大学基础物理第7章-温度和气体动理论

1、温度和气体动理论温度和气体动理论 常见的一些现象：1、一壶水开了，水变成了水、一壶水开了，水变成了水蒸气。蒸气。2、温度降到、温度降到0以下，液体的水变成了固体的冰块。以下，液体的水变成了固体的冰块。3、气体被压缩，产生压强。、气体被压缩，产生压强。4、物体被加热，物体的温度升高。、物体被加热，物体的温度升高。热现象热现象 热现象是物质中大量分子无规则运动的集体表现。热现象是物质中大量分子无规则运动的集体表现。热学是研究与热现象有关的规律的科学。热学是研究与热现象有关的规律的科学。大量分子的无规则运动称为热运动。大量分子的无规则运动称为热运动。宏观法与微观法相辅相成宏观法与微观法相辅相成1.1

2、.宏观法宏观法. . 最基本的实验规律最基本的实验规律逻辑推理逻辑推理( (运用数学运用数学) ) - -称为热力学。称为热力学。2.2.微观法微观法. . 物质的微观结构物质的微观结构 + + 统计方法统计方法-称为统计力学称为统计力学 其初级理论称为气体分子运动论其初级理论称为气体分子运动论( (气体动理论气体动理论) )热学的研究方法：热学的研究方法：优点：可靠、普遍。优点：可靠、普遍。 缺点：未揭示微观本质。缺点：未揭示微观本质。优点：揭示了热现象的微观本质。优点：揭示了热现象的微观本质。 缺点：可靠性、普遍性差。缺点：可靠性、普遍性差。 热力学系统 在热力学中把要研究的宏观物体（气体

3、、液体、固体）称为热力学系统 简称系统。外界：系统以外与系统有着相互作用的环境孤立系统：与外界不发生任何能量和物质交换的热力学系统。封闭系统： 与外界只有能量交换而没有物质交换的系统。 热力学系统描述参量：热力学系统描述参量：1. 1. 宏观量宏观量 从整体上描述系统的状态量，一般可以直接测量。从整体上描述系统的状态量，一般可以直接测量。 M、V、E 等等-可以累加，称为可以累加，称为广延量。广延量。P P、T T 等等-不可累加，称为不可累加，称为强度量。强度量。如分子的质量如分子的质量m m、直径、直径 d d 、速度、速度 v v、动量、动量 p p、能量、能量 等。等。例如，气体的压强

4、是大量分子撞击器壁的平均效果，它例如，气体的压强是大量分子撞击器壁的平均效果，它与大量分子对器壁的冲力的平均值有关。与大量分子对器壁的冲力的平均值有关。2. 2. 微观量微观量 状态参量：描述热力学系统状态的物理量。描述气体的状态参量：压强、体积和温度垂直作用在单位容器壁面积上的气体压力。压强（P）：帕斯卡（Pa = N/m2） 1标准大气压 = 1.01325105（Pa）= 760 mmHg体积（V ）：气体分子自由活动的空间。国际单位：米3（m3 ）温度（T）：温度是表征在热平衡状态下系统宏观性质的物理量。热力学第零定律： 如果两个系统分别与第三个系统达到热平衡，则这两个系统彼此也处于热

5、平衡。 两热力学系统相互接触，而与外界没有热量交换，当经过了足够长的时间后，它们的冷热程度不再发生变化，则我们称两系统达到了热平衡。ABCABC温度的宏观定义：表征系统热平衡时宏观性质的物理量。温标 温度的数值表示法。t 水的冰点 0 水的沸点 100摄氏温标：热力学温标： T K 冰点和沸点之差的百分之一规定为1 。 绝对零度： T = 0 K t = - 273.15 水三相点（气态、液态、固态的共存状态）273.16 KtT CK)15.273(大爆炸后的宇宙温度1039 K实验室能够达到的最高温度108 K太阳中心的温度1.5107 K太阳表面的温度6000 K地球中心的温度4000

6、K水的三相点温度273.16 K微波背景辐射温度2.7 K实验室能够达到的最低温度（激光致冷）2.410-11 K平衡态 准静态过程平衡态：一个孤立系统，其宏观性质在经过充分长的时间后保持不变（即其状态参量不再随时间改变）的状态。注意：如果系统与外界有能量交换，即使系统的宏观性质不随时间变化，也不能断定系统是否处于平衡态。 箱子假想分成两相同体积箱子假想分成两相同体积的部分，达到平衡时，两的部分，达到平衡时，两侧粒子有的穿越界线，但侧粒子有的穿越界线，但两侧粒子数相同。两侧粒子数相同。粒子数是宏观量粒子数是宏观量处在平衡态的系统的宏观量，如压强处在平衡态的系统的宏观量，如压强P P，不随时间改

7、变，不随时间改变， 但不能保证任何时刻大量分子撞击器壁的情况完全一样，但不能保证任何时刻大量分子撞击器壁的情况完全一样， 这称为涨落现象，分子数越多，涨落就越小。这称为涨落现象，分子数越多，涨落就越小。上例中两侧粒子数不可能上例中两侧粒子数不可能严格相同，这里的偏差也严格相同，这里的偏差也就是涨落。就是涨落。布朗运动是可观测的涨落现象之一。布朗运动是可观测的涨落现象之一。 热力学过程：热力学系统的状态随时间发生变化的过程。P准静态过程： 状态变化过程进行得非常缓慢，以至于过程中的每一个中间状态都近似于平衡态。 准静态过程的过程曲线可以用P -V 图来描述，图上的每一点都表示系统的一个平衡态。(

8、 PB,VB,TB )( PA,VA,TA )PVO( PC,VC,TC )7.4 理想气体状态方程理想气体：理想气体：在任何情况下都严格遵守在任何情况下都严格遵守“波波- -马定马定律律”、“盖盖- -吕定律吕定律”以及以及“查理定律查理定律”的气体。的气体。恒量222111TVPTVP（质量不变）（质量不变）)(,标准状态oooTVPTVP标准状态：Pa1001325. 150PK15.273oT33molm104 .22Vmol0VMmV 0mol0000TVPMmTVPTPVm 为气体的总质量。为气体的总质量。M 为气体的摩尔质量。为气体的摩尔质量。理想气体状态方程：RTMmPV 令：

9、令：)KmolJ (31. 8110mol0TVPRR 摩尔气体常量0mol0000TVPMmTVPTPV代入：ANRk 分子质量为分子质量为 m0，气体分子数为，气体分子数为N，分子数密度，分子数密度 n。Nmm0ANM0m RTMmPV VNn TNRVNPAMmNNA阿伏伽德罗常数 123Amol10022. 6N123KJ10381 .玻耳兹曼常量 nkTP 标准状态下的分子密度：标准状态下的分子密度：称为洛喜密脱数)m(1069. 23250n标准状态：标准状态：Pa1001325. 150PK15.2730T气体分子自由程气体分子自由程线度线度 10-8m一个分子连续两次碰撞之一个

10、分子连续两次碰撞之间经历的平均间经历的平均 自由路程叫自由路程叫平均自由程平均自由程 一个分子单位时间里一个分子单位时间里受到平均碰撞次数叫受到平均碰撞次数叫平均碰撞频率平均碰撞频率 Z单位时间内分子经历的平均距离单位时间内分子经历的平均距离 v ，平均碰撞平均碰撞 Z 次次 =Zv7.5 气体分子的无规则行走 平均碰撞频率平均碰撞频率 Z设分子设分子 A 以相对平均速率以相对平均速率 u 运动，其它分子可设为静止运动，其它分子可设为静止运动方向上，以运动方向上，以 d 为半径的圆柱体内的分子都将与分子为半径的圆柱体内的分子都将与分子A 碰撞碰撞该圆柱体的面积该圆柱体的面积 就叫就叫 碰撞截面

11、碰撞截面 = d2A ddduu单位时间内分子单位时间内分子 A 走走 u ，相应的圆柱体体积为，相应的圆柱体体积为 u ， 则则Z = n u 统计理论可计算统计理论可计算 u= 2 vZ = 2 d2 v n平均自由程平均自由程 =Zv= 2 d2 n1= 2 d2 PkT对空气分子对空气分子 d 3.5 10 -10 m标准状态下标准状态下 Z 6.5 10 9s ， 6.9 10 -8 m 气体容器线度小于平均自由程计算值时，实际平均自由程气体容器线度小于平均自由程计算值时，实际平均自由程就是容器线度的大小。就是容器线度的大小。u = v - v平方平方u = v + v - 2 v

12、v222取平均取平均u = v + v - 2 v v 2 22各个方向随机运动，故为零各个方向随机运动，故为零u = v + v 222相等相等u = 2 v22设设 均方根速率与平均速率的规律相似，则由上式均方根速率与平均速率的规律相似，则由上式 u= 2 v分子动理论的基本观点 按照物质结构的理论，自然界所有的物质实体都是由分子组成，分子处于永不停息的、杂乱无章的运动之中；分子与分子之间相隔一定的距离，且存在相互作用力。这样一种关于物质结构的理论称为“分子动理论”。分子热运动：大量分子的无规则运动大量分子的无规则运动7.6 理想气体的压强一般气体分子热运动的概念：一般气体分子热运动的概念

13、： 分子的密度分子的密度 3 3 10101919 个分子个分子/cm/cm3 3 = 3= 3千亿千亿亿；亿； 分子之间有一定的间隙，有一定的作分子之间有一定的间隙，有一定的作用力；用力； 分子热运动的平均速度约分子热运动的平均速度约 v v = 500m/s = 500m/s ； 分子的平均碰撞次数约分子的平均碰撞次数约 z z = 10 = 101010 次次/ /秒秒 。 1. 1. 对单个分子的力学性质的假设对单个分子的力学性质的假设分子当作质点，不占体积；分子当作质点，不占体积； （因为分子的线度（因为分子的线度 0 的分子才能与一侧器壁发生碰撞，所以有：StmnIiiddd02i

14、xvtIFddd作用于面元的压力：Smniid02ixv2ix2ixvv iiiinmnStISFp00dddddm压强： 222xixiixinnnnnvvv20 xnmpv2222vvvvzyx根据统计假设：222231vvvvzyxxvyvzvvO 202031vvnmnmpxk32np 20k21vm因为所以这里的压强只是统计概念这里的压强只是统计概念kT23k结论： 温度标志着物体内部分子热运动的剧烈程度，它是大量分子热运动的平均平动动能的量度。k32np nkTp 20k21vm因为因为kT23方均根速率：方均根速率： MRTmkT3302vkk3232NnVpVk32np kT2

15、3kNkTpV kRMmNMmNARTMmPV 试求氮气分子的平均平动动能和方均根速率。试求氮气分子的平均平动动能和方均根速率。设（设（1 1）在温度）在温度t t = 1000 = 1000时；（时；（2 2）t t = 0 = 0时。时。解：解：1123kTJ1063. 212731038. 1232023MRT1213v13sm11941028127331. 832223kTJ1065. 52731038. 123212313sm493102827331. 83MRT2223v研究气体的能量时，气体分子不能再看成质点，研究气体的能量时，气体分子不能再看成质点，微观模型要修改微观模型要修改

16、自由度：自由度：确定一个物体在空间的位置所必需的独确定一个物体在空间的位置所必需的独立坐标数目。立坐标数目。作直线运动的质点：作直线运动的质点：一个自由度一个自由度作平面运动的质点：作平面运动的质点：二个自由度二个自由度作空间运动的质点：作空间运动的质点：三个自由度三个自由度因为分子不仅有平动动能，还有转动动能，振动因为分子不仅有平动动能，还有转动动能，振动动能。动能。运动刚体的自由度运动刚体的自由度：zyx Czxy1coscoscos222结论：结论：自由刚体有自由刚体有六个六个自由度自由度三个三个平动平动自由度自由度三个三个转动转动自由度自由度单原子分子：单原子分子：一个原子构成一个分子

17、一个原子构成一个分子多原子分子：多原子分子：三个以上原子构成一个分子三个以上原子构成一个分子双原子分子：双原子分子：两个原子构成一个分子两个原子构成一个分子三个自由度三个自由度氢、氧、氮等氢、氧、氮等五个自由度五个自由度氦、氩等氦、氩等六个自由度六个自由度水蒸汽、甲烷等水蒸汽、甲烷等N N个个 原子组成的分子原子组成的分子 总自由度总自由度= = 3N3N，其其中分子整体中分子整体平动自由度平动自由度 =3=3 ，整体转动自，整体转动自由度由度= 3= 3若若 N N 个原子都在一条直线，个原子都在一条直线，整体转动自整体转动自由度由度=2=2 N N 个原子个原子振动自由度振动自由度 = =

18、 3N - 63N - 6，直线型分直线型分子子振动自由度振动自由度= = 3N - 53N - 5单原子分子：单原子分子：kTmmmmzyx232121212120202020kvvvv222231vvvvzyxkTmmmzyx21212121202020vvv能量均分定理：能量均分定理： kTik2“i”为分子自由度数为分子自由度数 在温度为在温度为T T 的平衡态下，物质分子的每个自由的平衡态下，物质分子的每个自由度都具有相同的平均动能，其值为度都具有相同的平均动能，其值为 。2kT分子平均动能：分子平均动能：由理想气体模型由理想气体模型单原子分子：单原子分子： 121212E = mv

19、x2 + mvy2 + mvz2 12平均热能平均热能 = 3 kT 每个平动自由度分配平均能每个平动自由度分配平均能12 kT 刚性双原子分子刚性双原子分子除平动能，还有除平动能，还有转动能转动能：1212E转动转动 = JX x2 + JY y2 z每个转动自由度分配平均能每个转动自由度分配平均能12 kT 非刚性双原子分子非刚性双原子分子除平动能、转动能，除平动能、转动能，还有振动能：还有振动能：1212E振动振动 = r 2 + kr 2 每个振动自由度分配平均能每个振动自由度分配平均能 2 倍倍12 kT 振动自由度振动自由度 = 1设平动自由度设平动自由度 t ，转动自由度，转动自

20、由度 r，振动自由度，振动自由度 v，平均总动能：，平均总动能： K=（t + r +2 v） 12 kT 刚性双原子分子刚性双原子分子 K=52 kT 单原子分子单原子分子 K=32 kT 非刚性双原子分子非刚性双原子分子 K=72 kT 理想气体内能理想气体内能E = N K=（t + r +2 v） N2 kT = （t + r +2 v） 2 RT 理想气体内能只是温度的函数，理想气体内能只是温度的函数，与热力学温度成正比。与热力学温度成正比。单个分子速率不可预知，大量分子的速率分布是遵循统计规律，单个分子速率不可预知，大量分子的速率分布是遵循统计规律，是确定的，这个规律也叫是确定的，

21、这个规律也叫麦克斯韦速率分布律。麦克斯韦速率分布律。速率分布函数：速率分布函数：按统计假设分子速率通过碰撞不断改变，不好按统计假设分子速率通过碰撞不断改变，不好说正处于哪个速率的分子数多少，但用某一速率区间内分子数说正处于哪个速率的分子数多少，但用某一速率区间内分子数占总分子数的比例为多少的概念比较合适，这就是分子按速率占总分子数的比例为多少的概念比较合适，这就是分子按速率的分布。的分布。设总分子数设总分子数N N，速率区间，速率区间 v v+dvv v+dv，该速率区间内分子数，该速率区间内分子数 dNdNv v则则dNvN= f(v)dv速率分布函数速率分布函数速率速率 v v 附近单位速

22、率区间内附近单位速率区间内分子数占总分子数的百分比。分子数占总分子数的百分比。麦克斯韦速率分布函数：麦克斯韦速率分布函数：2223020)2(4)(vvvkTmekTmff(v)vdvNNfdd)(vv玻耳兹曼常量：玻耳兹曼常量：ANRk )KJ (1038. 1123f(v)vv2v1结论：结论：在麦克斯韦速率分布曲线下的任意一块面积在数值上在麦克斯韦速率分布曲线下的任意一块面积在数值上等于相应速率区间内分子数占总分子数的百分率。等于相应速率区间内分子数占总分子数的百分率。NNfvvvvd)(21归一化条件：归一化条件：1d)(0vvf三个统计速率（1）平均速率：）平均速率：设：设：速率为速

23、率为v1的分子数为的分子数为 N1个；个； 速率为速率为v2的分子数为个的分子数为个 N2 ；。总分子数：总分子数：N = N1+ N2 + + Nn NNNNNNnniivvvvv22110)(vvvdfNNdvvMRTMRTkT60. 188v（2）均方根速率：均方根速率：vvvvd)(22fMRTMRTmkT73. 13302v（3）最概然速率：）最概然速率：0)(ddvvf02mkTpvf(v)vpvv2v 在平衡态条件下，理想气体分子速率分布在在平衡态条件下，理想气体分子速率分布在vp附近的单位速率区间内的分子数占气体总分子数的附近的单位速率区间内的分子数占气体总分子数的百分比最大。

24、百分比最大。 MRTMRT41. 12f(v)f(vp3)vvpf(vp1)f(vp2)T1T3T2温度越高，速率大的分子数越多温度越高，速率大的分子数越多f(v)vT1T2例例2. 图为同一种气体，处于不同温度状态下的速率图为同一种气体，处于不同温度状态下的速率分布曲线，试问（分布曲线，试问（1）哪一条曲线对应的温度高？）哪一条曲线对应的温度高？（2) 如果这两条曲线分别对应的是同一温度下氧气如果这两条曲线分别对应的是同一温度下氧气和氢气的分布曲线，问哪条曲线对应的是氧气，哪和氢气的分布曲线，问哪条曲线对应的是氧气，哪条对应的是氢气？条对应的是氢气？解：解：MkTp2v(1) T1 v 0)

25、0 ( v vo )1、作速率分布曲线。、作速率分布曲线。2、由、由N 和和vo求常量求常量C。3、求粒子的平均速率。、求粒子的平均速率。4、求粒子的方均根速率。、求粒子的方均根速率。Cvov)(vfo解：解：0d)(vvfoCv11d0oCCovvv2dd)(200oCCfovvvvvvvv2212ooovvvv20202231dd)(ooCfvvvvvvvvovv332OD蒸汽源蒸汽源检测器检测器R抽气抽气抽气抽气 Lv= r RLlv = L给定给定 v = v = r lv小孔充分小，改变小孔充分小，改变 ，测，测D上的沉积厚度，就可测气体速率分布上的沉积厚度，就可测气体速率分布从小孔

26、出射的气体分子数目从小孔出射的气体分子数目单位时间内打到单位面积上的单位时间内打到单位面积上的分子数目（分子数密度分子数目（分子数密度n） 61nv速率在速率在 v v+dv 的分子数目的分子数目泻流的速率分布率泻流的速率分布率v dtdAx或或 vdtv(v)dv 61 f(v)dv nv (v) v3 e - m v /2kT 2严格推导严格推导速度在速度在 v v+dv ，斜柱体内的分子数目，斜柱体内的分子数目 g(v)dv n dA dt vx 只有只有vx0的才打到墙壁的才打到墙壁 (v)dv = n g(vx) vx dvx=n =0+ kT2 m=41nv压强压强P= 2mvx(

27、v)dv = n 2mg(vx) vx2 dvx 0+ = n mg(vx) vx2 dvx=nm vx2 = - + 31nm v2(v)dv = n g(v) vx dv 以上推导用到以上推导用到 g(vy)dvy= + - g(vz)dvz=1 + - 二氧化碳气体的等温线二氧化碳气体的等温线 13等温线：等温线： GA部分：与理想气体的部分：与理想气体的等温线相似。等温线相似。 AB部分：汽液共存。部分：汽液共存。 饱和汽：饱和汽：在汽液共存时在汽液共存时的蒸汽。的蒸汽。BD部分：曲线几乎与体部分：曲线几乎与体积轴垂直，反映了液体积轴垂直，反映了液体不易压缩的性质。不易压缩的性质。 21等温线等温线: 汽液共存线较短，饱汽液共存线较短，饱和汽压强较高和汽压强较高 。结论：结论：饱和汽压强与饱和汽压强与蒸汽的体积无关、却蒸汽的体积无关、却与温度有关。与温度有关。 31.1 时：时：临界等温线临界等温线 汽液共存线收缩为一拐点，称为汽液共存线收缩为一拐点，称为临界点临界点 。48.1时：时：其等温线相似于理想气体的等轴双曲线。其等温线相似于理想气体的等轴双曲线。 实际气体要考虑分子大小和分子之间的