第一章利息基本计算.

1、第一章第一章 利息基本计算利息基本计算1.2 1.2 利息基本计算利息基本计算1.3 1.3 实例分析实例分析1.1 1.1 利息基本函数利息基本函数 在经济活动中，资金的周转使用会带来在经济活动中，资金的周转使用会带来价值的增值，资金周转使用时间越长，实现价值的增值，资金周转使用时间越长，实现的价值增值越大。同时，等额的货币在不同的价值增值越大。同时，等额的货币在不同时间上由于受通货膨胀等因素的影响，其实时间上由于受通货膨胀等因素的影响，其实际价值也是不同的。因此，货币的使用者把际价值也是不同的。因此，货币的使用者把货币使用权转让给其他经济活动者，他应该货币使用权转让给其他经济活动者，他应该

2、获得与放弃这个使用机会时期长短相应的报获得与放弃这个使用机会时期长短相应的报酬。酬。 利息是一切金融活动的基础利息是一切金融活动的基础,任何金融任何金融活动都离不开利息活动都离不开利息. 从债权债务关系角度：利息是借贷关系从债权债务关系角度：利息是借贷关系中债务人（借款人中债务人（借款人borrowerborrower）为取得资金使）为取得资金使用权而支付给债权人（贷款人用权而支付给债权人（贷款人lenderlender）的报）的报酬，即：酬，即：借款人进行融资的成本。借款人进行融资的成本。 从简单的借贷关系角度：从简单的借贷关系角度：利息是一种补利息是一种补偿偿，由借款人支付给贷款人，因为前

3、者在一定，由借款人支付给贷款人，因为前者在一定时间内占有和使用了后者的部分资金。时间内占有和使用了后者的部分资金。 利息就是掌握和运用他人资金所付的利息就是掌握和运用他人资金所付的代价代价或转让货币使用权所得的或转让货币使用权所得的报酬报酬。 从投资的角度：利息是一定量的资本从投资的角度：利息是一定量的资本经过一段时间的投资后产生的经过一段时间的投资后产生的价值增值价值增值。 5 一般地，一笔金融业务可看成是投资一定数量的钱一般地，一笔金融业务可看成是投资一定数量的钱款以产生利息，初始投资的金额称为款以产生利息，初始投资的金额称为本金本金，而过一段，而过一段时间后收回的总金额称为时间后收回的总

4、金额称为累积值累积值。累积值累积值=本金本金+利息利息 假定假定：设一旦给定了原始投资的本金数额，则在以：设一旦给定了原始投资的本金数额，则在以后任何时刻累积值均可确定，且设在投资期间内后任何时刻累积值均可确定，且设在投资期间内不再不再加入或抽回加入或抽回本金。也就是说，资金数额的任何变化严本金。也就是说，资金数额的任何变化严格说都是由格说都是由利息效应利息效应产生的。产生的。自融资假设自融资假设 1.1 1.1 利息基本函数利息基本函数本金本金(principal)(principal): :是指贷款、存款或投资在计算利息之前的是指贷款、存款或投资在计算利息之前的原始金额。原始金额。本利和本

5、利和( (累积值累积值accumulated valueaccumulated value）：本金投资于某个：本金投资于某个 业务中，经过一段时间达到的新价值。业务中，经过一段时间达到的新价值。利息利息：新价值与原始本金相比产生的价值增值：新价值与原始本金相比产生的价值增值. .利率利率(interest rate)(interest rate): :是在是在指定时期内指定时期内利息额同借贷资本利息额同借贷资本 总额的比率总额的比率, ,衡量了单位货币在单位时间内的利息水平衡量了单位货币在单位时间内的利息水平. . 假设在初始时刻假设在初始时刻0投资了投资了1个单位的本金，则在时刻个单位的本金

6、，则在时刻t的累积值记为的累积值记为 ，称为累积函数。，称为累积函数。 a t注注*：时间：时间t为从投资之日算起的时间，可以用不同为从投资之日算起的时间，可以用不同的单位来度量。的单位来度量。累积函数累积函数 是关于时间的函数，满足：是关于时间的函数，满足： 1) 2) 一般地，一般地， 关于时间严格单调递增。关于时间严格单调递增。即：当即：当 时，有时，有 a t 01a a t12tt 12a ta t如果在如果在t=0、1、2.等时刻观察累积函数等时刻观察累积函数a(t)得到一得到一系列累积值系列累积值a(0)=1、a(1)、a(2)，那么在时刻，那么在时刻0、1、2之间，累积函数之间

7、，累积函数a(t)的取值是如何变化的？的取值是如何变化的？离散型离散型利息是跳跃产生的利息是跳跃产生的连续型连续型利息是连续产生的利息是连续产生的注注*：一般的，利息被认为是连续产生的。：一般的，利息被认为是连续产生的。例：考虑以下例：考虑以下3 3类特殊的累积函数类特殊的累积函数a(t)a(t) 1) 1) 常数常数 a(t)=1 2) 2) 线性线性 a(t)=1+2.5%t 3) 3) 指数指数注注* *：检查上面定义的：检查上面定义的a(t)a(t)满足累积函数的要求满足累积函数的要求注注* *：学习使用：学习使用ExcelExcel进行金融计算进行金融计算 . %ta t 12 5总

8、量函数（总量函数（amount function） 当原始投资不是当原始投资不是1个单位的本金，而是个单位的本金，而是P个单位个单位金额的本金时，则把金额的本金时，则把P个单位金额本金的原始投资个单位金额本金的原始投资在时刻在时刻t的累积值记为的累积值记为A(t)，称为总量函数。，称为总量函数。总量函数总量函数A(t)具有如下的性质：具有如下的性质： 1) A(0)=P 2) A(t)=Pa(t)，P0, 0t 注注* *：总量函数总量函数A(t)A(t)的计算可以借助于的计算可以借助于 累积函数累积函数a(t)a(t)的计算。的计算。 /0 ,0a tA tAt注注*：利息（利息（ inte

9、rest rate ） 将从投资之日算起的第将从投资之日算起的第n个时期内所获得的利息金额个时期内所获得的利息金额记为记为 ，则有，则有nI 1 ,1nIA nA nn注注* *：利息金额利息金额 看作是在整个时期内所产生的，看作是在整个时期内所产生的，在最后时刻实现的（支付的、得到的）。在最后时刻实现的（支付的、得到的）。nI注注* *：更一般地，记总量函数更一般地，记总量函数 在时间段在时间段 内所获得的利息金额为内所获得的利息金额为 ，则有，则有 A t12,t t12,t tI 12,21t tIA tA t利率（利率（interest rate） 思考：假设有两个储户，分别在银行存入

10、了思考：假设有两个储户，分别在银行存入了1万元、万元、1千万元的一年期定期储蓄，如果到期后银行都付给千万元的一年期定期储蓄，如果到期后银行都付给他们同样的利息金额他们同样的利息金额20元，你认为合理吗？元，你认为合理吗？注注* *：假设所有的在期初投资的：假设所有的在期初投资的1 1个单位的本金都具个单位的本金都具有着同样的产生利息的能力，则上述现象不合理。有着同样的产生利息的能力，则上述现象不合理。为了表示单位货币价值的为了表示单位货币价值的相对相对变化幅度，度量利息变化幅度，度量利息的常用方法是计算所谓的的常用方法是计算所谓的利率利率，定义为：，定义为：利率利率等于一定的货币量在等于一定的

11、货币量在一段时间一段时间（计息期（计息期 measurement period）内的变化量（）内的变化量（利息利息）与与期初货币量期初货币量的比值。的比值。 利率的计算公式利率的计算公式 利率利率=利息利息/期初本金期初本金 利息的计算公式利息的计算公式 利息利息=利率利率期初本金期初本金注注* *：利率通常用百分数来表示，即：利率通常用百分数来表示，即： 利率利率=利息利息/期初本金期初本金100%注注* *：这里定义的利率被称为实利率（这里定义的利率被称为实利率（effective rate of interest），注意与后面定义的名义利率），注意与后面定义的名义利率（nominal r

12、ate of interest）相区别。）相区别。注注* *：通常计息期为标准时间单位，如：年、季、通常计息期为标准时间单位，如：年、季、月等，若无特别说明，实利率一般指年实利率。月等，若无特别说明，实利率一般指年实利率。 上的上的实利率实利率= 内内 总量函数总量函数 的变化量与的变化量与期初货币量的比值，记为期初货币量的比值，记为 ，即：，即： 12,t t12,t t A t12,t ti 1212,21,11t tt tIA tA tiA tA t 111nnA nA nIiA nA n特别地， 11na na nia n进而，注注* *：利率计算的根本是累计函数的计算。：利率计算的根

13、本是累计函数的计算。单利（单利（simple interest） 在实际金融活动中，通常用到的两种计息方式分别在实际金融活动中，通常用到的两种计息方式分别为单利和复利。为单利和复利。 假设在期初投资假设在期初投资1个单位的本金，在每一个时期中个单位的本金，在每一个时期中都得到完全相同的利息金额，即都得到完全相同的利息金额，即利息为常数利息为常数。 由此可知：由此可知：a(0)=1,a(1)=1+i,a(2)=1+2i.即即 a(t)=1+it, 这种类型的利息产生方式被称为单利，这种类型的利息产生方式被称为单利，i被称为是单利率。被称为是单利率。注注*：所谓单利是指所谓单利是指只对本金计算利息

14、只对本金计算利息, ,而对前期已经产而对前期已经产生的利息在后期不再计算利息的利息计算方法生的利息在后期不再计算利息的利息计算方法. . 相应单利的累积函数为时间的线性函数相应单利的累积函数为时间的线性函数 常数的单利率并不意味着常数的实利率！常数的单利率并不意味着常数的实利率！因为相应于单利的第因为相应于单利的第n个时期的实利率个时期的实利率 为为 a1,1111nna niina nni是一个关于是一个关于n的单调递减的函数，并且当的单调递减的函数，并且当n的取值较的取值较大时，实利率大时，实利率 将变得更小。将变得更小。nini注注* *：当计算实利率：当计算实利率 时，是把第时，是把第

15、n n期开始的资本期开始的资本总额作为投资额来计算相应的所得利息与期初投资总额作为投资额来计算相应的所得利息与期初投资额之比。额之比。 随着资本总额的不断增加，常数的利息必将导致随着资本总额的不断增加，常数的利息必将导致单调递减的实利率。单调递减的实利率。注注* *：上面的讨论虽然只是在整点时刻上进行的观上面的讨论虽然只是在整点时刻上进行的观察，但由于所产生的利息被认为是在该期间的各个察，但由于所产生的利息被认为是在该期间的各个小区间上按比例产生的，从而上面给出的关于整数小区间上按比例产生的，从而上面给出的关于整数t t的单利的生成方式可以认为是对于所有大于等于的单利的生成方式可以认为是对于所

16、有大于等于0 0 的的t t都成立的利息产生方式。都成立的利息产生方式。ni在单利方式下，累积函数满足：在单利方式下，累积函数满足： 1,0,0+1,0,0a sta sa ttsa sta sa tts或注注* *：上式意味着经过时间上式意味着经过时间t+st+s所产生的利息等于经所产生的利息等于经过时间过时间t t产生的利息与经过时间产生的利息与经过时间s s产生的利息之和。产生的利息之和。注注* *：在连续时间情形下，单利方式意味着在连续时间情形下，单利方式意味着1 1个货币个货币单位的投资经过任何相同长度的计息期所产生的利单位的投资经过任何相同长度的计息期所产生的利息相同。息相同。复利

17、（复利（compound interest）问题的提出：问题的提出： 单利情形下，在前面的各个时期所获得的利息并没单利情形下，在前面的各个时期所获得的利息并没有在后面的时期用来再获取额外的利息。如果所获得有在后面的时期用来再获取额外的利息。如果所获得的利息可的利息可继续投资继续投资情形如何？情形如何？ 在上面的例子中，投资者每年都获得了在上面的例子中，投资者每年都获得了$160的利息。的利息。投资者在第一年末实际上有投资者在第一年末实际上有$2160，可以用来投资，如，可以用来投资，如果按照果按照$2160计算，投资者在第二年的时候可以获得利计算，投资者在第二年的时候可以获得利息息$172.8

18、，可以多获得，可以多获得$12.8. 后面的各期也可以采用这种方法去投资，最终获得后面的各期也可以采用这种方法去投资，最终获得的利息总额为的利息总额为多获得利息多获得利息$80.98.420001+8%-2000=720.98注注* *：即通常所说的：即通常所说的“利滚利利滚利”。复利计算模式的基本思想是复利计算模式的基本思想是:利息收入应该自动利息收入应该自动地被记入下一期的本金地被记入下一期的本金. ln 11,0ttia tita te从而有为整数等价于注注* *：上面整数时间：上面整数时间t t可以推广到一般的时间可以推广到一般的时间t0.t0.在复利方式下，累积函数满足：在复利方式下

19、，累积函数满足： ,0,0a sta s a tts 0,0,00a sta sa tatsa sa注注* *：可以推出表达式：可以推出表达式：单利方式与复利方式的区别单利方式与复利方式的区别(1)(1)在在t=0t=0或或t=1t=1时，单利和复利计算的终值相等。时，单利和复利计算的终值相等。01t1复利； 当时，单利 复利(2) 单利常用于人民币存款及利率不足期的近似计算；单利常用于人民币存款及利率不足期的近似计算；复利常用于贷款，保险，投资收益分析等场合复利常用于贷款，保险，投资收益分析等场合.增长形式不同：对于单利来说，它在同样长时期内增长形式不同：对于单利来说，它在同样长时期内的增长

20、绝对值保持为常数；而对复利来说则是增长的的增长绝对值保持为常数；而对复利来说则是增长的相对比率保持为常数。即相对比率保持为常数。即 对单利：对单利：a(t+s)-a(t) 不依赖于不依赖于t 对复利：对复利：a(t+s)-a(t) / a(t) 不依赖于不依赖于t（3）如果如果利率水平为常数利率水平为常数，则在单利下的，则在单利下的实际利率是时实际利率是时间的递减函数间的递减函数；而在复利下的；而在复利下的实际利率与时间无关实际利率与时间无关，仍等，仍等于常数的复利率。于常数的复利率。贴现（贴现（discount） 考虑这样的问题：一笔十年后付考虑这样的问题：一笔十年后付10001000元的付

21、款，元的付款，相当于现在付多少元？购房时，一次付清可享受适相当于现在付多少元？购房时，一次付清可享受适当的优惠，一次付清与分期付款到底那个合算当的优惠，一次付清与分期付款到底那个合算? ? 定义：时刻定义：时刻t t的的1 1个货币单位在时刻个货币单位在时刻0 0的价值称为的价值称为贴现函数贴现函数（discount function）, ,用用 表示。表示。 1at注注* *：贴现函数为累积函数的倒数函数。：贴现函数为累积函数的倒数函数。 累积与贴现是一对相反的过程，相应于期初累积与贴现是一对相反的过程，相应于期初1个单位个单位本金的本金的t时期期末的值为时期期末的值为 ，而相应于，而相应于

22、t时期期末时期期末1个个单位金额的期初值则为单位金额的期初值则为 。 1at a t 单利情形单利情形 复利情形复利情形 111atiti，为单利率 t11= tativi，为实利率累积因子（累积因子（accumulation factor） 若实利率为若实利率为i，则在期初投资的，则在期初投资的1个单位的本金在期个单位的本金在期末将累积到末将累积到1+i，把，把1+i称为是累积因子。称为是累积因子。即：即： 期末累积值期末累积值=期初本金期初本金累积因子累积因子 贴现因子（贴现因子（discount factor） 考虑累积的反问题：在期初开始时应投资多少，才考虑累积的反问题：在期初开始时应

23、投资多少，才能使得能使得1个时期结束时本金和利息总额恰好为个时期结束时本金和利息总额恰好为1个单位个单位的货币量？的货币量？ 如果期初投资如果期初投资 ，则期末时恰好累积至，则期末时恰好累积至1. 把把 称为是贴现因子，即：称为是贴现因子，即： 期初本金期初本金=期末累积值期末累积值贴现因子贴现因子 1(1) i1(1) i 定义：一个计息期内的利息收入与期末货币量的比值定义：一个计息期内的利息收入与期末货币量的比值称为称为实贴现率实贴现率（effective rate of discount） 1212121,21,22,11nnt tt tt tnnttdIA tA tdA tA tA n

24、A na na nIdA nA na n时间段内的贴现率的计算公式： 注注* *：注意与实利率的区别。：注意与实利率的区别。 设设i为单利率，计算相应单利各期的实贴现率为单利率，计算相应单利各期的实贴现率 11na na nida nni 设设i为复利率，计算相应复利各期的实贴现率为复利率，计算相应复利各期的实贴现率 111111nnnna na niiida nii 单贴现（单贴现（simple discount）贴现函数为贴现函数为 111,atdttdd ， 0为单贴现率复贴现（复贴现（compound discount）与复利方式下的累积过程类似与复利方式下的累积过程类似,若每个时期内

25、的贴现率若每个时期内的贴现率相同相同,则称该相同的贴现率为复贴现率则称该相同的贴现率为复贴现率.记作记作d. 显然显然贴现函数为贴现函数为 110,tatdtd， 为复贴现率除特殊说明，我们后面所讨论的都是针对复贴现模式计算除特殊说明，我们后面所讨论的都是针对复贴现模式计算Nttadt1)()1 (42一时期内金额的改变可以称为一时期内金额的改变可以称为“利息利息”，也可以称，也可以称为为“贴现贴现”，但两者意义不同。，但两者意义不同。利息利息本金基础上的增加额，在期末支付，其计本金基础上的增加额，在期末支付，其计算的依据为期初余额。算的依据为期初余额。贴现贴现累积值基础上的减少额，在期初支付

26、，其累积值基础上的减少额，在期初支付，其计算的依据是期末余额。计算的依据是期末余额。用利率用利率i可以很方便地计算：利息可以很方便地计算：利息=本金本金*i贴现率有类似的作用：贴现贴现率有类似的作用：贴现=期末值期末值*d注注:注：单贴现模式并不对应单利的贴现模式注：单贴现模式并不对应单利的贴现模式 而复贴现模而复贴现模式对应复利的贴现模式式对应复利的贴现模式定定 义：义： ( 实实) 利率和利率和( 实实) 贴现率被称为贴现率被称为等价等价的（的（equivalent ），若它们满足：相同的原始本金初值），若它们满足：相同的原始本金初值经过相同的计息期，产生相同的终值。经过相同的计息期，产生

27、相同的终值。例例1 1 假设某人假设某人A A到银行以实贴现率到银行以实贴现率6%6%借借100100元，为期元，为期1 1年，一年后年，一年后A A还给银行还给银行100100元。则元。则1)1)银行实际付给银行实际付给A A多多少元？少元？2)2)这相当于利率是多少的贷款？这相当于利率是多少的贷款？解解: :1)(0)(1)(1)100(1 0.06)94AAd元94(1)1006.38%ii 2)令证明：证明： 1）设期末货币量为）设期末货币量为 1， 则由贴现率定义可知利息量则由贴现率定义可知利息量恰为贴现率恰为贴现率d ，从而期初货币量应为从而期初货币量应为1- d ，所以由利息率所

28、以由利息率的定义可得的定义可得ddi1 2）设期初货币量为）设期初货币量为 1 ，由利率定义可知利息量恰为利率，由利率定义可知利息量恰为利率i ，从而期末货币量应为从而期末货币量应为1+ i ，所以由贴现率的定义可得所以由贴现率的定义可得iiid1对于等价的利率对于等价的利率 i 和贴现率和贴现率d 有如下关系式：有如下关系式：1） 2）ddi1iiid11/(1+i) =1-d - 此方程两边均表示在期末支付此方程两边均表示在期末支付1的现值。的现值。例例 ：假设期初借款人从贷款人处借入假设期初借款人从贷款人处借入10000 10000 元，元，并约定一年到期时还并约定一年到期时还10500

29、 10500 元，即利率元，即利率i i=5%=5% 。如。如果借款人希望期初时即付给贷款人利息，果借款人希望期初时即付给贷款人利息，1 1 年到年到期时偿还本金期时偿还本金10000 10000 元，问期初借款人实际可得元，问期初借款人实际可得金额是多少？金额是多少？ 解：贴现因子解：贴现因子 d = iv = 0.04762从而借款人在期初实际可得从而借款人在期初实际可得 10000(1- d ) =10000v = 9524(元)3） d = iv因为贴现因子因为贴现因子 ，再由，再由2） 可得。可得。9524. 0)1 (1iv1)1 (iv4） d =1- v 贴现率与贴现因子互补。

30、贴现率与贴现因子互补。5） i - d = id某人可借贷某人可借贷1而在期末归还而在期末归还1+i，也可以借贷，也可以借贷1-d而在而在期末归还期末归还1 。表达式。表达式i-d是所付利息的差额，此种差额是所付利息的差额，此种差额是因为所借本金相差是因为所借本金相差d而产生的。金额而产生的。金额d依利率依利率i在一在一时期末的利息就是时期末的利息就是id.解：解： 1） 从贴现的角度看，从贴现的角度看， 零息债券的贴现率零息债券的贴现率 d =5%， 而储蓄的贴现率而储蓄的贴现率 = 4.988% 因此，债券投资优于储蓄。因此，债券投资优于储蓄。iid1ddi111221211ididiid

31、d注：若 与 等价，若 与等价，则当且仅当2）从年利率的角度看）从年利率的角度看 ，零息债券的利率，零息债券的利率 =5.26%而储蓄利率而储蓄利率i = 5.25% 5.26% ，债券投资优于储蓄。债券投资优于储蓄。例：例： 若现有面额为若现有面额为100 元的零息债券，在到期前一元的零息债券，在到期前一年的时刻价格为年的时刻价格为95 元，同时，短期一年储蓄利率元，同时，短期一年储蓄利率为为5.25%，如何进行投资选择？，如何进行投资选择？名利率名利率(nominal rate of interest) 问题的提出问题的提出储蓄、储蓄、 保险、债券投资等金融业务通常会涉及许多保险、债券投资

32、等金融业务通常会涉及许多不同的期限，比如，目前银行开设的人民币整存整取不同的期限，比如，目前银行开设的人民币整存整取定期储蓄业务包括定期储蓄业务包括3个月、个月、6个月、个月、1年、年、2年、年、3年年和和5年六个档期它们各自的利率相互之间如何比较？年六个档期它们各自的利率相互之间如何比较？现行储蓄利率现行储蓄利率人民币存款利率人民币存款利率2002年年2月月21日起执行日起执行 项目年利率（）项目年利率（）活期存款活期存款 0.72 定期存款（整存整取定期存款（整存整取 ） 三个月三个月1.71 半年半年1.89 一年一年1.98 二年二年 2.25 三年三年 2.52 五年五年 2.79

33、分析分析：存三个月的实利率为：存三个月的实利率为1.71%，而存，而存1年的实利年的实利率为率为1.98%，如果真是这样的话，恐怕就不会有人存，如果真是这样的话，恐怕就不会有人存1年期的定期了。因为可以考虑在年期的定期了。因为可以考虑在1年期间可以存了年期间可以存了取、再存再取、总共可以存上四个取、再存再取、总共可以存上四个3个月定期这样个月定期这样的话，按照复利公式可以得到的话，按照复利公式可以得到1年下来年下来1个单位的本个单位的本金的累积值为：金的累积值为： 4(11.71%)1.070217.02%利息收入远远超过存一个利息收入远远超过存一个1年的定期年的定期 五年期定期的利率仅为五年

34、期定期的利率仅为2.79%，而，而1年期定期的年期定期的利率为利率为1.98%，难道还会有人存五年的定期吗？，难道还会有人存五年的定期吗？实利率考虑的是在一个计息期内所真实获得的全部实利率考虑的是在一个计息期内所真实获得的全部利息与期初本金金额之比，而名利率考虑的是在一个利息与期初本金金额之比，而名利率考虑的是在一个计息期内，当计息期内，当支付利息的次数不止一次支付利息的次数不止一次或或不足一次不足一次时时如何计算利率。如何计算利率。相关术语：相关术语：利息换算期利息换算期(interest conversion period)月换算月换算(convertible monthly)季换算季换算

35、(payable quarterly)半年换算半年换算(compounded semiannually) 例：例： （季换算名利率（季换算名利率4%）表示每个季度换算）表示每个季度换算一次利息，且每个季度的实利率为一次利息，且每个季度的实利率为1 如三个月定期存款利率如三个月定期存款利率(挂牌利率挂牌利率)为则为则10000元存满三个月可得利息元存满三个月可得利息42.75元元 ()()()(1)()mmmimmiimm定义：的整数 被称为 换算名利率 或“挂牌利率”，即在标准的利息计算时间单位内（一般为一年）依利率换算 次，每个换算期内的实利率为。(4)4%i(4)1.71%i注：半年挂牌利

36、率为注：半年挂牌利率为1.89%即半年期的即半年期的实利率为实利率为1.89%/2=0.945%，连续存两个半年定期，连续存两个半年定期可得利息可得利息 例：例： 连续存连续存4个三个月定期和存一个一年期定期哪个三个月定期和存一个一年期定期哪一个更合算？一个更合算？解：设期初本金解：设期初本金10000元，连续存元，连续存4个三个月定期，个三个月定期，则可得利息则可得利息 410000(1 1.71%/ 4)1000172.10210000(1 1.89%/ 2)1000189.89(2)1.89%i而存一个一年期定期则可得利息而存一个一年期定期则可得利息198.00元元 (1/)(1/)(1

37、/)(1/)(1/2)(1/2)(1/3)(12 2.25%222.25%=4.5% 3 2.52% 3mmmmmimimmimimmiiii在个 时 期 中 支 付 一 次 利 息 的 名 利 率 的 符 号 为其 中是 大 于 的 正 整 数 。名 利 率是 指 每个 时 期 支 付 一 次 利 息 ， 且 在时 期 中 支 付 利 息 是 按 照 利 率进 行 的 ， 即为 每时 期 的 实 利 率 。例 ：年 期 定 期 年 的 实 利 率 为年 期 定 期年 的 实 利 率 为/3)(1/5)(1/5)32.52%3=7.56% 5 2.79% 552.79%5=13.95%ii年

38、期 定 期年 的 实 利 率 为例例:500元以季挂牌存款利率元以季挂牌存款利率8%经经5年后的价值为多少？年后的价值为多少？4 520500 (1+8%/4) =500 (1+2%) =742.97( )mi()1(1)mmiim ()(1)1mmiim实际应用中通常需要计算与名利率等价的实际应用中通常需要计算与名利率等价的(年年)实利率实利率i 的大小的大小 。名利率与等价的实利率有如下关系：名利率与等价的实利率有如下关系：或或()()1/()(1)1mmmiiimi由 年 实利率 也可以计算出名利率，即()()()()()()()(1)1()()1()mmmmmmmmmmiiiimiim

39、mmiiim由二项式展开可以证明，因为 =1+ =+(1/ )(1/ )1(1/ )(1/)()(1)1(1)1)/mmmmmmiiiimiimii名利率与等价 年 利率 有如下关系以及并且由二项式展开可以证明补充补充 银行储蓄常识银行储蓄常识 人民币储蓄按存款期限不同分为活期储蓄和定期储蓄人民币储蓄按存款期限不同分为活期储蓄和定期储蓄两大类两大类 定期储蓄又包括了定期储蓄又包括了整存整取整存整取、零存整取零存整取、整整存零取存零取、存本取息存本取息、定活两便定活两便等等 活期储蓄存款活期储蓄存款由储蓄机构发给存折，凭存折存由储蓄机构发给存折，凭存折存取，开户后可以随时存取。活期储蓄存款帐户于

40、每年取，开户后可以随时存取。活期储蓄存款帐户于每年6月月30日日统一结算利息一次利息并入本金一并生息统一结算利息一次利息并入本金一并生息 。 整存整取定期储蓄存款整存整取定期储蓄存款 由储蓄机构发给存单，存由储蓄机构发给存单，存期分期分3个月、半年、个月、半年、1年、年、2年、年、3年、年、5年年六档期六档期本金本金一次存入一次存入 到期凭存单支取本息。到期凭存单支取本息。 存款的计息存款的计息利率分为年利率、月利率和日利率三种，相互之间利率分为年利率、月利率和日利率三种，相互之间的换算采用的换算采用30/360规则（即规则（即普通利息算法普通利息算法）。）。 即：即： 1年年 = 12月月

41、= 360日日 月利率月利率 = 年利率年利率/ 12， 日利率日利率 = 年利率年利率/ 360 1月月 = 30日日 日利率日利率 = 月利率月利率/ 30 例例 ： 活期储蓄利率活期储蓄利率挂牌利率挂牌利率(年单利率年单利率) = 0.72% 日利率日利率= 0.72% / 360 = 0.002% 注：一年期以内活期储蓄为单利计息注：一年期以内活期储蓄为单利计息按按储蓄管理条例储蓄管理条例规定：存款的计息起点为元，规定：存款的计息起点为元，元以下角分不计利息，利息金额算至分位，分以下尾元以下角分不计利息，利息金额算至分位，分以下尾数四舍五入。数四舍五入。 存期的计算采用存期的计算采用“

42、算头不算尾算头不算尾” 的方法，即是从的方法，即是从存款存入银行的当日算起，存款存入银行的当日算起， 直至取款日前一天为止。直至取款日前一天为止。取款当日不计利息取款当日不计利息 定期储蓄存款提前支取的，按支取日挂牌公告的定期储蓄存款提前支取的，按支取日挂牌公告的活期储蓄存款利率计付利息，部分提前支取的，提前活期储蓄存款利率计付利息，部分提前支取的，提前支取的部分按支取日挂牌公告的活期储蓄存款利率计支取的部分按支取日挂牌公告的活期储蓄存款利率计付利息，其余部分到期时按开户日挂牌公告的整存整付利息，其余部分到期时按开户日挂牌公告的整存整取定期储蓄存款利率计付利息，取定期储蓄存款利率计付利息，部分

43、提前支取以一次部分提前支取以一次为限。为限。除约定自动转存外，定期储蓄存款过期支取的，其除约定自动转存外，定期储蓄存款过期支取的，其过期部分的利息按活期存款计算。过期部分的利息按活期存款计算。 活期活期储蓄存款在存入期间遇有利率调整，按储蓄存款在存入期间遇有利率调整，按结息日挂结息日挂牌公告的活期储蓄存款利率牌公告的活期储蓄存款利率计算利息。计算利息。定期定期储蓄存款在存期内如遇利率调整仍按存单储蓄存款在存期内如遇利率调整仍按存单开户日开户日挂牌公告的相应的定期储蓄存款利率计算利息。挂牌公告的相应的定期储蓄存款利率计算利息。 从从1999年年11月月1日起储蓄存款利息所得按照每次取得日起储蓄存

44、款利息所得按照每次取得的利息所得额征收的利息所得额征收20%的个人所得税；的个人所得税；储蓄存款在储蓄存款在2007年年8月月15日后的利息所得，按照日后的利息所得，按照5%的比例税率征的比例税率征收个人所得税。收个人所得税。 例：一年期定期储蓄挂牌利率为例：一年期定期储蓄挂牌利率为1.98%税后实际利税后实际利率为率为1.98%80%1.584%； 1.98%95%1.881%例例 ： 单利与复利的比较单利与复利的比较 活期储蓄在每年的活期储蓄在每年的7月月1日至次年的日至次年的6月月30日之间是按日之间是按照单利来计息的，照单利来计息的， 如果按照复利来计息，即做到利滚如果按照复利来计息，

45、即做到利滚利利, 收益会增加多少？收益会增加多少？ 解解 ：本金：本金10000元元 单利计息单利计息 10000 0.72%=72元元 复利计息（复利计息（1年按照年按照360天计天计 ）360100000.002%1000072.26（）元即每即每 1 万元比原先多出利息万元比原先多出利息 0.26 元元 注：注： 当利率水平较低或当时间较短的时候复利与单当利率水平较低或当时间较短的时候复利与单利的差别不大利的差别不大( )( )( )( )( )( )1/(1)1(1)1 (1)1 (1)pppppppppdpddppddddppdpd 定义：名贴现率整数 ，是指在标准计息期内依换算 次

46、，每个换算期内的实际贴现率为名贴现率与等价的实贴现率有如下关系或以及名贴现率（名贴现率（nominal rate of discount ）结论结论 相同计息期内等价的名利率与名贴现率有如下相同计息期内等价的名利率与名贴现率有如下的关系（的关系（m, p可以不相同）可以不相同） ( )( )( )( )1( )( )( )( )1)(1)(1)2),(1)(1)mpmpmmmmmmidmpmpidmmididmmmm 若则有：及midmm111)()(从而有()( )1()() 1)(1)1(1)(1)1 2)mpmpmmididmpidmmm 注 注 与为计息期内等价的实利率与贴现现率例例

47、有以下两种有以下两种5年期的投资选择：年期的投资选择：A：年利率：年利率7%，每，每半年计息一次：半年计息一次：B：年利率：年利率7.05%，每年计息一次比较，每年计息一次比较两种选择的收益。两种选择的收益。 解解方法一方法一 比较等价的年实利率比较等价的年实利率方法二方法二 比较实际收益比较实际收益结论结论 A A收益高收益高(2)27%7%,(1)17.1225%7.05%2AABiii 1057%(5)(1)1.41062(5)(17.05%)1.4058(5)(5)ABABaaaa例例 求与月换算名贴现率为求与月换算名贴现率为6%等价的季换算名利率。等价的季换算名利率。解解 已知已知

48、求与之等价的求与之等价的由由可得可得(12 )6% ,d( 4 )i(4)4(12)12(1/ 4)(1/12)id(4)(12)334(1/12)14(0.995)10.06066.06%id连续利息计算连续利息计算 连续型利息模型，即利息的产生是连续地依赖于时间的，连续型利息模型，即利息的产生是连续地依赖于时间的，但利息的支付却不必是连续的。但利息的支付却不必是连续的。 考虑理想的情形，即考虑理想的情形，即每个瞬间都可以进行利息的换算每个瞬间都可以进行利息的换算，如何来度量利息在每一个小瞬间的变化的强度。如何来度量利息在每一个小瞬间的变化的强度。 定义：定义：设累积函数设累积函数 为为 的

49、连续可微函数，则称的连续可微函数，则称函数函数 为累积函数为累积函数 对应的对应的利息力函数利息力函数，并称利息力函数在，并称利息力函数在各个时刻的值为各个时刻的值为利息力利息力(force of interest)(force of interest)( )att( )( )ta ta t 0t )(ta 累积函数可以表示为累积函数可以表示为贴现函数可以表示为贴现函数可以表示为0( )exp(ds)tsa t10( )exp(ds)tsat注注0( )(ln ( )dsln ( )ln (0)( )ttsa ta ta taa t定义定义: 时刻时刻 的的贴现力贴现力(force of di

50、scount) 为为注注 负号使得贴现力取正值负号使得贴现力取正值结论结论: 利息力与贴现力相等即利息力与贴现力相等即注注tt11( )( )tatat tt1211( )( ) ( )( )( )( )( )atat a ta tatata t 例例: :求单利在时刻求单利在时刻t t 的利息力的利息力解解: :从而时刻从而时刻 t t 的利息力为的利息力为注注 单利的利息力关于时间为递减函数单利的利息力关于时间为递减函数例例: :求复利在时刻求复利在时刻t t 的利息力的利息力解解: :从而时刻从而时刻 t t 的利息力为的利息力为itaitta)(,1)(ititatat1)()(tti

51、itaita)1)(1ln()(,)1 ()(aaaxxln)()1ln()()(itatat注：复利的利息力关于时间为常值函数注：复利的利息力关于时间为常值函数结论结论: :若利息力为常数若利息力为常数, ,即即 则则1) 1) 2)2)常数利息力常数利息力 与实利率与实利率i 的关系式为的关系式为3)3)在相同计息期内在相同计息期内注：注：此即为复利情形此即为复利情形a(t)=(1+i)t,tttetaeta)(,)(1)1ln()ln()1ln(, 1dvieiid证明证明 1):证明证明 2):由由 ，可得，可得 由由i,v,d的关系可得，的关系可得，ttedsta)exp()(0i

52、e a1(1)1ei)1ln()ln()1ln(dviid.! 3! 2132eiddddd.32)1ln(32证明证明 3)：由由 2)可以证明可以证明 即即 结论：名利率结论：名利率 与名贴现率与名贴现率 以及利息力以及利息力 有如下关系有如下关系 deiediiiddepdemidippmmmpppmmpm11limlim1 1)()()()()()()()()(mi)( pd1)(mmemi1 )(ppepdiiddmp)()()()(limlimppmmdiie1de11） 2） 3） 4） 注注 1)&2): ，注注 3)&4): 利用展开式利用展开式.! 311!

53、 211 1322)(mmemimm21)()( ,12mmiiimmmdiim)(0而而 的性质可由与的性质可由与 的关系式及相应性质的关系式及相应性质推出推出)( pd)(mi可以证明可以证明 以及以及 1649$1000)10()0()10(10%5eaAA例例 Find the accumulated value of $1000 invested for ten years if the force of interest is 5%.解解例例:基金基金 F以利息力函数以利息力函数 累积；基金累积；基金G以利息力函数以利息力函数 累积。分别用累积。分别用 和和 表示两个基金在时刻表示

54、两个基金在时刻 的累积函数，令的累积函数，令 ，计算使，计算使 达到最大的时刻达到最大的时刻 T。0)(t 11tt0)(t 2142ttt)(taF)(taG0)(t t)()()(tatathGF)(th解：由题设条件有解：由题设条件有 tdsstatF1)11exp()(020221)214exp()(tdssstatG22)(ttthtth41)(41T根据根据 h(t)定义得定义得 以及以及 ,由由此可以求出使此可以求出使 h(t) 达到最大的时刻达到最大的时刻 注注: 此例为变利息力此例为变利息力基金F与基金G的累积函数 1.2 1.2 利息基本计算利息基本计算有关利息计算的基本要

55、点有关利息计算的基本要点1) 1) 投资开始时的现值投资开始时的现值( (货币货币) )2) 2) 投资经过的时间投资经过的时间( (时间时间) )3) 3) 利率利率( (货币的时间价值度量货币的时间价值度量) )4) 4) 投资结束时的终值投资结束时的终值( (货币货币) )关键关键: :其中的任何三个的值都可以决定第四其中的任何三个的值都可以决定第四个的值个的值投资时间的度量投资时间的度量 精确利息计算精确利息计算(exact simple or compound interest) “实际投资天数实际投资天数/年实际天数年实际天数”(Actual/Actual) 按实际的投资天数计算，

56、一年为按实际的投资天数计算，一年为365 天天 普通利息计算普通利息计算(Ordinary simple/compound interest) “30/360” 假设每月有假设每月有30天，一年为天，一年为360天天注：注： 两个给定日期之间的天数的计算公式为两个给定日期之间的天数的计算公式为 360(Y2 -Y1) + 30(M2 -M1)+ (D2 - D1) 其中，其中，Y2、M2、D2分别代表支取日的年、月、日，而分别代表支取日的年、月、日，而 Y1、M1、D1、则分别代表存入日的年、月、日。、则分别代表存入日的年、月、日。例：存入日：例：存入日：1999 1999 年年3 3 月月1

57、1 11 日日 支取日：支取日： 2000 2000 年年6 6 月月20 20 日日 存期天数存期天数=360=360（2000199920001999）+30+30（6-36-3）+ +（20- 1120- 11） = 360+90+9 = 459= 360+90+9 = 459例：存入日：例：存入日：1999 1999 年年6 6 月月20 20 日日 支取日：支取日：2000 2000 年年3 3 月月11 11 日日存期天数存期天数=360(2000-1999)+30(3-6)+(11-20)=360(2000-1999)+30(3-6)+(11-20) =360(1999-1999

58、)+30(12+2-6)+(30+11-20) =360(1999-1999)+30(12+2-6)+(30+11-20) =0+240+21= 261 =0+240+21= 261注注 大月日历日大月日历日3030日与日与3131日被视为同一天；二月当月存日被视为同一天；二月当月存入、当月取出的，按照实际存款天数计算，跨月存入、入、当月取出的，按照实际存款天数计算，跨月存入、取出的，则按照取出的，则按照3030天计算。天计算。银行家利息法则银行家利息法则(Bankers Rule)“实际天数实际天数/360”/360”按实际的投资天数计算，但一年设为按实际的投资天数计算，但一年设为36036

59、0天天注：注： 不是所有的利息计算都需要计算天数不是所有的利息计算都需要计算天数( (如银行储蓄、债券交易会涉及投资天数的如银行储蓄、债券交易会涉及投资天数的计算），许多金融业务是自动依月、季、计算），许多金融业务是自动依月、季、半年或一年进行的。半年或一年进行的。价值方程价值方程问题的提出问题的提出 :多笔金融业务发生在不同时刻如何来统一处理多笔金融业务发生在不同时刻如何来统一处理 ?在考虑利息问题时货币将具有时间性即在考虑利息问题时货币将具有时间性即“货币的货币的时间价值时间价值” （time value of money ）不同时刻的货币量是无法直接比较大小的必须将不同时刻的货币量是无法

60、直接比较大小的必须将 这些量调整累积或贴现到某一个共同日期（这些量调整累积或贴现到某一个共同日期（比较比较日日/comparison date）来进行比较）来进行比较调整到比较日的计算方程被称为调整到比较日的计算方程被称为“价值方程价值方程” （equation of value）注注 ：期初和期末期初和期末是两个特殊的比较日，中间其是两个特殊的比较日，中间其它时刻都可以作为比较日。现值方程它时刻都可以作为比较日。现值方程/终值方程终值方程是将比较日选为期初是将比较日选为期初/期末的两种特殊的价值方期末的两种特殊的价值方程程.。注注 ：采用复利计算，最终计算结果与比较日的采用复利计算，最终计算结果与比较日的选