复变函数应用题.

1、u 解析法解析法 一般是先建立机构的位置方程，然后将位置方程对时间求导得速度方程和加速度方程。 由于所用的数学工具不同，解析的方法也不同，下面介绍一种较简便的方法即复数矢量法。u 复数矢量法复数矢量法 复数矢量法是将机构看成一封闭的矢量多边形，并用复数形式表示该机构的封闭矢量方程式，再将矢量方程分别对所建的直角坐标取投影。一、用复数矢量法进行机构的运动分析已知：曲柄长l1、1，等角速度1。求：连杆的2、2、 2 2； 滑块的x xc c、v vc c、ac c312sABCx。y211Cx例：曲柄滑块机构封闭矢量方程式：12121211221122coscossinsin0ciiccllxl

2、el exllxll 滑块的位置：11221122coscossinarcsin()cxllll（a）312sABCx。y211Cx二、二、曲柄滑块机构曲柄滑块机构1. 位置分析位置分析(a)式对时间求导，得：121122iiclieliev(a)1212iicl el ex(b)2ie两边乘1221122iiclieliv e（）取实部：11122sin()cosclv11122sin()cosclv式（b)展开后取虚部：111222coscos0ll111222coscosll2. 速度分析速度分析二、二、曲柄滑块机构曲柄滑块机构121122iiclieliev(b)式（b)对时间求导得：

3、12222112222iiiclelielea(c)2ie两边乘，展开后取实部，得：221112222cos()cosclla221112222cos()cosclla 3. 加加速度分析速度分析二、二、曲柄滑块机构曲柄滑块机构12222112222iiiclelielea(c)式(c)展开后取虚部：22111222222sincossin0lll22111222222sinsincoslll二、二、曲柄滑块机构曲柄滑块机构7 1.正弦量瞬时值表达式 u=Um sin(t+ u)，可以用正弦量的三要素唯一地确定正弦量在任意时刻地数值，可以完整的表示一个正弦量。2.正弦量波形图I Im m 2

4、Tit O二、用复数进行正弦交流电的电路分析8 3.相量表示法 概念概念 ：tUum sinmUt 矢量长度 = mU矢量与横轴夹角 = 初相位按逆时针方向旋转时刻，矢量以角速度在0t9正弦量的相量表示法： 图图3- 4中实数中实数 A=a+jb，a 为为实部，实部，b 为虚部。为虚部。+1+jobaA )sin(mtUu mU Ummmm)sinj(cosUeUUUjUUeUUj)sinj(cos11 注意：（1）只有同频率正弦量所对应的相量才能相互运算。（2）今后在不加特殊说明时，相量是指有效值相量。（3）两个同频率正弦量的瞬时值可以进行加减运算，其对应的相量也可以进行加减运算，而振幅值和

5、有效值不能直接加减运算。例例: 已知瞬时值，求相量。已知瞬时值，求相量。已知已知: : V3314sin1 .311A6314sin4 .141tuti解解：V602206021 .311Uoo230100304 .141IooV求：求：21ii 、例：例：已知相量，求瞬时值。已知相量，求瞬时值。A )606280sin(21001oti解解：6280100022fsrad 已知两个频率都为已知两个频率都为 1000 Hz 的正弦电流其相量形的正弦电流其相量形式为：式为：A10A601003021oojeIIA )306280sin(2102oti14正弦电路中的电阻、电感、电容元件 l 电阻

6、元件：电阻元件：RiRuR+- -RRiRu RRRRRRIRUIIiUUuoo00RIRU相量图：相量图：uR, iR 均为正弦量，即有均为正弦量，即有设：设：tIiRsin2tUtRIiRuRRsin2sin2RIRUR+- -时域模型时域模型相量模型相量模型RRIRU15电阻元件的功率 瞬时功率2cos1 sinsin2tUIttUIiupl 平均功率（平均功率（有功功率有功功率 ） UIdttUITpdtTPiTT)(2cos1 1100RURIUIP22iuptmUmImUmI16电感元件LULI相量图：相量图：相量模型相量模型LiLu_LLLLLIiUuLLLLIjXILjU其中：

7、其中：称为感抗称为感抗(与与 成正比成正比)LXLLILU_LjtIiLsin2)90sin(2)90sin(2cos2tUtLItLIdtidLuLL设设U=XLI感抗的倒数称为感抗的倒数称为感纳感纳，用，用BL表示表示 17电感的功率tIisin2设：tUtUucos2)90sin(2ottUIiupcossin2tuipO2P.u.i011sin20TPpdtUItdtTT电感是储能元件，它在电路中的作用与电源或外电路进行能量电感是储能元件，它在电路中的作用与电源或外电路进行能量变换，这种能量交换规模的大小，我们用瞬时功率的最大值来变换，这种能量交换规模的大小，我们用瞬时功率的最大值来衡

8、量并称为衡量并称为无功功率无功功率，用，用QL表示表示 LLXIUIQ2 单位是乏单位是乏 var 18解：解：(1) 8 .622 . 0314LXLo60220UAjjXUILoo305 . 38 .6260220var7702205 . 3 IUQL（2）f=5000Hz时 31028. 62 . 050002LXLAjjXUILoo30105 . 31028. 66022023Ati)301014. 3sin(2105 . 342ovar7 . 7220105 . 32IUQL一个一个0.2H0.2H的电感线圈，电阻忽略不计，将它接在交流电源电压的的电感线圈，电阻忽略不计，将它接在交流

9、电源电压的 上。上。 （1 1）求线圈中的电流相量和无功功率）求线圈中的电流相量和无功功率Q QL L （2 2）若）若将电源的频率改变为将电源的频率改变为5000Hz5000Hz，其它不变，求，其它不变，求i和和Q。)60314sin(2220otu例：例：3.3.119电容元件CCCCIiUuCCUCjICCCCCIjXICjICjU11或或CXC1其中：其中：称为容抗称为容抗(与与 成反比成反比)CUCI相量图：相量图：相量模型相量模型设设tUuCsin2)90sin(2)90sin(2cos2tItCUtCUdtudCiCCCiCCu_CICj1CU_U=XCI感抗的倒数称为感抗的倒数

10、称为容纳容纳，用，用BC表示表示 20电容的功率电容的功率 tUusin2tItIicos2)90sin(2otUIiup2sintuipO22P.u.iTTtdtUITpdtTP0002sin11电容是储能元件，它在电路中的作用是与电源或外电路进行能量变电容是储能元件，它在电路中的作用是与电源或外电路进行能量变换，用换，用QC表示电容的表示电容的无功功率无功功率， 并规定电感的无功功率取正值，并规定电感的无功功率取正值，电容的无功功率取负值电容的无功功率取负值 。CCXIUIQ2 21例：例： 一正弦电流一正弦电流 ，通过，通过10F的电容。的电容。（1）求电容电压及电容的无功功率；）求电容

11、电压及电容的无功功率；（2）当电流频率提高一倍时，电容电压的有效值如何改变？）当电流频率提高一倍时，电容电压的有效值如何改变？ Ati)60314sin(22o 解：解：（1） 3181010314116CXC AIo602 oo30636602318 jIjXUcvar12722636 UIQC（2）频率提高一倍，）频率提高一倍，XC降低一倍，在电流大小保持不变的降低一倍，在电流大小保持不变的情况下，电压的有效值降低一倍；情况下，电压的有效值降低一倍；例例 3.3.22201nkkuKVLImtjkkeUu设：设：nkknktjknktjkUeUeU11100Im0Im同理：同理：KCL01

12、nkkIKVL、KCL的相量形式：上式变为上式变为基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式23相量分析法 条件：线性电路在同频率正弦量激励下的稳态响应 ItUtItUtSS)()()()(i ui uSSl 步骤步骤: : 作相量形式的等效电路作相量形式的等效电路l 方法方法: : 电路中所有正弦量用其对应的相量表示电路中所有正弦量用其对应的相量表示电路元件用相量模型表示电路元件用相量模型表示C)(jC1-jC L1j-LjL )(GRR同直流电阻电路的分析方法同直流电阻电路的分析方法列方程并求解列方程并求解 )()(tIItUUiui u 必要时作相量图必要时作相量图24例 3.6.1

13、方 法 一 结点法 在图示电路中，u1=14.1sin1000t V ，L=5mH,C=333uF，i2=2.83sin(1000t+300)A，求uc。 ,302,01021AIVU 51051033LXL V 60151523030303151302510jjjjjUCVUC 12015 V 1201000sin215tuC25例 3.6.1 方 法 二 电源等效变换 在图示电路中，u1=14.1sin1000t V ，L=5mH,C=333uF，i2=2.83sin(1000t+300)A，求uc。 ,302,01021AIVU 51051033LXL AjI 90250101AIII

14、30230290221 VjjjjjjjIcU 12015301535353023526例 3.6.1 方 法 三 戴维南定理 在图示电路中，u1=14.1sin1000t V ，L=5mH,C=333uF，i2=2.83sin(1000t+300)A，求uc。 ,302,01021AIVU 51051033LXL VjUjIUOC 601010120100105302512等效阻抗为等效阻抗为 50jZ VjjjUjZojUocC 120156015601035333三、利用复变函数对平板上的（稳定）温度进行分析 1、假定圆板的表面是隔热的，圆板的边缘可以导热。 2、板的温度已经到了均衡稳定

15、的状态。 3、板上的温度分布可以用调和函数描述：150-502222yTxT热流现象的物理解释 热量的流动会影响温度的变化：ADCBQ1Q2Q3Q4002222341222342212yTxTQQQQyTyTyTQQxTxTxTQQADBCABCD调和函数的求解思路 调和函数求解的预备定理： 设是单连通域D内的调和函数，则在D内存在解析函数f使得=Re f。证明：设f= +i,则f= x+i x=x-iy;显见f是解析的,因为x及y区域内可导。因f区域内可导，所以f是解析函数。调和函数的求解：先对解析函数f求解，再取其实部，就是的解。 数学上抽象出来的狄利克雷问题 求一个在区域D内调和并且在D

16、及其边界上连续的函数,使其在D的边界上取给定值。 函数可表示电势、速度、温度、声场、电磁场等物理量。 从数学的角度首要的要考虑两点： 1、解是否存在？ 2、解是否由边界值唯一的确定？利用柯西积分公式先求解析函数f 柯西积分公式： 难点之一： 在于如何取得解析函数f的实部？ 是圆内任一点；的圆，是半径为ZR21cdzfizfc寻找f的实部 dfzRzZRidfzRzzidzzzRfidzfidzfizfccccc22222211212121021寻找f的实部 dfZRdzfZRdiefzRZRizfdfzRzZRizfiiiiiiiiiic20222202220222222z-ReRe2Rez-ReRe2RReRez-Re21Rez21；写成参数形式：将积分路径上的f的实部（温度函数t） dtZRztdfZRzfiiii