第十六章振动理论基础

1、12 振动是日常生活和工程实际中常见的现象。 例如：钟摆的往复摆动,汽车行驶时的颠簸，电动机、机床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑物的振动等。 利利：振动给料机 弊弊：磨损，减少寿命，影响强度 振动筛 引起噪声，影响劳动条件 振动沉拔桩机等 消耗能量，降低精度等。3. 研究振动的目的研究振动的目的：消除或减小有害的振动，充分利用振动 为人类服务。 2. 振动的利弊振动的利弊：1. 所谓振动就是系统在平衡位置附近作往复运动。所谓振动就是系统在平衡位置附近作往复运动。动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础3 4. 振动的分类振动的分类： 单自由度系统的振动 按振动系统的自由度分

2、类按振动系统的自由度分类 多自由度系统的振动 弹性体的振动 按振动产生的原因分类按振动产生的原因分类： 自由振动： 无阻尼的自由振动 有阻尼的自由振动，衰减振动 强迫振动： 无阻尼的强迫振动 有阻尼的强迫振动 自激振动本章重点讨论单自由度系统的自由振动和强迫振动。动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础4 161 单自由度系统无阻尼自由振动单自由度系统无阻尼自由振动 162 求系统固有频率的方法求系统固有频率的方法 163 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动 164 单自由度系统的无阻尼强迫振动单自由度系统的无阻尼强迫振动 165 单自由度系统的有阻尼强迫振

3、动单自由度系统的有阻尼强迫振动 166 临界转速临界转速 减振与隔振的概念减振与隔振的概念第十六章第十六章 机械振动基础机械振动基础动力学动力学第十六章第十六章 机械振动基础机械振动基础5 19-1单自由度系统无阻尼自由振动单自由度系统无阻尼自由振动 一、自由振动的概念一、自由振动的概念：动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础6 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础7 运动过程中，总指向物体平衡位置的力称为恢复力恢复力。 物体受到初干扰后，仅在系统的恢复力作用下在其平衡位置附近的振动称为无阻尼自由振动无阻尼自由振动。 )/( 0 , )/( 0 , )/( 0

4、 , 2222222JmgamgaJlgmglmlmkxxkxxmnnnnnn 质量质量弹簧系统：弹簧系统： 单摆：单摆： 复摆：复摆：动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础8二、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解二、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解 对于任何一个单自由度系统，以q 为广义坐标（从平衡位置开始量取 ），则自由振动的运动微分方程必将是：0eeqkqm ke, me是与系统的物理参数有关的常数。令ee2n/mk则自由振动的微分方程的标准形式：则自由振动的微分方程的标准形式：02nqq 解解为：)sin(ntAq动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础

5、机械振动基础9 00n2n2020arctg , qqqqA设 t = 0 时， 则可求得：00 , qqqq 或：tCtCqn2n1sincosC1，C2由初始条件决定为n02 01/ ,q CqCtqtqqnn0n0sincos 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础10 三、自由振动的特点三、自由振动的特点： A物块离开平衡位置的最大位移，称为振幅。 n t + 相位，决定振体在某瞬时 t 的位置 初相位，决定振体运动的起始位置。 T 周期，每振动一次所经历的时间。 f 频率，每秒钟振动的次数， f = 1 / T 。 固有频率，振体在2秒内振动的次数。 反映振动系统的动

6、力学特性，只与系统本身的固有参数有关。 n2Tn动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础11 无阻尼自由振动的特点是无阻尼自由振动的特点是： (2) 振幅A和初相位 取决于运动的初始条件(初位移和初速度)；(1) 振动规律为简谐振动；四、其它四、其它 1. 如果系统在振动方向上受到某个常力的作用，该常力只影响静平衡点O的位置，而不影响系统的振动规律，如振动频率、振幅和相位等。 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础12 2. 弹簧并联系统和弹簧串联系统的等效刚度21eq21stst21212211st , )( , kkkkkmgkkmgFFmgkFkF并联212

7、1eq21eqst21212stst1st )11()11( kkkkkkkmgkmgkkmgkmgkmg串联并联串联动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础131. 由系统的振动微分方程的标准形式由系统的振动微分方程的标准形式2. 静变形法：静变形法：3. 能量法能量法： 19-2 求系统固有频率的方法求系统固有频率的方法02nqq stngst：集中质量在全部重力 作用下的静变形n由Tmax=Vmax , 求出动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础14 如图表示一简支梁和悬臂梁各有一集中载荷，重量为F，位置如图所示。已知梁的跨度为l，材料的弹性模量为E，截面惯

8、性矩为J，不计梁的质量，求梁的固有频率。动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础例例115简支梁中点和悬臂梁端点的静挠度分别为和相当的弹簧系数分别为和则固有频率分别为和解：解：动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础16 无阻尼自由振动系统为保守系统，机械能守恒。 当振体运动到距静平衡位置最远时，速度为零，即系统动能等于零，势能达到最大值（取系统的静平衡位置为零势能点）。 当振体运动到静平衡位置时，系统的势能为零，动能达到最大值。mgAAkV)(212st2stmax2maxst21 kAVmgk222max2121nmAxmT如：动力学动力学第十九章第十九章 机械

9、振动基础机械振动基础17 mkkAmAVTn22n2maxmax 2121 由 能量法是从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂的振能量法是从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂的振动系统的固有频率来得更为简便的一种方法。动系统的固有频率来得更为简便的一种方法。 例例2 图示系统。设轮子无侧向摆动，且轮子与绳子间无滑动，不计绳子和弹簧的质量，轮子是均质的，半径为R，质量为m1，重物质量 m2 ，试列出系统微幅振动微分方程，求出其固有频率。动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础18解解1：以 x 为广义坐标（静平衡位置为 坐标原点）RkgRmm2)(st21gkmm221st则任意位置

10、x 时：kxgmmxkFst22)2(21静平衡时：动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础19 应用动量矩定理：kxRRFgRmmMxRmmRxRmRxmRxmLAA42)()()23( 2121212112F由 ， 有)(ddFAAMtLkxRxRmm4)23(21 振动微分方程：固有频率：21212380238mmkxmmkxn 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础A20 解解2 ： 用机械能守恒定律 以x为广义坐标（取静平衡位置为原点）2212222121)23(21 21)(22121xmmxmRxRmxmT 以平衡位置为计算势能的零位置，并注意轮心位

11、移x时，弹簧伸长2xgxmmxkkxgxmmxkV)(22 )()2(221st2212st2st因平衡时gxmmxkt)(221s22kxV 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础21 由 T+V= 有：constconst2)23(212221kxxmm04)23(21kxxmm 21n212380238mmkxmmkx 对时间 t 求导，再消去公因子 ，得x 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础22 如图所示两个相同的塔轮，相啮合的齿轮半径皆为R，半径为r的鼓轮上绕有细绳，轮连一铅直弹簧，轮挂一重物。塔轮对轴的转动惯量皆为J，弹簧刚度为k。重物质量为m，

12、求此系统的固有频率。动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础例例3 xRxxr23动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础24解：解： 系统平衡处弹簧虽有拉长，但如前所述，从平衡位置起计算弹性变形，可以不再计入重力。由几何关系，当重物位于x处，弹簧由平衡位置计算的变形量也是x，则系统的势能为以系统平衡时重物的位置为原点，取x轴如图。重物于任意坐标x处，速度为x的导数，两塔轮的角速度皆为 。系统动能为动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础xRxxr25不计摩擦，系统的机械能守恒，有两端对时间取一阶导数，得上式为自由振动微分方程，系统固有频率为xRxxr

13、动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础26 如图所示表示以质量为m，半径是r的圆柱体，在一半径是R的圆弧槽上作无滑动的滚动。求圆柱体在平衡位置附近做微小振动的固有频率。动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础例例4 27解：解：用能量法求解这个问题。 设在振动过程中，圆柱体中心与圆槽中心的连线OO1与铅直线OA的夹角为。圆柱体中心O1的线速度为由运动学知，当圆柱体做纯滚动时，其角速度为因此系统的动能为动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础28整理后得 系统的势能即重力势能，圆柱在最低处平衡，取该处圆心位置C为零势能点，则系统的势能为当圆柱体作微振动

14、时，可认为动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础因此势能可改写成29设系统做自由振动时的变化规律为则系统的最大动能由机械能守恒定律，有Tmax=Vmax，解得系统的固有频率为系统的最大势能动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础30 例例5 鼓轮：质量m1，对轮心回转半径，在水平面上只滚不滑，大轮半径R，小轮半径 r ，弹簧刚度 ，重物质量为m2, 不计轮D和弹簧质量，且绳索不可伸长。求系统微振动的固有频率。21 , kk 解解：取静平衡位置O为坐标原点，取C偏离平衡位置x为广义坐标。系统的最大动能为：动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础31 )

15、 )()( ( )(21 )(21212st2max21max22st2stmax21maxRkkrRgmxkkxRrRgmxkkV2max2222122max22max212max1max 21 )(21 )(21)(21xr)(Rm)R(mRxRrRmRxmxmT系统的最大势能为：动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础系统的最大动能为：32 设 则有)sin(n Axnmaxmax , AxAx )(21 2)()(221max22n222221maxAkkVARrRmRmT根据Tmax=Vmax , 解得22221221n)()()(rRmRmRkk动力学动力学第十九章第

16、十九章 机械振动基础机械振动基础33 19-3 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动一、阻尼的概念一、阻尼的概念： 阻尼阻尼：振动过程中，系统所受的阻力。 粘性阻尼粘性阻尼：在很多情况下，振体速度不大时，由于介质粘性引起的阻尼认为阻力与速度的一次方成正比，这种阻尼称为粘性阻尼。vFc投影式：xcFc c 粘性阻尼系数，简称阻尼系数。动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础34 二、有阻尼自由振动微分方程及其解二、有阻尼自由振动微分方程及其解： 质量弹簧系统存在粘性阻尼：xckxxm 02 2 , 2n2nxxnx mcnmk 则令有阻尼自由振动微分方程的标准形

17、式。动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础35 其通解分三种情况讨论： 1、小阻尼情形、小阻尼情形mkcn2 )(n)sin(dtAexnt22ndn有阻尼自由振动的圆频率则时设 , , , 0 00 xxxxt0022n0122n20020tan ; )(nxxnxnnxxxA动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础36 衰减振动的特点：(1) 振动周期变大，振动周期变大， 频率减小频率减小。mkcnnT212 22n2n22ndd阻尼比有阻尼自由振动：当 时，可以认为nn1TT dnd 2nd2d2d111ffTT动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械

18、振动基础37 (2) 振幅按几何级数衰减振幅按几何级数衰减 对数减缩率212lnln2d1dnTeAAnTii2、临界阻尼情形、临界阻尼情形 临界阻尼系数) 1 , (nnmkc2c)(000tnxxxexnt) , , 0(00 xxxxt 时dd)(1nTTtnntiieAeeAAAii相邻两次振幅之比动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础38 可见，物体的运动随时间的增长而无限地趋向平衡位置，不再具备振动的特性。 )(2n22n221 tn tnnteCeCex代入初始条件) , , 0(00 xxxxt 时2n2002n222n202n2012)( ; 2)(nxxnn

19、CnxnnxC) 1 , (nn)(ccc 3、过阻尼（大阻尼）情形、过阻尼（大阻尼）情形 所示规律已不是周期性的了，随时间的增长，x 0，不具备振动特性。动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础39 例例6 质量弹簧系统，P=150N，st=1cm , A1=0.8cm, A21=0.16cm。 求阻尼系数c 。2021203221211)(dnTeAAAAAAAA解：解：20)(16. 08 . 0dnTe2nndn1220205lnT由于 很小，405ln)s/cmN(122. 0 98011502405ln2405ln22stPgPmkc动力学动力学第十九章第十九章 机械

20、振动基础机械振动基础40 如图所示为一弹性杆支持的圆盘，弹性杆扭转刚度为kt ，圆盘对杆轴的转动惯量为J。如圆盘外缘受到与转动速度成正比的切向阻力，而圆盘衰减扭振的周期为Td 。求圆盘所受阻力偶矩系数。kt动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础例例7 41动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础42解： 盘外缘切向阻力与转动速度成正比，则此阻力偶矩M与角速度成正比，且方向相反。设M=， 为阻力偶系数，圆盘绕杆轴转动微分方程为或由上式解出阻力偶系数可得衰减振动周期动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础43 19-4 单自由度系统的无阻尼强迫振动单自由

21、度系统的无阻尼强迫振动一、强迫振动的概念一、强迫振动的概念 强迫振动：在外加激振力作用下的振动。 简谐激振力： 激振力的初相位 H力幅； 激振力的圆频率 。)sin(tHF)sin(tHkxxm 则令 , 2mHhmkn)sin(2thxxn 无阻尼强迫振动微分方程的标准形式，二阶常系数非齐次线性微分方程。二、无阻尼强迫振动微分方程及其解二、无阻尼强迫振动微分方程及其解动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础44 21xxx)sin()sin(2n1tbxtAx为对应齐次方程的通解为特解)sin( , 22n222nthxhb)sin()sin(22nnthtAx全解为：稳态强迫

22、振动 3、强迫振动的振幅大小与运动初始条件无关，而与振动系统 的固有频率、激振力的频率及激振力的力幅有关。三、稳态强迫振动的主要特性三、稳态强迫振动的主要特性：1、在简谐激振力下，单自由度系统强迫振动亦为简谐振动。2、强迫振动的频率等于简谐激振力的频率，与振动系统的 质量及刚度系数无关。动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础45(1) =0时kHhb2n0 (2) 时，振幅 b随 增大而增大；当 时，n bn(3) 时，振动相位与激振力相位反相，相差 。rad n22nhb b 随 增大而减小； 0 ; , 20nbbb时时 振幅比或称动力系数 频率比 曲线 幅频响应曲线 （幅

23、频特性曲线）1动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础46 4、共振现象 , n时b，这种现象称为共振。此时，)cos(n2tBtx)cos(2 2 , 2 nn2nnttbxthbhB动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础47 如图表示带有偏心块的电动机，固定在一根弹性梁上。设电机的质量为 m1，偏心块的质量为m2，偏心距为e，弹性梁的刚度系数为k，求当电机以角速度匀速旋转时系统的受迫振动规律。t动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础例例8 48t解：解： 将电机与偏心块看成一质点系。设电机轴心在瞬时t 相对其平衡位置O的坐标为x，则偏心块的x坐

24、标应为x+esint。此时作用在系统上的恢复力为-kx。列出质点系动量定理的微分形式得动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础49t整理后得微分方程则受迫振动振幅动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础50 如图所示为一无重刚杆AO，杆长为l，其一端O铰支，另一端A水平悬挂在刚度为k的弹簧上，杆的中点装有一质量m为的小球。若在点A加一激振力F=F0sin t，其中激振力的频率= 0/2， 0为系统的固有频率。忽略阻尼，求系统的受迫振动规律。mAO2l2lk动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础例例9 51动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械

25、振动基础52mAO2l2lk解：解： 设任一瞬时杠杆的摆角为 ，根据刚体转动微分方程可以建立系统的运动微分方程，为令则上述微分方程可以整理为动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础53mAO2l2lk上述方程的特解，即受迫振动为将 =0/2 代入上式，可解得动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础54 19-5 单自由度系统的有阻尼强迫振动单自由度系统的有阻尼强迫振动一、有阻尼强迫振动微分方程及其解一、有阻尼强迫振动微分方程及其解tHFxcFkxFksin , , ctHxckxxmsin 将上式两端除以m ，并令mHhmcnmk ; 2 ; 2nthxxnxnsi

26、n22 有阻尼强迫振动微分方程的标准形式，二阶常系数非齐次微分方程。21xxx动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础55 x1是齐次方程的通解)02(2nxxnx 小阻尼：)sin(22n1tAexnt（A、 积分常数，取决于初始条件）x2 是特解：)sin(2tbx代入标准形式方程并整理22n22222n2tan4)(nnhb 强迫振动的振幅 强迫振动相位滞后激振力相位角振动微分方程的全解为)sin()sin(22ntbtAexnt 衰减振动 强迫振动动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础56 振动开始时，二者同时存在的过程瞬态过程。仅剩下强迫振动部分的过程稳

27、态过程。需着重讨论部分。 n0n ; , nbb令 频率比 振幅比 阻尼比因此：2222212 tan; 4)1 (1二、阻尼对强迫振动的影响二、阻尼对强迫振动的影响1、振动规律 简谐振动。2、频率： 有阻尼强迫振动的频率，等于激振力的频率。3、振幅)sin(2tbx动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础57 (1) , 1 , )( 1n时可不计阻尼。 , 0bb(2) , 0 , )( 1n时阻尼也可忽略。时时0.70 , )( 1n(3) 阻尼对振幅影响显著。一定时，阻尼增大，振幅显著下降。2n22n212 , 0dd nb得由共振频率此时：20max22nmax12 2

28、bbnnhb或动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础58 2 , , 10maxnbb 时当4、相位差有阻尼强迫振动相位总比激振力滞后一相位角， 称为相位差。212tan(1) 总在0至 区间内变化。(2) 相频曲线（ - 曲线）是一条单调上升的曲线。 随 增 大而增大。(3) 共振时 =1， ，曲线上升最快，阻尼值不同的曲线， 均交于这一点。(4) 1时， 随 增大而增大。当 1时 ，反相。2动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础59 例例10 已知P=3500N，k=20000N/m , H=100N, f=2.5Hz , c=1600Ns/m , 求b,

29、,强迫振动方程。解解：rad/s 58.1035008 . 92000022eqnPkgmkm 105 . 220000210023eq0kHkHb动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础 ; 212. 058.1024. 2rad/s 24. 28 . 9/3500216002nnmcn60 mm 84. 15 . 2736. 0736. 0485. 1212. 04)485. 11 (14)1 (102222222bb)847. 05sin(84. 1847. 0522. 0)1/(2tan22tx动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础485. 158.105

30、 . 222 ; 212. 058.1024. 2rad/s 24. 28 . 9/3500216002nnnfnmcn61 如图所示为一无重刚杆。其一端铰支，距铰支端l处有一质量为m的质点，距2l处有一阻尼器，其阻尼系数为c，距3l处有一刚度为k的弹簧，并作用一简谐振力F=F0sin t。刚杆在水平位置平衡，试列出系统的振动微分方程，并求系统的固有频率0，以及当激振力频率 等于0 时质点的振幅。mlllkc动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础例例11 62解解: 设刚杆在振动时的摆角为 ，由刚体转动微分方程可建立系统的振动微分方程为整理后得令 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础mlllkc630 即系统的固有频率，当 =0 时，其摆角 的振幅为 此时质点的振幅 动力学动力学第十九章第十九章 机械振动