第二换元积分法ppt课件

1、 4.2 4.2 换元积分法续换元积分法续 -第二类换元法第二类换元法( (变量变量交换法交换法) )一、幂函数交换一、幂函数交换二、三角函数交换二、三角函数交换三、其他方式的交换三、其他方式的交换引例引例1. 1. 求求dxx11解解 令, tx ,2tx dxx11tdtt211dttt1112Ctt)1ln(2Cxx1ln2tdtdx2证证定理定理1.(1.(第二换元法第二换元法) () (变量代换法变量代换法) )设设)(tx单调可微单调可微, ,且且, 0)( t假设假设,)()()(CtFdtttf那么那么dxxf)(.)(1CxF)(1xFdxd)(1xtdxdtdtdF)( )

2、(ttf)(1t)(xfdx)x(f .C)x(F 1 )t(x dtttf)()(C)t (F )x(t1 复原复原作代换作代换 )t (d)t (f 换元法的步骤换元法的步骤一、幂函数交换一、幂函数交换ntx 令令目的：去掉根号目的：去掉根号例例2.2.求求3xxdx解解 令,6tx ,6tx 3xxdxdtttt2356dttt163dttt11163dtttt)111(6232t23tt 6Ct |1 |ln6x233 x66 xCx |1 |ln66对于被积函数含有根式的不定积分对于被积函数含有根式的不定积分, ,常用第二换元法常用第二换元法, ,引入适当的代换引入适当的代换, ,以

3、去掉根号以去掉根号. .阐明阐明dttdx56 例例3. 3. 求求dxxx3131解解 令,133tx),t (x1313 dxxx 3131dttt)t (231131 dt)tt (2314 C)tt( 255131C)x()x( 3235133113151dttdx2 练习一下例例4. 4. 求求dxex11解解 令,01ttex),1ln(2txdtttdx122原式原式dtttt1212dtt1122Ct arctan2Cex1arctan2换元目的：去掉根号换元目的：去掉根号提高标题二、三角函数交换二、三角函数交换22xa ,sintax 2222axxa或,tantax 22a

4、x ,sectax 目的：去掉根号目的：去掉根号 dxxa22解解22xa tsinaa222 tcosa 例例50 22adxxa求 tdtcosatcosa tdtcosa22Ctcostsinata 2222axarcsina22 Cxaxaxarcsina 222212tdtadxtcos,22,sintax 设 dttcosa2212Ctsinata 24222Caxa 22axa22 解解例例6.0 22aaxdx求 22axdx22ax 222tanatatasec secsec2dttata sectdtCtttansecln122lnCaxaaxCxax22ln122lnln

5、Caxax,tantax 设tdtadxt2sec,22例例70 22aaxdx求22ax 222secatatatandttantsectadx,sectax 22axdx tantansectatdttatdtsec1tanseclnCtt122lnCaaxaxCaxx22ln解解设以上所用代换以上所用代换, ,称为三角代换称为三角代换. .普通地,22xa ,sintax ,22t2222axxa或,tantax ,22t22ax ,sectax ,20 t公式公式 dxxa22Cxaxaxarcsina 22222 22axdxCaxxln 22例例8 8 942xdx求解解 sec3

6、sec232dttt sec21tdt1tansecln21Ctt,tan23tx 设设 942xdxCxx942ln212练习一下换元目的：去掉根号换元目的：去掉根号三、其他方式的交换三、其他方式的交换),0( 1ttx令等等等等例例9.9.求求 12xxdx解法解法1:1:,sectx ,20 t令 12xxdx tansectansectttdttCt Cx1arccos法法2:2:),0( 1ttx令 12xxdx 1 1122dtttt 12tdtCt arcsinCx1arcsin法法3:3:令令,12tx, 12tx 12xxdx 1 1122dttttt 12tdtCt arc

7、tanCx1arctan2法法4 4： 12xxdx dxxx22111 xdx11112Cx1arcsin疯狂操练疯狂操练例例10 10 ，知，知 ，且，且xxf22sectan 10 f求求 xf. 121)(2xxxf例例11 11 ，知，知 xfxF那么那么 dxxxfx13132CxxF) 13(313 第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型: ,d),() 1 (xbaxxfn令nbxat,d),()2(xxfndxcbxa令ndxcbxat,d),()3(22xxaxf令taxsin,d),()4(22xxaxf令taxtan,d),()5(22xaxxf令taxsecdxxxxxdx2571 )2(和求练习一下