线性系统的能控性与能观测性 ppt课件

1、第四章 线性系统的能控性和能观测性4.1 能控性和能观性的定义能控性和能观性的定义4.2 连续时间线性时不变系统的能控性判据连续时间线性时不变系统的能控性判据4.3 连续时间线性时不变系统的能观性判据连续时间线性时不变系统的能观性判据4.4 对偶性对偶性4.5 能控规范形和能观规范形能控规范形和能观规范形4.6 线性系统的结构性分解线性系统的结构性分解4.7 Matlab问题问题本章小结本章小结本本 章章 简简 介介本章讨论线性系统的结构性分析问题。本章讨论线性系统的结构性分析问题。主要介绍主要介绍动态系统的状态空间模型分析的两个基本结构动态系统的状态空间模型分析的两个基本结构性质性质-状态能

2、控性和能观性；状态能控性和能观性；能控性和能观性判据；能控性和能观性判据；对偶性对偶性SISO线性时不变能控规范形和能观规范形；线性时不变能控规范形和能观规范形；能控性和能观性在状态空间模型的结构分解能控性和能观性在状态空间模型的结构分解 该电桥系统中，电源电压u(t)为输入变量，并选择两电容器两端的电压为状态变量x1(t)和x2(t)。 试分析电源电压u(t)对两个状态变量的控制能力。例 某电桥系统的模型如图4-1所示 。 u R + + + - - C1 C2 x1 x2 - R R R 图4-1 电桥系统 4.1 能控性和能观性的定义由电路理论知识可知,若图4-1所示的电桥系统是平衡的(

3、例Z1=Z2=Z3=Z4)，电容C2的电压x2(t)是不能通过输入电压u(t)改变的，即状态变量x2(t)是不能控的，则系统是不完全能控的。 u R + + + - - C1 C2 x1 x2 - R R R 若图4-1所示的电桥系统是不平衡的， 两电容的电压x1(t)和x2(t)可以通过输入电压u(t)控制，则系统是能控的。q由状态空间模型来看,q当选择两电容器两端电压为状态变量x1(t)和x2(t)时，可得如下状态方程:2221111111xRCxuRCxRCx u R + + + - - C1 C2 x1 x2 - R R R 由上述状态方程可知，状态变量x2(t)的值，即电桥中电容C2

4、的电压是自由衰减的，并不受输入u的控制。 因而，该电压的值不能在有限时间内衰减至零,即该状态变量是不能由输入变量控制到原点。 具有这种特性的系统称为状态不能控的。例 考虑右图所示的电网络系统由输出变量的值确定状态变量值的能力问题。 + R1 R2 R3 L1 L2 i1 i2 i3 u(t) - 当电阻R1=R2，电感L1=L2，输入电压u(t)=0，以及两个状态变量的初始状态x1(t0)=x2(t0)且为任意值时，必定有i3(t)=0，即输出变量y(t)恒为零。 因而，由恒为零的输出y(t)显然不能确定通过两个电感的电流值i1(t)和i2(t)，即由输出y(t)不能确定状态变量x1(t)和x

5、2(t)的值。q该电网络模型中，u(t)为输入电压， y(t) =i3(t)为输出变量，通过两电感的电流i1(t)和i2(t)分别为状态变量x1(t)和x2(t)。图4-2电网络但当电阻R1R2或电感L1L2时，则上述由输出y(t)不能确定状态变量x1(t)和x2(t)的值的特性可能不成立。 + R1 R2 R3 L1 L2 i1 i2 i3 u(t) - q从状态空间模型上看，q当选择两电感的电流i1(t)和i2(t)分别为状态变量x1(t)和x2(t)时，状态空间模型为13311211132321222121RRRxxxuLLLRRRxxxLLyxx 当电路中电阻值R1=R2=R，电感值L

6、1=L2=L时，若输入电压u(t)突然短路，即u(t)=0，则状态方程为显然，当状态变量的初始状态为x1(t0)=x2(t0)且为任意值时，上述状态方程的解必有x1(t)=x2(t)，故有y(t)=i3(t)=0，即输出变量y(t)恒为零。因而，由观测到的恒为零的输出变量y(t)不能确定状态变量x1(t)和x2(t)的值，即由输出i3(t)不能确定通过两个电感的电流值i1(t)和i2(t)。3311233212RRRxxxLLRRRxxxLL 但当电路中电阻值R1R2或电感值L1L2时，则上述由输出y(t)不能确定状态变量x1(t)和x2(t)的值的特性可能不成立。这种由可测量的输出变量的值能

7、惟一确定状态变量的值的特性称为状态能观，若不能惟一确定则称为状态不能观。 q定义4-1 若线性连续系统qx(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t) q对初始时刻t0(t0T，T为时间定义域)和初始状态x(t0),q存在另一有限时刻t1(t1t0,t1T),q可以找到一个控制量u(t)，q能在有限时间t0,t1内把系 x2 x1 0 x(t0) x(t0) x(t0) 统状态从初始状态x(t0)控制到原点，即x(t1)=0,则称t0时刻的状态x(t0)能控;若对t0时刻的状态空间中的所有状态都能控，则称系统在t0时刻状态完全能控;1.状态能控若系统在所有时刻状态完全能控，则称系统状态完全能控，

8、简称为系统能控。若存在某个状态x(t0)不满足上述条件，称此系统是状态不完全能控的，简称系统为状态不能控。q系统能控2.状态与系统能达 0( )0tx11( )txx01( ), , t tt tu1x0t1x1x0t0t0tq若存在能将状态 转移到 的控制作用 ，则称状态 是 时刻能达的。 假设 对所有时刻都是能达的，则称状态 为完全能达或一致能达。若系统对于状态空间中的每一个状态都是 时刻能达的，则称系统是 时刻状态能达的，简称系统是时刻 能达的。q线性定常系统能控等价能达，时变系统不能等价对上述状态能控性的定义有如下讨论:（1控制时间t0,t1是系统状态由初始状态转移到原点所需的有限时间

9、。对时变系统，控制时间的长短，即t1-t0的值与初始时刻t0有关。对于定常系统，该控制时间与t0无关。所以，对于线性定常系统状态能控性，可不必在定义中强调“在所有时刻状态完全能控”，而为“某一时刻状态完全能控，则系统状态完全能控”。q定义的几点解释 （2在上述定义中，对输入u(t)没有加任何约束，只要能使状态方程的解存在即可。其中无约束表示对输入幅值不加限制。如果矩阵A(t)和B(t)以及向量u(t)的每个元素都是t的分段连续函数，则状态方程存在唯一解。u(t)为分段连续的条件，在工程上是很容易满足的。（3在状态能控性定义中，对输入u(t)和状态x(t)所处的空间都没有加任何约束条件。在实际工

10、程系统中，输入变量空间和状态空间都不为无限制条件的线性空间，因此上述能控性的定义对工程实际系统还需作具体的分析。q定义4-2 若线性连续系统对初始时刻t0(t0T，T为时间定义域)和初始状态x(t0),存在另一有限时刻t1(t1t0,t1T)，根据在有限时间区间t0,t1内量测到的输出y(t),能够唯一地确定系统在t0时刻的初始状态x(t0),则称在t0时刻的状态x(t0)能观;若对t0时刻的状态空间中的所有状态都能观，则称系统在t0时刻状态完全能观;)()()()()()(ttCtttAtxyxx3. 状态能观性 若系统在所有时刻状态完全能观，则称系统状态完全能观，简称为系统能观。 若存在某

11、个状态x(t0)不满足上述条件，称此系统是状态不完全能观的，简称系统为状态不能观。q对上述状态能观性的定义有如下注记。q（1对于线性定常系统，由于系统矩阵A(t)和输出矩阵C(t)都为常数矩阵，与时间无关,q因此不必在定义中强调“在所有时刻状态完全能观”,q而为“某一时刻状态完全能观，则系统状态完全能观”。（2上述定义中的输出观测时间为t0,t1，并要求t1t0。这是因为输出变量y(t)的维数m一般总是小于状态变量x(t)的维数n。否则，若m=n且输出矩阵C(t)可逆，那么x(t)=C-1(t)y(t)即状态变量x(t)可直接由输出y(t)确定。由于mn，为了能唯一地求出状态变量的值，不得不依

12、靠在一定区间内测量得的连续(或有限几组)输出值以确定系统状态。（3在定义中把能观性定义为对初始状态的确定，这是因为一旦确定初始状态，便可根据状态方程的解表达式，由初始状态和输入计算出系统各时刻的状态值。1.格拉姆矩阵判据 , (0),0t0 x = Ax+ Bu xx10t 110(0, )dTttTtcteBB etAAW线性定常连续系统状态完全能控的充分必要条件是存在时刻 ，使如下定义的格拉姆矩阵 为非奇异。 4.2 线性定常连续系统的状态能控性判别x = Ax+ Bum nn r2-1ncQ = BABA BLAB2-1rankrankncnQBABA BAB2.秩判据设线性定常连续系统

13、的状态方程为 式中，x为n维状态向量，u为r维输入向量， A、B分别为 常数阵。 、满秩，即系统状态完全能控的充分必要条件是能控性判别矩阵 3.PBH 秩判据, (0),0t0 x = Ax+ Bu xx(1, ),iin,irankIABn1,in,rank sIABnsC 线性定常连续系统 系统为完全能控的充要条件是，对矩阵A的所有特征值 等式，或等价地 均成立解 由方程|I-A|=0,可解得矩阵A的特征值分别为1,2和3。对特征值1=1,有uxx111112310020231【例1】试判断如下系统的状态能控性。nBI-A3112101101012230rankrank1 对特征值2=2，

14、有nBI-A3111101100012231rankrank2 对特征值3=3，有nBI-A2110101101012232rankrank3 由定理可知，因为对应于特征值3，定理的条件不成立，故该系统状态不完全能控。4.对角形判据xAxBu如果线性定常系统 的系统矩阵A具有互不相同的特征值，则系统能控的充要条件是，系统经线性非奇异变换后 A阵变换成对角标准形，它的状态方程100nxxBu其中， B不包含元素全为0的行。 5.约当标准形判据xAxBu若线性定常系统的 系统矩阵具有重特征值，经线性非奇异变换后，系统化为约当标准形12000000kJJxxBuJ对为约旦规范形的线性定常连续系统(A

15、,B)，有：1) 若A为每个特征值都只有一个约旦块的约旦矩阵,则系统能控的充要条件为对应A的每个约旦块的B的分块的最后一行都不全为零;2) 若A为某个特征值有多于一个约旦块的约旦矩阵,则系统能控的充要条件为对应A的每个特征值的所有约旦块的B的分块的最后一行线性无关。【例2】试判断如下系统的状态能控性。1122133244552100010210000230510000521xxxxuxxuxxxx 112233110001040023xxxxuxx (1)解 根据约旦形模态判据， 系统(1) 能控。解 A的每个特征值都只有一个约旦块,但对应于特征值-4的约旦块的B的分块的最后一行全为零,故状态

16、x1和x2不能控,则系统状态不完全能控。41000(2)0400000311 xxu解 由于A中特征值-4的两个约旦块所对应的B的分块的最后一行线性无关,且A中特征值-3的约旦块所对应的B的分块的最后一行不全为零，故系统状态完全能控。410000040001(3)003020000421 xxu表4-1 能控性判据小结判据判据判定方法判定方法特点特点格拉姆矩阵判据需要求矩阵指数函数并判定函数，计算复杂秩判据1.计算简便可行。2.缺点为不知道状态空间中哪些变量(特征值/极点)能控约当标准形判据约当标准形中同一特征值对应的B矩阵分块的最后一行线性无关1.易于分析状态空间中哪些变量(特征值/极点)能

17、控。2.缺点为需变换成约当标准形PBH 判据1.易于分析哪些特征值(极点)能控。2.缺点为需求系统的特征值矩阵函数e-AtB的各行函数线性独立能控性矩阵Qc=B AB An-1B满秩对于所有特征值 , rankI-A B=n1.格拉姆矩阵判据 设定常连续系统在输入 时的齐次状态方程和输出方程分别为 0, (0),0 xAxtxxyCxn nm m1o10(0, )dTttTtteC CetAAW为非奇异。式中，x为n维状态向量，y为m维输出向量，A，C分别为 ， 常数阵。则系统状态完全能观的充分必要条件是存在一个有限时刻t1使如下格拉姆矩阵( )0t u4.3 线性定常连续系统的状态能观性判据

18、2.秩判据 CxyBuAxx 设线性定常连续系统的状态方程为系统为能观测的充分必要条件是以下能观性矩阵满秩，即nnmn1CACACQOnOQrank满秩 即： 3. PBH 秩判据线性定常系统完全能观测的充要条件是， 的所有特征值 ， 均成立 或等价地表为 A(1, )iniiIAranknC1,2,insIAranknCsC 【例3】试判断如下系统的状态能观性。xyxx1546116100010解 由方程|I-A|=0，可解得矩阵A的特征值分别为-1,-2和-3。对特征值1=-1，有nCI-A21545116110011rankrank1列3=列2-列1q由PBH 秩判据知，因为对应于特征值

19、-1， PBH 秩判据的条件不成立，故该系统状态不完全能观。q约旦规范形的线性定常连续系统(A,C)，有:q1. 若A为每个特征值都只有一个约旦块的约旦矩阵，则系统能观的充要条件为q对应A的每个约旦块的C的分块的第一列都不全为零;q2. 若A为某个特征值有多于一个约旦块的约旦矩阵，则系统能观的充要条件为q对应A的每个特征值的所有约旦块的C的分块的第一列线性无关。4.约当标准形判据【例4】试判断如下系统的状态能观性。x3yxx05007) 1 (解 由判据可知，A为特征值互异的对角线矩阵，但C中的第2列全为零，故该系统的状态x2不能观，则系统状态不完全能观。xyxx121300040014)2(

20、解 由于A为每个特征值都只有一个约旦块，且对应于各约旦块的C的分块的第一列都不全为零，故系统状态完全能观。解 由于A中特征值-4的两个约旦块所对应的C的分块的第一列线性相关，该系统的状态x1、x2和x3不完全能观，则系统状态不完全能观。xyxx012020114000030000400014)3(- C rankIAn对于所有特征值判据判据判定方法判定方法特点特点格拉姆矩阵判据需要求矩阵指数函数并判定相关函数，计算复杂秩判据1.计算简便可行。2.缺点为不知道状态空间中哪些变量(特征值/极点)能观测约当标准形判据约当标准形中同一特征值对应的C矩阵分块的第一列线性无关1. 易于分析状态空间中哪些变

21、量(特征值/极点)能观测。2.缺点为需变换成约当标准形PBH 判据1.易于分析哪些特征值(极点)能观测。2.缺点为需求系统的特征值q能观性判据小结能观性矩阵Qo满秩矩阵函数CeAt的各列函数线性独立4.4对偶性原理xyuxxxyuxxCBACBAq定义4-3 若给定的两个线性定常连续系统满足下列关系:则称系统(A,B,C)和 互为对偶。 显然，若系统(A,B,C)是一个r维输入，m维输出的n阶系统，则其对偶系统 是一个m维输入，r维输出的n阶系统。( ,)A B C( ,)A B CTTTBCCBAA)()-()-()-()(TT1 -T1 -1-sGBAsICCAsIBBAsICsGTTq根

22、据状态空间模型的对偶关系可以导出下述结论：互为对偶系统的传递函数阵是互为转置的且其特征方程相同。q现推证如下:q对于系统 ,其传递函数阵是如下rm矩阵:( ,)A B C即互为对偶系统的传递函数阵是互为转置的。 类似地，还可以得出如下结论： 互为对偶系统的特征方程和特征值相同。 对于互为对偶系统之间的状态能控性和能观性的关系，有如下定理: 定理 设线性定常连续系统(A,B,C)和 是互为对偶，那么 系统的状态能控(能观)性等价于系统 的状态能观(能控)性。( ,)A B Cq我们将讨论，通过线性变换将SISO系统的状态空间模型变换成q对于系统的状态反馈设计十分方便的能控规范形；q能简化系统的状

23、态观测器设计的能观规范形。q讨论的主要问题:q基本定义: 能控规范形、q能观规范形q旺纳姆能控规范形(MIMO ）q龙伯格能控规范形(MIMO ）q基本方法: 能控规范形和能观规范形的变换方法4.5 能控规范形和能观规范形4.5.1 能控规范形定义 若SISO系统的状态空间模型为xyuxxCBA系统矩阵A和输入矩阵B分别为10.0-.-1.00.0.1011BaaaAnn称该状态空间模型为能控规范形，其中 A为友矩阵。q两个结论：q能控规范形一定是状态完全能控；q一定存在线性变换将状态能控的状态空间模型变换成能控规范形。q对状态完全能控的线性定常连续系统(A,B)引入变换矩阵Tc计算如下q （

24、1计算可控阵 Qc=B AB An-1B（2计算A的特征多项式nnnnaaaAI111det（3计算变换矩阵0001001011132121aaaaaaQTnnnncc 存在一线性变换 ，能将上述状态方程变换成能控规范形 其中系统矩阵 和输入矩阵 如能控规范形所定义的。 uxxBAABxTxc11CCCCATATBTBCCT【例5】已知能控的线性定常系统u110001010101xx x011y（1能控性矩阵解:1011111102bAAbbQC3rankCQ系统能控（2A 的特征多项式12det23AI（3计算变换矩阵 P121111011001011bAAbbppp1122321aaa（4

25、计算C102121111011011CPC（5引入变换 ，得能控标准形uxx100201100010 xy102xPxq对应于能控规范形，若SISO线性定常连续系统(A,B,C)的系统矩阵A和输出矩阵C分别为 12100010001000010001nnnaaAaaC则称该状态空间模型为能观规范形。4.5.2 能观规范形q两个结论：q能观规范形一定状态完全能观；q一定存在线性变换将状态完全能观的系统变换成能观规范形。q对状态完全能控的线性定常连续系统(A,C)引入变换矩阵To计算如下q （1计算可观阵 Qo=C CA CAn-1T（2计算A的特征多项式nnnnaaaAI111det（3计算变换

26、矩阵11321211CACAC0001001011TnnnnnoaaaaaaABCxxuyx其中系统矩阵 和输入矩阵 如能观规范形所定义的。 AB 那么线性变换 ，必能将状态空间模型(A,B,C)变换成能观规范形:xTxo4.6 线性系统的结构分解一个系统状态不完全能控，意味着系统的部分状态不能控，但也存在部分状态能控。到底哪一部分状态能控，哪一部分状态不能控的问题，对于控制系统的分析、设计和综合，显然是至关重要的。系统的非奇异线性变换不改变能控性，那么是否存在线性变换后将系统的状态变量中完全能控的部分和完全不能控的部分分离开来?对状态不完全能观的系统，也存在类似的区分哪些状态能观，哪些状态不

27、能观的问题。也存在能否基于线性变换将系统的完全能观部分和完全不能观部分分离开来?状态不完全能控，其能控性矩阵的秩为rankQc=rankB AB An-1B=ncn则存在非奇异线性变换x=Pc ,使得状态空间模型可变换成4.6.1 能控性分解对状态不完全能控的线性定常连续系统，存在如下能控性结构分解定理。定理 若线性定常连续系统ABC xxuyxx 21211212212112100 xxyuxxxxCCBAAA其中nc维子系统uxxx12121111BAA是状态完全能控的。而n-nc维子系统2222xxA是状态完全不能控的。q系统的能控性分解的一个重要结论q对任何一个状态不完全能控的线性定常

28、连续系统q总可通过线性变换的方法将系统分解成完全能控的子系统和完全不能控的子系统两部，q且变换矩阵Pc的前nc列必须为能控性矩阵Qc的nc个线性无关的列或它的一组基底。q对于这种状态的能控性结构分解情况如图4-3所示。 1B 11A12A22A2C1C能控部分 不能控部分 u + 1x2x2x1xy1 + + + + + y2 y 图4-3 能控性结构分解过程q由于线性变换不改变系统传递函数阵，所以有 由上式可归纳出一结论: 状态不完全能控系统的传递函数阵等于其能控性分解后能控子系统的传递函数阵。 由于状态不完全能控系统的传递函数阵等于其能控子系统的传递函数阵，则其极点必少于n个， 即系统存在

29、零极点相消现象。1111111221112111221211211)(00*00)()()(BAsICBAsIAsICCBAAAsICCBAsICsGsGq例6 试求如下系统的能控子系统: 解： 由于xyuxx111 10034101012132031000410rankrankrank2BAABBQc故该系统为状态不完全能控且能控部分的维数为2。031100010cP 为分解系统，选择变换矩阵 其中前两列取自能控性矩阵Qc，后一列是任意选择的但保证变换矩阵为非奇异的。 该变换矩阵的逆矩阵为0100011031cP则能控子系统的状态方程为u0122414032121xxxxx 121 0011

30、0024124011ccccCPCBPBAPPA经变换所得的状态空间模型的各矩阵为状态不完全能观，其能观性矩阵的秩为nnCACACQono1.rankrank4.5.2 能观性分解类似于能控性分解，对状态不完全能观的线性定常连续系统，有如下能观性结构分解定理。定理 若线性定常连续系统CxyBuAxx则存在非奇异线性变换x=Po ,使得状态空间模型可变换为x其中no维子系统21121212221112100 xxyuxxxxCBBAAA1111111xyuxxCBA是状态完全能观的。而n-no维子系统uxxx22221212BAA是状态完全不能观的。q系统的能观性分解的一个重要结论q任何状态不完

31、全能观的线性定常连续系统,q总可通过线性变换将系统分解成完全能观子系统和完全不能观子系统两部，q且变换矩阵Po的逆阵Po-1前no行必须为能观性矩阵Qo的no个线性无关的行或它的一组基底。q对于这种状态的能观性结构分解情况如图4-4所示。 1B 11A21A22A1C能观部分 不能观部分 + 1x2x2x1xy1 2B+ + + + + y u 图4-4 能观性结构分解过程q由于线性变换不改变系统传递函数阵，所以1111121122111121122211111)(*0000)()()(BAsICBBAsIAsICBBAAAsICBAsICsGsG 由上式可归纳出一结论: 状态不完全能观系统的

32、传递函数阵等于其能观性分解后能观子系统的传递函数阵。 由于状态不完全能观系统的传递函数阵等于其能观子系统的传递函数阵，则其极点必少于n个， 即系统存在零极点相消现象。q例7 试求如下系统的能观子系统: 解 由于xyuxx2-100113-103-011-00324-32-32-12-10rankrankrank2CACACQO故该系统为状态不完全能观且能观部分的维数为2。列3= -1列1-2列2为分解系统，选择变换矩阵10032-12-101oP其中前两行取自能观性矩阵Qo，后一行是任意选择的但保证变换矩阵为非奇异的。于是变换矩阵的逆矩阵为100201112oP001 01-11-0102-1

33、-01011ooooCPCBPBAPPA经变换所得的状态空间模型的各矩阵为则能观子系统的状态方程为21212101112110 xxyuxxxx4.6.3 能控能观分解对状态不完全能控又不完全能观的线性定常连续系统，对系统作线性变换，将系统分解为4个子系统:能控又能观子系统、能控但不能观子系统、不能控但能观子系统以及不能控又不能观子系统。q在一般情况下(并不是总有效)，能控能观分解可以q先对系统作能控分解后，q再分别对能控和不能控子系统作能观分解，q可得到能控能观分解的4个子系统。q分解过程可如图4-5所示。能观能观分解分解系系统统能控能控分解分解能控子系统能控子系统不能控子系统不能控子系统能

34、观能观分解分解能控又能观子系统能控又能观子系统能控但不能观子系统能控但不能观子系统不能控但能观子系统不能控但能观子系统不能控又不能观子系统不能控又不能观子系统也可先作能观分解,再作能控分解。分解结果与先能控分解后能观分解的结果完全等价 图4-5 能控能观分解过程 状态不完全能控又不完全能观，则一定存在一个线性变换，使得变换后的状态空间模型为:000000000004321422143214434332422141312114321xxxxyuxxxxxxxxCCBBAAAAAAAAAq定理定理 若线性定常连续系统若线性定常连续系统xyuxxCBA即系统可分解成如下四个子系统:uxxxxx141

35、43132121111,:BAAAAnoc1. 能控但不能观子系统2. 能控又能观子系统22224242222,:xyuxxxCBAAoc3. 不能控又不能观子系统4. 不能控但能观子系统4343333,:xxxAAnonc4444444,:xyxxCAoncq例8 已知系统q 是状态不完全能控和不完全能观的，试将该系统按能控性和能观性进行结构分解。 q解: (1) 先对系统进行能控分解。q按照能控分解方法，可构造能控分解矩阵为001110310130012uy xxx100110011cP经变换后,系统按能控性分解为10111122011ccnccuy xxxx011112200010112

36、ccncnccncuy xxxxxx(2) 将如下能控子系统c按能观性进行分解。 由上式可见，不能控子空间仅1维且是能观的，故无需再进行分解，为系统分解所得的不能控但能观的子系统。按照能观分解方法,可构造能观分解矩阵及其逆矩阵为1,1111,0101c oc oPP,1,1011112010coconcc noc nococ noxxxuxxxyx 则可将能控子系统c按能观性分解为(3) 综合以上两次变换结果，系统按能控和能观分解为表达式 式中，状态空间分解为 所示的3个子空间:能控又能观子系统,能控但不能观子系统,不能控但能观子系统；相应的变换矩阵为110111200010102xxuyx

37、,10011011001100101200011001011c ococPPPI,coc nonc oxxxx若按顺序 排列分解后各子系统的状态变量，则变换后的状态方程可以变换为如定理所示的状态方程。由于线性变换不改变系统的传递函数阵，所以由变换后的系统状态空间模型可得如下传递函数阵000000000-00)-()()(211443433242214131211421BBAAAAAAAAAsICCBAsICsGsG,c noconc oxxx21222211 -441 -331 -221 -1142)-(00)-(000*)-(00*)-(0*)-(00BAsICBBAsIAsIAsIAsIC

38、C由上式可归纳出一结论:状态不完全能控又不完全能观系统的传递函数阵等于其能控能观分解后能控又能观子系统的传递函数阵。由于状态不完全能观系统的传递函数阵等于其能观子系统的传递函数阵，则其极点必少于n个，即系统存在零极点相消现象。由于系统不能控和不能观测的部分，不会出现在传递函数中，所以传递函数仅是系统的部分描述。而状态空间描述则既包含能控、能观测部分，也包含不能控、不能观测部分，所以是系统的完全描述。4.7 Matlab问题q本章涉及的计算问题主要有q状态能控性/能观性判定、q系统能控能观分解、q能控/能观规范形变换以及q能控/能观规范形实现。q下面分别介绍基于Matlab的上述问题的程序编制和

39、计算方法。4.7.1 状态能控性与能观性判定 状态能控性与能观性是线性系统的重要结构性质，描述了系统的本质特征，是系统分析和设计的主要考量因素。Matlab提供了用于状态能控性、能观性判定的能控性矩阵函数ctrb()、能观性矩阵函数obsv()和能控性/能观性格拉姆矩阵函数gram()，通过对这些函数计算所得的矩阵求秩就可以很方便地判定系统的状态能控性、能观性。1. 状态能控性判定 无论是连续还是离散的线性定常系统，采用代数判据判定状态能控性需要计算能控性矩阵。Matlab提供的函数ctrb()可根据给定的系统模型，计算能控性矩阵Qc=B AB An-1B能控性矩阵函数ctrb()的主要调用格式为:Qc = ctrb(A,B)Qc = ctrb(sys)其中，第1种输入格式