武汉大学结构动力学

1、会计学1武汉大学结构动力学武汉大学结构动力学 2. 2.动力荷载动力荷载：荷载大小、方向、作用点随时间迅速变化的荷载，它引起结构的响应也随时间迅速变化。 在动力荷载作用下各支点的加速度及相应的惯性力不可忽略，成为结构荷载的重要组成部分。 静力荷载静力荷载是动力荷载的一种特殊形式，它是缓慢加到结构上的荷载，它的大小、方向、作用点是随时间不变或缓慢变化。 1. 1.结构动力学的任务结构动力学的任务：研究在动荷载下结构的强度、刚度与稳定性的科学。 动力荷载与静力荷载的概念是相对的，它与结构的动力特性（自振频率）有关，如图1-1所示荷载，当 秒时，对于柔性结 构（如自振周期 秒）为动荷载，对于刚性结构

2、（如 秒）为静力荷载。0t10T0.05T5 在静力荷载的作用下，结构各质点没有加速度或加速度很小，加速度产生的惯性力与静力荷载本身相比可略去不计。 4.本课程主要内容：单自由度、多自由度、无限自由度结构体系在各种动荷载下的时域响应分析、频域响应分析、(非)线性响应分析，以及它们的动力特性（自振频率、振型和阻尼比）。 1.1.简谐周期荷载简谐周期荷载 具有偏心质量的m的电机以角速度 匀速转动，其惯性力的竖向和水平分量为：(/ )rad s22( )cos,( )sinxyP tmrtP tmrt2.2.冲击荷载冲击荷载气锤打桩、发射火箭的反推力等。作用时间 很短， 很大，如图1-3。maxP4

3、.4.爆炸荷载爆炸荷载各种爆炸引起的冲击波（如图1-5）。5.5.周期性非简谐荷载周期性非简谐荷载螺旋桨对船的推进力（如图1-6）。3.3.突加荷载突加荷载 荷载突然加载结构上，此后保持不变，如吊车制动（见图1-4）。7.7.脉动风荷载（随机）脉动风荷载（随机）作用在建筑物上的脉动风压(如图1-8）。6.6.地震荷载（随机）地震荷载（随机）基底运动引起水塔的动力反应（如图1-7）。 在结构动力分析过程中，将结构上连续分布的质量化为一系列的质量点或质量块，能大大地简化计算，并达到工程所需要的精度。这种方法叫集中质量法集中质量法，所建立起来的体系为多自由度体系。所谓自由度自由度即弹性体系在一切可能

4、的变形中，决定其所有质点位置所需要的独立几何参数的数目。 在计算结构体系的自由度时，一般杆柱的轴向刚度很大，可忽略其变形，质点的转动自由度亦可忽略不计。试判断下列各结构的自由度： 当弹性体系的自由度确定以后，描述各个自由度随时间变化的方程为运动方程运动方程，建立运动微分方程运动微分方程以后，通过时域或频域的运算求解，即可得到运动方程。运动微分方程的建立通常有如下两种方法：1.1.利用牛顿第二定律或达朗贝尔原理建立运动微分方程或力的平衡方程利用牛顿第二定律或达朗贝尔原理建立运动微分方程或力的平衡方程。 1)由牛顿第二定律 求得某一质点在某一运动方向的微分方程：mxkxcx 、,;kcFkx Fc

5、x（图1-9） 2)达朗贝尔原理：0gckFFF0mxcxkxgFmx 2.2.利用拉格朗日方程或哈密顿原理得到运动微分方程利用拉格朗日方程或哈密顿原理得到运动微分方程从能量角度建立方程，避免了复杂的矢量变换。1)拉氏方程： 对于保守体系：L为拉氏函数，T、V为体系的动、势能，q为广义坐标、 为广义力。 对非保守体系： ，2)哈氏方程： 为非保守力做的功 ()/0,;LLddtLTVqq()/TTddtQqq22110ttncttLdtW dtQncW 弹性体系由于各种干扰离开平衡位置，去掉干扰后，体系将发生自由振动。结构的自由振动为衰减振动衰减振动（如图1-10）。 造成衰减振动的原因是阻尼

6、力引起了振动能量的耗散。形成阻尼的原因有一下几点： 1) 1)结构体系材料的内摩擦结构体系材料的内摩擦将振动的动能转化为热能消失在介质中。无内摩擦时 （如图1-11）。材料变形时的能量在卸载时完全恢复，为无能量损耗的理想振动状态。E（图1-10）（图1-11）（图1-12） 有内摩擦时，结构振动时的应力变化如图1-12，可以看出应变总是滞后于应力，形成滞变回线滞变回线，回线面积为为一个应力循环中单位体积材料所耗散的能量。令 即最大变形能。 为滞变回线所围面积， 为材料的耗散系数材料的耗散系数，例如钢混的耗散系数为0.3 。00/ 2U U/U U 2 2）结构体系周围介质对振动的阻力（水、空气

7、）3 3）节点、支座、连接产生的摩擦力。4 4）基础、地基振动耗散的能量，主要是土壤的内摩擦力耗散的能量。 单自由度体系分析起来既简单又具有普遍意义，他能揭示振动的一般规律，是一种理想模型。利用广义坐标可以将任何线性体系的强迫振动化为一个单自由度系或一系列单自由度问题来研究。2 21 1 不计阻尼时的自由振动不计阻尼时的自由振动 如图2-1，由牛顿第二定律得: 由达朗贝尔原理得： 为刚度系数，是使质点沿运动方向产生单位位移所需外力。 为柔度系数，是质点运动方向单位力产生的位移。11mur u11()()0mur u 110 (2 1. )mur ua11r11111/r 式 为二阶常系数齐次线

8、性微分方程，由高等数学知识： 从而：式中，(2 1.b)1212( )cossin( )cossinu tAtAtu tAtAt 000, (0); (0)tuv uu时；1020/AuAv则：，；( )cos()u tAt220000(/)arctanvAuvu，； 可化为：式中， 为圆频率。202 1.buu(2 1. )a110 (2 1. )mur ua11/rm注意：1）自振频率与初始条件无关。 2）振幅与初始条件及自振频率有关。 3）刚度大，频率大；质量大频率小。 弹性体系的自由振动为周期性振动，每秒振动的次数为自振频率：11111111222rfTmm2f，故可将 看为2 秒内的

9、振动次数。例例1. 1.如图2-2，求水平振动的自振频率。 解：此为并联体系11331212122EIEIrHH113312111224222rEIEIfmmHmH例例2. 2.如图2-3，求自振频率。2 3图311112122)EI2323EIaaaaaaa（ 解： 1111122EIfmama 例例3. 3.如图2-4，板均质，质量m，转动惯量为 ，方柱EI，求其在平面内扭振频率。2(/6)ma24图 解： 如图2-3.a，产生单位转角所需的力为： 故：2113312224222EIaEIaraHH1131114422rEIfJmH扭24.a图而平动频率： 可见扭转频率是平动频率的 倍。事

10、实上：113114822rEIfmmH平3弱轴向平动频率强轴向平动频率0时（上分支）， 当 1），动力放大系数主要依赖于荷载达到其最大值的增加速度和荷载降为零的减小速度。具有足够持续时间的单阶荷载产生的动力放大系数趋于2，反之则小于2。 （2）对于持续时间短的荷载，如t/T=1，动力放大系数主要依赖于荷载的冲量和结构本身的频率，与荷载的大小及随时间的变化关系很小。 举例说明如下：如右图，当 时：1tt0sp0pt 0001sin12222sincoscossintttu tp ttdmttPdpdmTTTT 0012222coscossinsinttttu tPdpdmTTTT 1 2 3 1

11、23矩形、三角形、正弦形0.4D21t /T11( )( )( )( )0m u ty tu tu t11( )( )( )( )mu tu tu tmy t 把 当为已知的地震荷载。( )my tm u tEI 当荷载p(t) 复杂时，特别是p(t)由实验或实测数据给出，无解析表达式，此时杜哈梅积分只能用数值方法求解。令( )( )cos,.itypein 令： n个tiy C1c2c3c4c5c2345216图 由于： 则：221( )pjpTitTjpCp t edtT 221()( )22pjpTitjpTjC TCp t edt ( )() ()jitjjjUtH iCe频域算法的一

12、般步骤为：( )( )( )()P tCU tH i 二.数值计算方法数值计算方法离散傅里叶变换离散傅里叶变换（DFT） 1012/0j kNitkjjNik Njjp tCeCe 三三. .数值计算方法数值计算方法快速傅里叶变换快速傅里叶变换（FFT） FFT法在60年代发展起来，大大提高了计算速度， 现已制成软件在工程中广泛应用。 1 . 1 .分析过程分析过程 杜哈梅积分和数域积分的分析方法都是用了叠加原理，只适用于线性体系，即反应过程中体系的特性保持不变。当体系受到大的干扰力时（如地震力）体系发生了大的变形，为非线性体系，这时体系刚度K(t)为时间函数（图2-17）。硬KT软（常见）随

13、振幅变化2 17图 非线性分析的基本方法非线性分析的基本方法逐步积分法：逐步积分法：取一系列短时增量 ，在每个 的起点和终点建立动力平衡方程，体系的基本特性在每个时间间隔内为常量。其非线性的特性在每个时间间隔的起点由所求得的体系的位移、速度来决定，每个时间间隔 终点的速度和位移作为下一个间隔计算时的初始条件，如此往复，求得全部时间的响应。 2.平衡的增量方程 非线性体系，如图2-18：对任一瞬时t，作用力质量m上的各个力可建立如下平衡方程： cft kft p t gft( )U t218图 gkcftftftp t u tu tdt kft u t u t kft tgk t是随t变化的刚度

14、 cft cft u t u tu tdt u t tgc t是 随时 间 变 化 的 阻 尼 p t p ttttt 对于下一瞬时，平衡方程为：二式相减得到: 即为运动方程的增量形式。 gckfttfttfttp tt gckftftftp t 式中： gckftm u tftc tu tftk tu t、 m u tc tu tk tu tp t 3 逐步积分法：基本假定：1）在时间 内加速度是线性变化的。 2）体系的阻尼、刚度在 时间内保持不变。 u t u t u tttttu tt (0)u tu tu ttt 对 积分 u ttttu tt u t u t 2()2u tu tu

15、tu tttttu tt u t u t u t 2326du tu tu tu tu tt对 积分 u tu tu tu tu tu t 将上述表达式中的加速度、速度增量，用位移增量及速度、加速度增量表示（可认为此过程为线性转换）： 2663#u tu tu tu ttt 33*2tu tu tu tu tt转到步骤1 1. 1.加速度计与位移计加速度计与位移计 1 1）. .加速度计的原理加速度计的原理m11 y t2 19图 二、二、 隔振隔振 1 1、 积极隔振（主动隔振）积极隔振（主动隔振）msinsptFRk u tm 0sinytAtk0.050.111210221图0max1m

16、ax210210为静荷载引起的位移 3 3、 用共振法确定阻尼用共振法确定阻尼 3.1 多自由度体系的运动方程与结构特性矩阵 单自由度体系实际上是一种理想模型，适用于质量集中于一点的弹性体和可用一个广义坐标来定义其运动的刚性体系。 如果体系存在多个集中质量，或刚性体系的运动必须用多个独立的坐标参数来定义，则必须建立多自由度体系模型来描述体系的运动状态。 多自由度体系即离散参数体系，其自由度通常对应于结构上（集中质量）点的位移，对于刚体体系也可对应于一组广义位移模式。 本章主要研究前者，实际结构的振动位移曲线是连续变化的。 当用一组离散点 的位移 来表示时，应注意：nuuuu21, 1）.原则上

17、离散点的设置是任意的，但实际上点的分布必须与结构的主要物理特性（质量的分布、变形的状态）相符。 2）原则上离散点越多越精确，实际上有几个乃至十几个集中质量即可达到很好的精度。 2多自由度体系的弹性特性 多自由度的弹性特性，可以由刚度法或柔度法来描述，以简支梁为例。 3 1图 32图 3 3 多自由度体系的运动方程多自由度体系的运动方程 多自由度体系的运动方程可由平衡条件建立，考虑有多个集中质量的简支梁(如图3-3）：1m2m1Kf1Jf1Cf1P33图 式中四部分分别为：惯性力、阻尼力、弹性恢复力、外荷载。 4、轴向压力效应 轴向压力将对结构的刚度产生影响，特别是当结构产生较大变形时，这种影响

18、不能忽略。34图 5、刚度矩阵与质量矩阵 （1）刚度矩阵 多自由度体系将结构分隔成在有限个结点处相互连续的离散单元体系，通过分析单个单元的弹性特性并适当地迭加、集成，就可得到整个结构的刚度矩阵。 如果结构单元都是等截面直杆，可方便地用结构静力学的形常数得带其单元刚度。但对于变截面，可由如下方法建立单元刚度： 221xxxl 23332xxxll 124lxlxx34图 对于等截面梁，此方法所得单元刚度矩阵为精确值；对于变截面杆由于插值函数产生的误差，此式求得的单元刚度系数为近似值，但将杆分为足够多个有限单元时，计算精度仍较理想。 当结构的全部有限单位的刚度系数求得后，适当叠加单元刚度能得到整个

19、结构的刚度。 （2 2）质量矩阵）质量矩阵 集中质量矩阵3 5图 如图3-5.由静力学方法，将连续分布的质量向单元两端的节点简化，形成集中质量矩阵。 任一部分向两端结点分配后，其质量中心应保持不变。 12000000000000nmmmm 一致质量矩阵一致质量矩阵3 6图 为 方向单位加速度引起的 方向上的等效结点惯性力，从物理意义讲，它为等效质量影响系数 ，即： AP3u1u13m13APm 注意：单位的一致质量矩阵形成后，可以用从单元刚度矩阵建立结构刚度矩阵相同的方法，建立结构的质量矩阵。 一致质量矩阵不是对角矩阵，动力分析和计算量比集中质量矩阵大得多。 6. 6.阻尼矩阵和荷载向量阻尼矩

20、阵和荷载向量 注意：受结构形式等因素的影响，C难以准确确定，由在实际中由实验或经验直接确定结构的振型阻尼比。 单位阻尼矩阵被确定后，可用与上述刚度矩阵和质量矩阵相同的方法确定结构的阻尼矩阵。 (2) (2)荷载向量荷载向量 静力等效法计算节点力向量静力等效法计算节点力向量l( )q t37图利用对称性计算下图梁的频率振型2题ll分别用刚度法、柔度法计算其自振频率、振型3题第2、3题可留作本章第三节作业。 3.2.1 3.2.1概述概述 对于多自由度体系，其动力特性包括自振频率、阻尼和振型自振频率、阻尼和振型（单自由度体系动力特性只有频率和阻尼）。 多自由度体系在动荷载作用下的动力反应可以通过振

21、型分解法化为一系列单自由度体系反应的迭加，因此，求多自由度体系（自由振动）的动力特性是分析其动力反应的必要步骤动力特性是分析其动力反应的必要步骤。 一般多自由度体系的阻尼矩阵很难直接得到，且对其自振频率与振型的影响很小，故可分析无阻尼自由度体系的频率和振型，用于故可分析无阻尼自由度体系的频率和振型，用于多自由体系动力反应计算。多自由体系动力反应计算。 3.2.2 3.2.2 用柔度法分析多自由度体系的自由振动用柔度法分析多自由度体系的自由振动38图 故有变形方程：1 1 11221211 12122222mum uumum uu 或写为：1 1 11122121 1212222200muum

22、umum uu 可设其解的形式为：1122sinsinuAtuAt 代入变形方程得：1 11121221211222200mAmAmAmA 例：如右图，求其振型及自振方程。/3l/3l/3l11121112221211()()mm12335.6922.00EIEImlml 自由振动的解为：111111222221112222( )sin()sin()( )sin()sin()u tAtrAtru tAtrAtr对于任意多个自由度体系可用同样的方法求解。1111sin()sin()jjjnjnjjnjjnuAtuAt对对n n个自由度体系的求解与两自由度完全类似，此处简述如下个自由度体系的求解与

23、两自由度完全类似，此处简述如下：1 1 111221211 1212222221 11222000nnnnnnnnnnnnnmuum um umum uum umum um uu1122sinsinsinnnuAtuAtuAt0Q 12n 12iiniAAA、假设运动方程为： 11 1121212121222211220000nnnnnnnnnnAmmmAmmmmmmAQA 即：代入得到初始条件 3.2.3 3.2.3 刚度条件分析多自由度体系的自由振动刚度条件分析多自由度体系的自由振动 1. 1.动力特性分析动力特性分析39图 现分析两层框架（不计阻尼），如图3-9。3 9图 对于任意多个自

24、由度体系可用同样方法求解，此处从略。 2、自由度的缩减静定凝聚法 用刚度法建立自由振动方程，常碰到转动自由度的缩减问题。通常集中质量在平面内的转动惯性力偶很小，可忽略不计，但在弯曲变形的同时又存在节点的转动时，不可忽略。3 10图 3.2.4 3.2.4 对称性的利用对称性的利用 一切对称结构的振动都可以分为对称与反对称两部分，利用对称性可以简化结构的动力特性分析。/3l/3l/3l/3l/6l正对称/6l/3l反对称正对称反对称正对称反对称作业：作业：ll分别用刚度法、柔度法计算其自振频率、振型 利用对称性计算下图梁的频率振型 振型的正交性可以由功的互等定理导出。如图3-11：211iimA

25、2ninimA3 11图 由振型关于质量矩阵的正交性，可导出振型关于刚度的正交性。由振型关于质量矩阵的正交性，可导出振型关于刚度的正交性。 2 2、多自由度体系运动方程的解耦、多自由度体系运动方程的解耦正则变换正则变换*2*( )2(3)iiiiiiip tqqqM.* ( )Mqcqkqp t 3 3、阻尼正交的条件、阻尼正交的条件 4 4、振型迭加法、振型迭加法/3l/3l/3l3 12图 1 1、stodolastodola法法矩阵迭代法矩阵迭代法 不断调整振型假定形状，直至接近真实的振动形式，进而计算振型频率。 2 2、HolzerHolzer法法链式结构（传递矩阵）法链式结构（传递矩

26、阵）法 不断调整假定频率，直至接近真实的频率，并求得振型。 3 3、RayleighRayleigh与与Rayleigh-Rayleigh-BitzBitz法法 例例3. 3.如图2-4，板均质，质量m，转动惯量为 ，方柱EI，求其在平面内扭振频率。2(/6)ma24图 解： 如图2-3.a，产生单位转角所需的力为： 故：2113312224222EIaEIaraHH1131114422rEIfJmH扭24.a图而平动频率： 可见扭转频率是平动频率的 倍。事实上：113114822rEIfmmH平3弱轴向平动频率强轴向平动频率扭转向频率 相应的单自由度阻尼振动方程为： 式中， 振幅包络线： 频率 与实际不符。11(1)0muir u1( )titu tz ee22111111122 、；max1tuZ e（随时间衰减曲线） 2. 2.米克里斯达德理论（米克里斯达德理论（MyklestadMyklestad）改进的复变阻尼理论 由于阻尼的作用，应变的相位比应力相位落后 ， 为阻尼常数。 由此得到振动方程：( )0( )itt e（变幅值、变频率） ( )0( )itiieEt eE ee（包含弹性应力和阻尼应力）1110( )is titmue r uu tz ee 1. 1.响应分析响应分析由 代入微分方程得： 令： 120cos