面相对于基准面的高度。表示测压管水面相对于基准面的高度。 Zp两水头相加等于常数，表示同一容器的静止液两水头相加等于常数，表示同一容器的静止液体中，所有各点的测压管水头均相等。因此，体中，所有各点的测压管水

15、头均相等。因此，在同一容器的静止液体中，所有各点的测压管在同一容器的静止液体中，所有各点的测压管水面必然在同一水平面上。水面必然在同一水平面上。能量意义：能量意义： 表示单位重量流体的压力能，称为表示单位重量流体的压力能，称为比压力能比压力能。因为压因为压力为力为p、体积为、体积为V的流体所做的膨胀功为的流体所做的膨胀功为pV，则单位重量物体，则单位重量物体所具有的压力能为：所具有的压力能为：pV/G=p/。比位能比位能z和比压力能和比压力能p/的单位都是的单位都是焦耳焦耳/牛顿牛顿。p 式中式中z表示单位重量流体相对于某一基准面的位能，称表示单位重量流体相对于某一基准面的位能，称为为比位能比

16、位能。从物理学得知，把质量为从物理学得知，把质量为m的物体从基准面提的物体从基准面提升一定高度升一定高度z后，该物体所具有的位能是后，该物体所具有的位能是mgz，则单位重量，则单位重量物体所具有的位能为：物体所具有的位能为：(mgz)/(mg)=z。 称为单位重量流体的称为单位重量流体的总势能总势能。 重力作用下静止流体中各点的单位重量流体的总势能是重力作用下静止流体中各点的单位重量流体的总势能是相等的。这就是相等的。这就是静止流体中的能量守恒定律。静止流体中的能量守恒定律。Zp二、分界面和自由面是水平面二、分界面和自由面是水平面 两种容重不同万不混合的液体，在同一容器中处于静止状态，两种容重

17、不同万不混合的液体，在同一容器中处于静止状态，两种液体之间形成分界面。这种分界面既是水平面又是等压两种液体之间形成分界面。这种分界面既是水平面又是等压面。现在，我们从反面证明如下：面。现在，我们从反面证明如下： 图图29盛有盛有2 1的两种不同液体，设分界面不是水平面而是倾斜面，的两种不同液体，设分界面不是水平面而是倾斜面，我们在分界面上任选我们在分界面上任选1、2两点，其深度差为两点，其深度差为，根据压差关系式，从分界面上、下两方分别求压差为：根据压差关系式，从分界面上、下两方分别求压差为： 由于液体容重不等于零，且由于液体容重不等于零，且2 1 。必然。必然是是0，即分界面是水平面，不可能

18、是，即分界面是水平面，不可能是倾斜面。将倾斜面。将0代人压差关系式，得代人压差关系式，得0。这就证明分界面是等压面，所以，。这就证明分界面是等压面，所以，分界面既是水平面又是等压面。分界面既是水平面又是等压面。 静止的液体和气体接触的自由面，受到相静止的液体和气体接触的自由面，受到相同的气体压强，所以，自由面是分界面的一种同的气体压强，所以，自由面是分界面的一种特殊形式。它既是等压面，也是水平面。特殊形式。它既是等压面，也是水平面。需要指出：上述规律是在同种液体处于静需要指出：上述规律是在同种液体处于静止、连续的条件下推导出来的。因此，液体静止、连续的条件下推导出来的。因此，液体静压强分布规律

19、只适用于静止、同种、连续液体。压强分布规律只适用于静止、同种、连续液体。静力学基本方程的适用条件：静力学基本方程的适用条件：三、气体压强计算三、气体压强计算以上规律，虽然是在液体的基础上提出采纳，但对以上规律，虽然是在液体的基础上提出采纳，但对不可压缩气体也仍然适用。不可压缩气体也仍然适用。由于气体容重很小，在高差不大的情况下，气柱产由于气体容重很小，在高差不大的情况下，气柱产生的压强值很小，可以忽的压强的影响，则流体静生的压强值很小，可以忽的压强的影响，则流体静力学基本方程式可以简化为：力学基本方程式可以简化为： 表示空间各点气体压强相等例如认为液体容器，表示空间各点气体压强相等例如认为液体

20、容器，测压管、锅炉等上部的气体空间各点的压强也是相测压管、锅炉等上部的气体空间各点的压强也是相等的。等的。0+ pph0pp四、等密面是水平面四、等密面是水平面在静止非均质流体中，取轴线水平的微小圆柱体如图在静止非均质流体中，取轴线水平的微小圆柱体如图212。作用在静止流体上的质量力只有重力，侧面压力垂直。作用在静止流体上的质量力只有重力，侧面压力垂直于轴线，所以这两种力沿轴向均无分力。沿轴向外力的平于轴线，所以这两种力沿轴向均无分力。沿轴向外力的平衡，表现为两端面压力相等。两端面的面积相等，则压强衡，表现为两端面压力相等。两端面的面积相等，则压强也必然相等。即也必然相等。即p1p2圆体体轴线

21、在水平面上是任意选取的，两点压强相等，说圆体体轴线在水平面上是任意选取的，两点压强相等，说明水平面上各点压强相等，非均质流体的水平面仍然是等明水平面上各点压强相等，非均质流体的水平面仍然是等压面。压面。静止均质流体的水平面是等压面是否也适用于静止非均质静止均质流体的水平面是等压面是否也适用于静止非均质流体呢？流体呢？水平面上的容重是否变化呢水平面上的容重是否变化呢? 在静止非均质流体内部，取相距为在静止非均质流体内部，取相距为h的两个水平面，在它们之间任的两个水平面，在它们之间任选两个铅直微小住体，分别计算它们的压强差为：选两个铅直微小住体，分别计算它们的压强差为：两柱体的压强差相等，因而两柱

22、体的压强差相等，因而a必等于必等于b，否则，流体就不会静止，否则，流体就不会静止，要流动。当两等压面无限接近，即要流动。当两等压面无限接近，即h0时，时， a和和 b就就变成同一变成同一等压面上两点的容重，此两点容重相等，说明水平面不仅是等压面，等压面上两点的容重，此两点容重相等，说明水平面不仅是等压面，而且是等容重面。而且是等容重面。容重与密度成正比，所以，等容重面也是等密度面。容重与密度成正比，所以，等容重面也是等密度面。一、压强的两种计算基准（绝对压强和相对压强）一、压强的两种计算基准（绝对压强和相对压强）c.真空：真空：是指绝对压强小于一个大气压的受压状态，是指绝对压强小于一个大气压的

23、受压状态，是负的相对压强。是负的相对压强。 a.绝对压强：绝对压强：是以绝对真空状态下的压强（绝对零压是以绝对真空状态下的压强（绝对零压强）为基准计量的压强，用强）为基准计量的压强，用 表示。表示。 aP b. 相对压强：相对压强：又称又称“表压强表压强”，是以当地工程大气压，是以当地工程大气压(at) 为基准计量的压强。用表示为基准计量的压强。用表示 ， 可可“”可可“ ”，也可为，也可为“0”。 ePeP正正 压：压：相对压强为正值（压力表读数）。相对压强为正值（压力表读数）。负负 压：压：相对压强为负值。相对压强为负值。真空度：真空度：负压的绝对值负压的绝对值(真空表读数，用真空表读数，

24、用Pv表示表示)。A点相对压强A点绝对压强B点真空度B点绝对压强大气压强绝对压强0pPa0ABPa00AeApphppph敞开容器中静止流体的敞开容器中静止流体的A点相对压强的计算点相对压强的计算相对压强的实际意义相对压强的实际意义 1假定容器的活塞打开，容器内外气体假定容器的活塞打开，容器内外气体压强一致，压强一致，popa，相对压强为零。，相对压强为零。 2假定容器的压强假定容器的压强popa ，这个超过大气压强的部分，这个超过大气压强的部分，对器壁产生的力学效应，使器壁向外扩张。如果打开活塞，对器壁产生的力学效应，使器壁向外扩张。如果打开活塞，气流向外流出，流出速度与相对压强的大小有关。

25、气流向外流出，流出速度与相对压强的大小有关。3假定容器压强严假定容器压强严po pa 。大气压强的部分对器壁产生。大气压强的部分对器壁产生力学效应，使容器向内压缩。打开活塞，空气一定会吸入，力学效应，使容器向内压缩。打开活塞，空气一定会吸入，吸入的速度也和负的相对压强大小有关。吸入的速度也和负的相对压强大小有关。二、压强的三种度量单位二、压强的三种度量单位a.应力单位应力单位 这是从压强定义出发，以单位面积上的作用力来表示这是从压强定义出发，以单位面积上的作用力来表示的，的，N/m2，Pa，kN/ m2 ，kPa。 b.大气压大气压 标准大气压：标准大气压：1标准大气压标准大气压(atm)=1

26、.013X105Pa=101.3 kPa 工程大气压：工程大气压：at （1kgf/） c.液柱高度液柱高度 水柱高水柱高mH20：1atm相当于相当于 1at相当于相当于 汞柱高汞柱高mmHg：1 atm相当于相当于 1at相当于相当于 常用换算关系：常用换算关系：1atm=1.03323at=101325Pa=1.01325bar=760mmHg=10332.3mmH2O1at=98070Pa=10000mmH2O=735.6mmHg第四节第四节 液柱测压计液柱测压计一、测压管一、测压管测压管：测压管：是以液柱高度为表征是以液柱高度为表征测量点压强的连通管。一端与测量点压强的连通管。一端与

27、被测点容器壁的孔口相连，另被测点容器壁的孔口相连，另一端直接一端直接 和大气相通的直管。和大气相通的直管。 适用范围：测压管适用于测量较小的压强，适用范围：测压管适用于测量较小的压强，但不适合测真空。但不适合测真空。 注意：注意：1.由于各种液体重度不同，所以仅标明高度由于各种液体重度不同，所以仅标明高度尺寸不能代表压力的大小，还必须同时尺寸不能代表压力的大小，还必须同时注注明是何种液体的液柱高度明是何种液体的液柱高度才行。才行。 2.测压管只测压管只适用于测量较小的压力，一般不适用于测量较小的压力，一般不超过超过10kPa。如果被测压力较高，则需要加如果被测压力较高，则需要加长测压管的长度，

28、使用就很不方便。长测压管的长度，使用就很不方便。 3.测压管中的工作介质就是被测容器测压管中的工作介质就是被测容器(或管道或管道)中的流体，所以中的流体，所以测压管只能用于测量液体的测压管只能用于测量液体的正压，正压，而对于测量液体的负压以及气体的压而对于测量液体的负压以及气体的压力则不适用。力则不适用。4.在测量过程中，在测量过程中，测压管一定要垂直放置，测压管一定要垂直放置，否则将会产生测量误差。否则将会产生测量误差。二、二、U形测压计形测压计这种测压计是一个装在刻度板上的这种测压计是一个装在刻度板上的两端开口的两端开口的U型玻璃管。测量时，型玻璃管。测量时，管的一端与大气相通，另一端与被

29、管的一端与大气相通，另一端与被测容器相接测容器相接(如图如图)，然后根据，然后根据U型型管中液柱的高度差来计算被测容器管中液柱的高度差来计算被测容器中流体的压力。中流体的压力。U型管内装有重度型管内装有重度2大于被测流体重度大于被测流体重度1的液体工作的液体工作介质，介质，如水、酒精、四氯化碳和水如水、酒精、四氯化碳和水银等。它是根据被测流体的性质、银等。它是根据被测流体的性质、被测压力的大小和测量精度等来选被测压力的大小和测量精度等来选择的。择的。注意注意，工作介质与被测流体相互不能掺混。，工作介质与被测流体相互不能掺混。 如果被测流体的压力较高，用一个如果被测流体的压力较高，用一个U型管则

30、较长，可以型管则较长，可以采用串联采用串联U型管组成多型管组成多U型管测压计。通常采用双型管测压计。通常采用双U型管或型管或三三U型管测压计。型管测压计。v图图b,测压管水面低于测压管水面低于A点，以点，以1-1为等压面，则为等压面，则 故故A点的负压或真空度为：点的负压或真空度为：v 如果需要测定气体压强，可以采用如果需要测定气体压强，可以采用u形管盛水，如图形管盛水，如图c所示。所示。因为空气容重远小于水，一般容器中的气体高度又不太大，因因为空气容重远小于水，一般容器中的气体高度又不太大，因此、可以忽略气柱高度所产生的压强。认为静止气体充满的生此、可以忽略气柱高度所产生的压强。认为静止气体

31、充满的生间各点脓强相等。现仍以间各点脓强相等。现仍以1-1面为等压面，则面为等压面，则v图图a,测压管水面高于测压管水面高于A点，点，AA为正值。即为正值。即U型管差压计用来测量两个容器或型管差压计用来测量两个容器或同一容器同一容器(或管道等或管道等)流体中不同位流体中不同位置两点的压力差。测量时，把置两点的压力差。测量时，把U型型管两端分别和不同的压力测点管两端分别和不同的压力测点A和和B相接，如图所示。相接，如图所示。三、差压计三、差压计如果测量较小的液体压力差时，也可以采用倒置式如果测量较小的液体压力差时，也可以采用倒置式U型管差型管差压计。如果被测量的流体的压力差较大，则压计。如果被测

32、量的流体的压力差较大，则可采用可采用双双U型管型管或多或多U型管差压计。型管差压计。图图a为测定为测定A、B两处液体压强差的空气压差计由于气柱高度两处液体压强差的空气压差计由于气柱高度不大，可以认为两液面为等压面，故得不大，可以认为两液面为等压面，故得需要测定的压差较大时，采用图需要测定的压差较大时，采用图b所示的水银压差计。根据所示的水银压差计。根据1、2点为点为等压面得等压面得如如A、B为同种液体，即为同种液体，即AB 如如A、B为同种液体，在同一高度，为同种液体，在同一高度，ZIZ2，则，则如果，如果，A、B两处为同一气体，则两处为同一气体，则当测量很微小的流体压力时，为了提高测量精度，

33、常常当测量很微小的流体压力时，为了提高测量精度，常常采用微压计。微压计的结构如图所示，一般用于测定气采用微压计。微压计的结构如图所示，一般用于测定气体压强。它是由一个大容器连接一个可以调整倾斜角度体压强。它是由一个大容器连接一个可以调整倾斜角度的细玻璃管组成，其中盛有重度为的细玻璃管组成，其中盛有重度为的工作液体。的工作液体。四、微压计四、微压计测压前，微压计两端与大气相通，容器与斜管内的液面平齐。测压前，微压计两端与大气相通，容器与斜管内的液面平齐。当测量容器或管道中的某处压力时，将微压计上端的测压当测量容器或管道中的某处压力时，将微压计上端的测压口与被测气体容器或管道的测点相接，若被测气体

34、的压力口与被测气体容器或管道的测点相接，若被测气体的压力ppa，则在该压力作用下，微压计容器中液面下降至新位，则在该压力作用下，微压计容器中液面下降至新位置置,而倾斜玻璃管中的液面上升了而倾斜玻璃管中的液面上升了长度，其上升高度长度，其上升高度h= sin 。当测量时，当测量时，为定值，只需测得倾斜长为定值，只需测得倾斜长度度Z，就可得出压差。由于，就可得出压差。由于/sin ，当当sin 0.5时，时，2h；当；当sin 0.2时，时，5h。说明倾斜角度越小，。说明倾斜角度越小，比比h放大的倍数就越大，侧的精度就更放大的倍数就越大，侧的精度就更高。高。愈小，读数愈小，读数就越大。因此，常用容

35、重比水更小的液体，例如酒精以提高精度。就越大。因此，常用容重比水更小的液体，例如酒精以提高精度。用于用于测定较大的压强测定较大的压强。优点：优点：携带方便、装置简单、安装容携带方便、装置简单、安装容易、测读方便、经久耐用，是测量压易、测读方便、经久耐用，是测量压强的主要仪器。强的主要仪器。构造：构造：常用的一种弹簧测压计见图。常用的一种弹簧测压计见图。原理：原理：其内装有一端开口，一端封闭其内装有一端开口，一端封闭端面为椭圆形的镰刀形黄铜管，开口端面为椭圆形的镰刀形黄铜管，开口端与被测定压强的液体连通，测压时，端与被测定压强的液体连通，测压时，由于压强的作用，黄铜管随着压强的由于压强的作用，黄

36、铜管随着压强的增加而发生伸展，从而带动扇形齿轮增加而发生伸展，从而带动扇形齿轮使指针偏转，把液体的相对压强值在使指针偏转，把液体的相对压强值在表盘上显示出来。表盘上显示出来。五、金属压力表五、金属压力表第五节第五节 作用在平面上的流体静压力作用在平面上的流体静压力在工程实际中，有时需要解决液体对固体壁面的总作在工程实际中，有时需要解决液体对固体壁面的总作用力问题。在已知流体的静压力分布规律后，用力问题。在已知流体的静压力分布规律后，求总压求总压力的问题，实质上就是求受压面上分布力的合力问题。力的问题，实质上就是求受压面上分布力的合力问题。本节讨论作用在平面上的总压力及其压力中心。本节讨论作用在

37、平面上的总压力及其压力中心。 作用在平面上总压力的计算方法有两种：作用在平面上总压力的计算方法有两种：解析法和图解法。解析法和图解法。一、解析法一、解析法 1.平面总压力大小平面总压力大小hhChDyyCyD.oxybadACD设有一与水平面成设有一与水平面成夹角的倾斜夹角的倾斜平面平面ab，其面积为，其面积为A，左侧受水，左侧受水压力，水面大气压强为压力，水面大气压强为p0，在平，在平板表面所在的平面上建立坐标，板表面所在的平面上建立坐标，原点原点o取在平板表面与液面的交取在平板表面与液面的交线上，线上，ox轴与交线重合，轴与交线重合，oy轴沿轴沿平板向下。平板向下。设在受压平面上任取一微元

38、面积设在受压平面上任取一微元面积dA，其中心点在液面下的深度为，其中心点在液面下的深度为h，作用在作用在dA中心点上的压强为中心点上的压强为p=p0+h，则作用在微元面积，则作用在微元面积dA上的总压力为上的总压力为hhChDyyCyD.oxybadACDdF=pdA=(p0+h)dA=p0dA+ysindA考虑相对压强考虑相对压强dF=pdA=hdA=ysindA整个平面由无数整个平面由无数dA组成，则整组成，则整个平板所受水静压力由个平板所受水静压力由dF求和求和得到。得到。hhChDyyCyD.oxybadACD根据平行力系求和原理，作用在根据平行力系求和原理，作用在平面上的水静压力平面

39、上的水静压力ydAsinysindAdAAFF式中式中 为面积为面积A对对ox轴的轴的静面矩静面矩，由理论力学知，它由理论力学知，它等于面积等于面积A与其形心坐标与其形心坐标yc的乘积，即的乘积，即ydAAF=sinycA=hcA=pcA上式表明：上式表明：静止液体作用在静止液体作用在任意形状平面上的总压力的任意形状平面上的总压力的大小大小，等于该平面形心处的，等于该平面形心处的静压力与平面面积的乘积。静压力与平面面积的乘积。液体总压力的液体总压力的方向方向垂直指向垂直指向受压面的内法线方向。受压面的内法线方向。hhChDyyCyD.oxybadACD2.确定总压力的作用点确定总压力的作用点压

40、力中心压力中心 总压力的作用点又称为总压力的作用点又称为压力中压力中心心。压力中心。压力中心D的位置，可根的位置，可根据理论力学中的据理论力学中的合力矩定理合力矩定理求求得，即得，即各分力对某一轴的静力各分力对某一轴的静力矩之和等于其合力对同一轴的矩之和等于其合力对同一轴的静力矩。静力矩。hhChDyyCyD.oxybadACD微小面积微小面积dA所受水静压力所受水静压力 dF=hdA=ysindA对对0 x轴力矩轴力矩sindAyyddM2 FdAysinM2合力矩合力矩 总压力总压力F对对ox轴的静力矩为轴的静力矩为:hhChDyyCyD.oxybadACD整个平面所受合压力整个平面所受合

41、压力F，假设作，假设作用点距用点距ox轴为轴为yD，则：，则：根据合力矩定理根据合力矩定理DAyc2ysindAysinDCDCDAyyAyhFyMsinxDcJyy A所以所以式中式中 为受压面对为受压面对ox轴的惯性矩轴的惯性矩Ady2XJ根据平行移轴定理：根据平行移轴定理：2XCCJJy AhhChDyyCyD.oxybadACD其中其中 为受压面对通过平面形心并与平为受压面对通过平面形心并与平行于行于ox轴的轴的惯性矩。轴的轴的惯性矩。CJcDccJyyy A由于由于 恒为正值，故有恒为正值，故有yDyc。说明。说明压力中心压力中心D点总是低于形心点总是低于形心C。ccJy A结论：结

42、论： （1）水静压力大小为形心处压强乘以平面面积。）水静压力大小为形心处压强乘以平面面积。 （2）水静压力方向垂直于受压平面，并指向平面内法）水静压力方向垂直于受压平面，并指向平面内法线方向。线方向。 （3）作用点）作用点yD在形心下方，用在形心下方，用yD= yC+ JC/ycA来算。来算。例例1：一铅直船闸门门宽一铅直船闸门门宽B=5m，闸门一侧水深为，闸门一侧水深为H=7.5m，另一侧水深，另一侧水深h=3m，求作用在此闸门上的水平合压力及作用线位置。，求作用在此闸门上的水平合压力及作用线位置。B5mH=7.5mh=3mxyyD1yD2yFP1P2解：左边：迎水面积 形心： 作用力： 作

43、用点： 右边：面积 形心BHA12HhC121C11BH2AhPH646H2HBH2H12BH2HAyIyy3cccD1B5mH=7.5mh=3mxyyD1yD2yFP1P2H32yD1BhA22hhc2作用力：作用点： 合力作用线：假设合力的作用线距底边为y，则：22c22Bh2AhPh32yD2)hB(H2PPF22213hP3HPyF21h)h)(H3(H)hHhh)(H(Hy22h)3(HhHhH22代入数据，2.79myB5mH=7.5mh=3mxyyD1yD2yFP1P2例例2：矩形闸门矩形闸门AB可绕其顶端可绕其顶端A轴旋转，由固定闸门上的一个重物来保持轴旋转，由固定闸门上的一个

44、重物来保持闸门的关闭。已知闸门宽闸门的关闭。已知闸门宽1.2m，长，长0.9m，整个闸门和重物，整个闸门和重物1000kg，重，重心在心在G处，与处，与A水平距离为水平距离为0.3m，求水深多大时，闸门刚好打开，求水深多大时，闸门刚好打开（=60，设水深为，设水深为H）。）。x.b=1.2mh=0.9m0.3mG GACDoyhChDHP PEB解：解：要使闸门打开，闸门迎水面所受水的总压力对转轴要使闸门打开，闸门迎水面所受水的总压力对转轴A的力矩至少应等的力矩至少应等于闸门与重物重量对于闸门与重物重量对A的力矩的力矩。x.b=1.2mh=0.9m0.3mG GACDoyhChDHP PEBM

45、水水M物（物（等号为刚好打开等号为刚好打开）面积面积 A= bh形心形心AE21HhchsinAE 力力 AhPChhsin)b21(H压力作用点：压力作用点：32CDCCCCCCbhJh12yyyyy Ay bh12y又 C2CD12yhyyDCsinhyCC0.3GMDAPM物水hsin)2112(Hsinhc12hsinhDC222hDCCADCDAx.b=1.2mh=0.9m0.3mG GACDoyhChDHP PEB代入以上数据，得代入以上数据，得 H0.88m故当故当 H=0.88m，闸门刚好打开。，闸门刚好打开。二、图解法二、图解法1.绘制水静压强分布图绘制水静压强分布图使用图解

46、法，首先需要绘制静压力分布图，然后再根据它使用图解法，首先需要绘制静压力分布图，然后再根据它来计算总压力。来计算总压力。静压力分布图静压力分布图是依据水静力学基是依据水静力学基本方程本方程p=p0+h，直接在受压面，直接在受压面上绘制表示各点静压力大小和方上绘制表示各点静压力大小和方向的图形。向的图形。几种常见受压面的静压力分布图。几种常见受压面的静压力分布图。 静水压强分布图绘制规则：静水压强分布图绘制规则：1）按照一定的比例尺，用一定长度的线段代表静水压强的大）按照一定的比例尺，用一定长度的线段代表静水压强的大 小；小； 2） 用箭头标出静水压强的方向，并与该处作用面垂直。受用箭头标出静水

47、压强的方向，并与该处作用面垂直。受压面为平面的情况下，压强分布图的外包线为直线；当受压面为平面的情况下，压强分布图的外包线为直线；当受压面为曲线时，曲面的长度与水深不成直线函数关系，故压面为曲线时，曲面的长度与水深不成直线函数关系，故压强分布图外包线亦为曲线。压强分布图外包线亦为曲线。计算总压力的大小计算总压力的大小现在对高为现在对高为H、宽为、宽为b、底边平行于水平面的垂直矩形平面、底边平行于水平面的垂直矩形平面AB(如图如图)，计算其总压力，为，计算其总压力，为上式中上式中 (2p0+H)H/2 恰为静压力分布图恰为静压力分布图ABCD的面积，我们用的面积，我们用表示，则上表示，则上式可写

48、成式可写成 P= bHbHpHbHpHbhpApPcc)2(21)21()(000由此可见，由此可见，液体作用在底边平行于水平面的矩形平面上的总压液体作用在底边平行于水平面的矩形平面上的总压力，等于静压力分布图的面积与矩形平面宽度的乘积。力，等于静压力分布图的面积与矩形平面宽度的乘积。 或者说，其总压力等于静压力分布图的体积。或者说，其总压力等于静压力分布图的体积。 由于静压力分布图所表示的正是力的分布情况，而总压由于静压力分布图所表示的正是力的分布情况，而总压力则是平面上各微元面积上所受液体压力的合力。所以力则是平面上各微元面积上所受液体压力的合力。所以总压总压力的作用线，必然通过静压力分布

49、图的形心，其方向垂直指力的作用线，必然通过静压力分布图的形心，其方向垂直指向受压面的内法线方向。向受压面的内法线方向。判断：下列压强分布图中哪个是错误的？判断：下列压强分布图中哪个是错误的？ 第六节第六节 作用在曲面上静止流体的总压力作用在曲面上静止流体的总压力Hoover Dam胡佛水坝 Channel 图中圆柱长为图中圆柱长为，母线与纸面垂直。受，母线与纸面垂直。受压压曲曲面面AB，左侧受水静压力作用，在，左侧受水静压力作用，在表面上任意取一微元面积表面上任意取一微元面积dA取一点取一点E，E点距水面距离为点距水面距离为h，以，以E点为中，则作点为中，则作用在用在dA上的水静压力为：上的水

50、静压力为：hdApdAdP假设假设dP与水平面夹角为与水平面夹角为，则，则dP在在水平水平方向和方向和铅直铅直方向的分量：方向的分量：水平方向水平方向hdAcosdPcosdPX铅直方向铅直方向hdAsindPsindPZABCDhdPdAxzEdPZdPXdAdAZdAXdP从右图可得：从右图可得：ZdAdAcosXdAdAsin微元面在铅直面上的投影微元面在铅直面上的投影微元面在水平面上的投影微元面在水平面上的投影zxhdAdP xzhdAdP zzxhdAhdAPxxzhdAhdAP则则1、水平方向：、水平方向：ABCDhdPdAxzEdPZdPXdAdAZdAXdPzhdA为面为面AB

51、在铅直面上的投影面在铅直面上的投影面积积Az对水面水平轴的静矩。对水面水平轴的静矩。假设假设hc为为Az的形心在水面下淹没深的形心在水面下淹没深度则度则zczAhhdA zcxAhP 作用在曲面上流体压力的水平分量是作用在曲面上流体压力的水平分量是Px等于等于作用于该曲面铅直投影面上的水静压力。作用于该曲面铅直投影面上的水静压力。2、铅直方向：、铅直方向：ABCDhdPdAxzEdPZdPXhdAx是以是以dAx为底面积，水深为底面积，水深h为高为高的柱体体积；的柱体体积；DCABdAxxhdA则为整个受压曲面则为整个受压曲面AB与其在自由面的与其在自由面的投影面投影面CD这两个面之间的柱体这

52、两个面之间的柱体ABCD的体积；的体积；压力体VhdAPxz铅直分量铅直分量Pz为其压力体的液体重量。为其压力体的液体重量。3、压力体、压力体u 压力体体积的组成：压力体体积的组成：受压曲面本身；受压曲面本身；通过曲面周围边缘所作的铅垂面；通过曲面周围边缘所作的铅垂面； 自由液面或自由液面的延长线。自由液面或自由液面的延长线。u压力体的种类：压力体的种类： 实压力体实压力体和和虚压力体虚压力体。实压力体实压力体Fz方向向下，虚压方向向下，虚压力体力体Fz方向向上。方向向上。4、压力体的绘制、压力体的绘制动画一动画二动画六动画五动画四动画三4、静水总压力、静水总压力1）作用在曲面上的静水总压力大

53、小：作用在曲面上的静水总压力大小： 2z2xPPP2）作用线与水平方向的夹角：）作用线与水平方向的夹角：xzPParctanPxPPzPPXPZ3. 总压力的合成总压力的合成 总压力的大小利用水平分力及铅垂分力通过总压力的大小利用水平分力及铅垂分力通过求合力的方法求得。求合力的方法求得。结论：曲面上的静水总压力的计算结论：曲面上的静水总压力的计算1.计算水平分力计算水平分力 正确绘制曲面的铅垂投影图，求出该投正确绘制曲面的铅垂投影图，求出该投影图的面积及形心深度，然后求出水平分力；影图的面积及形心深度，然后求出水平分力；2.计算铅垂分力计算铅垂分力 正确绘制曲面的压力体。压力体体积由以下正确绘

54、制曲面的压力体。压力体体积由以下几种面围成：受压曲面本身、通过曲面周围边缘作的铅垂面、几种面围成：受压曲面本身、通过曲面周围边缘作的铅垂面、液面或液面的延长线。铅垂分力的大小即为压力体的重量；液面或液面的延长线。铅垂分力的大小即为压力体的重量；例例1：如图所示一挡水弧形闸门，已知：如图所示一挡水弧形闸门，已知R=2m,=30度度,h=5m,试求单位宽度所受的水静总压力的大小。试求单位宽度所受的水静总压力的大小。RBAEDChhcF解：水平方向的压力等于面解：水平方向的压力等于面EB上的水压力：上的水压力：RBAEDChhcFRsin21hchRsinEBxc1Fh A (hRsin)Rsin

55、12铅直方向的压力等于压力体铅直方向的压力等于压力体CABEDC的水重。分成两部分：的水重。分成两部分：RcosRsin21R360SSS2BFEABFABE1.Rcos)Rsin)(R(hSCAED2.sincos)R21R360(cos)Rsin)R(1(hF22Z1)S(SVFCAEDABEZRBAEDChhcFsincos)R21R360(cos)Rsin)R(1(hF22Z1)S(SVFCAEDABEZ则：则：代入数据得：代入数据得：N12287FN44127FZX;第七节第七节 流体平衡微分方程式流体平衡微分方程式一一.流体平衡微分方程式流体平衡微分方程式二二.有势质量力及力的势函

56、数有势质量力及力的势函数三三.等压面等压面一、流体平衡微分方程一、流体平衡微分方程欧拉平衡方程欧拉平衡方程 在流体内部取以任意点在流体内部取以任意点A为中心的微小正六面体，六面体为中心的微小正六面体，六面体的各边分别与直角坐标轴平行，边长分别为的各边分别与直角坐标轴平行，边长分别为dx、dy、dz。中心点的压强为中心点的压强为 p(x,y,z)=p，对其进行受力分析：，对其进行受力分析： 1.方程推导方程推导静止流体只受到质量力和由压力产生的法向表面力，这静止流体只受到质量力和由压力产生的法向表面力，这些力应该满足的关系些力应该满足的关系流体平衡的微分方程式。流体平衡的微分方程式。 v作用在六

57、面体上的表面力只有周围流体对它的压力。因此先作用在六面体上的表面力只有周围流体对它的压力。因此先确定六面体各面上的压强。设点确定六面体各面上的压强。设点A的坐标为的坐标为x、y、z，压强，压强为为p。由于压强是坐标的连续函数，则离该点。由于压强是坐标的连续函数，则离该点 处的压强处的压强为为 ，并且可将，并且可将 在在 处用处用泰勒级数展开，即泰勒级数展开，即1d2y1( ,d , )2p x yy z1( ,d , )2p x yy z( , , )p x y z222, , ,111,d , ,d(d )228p x y zpx y zp x yy zp x y zyyyy如果如果dy为无

58、限小量，则在上述级数为无限小量，则在上述级数中二阶及二阶以上的高阶小量均可中二阶及二阶以上的高阶小量均可略去，即等号右边只取前两项已经略去，即等号右边只取前两项已经可以满足精度要求，则上式可以简可以满足精度要求，则上式可以简写为：写为：, ,11,d , ,d22p x y zp x yy zp x y zyy 则沿则沿y轴方向的六面体边界面轴方向的六面体边界面abcd和和 中心点处中心点处的压强分别为的压强分别为 和和 。作用在这两个。作用在这两个面上的法向力为面上的法向力为 和和 。 a b c d1d2ppyy1d2ppyy1dd d2ppyxzy1dd d2ppyxzy当微小六面体处于

59、平衡状态时，方向的合力为，即：当微小六面体处于平衡状态时，方向的合力为，即： 11dd ddd dd dd022pppyxzpyxzYxyzyy 同理可以写出、方向的力平衡方程式，即：同理可以写出、方向的力平衡方程式，即：11ddddddd dd02211dd ddd dd dd022xzpppxyzpxyzfxyzxxpppzxypzxyfxyzzzv用 除以上x、y、z轴方向的力平衡方程式，并化简得d ddxyz111pXxpYypZz 以上三个式子用矢量形式表示为以上三个式子用矢量形式表示为 10fp 这就是这就是流体平衡微分方程式。流体平衡微分方程式。它是欧它是欧拉在拉在1755年首先

60、提出的，所以又称为年首先提出的，所以又称为欧拉平衡微分方程式。欧拉平衡微分方程式。2.物理意义：物理意义：1）处于平衡状态的流体，单位质量流体所受的）处于平衡状态的流体，单位质量流体所受的表面力分量与表面力分量与 质量力分量彼此相等。质量力分量彼此相等。 2）压强沿轴向的变化率（）压强沿轴向的变化率（ ）等于轴向单）等于轴向单位体积上的质量力的分量（位体积上的质量力的分量（X，Y，Z）。）。 欧拉平衡微分方程是流体静力学最基本的方程，它欧拉平衡微分方程是流体静力学最基本的方程，它 可解决流体静力学中许多基本问题。可解决流体静力学中许多基本问题。 1.欧拉平衡微分方程欧拉平衡微分方程适用于静止流