第5节实数的完备性：Cauchy收敛定理ppt课件

1、 5 5 实数的完备性实数的完备性 Cauchy收敛定理*0,.nNNnN aa ， : . 极限定义回顾极限定义回顾2mnmnN aa 因因此此：，是是否否是是充充分分必必要要条条件件？一、柯西基本列定义定义5.15.1, nx对对给给定定数数列列 * * 0 0, ,N NN N , ,如如存存在在时时，且且当当Nnmnm , N ,*都都有有， nmxx.为为基基本本列列则则称称nx, ,N , 0*时时当当NnN . npnxx有有对对一一切切 ,N * p或叙述为或叙述为*0,npnNNnNpNaa： : *0,mnNNmnNpN aa： 或者用符号表述为或者用符号表述为例例1.1.

2、证明：证明：.1211 22是是基基本本列列证证nan 22)(1)1(10pnnaanpn 由由)(1(1)2)(1(1)1(1pnpnnnnn )111()2111()111(pnpnnnnn npnn111 .npnaa *10,1 ,NNnNp 所所以以有有，：例2.时，时，证明当证明当1 . ,12111不不是是基基本本列列 nan 证明：证明： )(1)2(1)1(1pnnnaanpn pnppnn 111*00001,N , , 2NnN pn ： 00001.2npnaa 所以不是基本列所以不是基本列二、列紧性定理定理定理5.15.1任意有界数列中必可造出收敛子列任意有界数列中

3、必可造出收敛子列. .证明：证明： （二分法：）（二分法：） bxaxnn 满满足足设设 , ,11baxn的的无无穷穷多多项项子子区区间间为为选选包包含含, ,211111baxababn 取取,二二等等分分将将区区间间ba,11ba继续等分继续等分 ,22baxn的无穷多项的子区间为的无穷多项的子区间为记包含记包含., ,422222baxababn 取取则则 ,11kknkkbaxba的无穷多项子区间为的无穷多项子区间为记包含记包含二等分二等分 ., , 02kknkkkbaxababk 取取 , 2 , 1,kknnnbaxnbak 构构成成闭闭区区间间套套，且且由闭区间套定理和夹逼定

4、理：由闭区间套定理和夹逼定理：.limlimlimcbxakknkkkk ab三、柯西收敛准则定理定理2 2：. 是基本列是基本列收敛收敛nnaa证明：证明：)(必必要要性性,aan收敛于收敛于设设.2 , ,N , 0* aaNnNn有有则对则对, 时时当当Nnm nmnmaaaaaa aaaanm .22 . 是基本列是基本列na（充充分分性性）,是是基基本本列列设设na, ,N, 1*0时时取取NnN , 101 Nnaa11 NNnnaaaa11 NNnaaa11 Na ,1 ,max121 NNaaaaM取取.,Mann 有有则则对对有有界界）先先证证（1na)2(. ,ninaa存

5、在收敛子列存在收敛子列由列紧性定理知由列紧性定理知,limaanin 设设,N, 0*1 N 则则,1时时当当Nin ,2 aani,N,*时时是是基基本本列列由由NnmNan ,2 nmaa ，则则取取一一个个NNik,max1 aaaaaakkiinn aaaakkiin . .limaann cos1cos2cos1 22 31nnxnn例例3 3证证明明收收敛敛 11121npnxxnnnpnp证证明明：因因为为 1111121nnnpnp 1111111nnpnn*10,1,npnNnNpNaa所所以以： 由例由例1 1：.131211222收敛收敛nan 由例由例2 2：.1131

6、211发发散散当当 nan注：Cauchy收敛准则是判断数列收敛的重要方法例例4 4：若数列满足下面情况，判断是否收敛：若数列满足下面情况，判断是否收敛.|,)1(npaapnnpn 有有对对.|,)2(2npaapnnpn 有有对对解：(1)不一定，例如例2中| )2(11nnpnpnnpnaaaaaa .,1211,1发散发散时时当当 nan 221)1(1npn )1(1)2)(1(1 nnpnpn)1(1 n, 11, 0pNnN .| npnaa|211 pnpnpnpnnpnaaaaaa|1nnaa 221)1(1npn )1(1)2)(1(1 nnpnpn11)1(1)1(1 n

7、pnn(2)(2)结论成立，证明如下结论成立，证明如下时时，当当因因此此NnN , 110, ，有有对对*Np .| npnxx, 2 , 1 , 0,11, 110 nxxxnn例例5.5.215lim nnx求证：求证：证法证法1 1：, 2 , 1 , 0, 121 nxn用用归归纳纳法法证证：，则则正正确确，设设1211211 nxx1322111111 nnxx21111111 nnxx121 nx)1)(1(11111111 nnnnnnnnxxxxxxxx11121942323 nnnnnnxxxxxx101212212121 nnnnxxxx pkknknnpnxxxx11)(

8、 pknnknn1121211121212110,1, NnN： . :是基本列是基本列即即nx .nx收敛收敛 pkknknxx11 . npnxx nxxAxnnnn两两端端，对对迭迭代代式式设设111lim,11AA , 012 AA.215 A证法证法2 2： ., 121有界有界nnxx )1)(1( 11111111 nnnnnnnnxxxxxxxx反反号号！与与11 nnnnxxxx不单调不单调 .,112122同同号号与与单单调调， nnnnnnxxxxxx122limlim, nnnnxx存在存在nnnnnxxxxx 2111111112AAA 21215 A2111210.

9、nnnnnnnxxq xxq xxq xx 证证明明：因因为为 112111011010.111npnnnnnnpnpnnnppnnxxxxxxxxqqqxxqqqxxxxqq 因因此此 11,01,1,2,3,.nnnnnnxxxq xxqnx例6 证明：假设数列满足例6 证明：假设数列满足 ，则收敛.则收敛. 101ln01,max1,1 ,lnqxxNnNPNq： npnxx 固有11nn e Cauchy Cauchy收敛定理表明收敛定理表明, ,由实数构成的基本列必存在由实数构成的基本列必存在 实数极限实数极限, ,这一性质我们称之为实数系统的完备性这一性质我们称之为实数系统的完备性

10、. . 有理数集合不具备这一性质有理数集合不具备这一性质, , 例如有理数列例如有理数列 其极限为无理数其极限为无理数. 实数系完备性的进一步解释实数系完备性的进一步解释思考题：思考题：用闭区间套定理证明柯西收敛定理用闭区间套定理证明柯西收敛定理*:0,:.mNNNmNaa 证证明明充充分分性性. 111222333*111*221221122*33233323331111),2221,211,221,211,22NNnn NNNnn NNNnn NNNa baaaNNNNa baaa baNNNNa baaa ba 中中含含有有项项; ;2 2) )中中含含有有项项; ;3 3) )中中含含

11、有有项项; ; *1111,211,22kkkkkkkkkNNkknkkn NNNNNabaaaba 一般情况一般情况 中含有项.中含有项. 111:1),1,2,3,;12)00();23),.knnnnnnnkknnNababnbanaba 得得到到含含有有项项:limlimnnnnba 根根据据闭闭区区间间套套定定理理 *111113)10,:211,22NnNNNNNNn NNNnNaabaa 根根据据1.2nNa 因因此此四、小结列紧性定理列紧性定理柯西基本定理柯西基本定理柯西基本列柯西基本列柯西（柯西（ Cauchy Cauchy，A. L., 1789-1857A. L., 1789-1857），