第4章-弯曲内力

1、第四章第四章 弯曲内力弯曲内力第第四四章章 弯曲内力弯曲内力4.4 4.4 剪力方程剪力方程和弯矩方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图4.1 4.1 弯曲弯曲的概念和的概念和实例实例4.2 4.2 受弯杆件的简化受弯杆件的简化4.3 4.3 剪力和弯矩剪力和弯矩4.1 弯曲弯曲的概念的概念 1、弯曲、弯曲：在垂直于杆轴线的平衡力系的作用下：在垂直于杆轴线的平衡力系的作用下，杆的轴线在变形后成为曲线的变形形式。，杆的轴线在变形后成为曲线的变形形式。 2、梁、梁：主要承受垂直于轴线荷载的杆件主要承受垂直于轴线荷载的杆件 3、平面弯曲（对称弯曲）、平面弯曲（对称弯曲）：若梁上所有外力都作用：

2、若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，梁变形后轴线形成的曲线也在该平面在纵向对称面内，梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。内的弯曲。 AB对称轴对称轴纵向对称面纵向对称面梁变形后的轴线与梁变形后的轴线与外力在同一平面内外力在同一平面内梁的轴线梁的轴线RAF1F2RB 研究对象研究对象：等截面的直梁，且外力作用在梁对称：等截面的直梁，且外力作用在梁对称面内的平面力系。面内的平面力系。 1.梁的梁的计算简图计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上。加到轴线上。 2.梁的梁的支座简化支座简化(平面力系平面力系)：a)滑动铰支座滑动铰支座b)固定铰支座固定铰支座c

3、)固定端固定端RFRyFRxFRyFRxFRM4.2 受弯杆件的简化受弯杆件的简化 3.3.静定梁静定梁(a)悬臂梁悬臂梁(b)简支梁简支梁(c)外伸梁外伸梁4.4.作用在梁上的荷载可分为作用在梁上的荷载可分为: :(a)集中荷载集中荷载F1集中力集中力M集中力偶集中力偶(b)分布荷载分布荷载q(x)任意分布荷载任意分布荷载q均布荷载均布荷载一一、截面法过程：、截面法过程：切、取、代、平切、取、代、平FABaxASSAy0:0FFFFFxFMxFMMAAC0:0 xAFSFMC4.3 剪力和弯矩剪力和弯矩 剪力剪力平行于横截面的内力，符号：平行于横截面的内力，符号：Fs，正负号规定：，正负号规

4、定：使梁顺时针转动剪为正，反之为负使梁顺时针转动剪为正，反之为负. MMMMFSFSFSFS 弯矩弯矩绕截面转动的内力，符号：绕截面转动的内力，符号：M，正负号规定：使，正负号规定：使梁变形呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负梁变形呈上凹下凸的弯矩为正，反之为负(梁上压下拉的弯矩梁上压下拉的弯矩为正为正)。剪力为正剪力为正剪力为负剪力为负弯矩为正弯矩为正弯矩为负弯矩为负二、平面弯曲梁横截面上的内力：二、平面弯曲梁横截面上的内力：kN29030kN1502335 . 460yBBAAABFqFFFFFqFFMmkN26) 5 . 12(2kN7A1A1SFFMFFFmkN3025 . 15 . 15

5、. 1kN115 . 1B2B2SqFMFqF例例: 求下图所示简支梁求下图所示简支梁1 1与与2 2截面的剪力和弯矩。截面的剪力和弯矩。2112m21.5mq=12kN/m3m1.5m1.5mF=8kNABFAFB解：解： 1、求支、求支 反力反力2、计算、计算1-1截面的内力截面的内力3、计算、计算2-2截面的内力截面的内力F=8kNFAS1F1MFBq=12kN/mS2F2M)()(SSxMMxFF1.剪力、弯矩方程剪力、弯矩方程： 2.剪力、弯矩图剪力、弯矩图：剪力、弯矩方程的图形，横轴剪力、弯矩方程的图形，横轴沿轴线方向表示截面的位置，纵轴为内力的大小。沿轴线方向表示截面的位置，纵轴

6、为内力的大小。4.4 剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图 例例: 在图示简支梁在图示简支梁AB的的C点处作用一集中力点处作用一集中力F，剪剪力方程和弯矩方程力方程和弯矩方程,并作剪力图和弯矩图。并作剪力图和弯矩图。 由剪力、弯矩图知：由剪力、弯矩图知：在集中力作用点，弯矩图发生转折，剪在集中力作用点，弯矩图发生转折，剪力图发生突变，其突变值等于集中力的大小，从左向右作图，突力图发生突变，其突变值等于集中力的大小，从左向右作图，突变方向沿集中力作用的方向变方向沿集中力作用的方向。解：解： 1、求支反力、求支反力lFaFlFbFBA；2、建立剪力方程和弯矩方程、建

7、立剪力方程和弯矩方程axlFbxxFxMaxlFbFxFAC段0)(0)(:AAS lxaxllFaxlFxMlxalFaFxFCB段ABS)()(:+lFbalFABCabFAFB+lFblFa剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程BAFlx)0()()0()(SlxFxxMlxFxFFSxFFlxM 由剪力、弯矩图知：由剪力、弯矩图知：在集中力偶作用点，弯在集中力偶作用点，弯矩图发生突变，其突变值为集中力偶的大小。矩图发生突变，其突变值为集中力偶的大小。 例例: 在图示简支梁在图示简支梁AB的的C点处作用一集中力偶点处作用一集中力偶M，作，作该梁的剪力图和弯矩图。该梁的剪力图和弯矩图。解：解

8、： 1、求支反力、求支反力lMFlMFBA；2、建立剪力方程和弯矩方程、建立剪力方程和弯矩方程axlMxxFxMaxlMFxFAC段0)(0)(:AAS lxaxllMxlFxMlxalMFxFCB段BBS)()(:lABCabFAFBM+lM+lMalMbFSM2qlFFBA由对称性知：222)(2)(22AASqxqLxqxxFxMqxqlqxFxF82,2maxmaxSqlMqlF例例: 图示简支梁受均布荷载图示简支梁受均布荷载q的作用，的作用，剪力方程和剪力方程和弯矩方程弯矩方程, 并作该梁的剪力图和弯矩图。并作该梁的剪力图和弯矩图。qlABx解：解： 1、求支反力、求支反力FAFB2

9、、建立剪力方程和弯矩方程、建立剪力方程和弯矩方程2/ql2/ql+82qll/24-5 4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩关系：载荷集度、剪力和弯矩关系：)()()(22xqdxxdFdxxMds目录载荷集度、剪力和弯矩关系：载荷集度、剪力和弯矩关系：)()()(22xqdxxdFdxxMds1.1. q q0 0，F Fs s= =常数，常数， 剪力图为水平直线；剪力图为水平直线； M M(x) (x) 为为 x x 的一次函数，弯矩图为斜直线。的一次函数，弯矩图为斜直线。2.q2.q常数，常数，F Fs s( (x x) ) 为为 x x

10、的一次函数，剪力图为斜直线；的一次函数，剪力图为斜直线； M M(x) (x) 为为 x x 的二次函数，弯矩图为抛物线。的二次函数，弯矩图为抛物线。 分布载荷向上（分布载荷向上（q q 0 0），抛物线呈凹形；），抛物线呈凹形； 分布载荷向下（分布载荷向下（q q 0 0），抛物线呈凸形。），抛物线呈凸形。3.3. 剪力剪力F Fs s=0=0处，弯矩取极值。处，弯矩取极值。4.4. 集中力作用处，剪力图突变；集中力作用处，剪力图突变； 集中力偶作用处，弯矩图突变集中力偶作用处，弯矩图突变4-5 4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录5 5、也可、也可通过积分方

11、法确定剪力、通过积分方法确定剪力、 弯矩图上各点处的数值。弯矩图上各点处的数值。 SddFxMxFMddSbabaxFMddS baFAaMbMSqxFddSxqFddSbabaxqFddS baSSqAaFbF 从左到右，向上（下）集中力作用处，剪力图从左到右，向上（下）集中力作用处，剪力图向上（下）向上（下）突变，突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该处为尖点。突变，突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该处为尖点。 从左到右，顺（逆）时针集中力偶作用处，从左到右，顺（逆）时针集中力偶作用处，弯矩图向上弯矩图向上（下）突变，突变幅度为集中力偶的大小。（下）突变，突变幅度为集中力偶的大小。剪力图剪力图

12、在该点没在该点没有变化。有变化。 4-5 4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：根据载荷及约束力的作用位置，确定控根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。制面。应用截面法确定控制面上的剪力和弯应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值。矩数值。建立建立F FS S一一x x和和M M一一x x坐标系，并将控制面上坐标系，并将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。应用平衡微分方程确定各段控制面之间应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力

13、图的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。与弯矩图。 4-5 4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kN例题例题4-64-6 简支梁受力的大简支梁受力的大小和方向如图示。小和方向如图示。试画出试画出其剪力图和弯矩图。其剪力图和弯矩图。 解：解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMM求得求得A、B 二处的约束力二处的约束力 FAy0.89 kN , FBy1.11 kN 根据力矩平衡方程根据力矩平衡方程 2 2确定控制面确定控制面在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力在集中力和集中力偶作用处的两侧

14、截面以及支座反力内侧截面均为控制面。即内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面截面。 4-5 4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录(+)(-)BAFAYFBY1kN.m2kNM (kN.m)xO3 3建立坐标系建立坐标系建立建立 F FS Sx x 和和 M Mx x 坐标系坐标系 5 5根据微分关系连图根据微分关系连图线线4 4应用截面法确定控应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩制面上的剪力和弯矩值，并将其标在值，并将其标在F FS S x x和和 M Mx x 坐标坐标系中。系中。0.891.111.3351.67(-)(-)0.335xFS (kN)

15、O0.89 kN=1.11 kN4-5 4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录（-）（+）解法解法2 2：1 1确定约束力确定约束力F FAyAy0.89 kN 0.89 kN F FFyFy1.11 kN 1.11 kN 2 2确定控制面为确定控制面为A、C、D、B两侧截面。两侧截面。 FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDC3 3从从A A截面左测开始画截面左测开始画剪力图。剪力图。 Fs（ kN）0.891.114-5 4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录（-）（-）4 4从从A A截面左测开始画截面左测开

16、始画弯矩图。弯矩图。 M（ kN.m）从从A A左到左到A A右右从从C C左到左到C C右右从从D D左到左到D D右右从从A A右到右到C C左左1.3300.330从从C C右到右到D D左左1.665（-）（+）FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDCFs（ kN）0.891.114-5 4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系从从D D右到右到B B左左从从B B左到左到B B右右目录qBAFAyFBy例题例题4-7 4-7 试画出梁试画出梁的剪力图和弯矩图。的剪力图和弯矩图。 解：解：1 1确定约束力确定约束力根据梁的整体平衡，由根据梁的

17、整体平衡，由 00，BAMM求得求得A A、B B 二处的约束力二处的约束力qaFqaFByAy4349,qa2 2确定控制面确定控制面 由于由于ABAB段上作用有连续分布载荷，故段上作用有连续分布载荷，故A A、B B两个截两个截面为控制面，约束力面为控制面，约束力F FByBy右侧的截面，以及集中力右侧的截面，以及集中力qaqa左侧的截面，也都是控制面。左侧的截面，也都是控制面。 C4-5 4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录（+）（-）（+）qBAFAyFByC3 3建立坐标系建立坐标系建立建立F FS Sx x和和M Mx x坐标系坐标系 OFSxOMx

18、4 4确定控制面上的确定控制面上的剪力值，并将其标剪力值，并将其标在在F FS Sx x中。中。4/9qa4/7qaqa32/812qa4/9a2qa5 5确定控制面上的确定控制面上的弯矩值，并将其标在弯矩值，并将其标在M Mx x中。中。qa49qa434-5 4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录 （+） （-）qaFqaFByAy4349,qBAFAyFBy解法解法2 2：1 1确定约束力确定约束力2 2确定控制面，确定控制面，即即A A、B B、D D两侧截面。两侧截面。 3 3从从A A截面左测开始画截面左测开始画剪力图。剪力图。 Fs 9qa/4 7q

19、a/4qa4-5 4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录（+） M （+） （-）qBAaFAyFBy Fs 9qa/4 7qa/4qa4 4求出剪力为零的点求出剪力为零的点 到到A A的距离。的距离。 B B点的弯矩为点的弯矩为 -1/2-1/27qa/47qa/47a/47a/4 +81qa +81qa2 2/32=qa/32=qa2 2 AB AB段段为上凸抛物线。且有为上凸抛物线。且有极大值。该点的极大值。该点的弯矩为弯矩为 1/21/29qa/49qa/49a/49a/4 =81qa =81qa2 2/32/325 5从从A A截面左测开始画弯截面左测开

20、始画弯矩图矩图 4/9a 81qa2/32qa24-5 4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录（-）（-）（+）（+）（-） Fs例题例题4-8 4-8 试画出图示有中间试画出图示有中间铰梁的铰梁的剪力图和弯矩图。剪力图和弯矩图。解：解：1 1确定约束力确定约束力2/qaFDy从铰处将梁截开从铰处将梁截开qFDyFDyqa2/3qaFBy2/qaFAy2/2qaMAqa/2qa/2qaMqa2/2qa2/2BAaqaCaaDq4-5 4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系目录小结小结1 1、熟练求解各种形式静定梁的支、熟练求解各种形式静定

21、梁的支座反力座反力2 2、明确剪力和弯矩的概念，理解、明确剪力和弯矩的概念，理解剪力和弯矩的正负号规定剪力和弯矩的正负号规定3 3、熟练计算任意截面上的剪力和、熟练计算任意截面上的剪力和弯矩的数值弯矩的数值4 4、熟练建立剪力方程、弯矩方程，、熟练建立剪力方程、弯矩方程，正确绘制剪力图和弯矩图正确绘制剪力图和弯矩图目录 通过剪力、弯矩和分布载荷之间的微分关系，可通过剪力、弯矩和分布载荷之间的微分关系，可推知剪力图和弯矩图的形状推知剪力图和弯矩图的形状:2若梁上无分布载荷，则该段梁的剪力图为平行于轴的直线；而若梁上无分布载荷，则该段梁的剪力图为平行于轴的直线；而弯矩弯矩图为斜直线。弯矩弯矩图为斜

22、直线。3若梁上有均布载荷，则剪力图为斜直线；而弯矩图为抛物线。若梁上有均布载荷，则剪力图为斜直线；而弯矩图为抛物线。本书规定当本书规定当 （ 向上）时，弯矩图为向下凸的曲线；当向上）时，弯矩图为向下凸的曲线；当 （向下）（向下）时，弯矩图为向上凸的曲线。时，弯矩图为向上凸的曲线。4在集中力作用处，剪力图有突变（突变值等于集中力），弯矩在集中力作用处，剪力图有突变（突变值等于集中力），弯矩图有折角。在集中力偶作用处，剪力图无变化，弯矩图有突变图有折角。在集中力偶作用处，剪力图无变化，弯矩图有突变（突变值等于集中力偶矩）（突变值等于集中力偶矩）5k623.RA kN27 RBBACD2001151

23、265FFRARB23123.61.727+kN27SmaxF4.723.11+mkN72. 4max M RARBEqABCD0.21.612kN80RRBA80kN80kN),( kN80maxSF+161648单位：单位：kN.mmkN48maxM+10.5113F=50kNM=5kN.mAECDKBRARBmAq=20kN/m81kN31kN29kN+0qxRFBSxm45. 1qRxB96.53115.5x+55345F=50kNM=5kN.mAECDKRARBmAq=20kN/m+3m4mABCDE4m4mRARBF1=2kNq=1kN/mm=10kN.mF2=2kNkN7RAkN5RB7kN1kN+3kN3kN2kNx=5m01SFqxRFAx201666+20.540kN.mabcd2m2m2m+)(d)(dSxFxxMSS2)(FdxxFMMc