计算机图形学基础教程附录(第二版)(孙家广-胡事民编著)(共16页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上附录A 计算机图形学的数学基础A.1 矢量运算矢量是一有向线段，具有方向和大小两个参数。设有两个矢量V1(x1, y1, z1)，V2(x2, y2, z2)。(1) 矢量的长度|V1|=(x1x1, y1y1, z1z1)1/2(2) 矢量倍乘V1=(x1, y1, z1)(3) 两个矢量之和V1+V2=(x1, y1, z1)+(x2, y2, z2)=(x1+x2, y1+y2, z1+z2)图A-1(4) 两个矢量的点积V1·V2=|V1|V2| cos=x1x2+y1y2+z1z2其中，为两相量之间的夹角。点积满足交换律和分配律：V1·V

2、2=V2·V1V1·(V2+V3)=V1·V2+V1·V3(5) 两个矢量的叉积叉积V1×V2是一个向量，而且满足： |V1×V2|=|V1|V2| sin，即以V1和V2为邻边所构成的平行四边形的面积。图A-2 V1×V2垂直于V1和V2。 V1，V2，V1×V2构成右手系。图A-3用坐标表示为：叉积满足反交换律和分配律V1×V2=V2×V1V1×(V2+V3)=V1×V2+V1×V3A.2 矩阵运算设有一个m行n列矩阵A：其中(ai1, ai2, ai3, ,

3、ain)被称为第i(1in)个行向量，(a1j, a2j, a3j, , amj)T被称为第j(1jm)个列向量。(1) 矩阵的加法运算 设两个矩阵A和B都是m×n的，把它们对应位置的元素相加而得到的矩阵叫做A、B的和，记为AB只有在两个矩阵的行数和列数都相同时才能实施矩阵的加法运算。(2) 数乘矩阵 用数k乘矩阵A的每一个元素而得的矩阵叫做k与A之积，记为kA：(3) 矩阵的乘法运算只有当前一矩阵的列数等于后一矩阵的行数时两个矩阵才能相乘：Cm×n= Am×p·Bp×n矩阵C中的每个元素。下面用一个简单的例子来说明。设A为2×3的矩

4、阵，B为3×2的矩阵，则两者的乘积为：(4) 单位矩阵 对于一个n×n的矩阵，如果它的对角线上的各个元素均为1，其余元素都为0，则该矩阵称为单位矩阵，记为In。对于任意m×n的矩阵，恒有：Am×n·In = Am×nIm ·Am×n = Am×n(5) 矩阵的转置 交换一个矩阵Am×n的所有的行列元素，那么所得到的m×n的矩阵被称为原有矩阵的转置，记为AT：显然，(AT)T=A，(A+B)T=(AT+BT)，(kA)T=kAT。但是，对于矩阵的积：(A·B)T=BT·

5、;AT(6) 矩阵的逆 对于一个n×n的方阵A，如果存在一个n×n的方阵B，使得AB=BA=In，则称B是A的逆，记为B=A-1，同时A则被称为非奇异矩阵。矩阵的逆是相互的，A同样也可记为B=A-1，B也是一个非奇异矩阵。任何非奇异矩阵有且只有一个逆矩阵。(7) 矩阵运算的基本性质 矩阵加法适合交换律与结合律 A+B=B+AA+(B+C)=(A+B)+C 数乘矩阵适合分配律与结合律 (A+B)=A+B(A·B)=(A)·B=A·B 矩阵的乘法适合结合律 A(B·C)=(A·B)C 矩阵的乘法对加法适合分配律 (A+B)C=A

6、C+BCC(A+B)=CA+CB 矩阵的乘法不适合交换率 A·BB·AA.3 齐次坐标所谓齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个n+1维向量来表示。如向量(x1, x2, , xn)的齐次坐标表示为hx1, hx2, , hxn, h，其中h是一个实数。显然一个向量的齐次表示是不惟一的，齐次坐标的h取不同的值都表示的是同一个点，比如齐次坐标8,4,2、4,2,1表示的都是二维点2,1。齐次坐标的优点： 它提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的一个点集，从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法。 它可以表示无穷远的点。n+1维的齐次坐标中如果h=0，实际上就表示了n维

7、空间的一个无穷远点。对于齐次坐标a,b,h，保持a,b不变，h0的过程就表示了在二维坐标系中的一个点，沿直线ax+by=0逐渐走向无穷远处的过程。A.4 线性方程组的求解对于一个有n个变量的方程组：可将其表示为矩阵形式：AX=B，A为系数矩阵。该方程有惟一解的条件是A为非奇异矩阵，则方程的解为：X=A-1B附录B 图形的几何变换B.1 窗口区到视图区的坐标变换实际的窗口区与视图区大小往往不一样，要在视图区正确地显示形体，必须将其从窗口区变换到视图区。图B-1 由比例关系，两者的变换公式为： 可以简单地将两者的关系表示为：其中：用矩阵表示为：B.2 二维图形的几何变换正如我们在附录A中提到的那样

8、，用齐次坐标表示点的变换将非常方便，因此在附录B中所有的几何变换都将采用齐次坐标进行运算。二维齐次坐标变换的矩阵的形式是： 这个矩阵每一个元素都是有特殊含义的。其中可以对图形进行缩放、旋转、对称、错切等变换；是对图形进行平移变换；g h是对图形作投影变换；i则是对图形整体进行缩放变换。(1) 平移变换 图B-2(a)(2) 缩放变换 图B-2(b)(3) 旋转变换 图B-2(c)在直角坐标平面中，将二维图形绕原点旋转角的变换形式如下：逆时针旋转取正值，顺时针旋转为负值。(4) 对称变换 图B-2(d)对称变换其实只是a，b，d，e取0，1等特殊值产生的一些特殊效果。例如： 当b=d=0，a=1

9、，e=1时，有x´=x，y´=y，产生与y轴对称的图形； 当b=d=0，a=1，e=1时，有x´=x，y´=y，产生与x轴对称的图形； 当b=d=0，a=e=1时，有x´=x，y´=y，产生与原点对称的图形； 当b=d=1，a=e=0时，有x´=y，y´=x，产生与直线y=x对称的图形； 当b=d=1，a=e=0时，有x´=y，y´=x，产生与直线y=x对称的图形。(5) 错切变换 当d=0时，x´=x+by，y´=y，此时，图形的y坐标不变，x坐标随初值(x, y)及变换系

10、数b作线性变化。图B-2(e) 当b=0时，x´=x，y´=dx+y，此时，图形的x坐标不变，y坐标随初值(x, y)及变换系数d作线性变化。图B-2(f)(6) 复合变换如果图形要做一次以上的几何变换，那么可以将各个变换矩阵综合起来进行一步到位的变换。复合变换有如下5个性质： 复合平移 对同一图形做两次平移相当于将两次的平移两加起来： 复合缩放 两次连续的缩放相当于将缩放操作相乘： 复合旋转 两次连续的旋转相当于将两次的旋转角度相加： 关于(xf, yf)点的缩放变换缩放、旋转变换都与参考点有关，上面进行的各种变换都是以原点为参考点的。如果相对某个一般的参考点(xf, y

11、f)作缩放、旋转变换，相当于将该点移到坐标原点处，然后进行缩放、旋转变换，最后将(xf, yf)点移回原来的位置。切记复合变换时，先作用的变换矩阵在右端，后作用的变换矩阵在左端。 绕(xf, yf)点的旋转变换 B.3 三维几何变换由于用齐次坐标表示，三维几何变换的矩阵是一个4阶方阵，其形式如下：其中产生缩放、旋转、错切等几何变换，产生平移变换， a41 a42 a43产生投影变换，a44产生整体的缩放变换。(1) 平移变换 图B-3参照二维的平移变换，很容易得到三维平移变换矩阵：(2) 缩放变换 图B-4直接考虑相对于参考点(xf, yf, zf)的缩放变换，其步骤为： 将参考点平移到坐标原

12、点处； 进行缩放变换； 将参考点移回原来位置。       则变换矩阵为：(3) 绕坐标轴的旋转变换 三维空间的旋转相对要复杂些。考虑右手坐标系下相对坐标原点绕坐标轴旋转角的变换。 绕x轴旋转 绕y轴旋转 绕z轴旋转(4) 绕任意轴的旋转变换 图B-5设旋转轴AB由任意一点A(xa, ya, za)及其方向数(a, b, c)定义，空间一点P(xp, yp, zp)绕AB轴旋转角到P(xp, yp, zp)，则：可以通过下列步骤来实现P点的旋转： 将A点移到坐标原点； 使AB分别绕x轴、y轴旋转适当角度与z轴重合； 将AB绕z轴旋转角

13、； 作上述变换的逆操作，使AB回到原来位置。所以Rab()=T-1(xa,ya,za) Rx-1() Ry-1() Rz() Ry() Rx() T(xa,ya,za)。其中各个矩阵的形式参照上面所讲的平移、旋转矩阵，而，分别是AB在yoz平面与xoz平面的投影与z轴的夹角。附录C 形体的投影变换C.1 投影变换分类把三维物体变为二维图形表示的过程称为投影变换。投影变换的分类情况如图C-1所示。C.2 世界坐标系与观察坐标系物体在空间的表示是用世界坐标来表示，但是当人们去观察物体时，坐标系就转化为观察坐标系。这就需要在两个坐标系之间进行转换，可以通过平移、旋转来实现。平移后，用单位矢量法得到旋

14、转矩阵：(1) 取zv轴向为观察平面的法向VPN，其单位矢量n=VPN/|VPN|=(nx, ny, nz)；(2) 取xv轴向为观察方向PREF，其单位矢量u=PREF/|PREF|=(ux, uy, uz)；(3) 取yv轴向的单位矢量v=n×u=(vx, vy, vz)。得到旋转矩阵，因此世界坐标系到观察坐标系的变换矩阵为：C.3 正平行投影（三视图）投影方向垂直于投影平面的投影称为正平行投影，通常所说的三视图均属于正平行投影。三视图的生成就是把xyz坐标系的形体投影到z=0的平面，变换到uvw坐标系。一般还需将三个视图在一个平面上画出，这时就得到下面的变换公式，其中(a, b

15、)为uv坐标系下的值，tx、ty、tz均如图C-3所示。(1) 主视图 u=x+atxv=z+b+tz(2) 俯视图 u=x+atxv=y+bty(3) 侧视图u=y+a+tyv=z+b+tz正轴测：当投影方向不取坐标轴方向，投影平面不垂直于坐标轴时，产生的正投影称为正轴测投影。正轴测投影分类：l 正等测：投影平面与三个坐标轴的交点到坐标原点的距离都相等。沿三个轴线具有相同的变形系数。l 正二测：投影平面与两个坐标轴的交点到坐标原点的距离都相等。沿两个轴线具有相同的变形系数。l 正三测：投影平面与三个坐标轴的交点到坐标原点的距离都不相等。沿三个轴线具有各不相同的变形系数。C.4 斜平行投影投影

16、方向不垂直于投影平面的平行投影被称为斜平行投影。图C-4中z=0的坐标平面为观察平面，点(x, y)为点(x, y, z)在观察平面上的正平行投影坐标，点(x´, y´)为斜投影坐标。(x, y)与(x´, y´)的距离为L。显然，而L的长度依赖于z、，即tg=z/L，L=z/tg，所以 令l1=1/tg，则，由此可得：斜等测投影：l 投影平面与一坐标轴垂直l 投影线与投影平面成45°角l 与投影平面垂直的线投影后长度不变斜二测投影：l 投影平面与一坐标轴垂直l 投影线与投影平面成 arctg(2)角(约63.4 °)l 该轴轴向变形