完整版点集拓扑讲义连通性学习笔记

1、第4章连通性本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质, 包括连通性,局部连通性和弧连 通性,并且涉及某些简单的应用.这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别 一些互不同胚的空间.4.1 连通空间本节重点：掌握连通与不连通的定义；掌握如何证实一个集合的连通与否；掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性.我们先通过直观的方式考察一个例子. 在实数空间R中的两个区间0,1 和1, 2,尽管它们互不相交,但它们的并0, 1 U 1 , 2 = 0, 2 却是一个“整体；而另外两个区间0, 1和1, 2,它们的并0, 1 U 1, 2是明显的两个“局部.产生上述不同情形的原因在于,对于前一 种情形,区间0,

2、1 有一个凝聚点1在1, 2中；而对于后一种情形,两 个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中.我们通过以下的定义,用术语 来区别这两种情形.定义4.1.1 设A和B是拓扑空间X中的两个子集.如果 门4=0那么称子集A和B是隔离的.明显地,定义中的条件等价于 幺门3 = 0和3门1=0同时成立,也就是 说,a与b无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点.应用这一术语我们就可以说,在实数空间 R中,子集0, 1和1, 2 是隔离的,而子集0, 1和1 , 2不是隔离的.又例如,易见,平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的,而在离散空问中任何两个无交的子集都是隔离的.定义4.1.2 设X是一

3、个拓扑空间.如果X中有两个非空的隔离子集 A和 B使得X=AJ B,那么称X是一个不连通空间；否那么,那么称 X是一个连通空间.显然,包含着多于两个点的离散空间是不连通空间,而任何平庸空间都是 连通空间.定理4.1.1 设X是一个拓扑空间.那么以下条件等价：（1） X是一个不连通空间；（2） X中存在着两个非空的闭子集 A和B使得AH B=0和AU B= X成立；（3） X中存在着两个非空的开子集 A和B使得AH B=0和AU B= X成立；（4） X中存在着一个既开又闭的非空真子集.证实 条件1 蕴涵2:设1成立.令A和B是X中的两个非空的 隔离子集使得AU B= X,显然AH B=0 ,并

4、且这时我们有B =BeX =BrAuB = B nZu5 = B因此B是X中的一个闭子集；同理A也是一个X中的一个闭子集.这证实 了集合A和B满足条件2中的要求.条件2蕴涵3 .如果X的子集A和B满足条件2中的要求,所 以A B为闭集,那么由于这时有 A=B和bJ,因此A B也是开集,所以A 和B也满足条件3中的要求.条件3蕴涵4 .如果X的子集A和B满足条件3中的要求,所 以A、B是开集,那么由人=9和8=/易见人和8都是X中的闭集,因此A、B 是X中既开又闭的真: A Bw0, AU B=X ；A、BwX子集,所以条件4 成立.条件4蕴涵1 .设X中有一个既开又闭的非空真子集 A.令B=4

5、.那么 A和B都是X中的非空的闭子集,它们是无交的并且使得 AU B=X易见两个无 交的闭子集必定是隔离的由于闭集的闭包仍为自己.因此1成立.例4.1.1 有理数集Q作为实数空间R的子空间是一个不连通空间.这是 由于对于任何一个无理数 rCR-Q,集合-oo, r AQ=巴 r AQ是子 空间Q中的一个既开又闭的非空真子集.定理4.1.2 实数空间R是一个连通空间.证实 我们用反证法来证实这个定理.假设实数空间R是不连通空间.那么根据定理4.1.1 ,在R中有两个非空闭 集A和B使得AH B=0和AU B= R成立.任意选取aC A和bC B,不失一般性 可设a b.令五=AAa,b,和3=B

6、Aa,b.于是】和W是R中的两个非空闭 集分别包含a和b,并且使得】n且=0和Iu=a, b成立.集合有上界 b,故有上确界,设为彳.由于2是一个闭集,所以3 e N,并且因此可见彳0个拓扑空间莅&,&都具有性质p,蕴涵着积空间元也具有性质p.例如,容易直接证实,如果拓扑空间 苞,耳4都是离散空间平庸空 问,那么积空间XXX:也是离散空间平庸空间,因此我们可以说 拓扑空间的离散性和平庸性都是有限可积性质.根据定理3. 2. 9以及紧随其后的说明可见：假设拓扑空间的某一个性质p是一个拓扑不变性质.为了证实性质p是一个有限可积性质,我们只要 证实任何两个具有性质p的拓扑空间的积空间也是具有性质 p

7、的拓扑空间.定理4.1.9XvX2；r是n个连通空间.那么积空间“1义*2,Xf!也是连通空间.证实 根据前一段中的说明,我们只要对于 n=2的情形加以证实.首先我们指出：如果工二工1用,丁 二修1仍“1e两个点有一个坐标相 同,那么丫/乂：有一个连通子集同时包含x和y不失一般性,设二定义映射k：X XX使得对于任何4 c均有上=了由.由于口品：苞7*1是取常值人的映射,孙.卜X? T X2为何同映射,它们都是连续映射,其中hh分别是 3朝 到第1和第2个坐标空间的 投射.因此,k是一个连续映射.根据定理 4.1.8 , kX?是连通的.此外易 见, M&A喝,因此它同时包含x和y.现在来证实

8、： 为将中任何两个点了 = 可用厂飙仍11*&同时属于X/均的某一个连通子集.这是由于这时假设令可/4 ,那么 根据前段结论,可见有的一个连通子集X同时包含x和z,也有1如 的一个连通子集了2同时包含y和z.由于zJlC% ,因此根据定理4.1.6 , 了1口4是连通的,它同时包含x和y.于是应用定理4.1.7可见12是一个连通空间.由于n维欧氏空间 必是n个实数空间R的笛卡儿积,而实数空间R又是一 个连通空间,所以应用这个定理可见,n维欧氏空间K*是一个连通空间.作业：P116 3. 5. 6. 8. 14. 4.2 连通性的某些简单应用本节重点:掌握实数空间R中的连通子集的“形状掌握实数空

9、间R的子集中常见的连通子集与不连通子集掌握常见的几种空间的同胚与否的事实让我们回忆实数集合R中区间的精确定义：R的子集E称为一个区间,如 果它至少包含两个点,并且如果 a, bCE, ab,那么有a , b=x R|axb UE读者熟知,实数集合R中的区间共有以下9类：-00, , a,引,a, 8, -oo, a,-巴 a a, b , a, b , a, b , a, b由于,一方面以上9类集合中的每一个显然都是区间；另一方面,如果EU R是一个区间,可视E有无上下界,以及在有上下界的情形下视其上下确界是否属于E,而将E归入以上9类之一在定理4. 1. 2中我们证实了实数空间R是一个连通空

10、间.由于区间a, 8, oo, a和a, b都同胚于R 请读者自己写出必要的同胚映射, 所以这些区间也都是连通的；由于口产=0,3,-8 =一-昉 u见?.昉 c -用 u- uSA根据定理 4. 1. 5 可见区间a, 8, -00, a , a , b , a, b和 a , b都是连通的.另一方面,假设E是R的一个子集,并且它包含着不少于两个点.如果E不是一个区间,那么立也就是说,存在acb,使得；从而,假设令A= -00, c n E, B=c, 8PE那么可见A和B都是E的非空开集,并且有AU B=E和AH B=0 ,因此E不连 通.综合以上两个方面,我们已经证实了:定理4.2.1

11、设E是实数空间R的一个子集.E是包含着不少于两个点的 一个连通子集当且仅当E是一个区间.定理4.2.2 设X是一个连通空间,f:X 一R是一个连续映射.那么f(X)是R 中的一个区间.因此,如果x, yCX,那么又t于f(x)与f(y)之间的任何一个实数t (即当 f(x) f(y)时,f(x) t f(y);当 f(y) f(x)时,f(y) t f(x),存在 z C X 使彳4 f(z)=t .证实 这个定理的第一段是定理 4. 1. 8和定理4.2.1的明显推论.以下 证实第二段.设x, yCX.如果f (x) =f (y),那么没有什么要证实的.现在 设f (x) wf (y),并且

12、不失一般性,设f (x) f (y) .由于 f (X)是一个区间,所以f (x) , f (y) Cf (X).因 此对于任何t, f(x) t 中使 得任何x 有rx=-x ,称为对径映射.对径映射是一个连续映射,由于它 是欧氏平面K?到自身的反射l :在单位圆周上的限制.其中,映射l定义为对于任何彳=再 J ,有 l x =-x,容易验证请读者自行验证是一个连续映射.定理4.2.5Borsuk-Ulam 定理 设f: S1-R是一个连续映射.那么在中 存在一对对径点x和-x ,使得fx=f-x.证实略我们已经知道n维欧氏空间炉是连通空间,下面进一步指出：定理4.2.6 n1维欧氏空间 炉

13、的子集髭-0是一个连通子集,其中0=0, 0,0 d证实 我们只证实n = 2的情形.根据定理4. 1. 9,火2中的子集-oo, 0XR和0, oo xr都是连通的.由于Qbx uQbxR-Q匚Q严xR叫xR所以根据定理4. 1. 5, Rn中的子集A= 0,以XR-0是连通的；同理, 子集B=-oo, 0 xr-0是连通的.由于AH BW0以及AU B=用-0,因此根据定理4.1 . 6可见,炉-0是连通的.一般情形的证实类似,请读者自行补证.定理4.2.6可以得到进一步的改善参见习题第 4题定理4.2.7 欧氏平面炉和实数空间R不同胚.证实 假设曾与R同胚,并且设f:必一R是一个同胚.因

14、此对于连续映 射g -Of我们有-户k饮0) .但根据定理4.2.6 , 金.0是连通的, 而根据定理4.2.1 , R-f(0)是不连通的.这与定理4. 1. 8矛盾.定理4.2.7给出了利用拓扑不变性质判定两个空间不同胚的第一个实例.定理4.2.4 ,定理4.2.5和定理4.2.7尽管简单但确有意思,特别是这几 个定理都有高维“版本,我们分别陈述如下：止理4.2.8Brouwer 不动点止理设f 是一一个连续映射,其中.是n维球体.那么存在z D使得f (z) =z.定理 4.2.9Borsuk Ulam定理设 f:S T腔是-个连续映射,其中n?m 那么存在xe*使得f (x) =f (

15、-x).定理4.2.10 如果nwm那么欧氏空间 *和R属不同胚.这些定理的证实 (除去我们已经证实过的情形)一般都需要代数拓扑知识,例如同调论或同伦 论,请参阅有关的专门书籍.作业：P121 4. 4.3 连通分支本节重点：掌握连通分支的定义即连通“类的分法;掌握连通分支的性质定理4.3.1.从前面两节中的内容可以看出,知道一个拓扑空间是否连通给我们处理一 些问题带来很大的方便.这导致我们去考察一个我们并不知道是否连通的拓扑 空间中的“最大连通子集即连通分支.定义4.3.1 设X是一个拓扑空间,x, yCX.如果X中有一个连通子集 同时包含x和y,我们那么称点x和y是连通的.注意：是点连通根

16、据定义可见,如果x, y, z都是拓扑空间X中的点,那么（1） x和x连通由于每一个单点集都是连通子集；2如果x和y连通,那么y和x也连通；显然3如果x和y连通,并且y和z连通,那么x和z连通.这是由于, 这时存在X中的连通子集A和B使得x, yCA和y, zCB.从而由于yCAAB 可见AUB连通,并且x, zC AU B.因止匕x和z连通.以上结论归结为：拓扑空间中点的连通关系是一个等价关系.定义4.3.2 设X是一个拓扑空间.对于X中的点的连通关系而言的每一 个等价类称为拓扑空间X的一个连通分支.如果Y是拓扑空间X的一个子集.Y作为X的子空间的每一个连通分支称 为X的子集Y的一个连通分支

17、.拓扑空间X* 0的每一个连通分支都不是空集；X的不同的连通分支无交； 以及X的所有连通分支之并便是 X本身.止匕外,x, yCX属于X的同一个连通 分支当且仅当x和y连通.拓扑空间X的子集A中的两个点x和y属于A的同一个连通分支当且仅当 A有一个连通子集同时包含点x和y.定理4.3.1 设X是一个拓扑空间,C是拓扑空间X的一个连通分支.那么 1如果y是X的一个连通子集,并且yncw0,=YuC；（2） C是一一个连通子集；（3） C是一一个闭集.本定理中的条件1和2说明,拓扑空间的每一个连通分支都是 X的 一个最大的连通子集.证实1任意选取x YA C,对于任何yCY由于x和y连通,故y C

18、 C.这 证实Y_C.2对于任何x, yCC,根据定义可见,存在 X的一个连通子集期使得 x, yC % .显然与 ACW 0 ,故根据1 , 4 U C.应用定理4. 1. 7可知, C是连通的.3由于C连通,根据定理4. 1, 5, 0连通.显然,= .所 以根据1, C匚=0己.从而c是一个闭集.但是,一般说来连通分支可以不是开集.例如考虑有理数集 Q 作为实数 空间R的子空间.设x, yCQ xwy.不失一般性,设xy.如果Q的一个 子集E同时包含x和y,令A=-00, r C E和B=r , A E,其中r是任何一 个无理数,xry,此时易见A和B都是Q的非空开集,并且E= AU B

19、.因此 E不连通.以上论述说明E中任何一个包含着多于两个点的集合都是不连通的,也就是说,Q的连通分支都是单点集.然而易见 Q中的每一个单点集都不是开 集.记住这个事实：任一个集合A都可以由含于它内部的所有连通分支的并而 成(且这些连通分支互不相交).即使是离散空间,它的每一个点自成连通分支 这个结论也成立.作业：P123 1.3.4. 8. 4,4 局部连通空间本节重点：掌握局部连通的定义与性质(定理4.4.1-4.4.3);掌握连通与局部连通的关系.引进新的概念之前,我们先来考察一个例子.例 4.4.1在欧氏平面 K 中令 S=(x,sin(1/x)|x (0,1.T=0 X-1,1,其中S

20、被称作拓扑学家的正弦曲线,它是区间(0, 1在一个 连续映射下的象,因此是连通的.止匕外,也容易验证M=SUT,因此M = SUT也是连通的.尽管如此,倘假设我们查看杭中的点,容易发现它们明显地分为两类：S中的每一个点的任何一个“较小的邻域中 都包含着一个连通的邻域,而T中的每一个点的任何一个邻域都是不连通的.我们用以下的术语将这两个类型的点区别开来.定义4.4.1设X是一个拓扑空间,xCX.如果x的每一个邻域U中都包含着x的某一个连通的邻域V,那么称拓扑空间X在点x处是局部连通的.如果拓扑空间X在它的每一个点处都是局部连通的,那么称X是一个局部连 通空间.回到例4.4.1中所定义的拓扑空间S

21、.容易证实,用在其属于s的每一个 点处是局部连通的,而在其属于 T的每一个点处都不是局部连通的.也因此, 尽管虬是一个连通空间,但它却不是一个局部连通的空间.局部连通的拓扑空间也不必是连通的.例如,每一个离散空间都是局部连 通空间,但包含着多于两个点的离散空间却不是连通空间.又例如,n维欧氏空间片的任何一个开子空间都是局部连通的这是由于每一个球形邻域都同胚 于整个欧氏空间片,因而是连通的,特别,欧氏空间K*本身是局部连通的.另 一方面,欧氏空间中由两个无交的非空开集的并作为子空间就一定不是连通 的请读者自己证实.此外根据定义立即可见：拓扑空间X在点xCX处是局部连通的当且仅当x 的所有连通邻域

22、构成点x处的一个邻域基,定理4.4.1 设X是一个拓扑空间.那么以下条件等价：（1） X是一个局部连通空间；（2） X的任何一个开集的任何一个连通分支都是开集；（3） X有一个基,它的每一个元素都是连通的.证实1蕴涵2.设c是x的一个连通分支,Cc!7e0 如果xec, 由于U是x的一个邻域,所以当1成立时x有一个连通邻域V包含于U.又 由于vnc包含着点x,所以不是空集,根据定理 4. 3. 1可见uC .因此 CC I .这证实C是属于它的任何一个点x的邻域,因此C是一个开集.条件(2)蕴涵(3) .假设(2)成立,那么X的所有开集的所有连通分支(它 们都是开集)构成的集族,由于每一个集合

23、是它的所有连通分支之并,恰是X的一个基.条件(3)蕴涵(1).显然.我们常用到定理4.4.1的一个推论：局部连通空间的每一个连通分支都是 开集.定理4.4.2 设X和Y都是拓扑空间,其中X是局部连通的.又设f:X -Y 是一个连续开映射.那么f (X)是一个局部连通空间.证实 根据定理4.4.1 ,可设B是X的一个基,其中的每一个元素都是连 通的.对于每一个BC B,集合f(B)是连通的,并且由于f是一个开映射,f (B) 是Y中的一个开集,因此也是f(X)的一个开集.这证实集族B1=f (B) |B B 是一个由f (X)的连通开集构成的族.我们指出 B1是f(X)的一个基,这是因 为,如果

24、u是f(X)中的一个开集,那么 11 (U)是X中的一个开集,因此%】=六广是B1中某些元素之并.于是根据定理 4.4.1可知f (X)是局部连通的.根据定理4.4.2易见,拓扑空间的局部连通性是一个拓扑不变性质 .定理4.4.3设比1,“?,4 是n?l个局部连通空间.那么积空间上1 X莅X也是局部连通空间证实(略)应用这些定理,有些事情说起来就会简单得多.例如,实数空间 R由于所 有的开区间构成它的一个基,所以它是局部连通的； n维欧氏空间贽是n个R 的积空间,所以它也是局部连通的.当然这些事情我们早就知道了.作业:P127 1.2.3. 4.5 道路连通空间较之于连通空间的概念,道路连通

25、空间这个概念似觉更符合我们的直觉因 而易于理解些.我们先定义“道路.定义4.5.1 设X是一个拓扑空间.从单位闭区间0, 1 一 X的每一个连 续映射f:0 , 1 一X叫做X中的一条道路,并且此时f(0)和f(1)分别称为道 路f的起点和终点.当x = f (0)和y = f (1)时,称f是X中从x到y的一 条道路.起点和终点相同的道路称为闭路,并且这时,它的起点(也是它的终 点)称为闭路的基点.如果f是X中的一条道路,那么道路f的象集f(0 , l)称为X中的一条曲 线或弧,并且这时道路f的起点和终点也分别称为曲线f(0,1)的起点和终 点.或许应当提醒读者,“道路这个词在这里所表达的意

26、思已经与我们对它 原有的理解颇有不同,希望读者不要因此而混淆了我们在这里严格定义的道路 和曲线这两个不同的概念.定义4.5.2 设X是一个拓扑空间.如果对于任何 x, y,存在着X中的一 条从x到y的道路(或曲线),我们那么称 X是一个道路连通空间.X中的一个 子集Y称为X中的一个道路连通子集,如果它作为X的子空间是一个道路连通 空间.(Y是否道路连通与X是否道路连通没有关系)实数空间R是道路连通的.这是由于如果x,yCR,那么连续映射f:0 ,1-R 定义为对于任何t 0,1有f(t)=x+t(y-x),便是R中的一条以x为起点以y 为终点的道路、也容易验证任何一个区间都是道路连通的.定理4

27、.5.1 如果拓扑空间X是一个道路连通空间,那么 X必然是一个连通 空间.证实 对于任何x, yCX,由于X道路连通,故存在从x到y的一条道路 f：0 , l 一X这时曲线f (0,1),作为连通空间0, 1在连续映射下的象, 是X中的一个连通子集,并且我们有x, yCf (0,1).因此根据定理4.1.7 可见X是一个连通空间.连通空间可以不是道路连通的.我们已经指出例4. 4. 1中的机是一个连通空间.不难证实(留作习题,见习题第 3题)它不是道路连通的.道路连通与局部连通之间更没有必然的蕴涵关系、例如离散空间都是局部 连通的,然而包含着多于两个点的离散空间不是连通空间,当然也就不是道路

28、连通空间了.定理4.5.2 设X和Y是两个拓扑空间,其中X是道路连通的,f:X 一Y是 一个连续映射.那么f (X)是道路连通的.证实 设几内水也声齿“加). 由于X是道路连通 的,故X中有从11到工的一条道路g： 0 , 1 一X.易见,映射h： 0 , 1 一f(X), 定义为对于任意tC0, 1有h (t) =f o g (t),是f (X)中从“到办的一条 道路.这证实f (X)是道路连通的.根据定理4.5.2可见,空间的道路连通性是一个拓扑不变性质,也是一个可商性质.定理4.5.3 设几为,&是n?l个道路连通空间.那么积空间乂1巾也是道路连通空间.证实 我们只需要对n= 2的情形加

29、以证实.设(孙访),厂81伪)乃1为对于i=l , 2,由于X是道路连通空间, 故在4中有从1i到Z的一条道路,：0 , 1 一 4 .定义映射 f ： 0 , 1“17,使得对于任何te0, 1有f (t)=( ;.) .容易验证 (应用定理3.2.7 )f是连续的,并且有f(0)=x,f(1)=y .这也就是说f是3乂% 中从x到y的一条道路.这证实 X/Xj是一个道路连通空间.作为定理4.5.3的一个直接的推论立即可见：n维欧氏空间K*是一个道路 连通空间.(这个结论也容易直接验证.)为了今后的需要我们证实以下引理,定理4.5.4粘结引理设A和B是拓扑空间X中的两个开集(闭集), 并且有

30、X= AU B.又设Y是一个拓扑空间, J；: ACY和BfY是两个连续 映射,满足条件：A ki= Li定义映射f:X -Y使得对于任何xX, f/i W j Ef (x) xwB那么f是一个连续映射.证实 首先注意,由于 广力Lm,映射f的定义是确切的.由于当 xCAAB 时, 有工.其次,我们有：对于Y的任何一个子集Z有/F(Z)引(Z)这是由于,：.；一；现在设U是Y的一个开集.由于/者B连续,所以工.),4分别 是A和B的开集.然而A和B都是X的开集,所以 工、也都是X的 开集.因此广是x的一个开集.这便证实了 f是一个连 续映射.当A和B都是X的闭集时,证实是完全类似的.我们现在按

31、建立连通分支概念完全类似的方式建立道路连通分支的概念.定义4.5.3 设X是一个拓扑空间,x, yCX.如果X中有一条从x至U y 的道路,我们那么称点x和y是道路连通的.(注意：是“点道路连通)根据定义可见,如果x, y, z都是拓扑空间X中的点,那么(1) x和x道路连通；(由于取常值的映射 f: 0 , 1 一X(它必然是连 续的)便是一条从x到x的道路.)(2)如果x和y连通,那么y和x也连通；(设f:0 ,1 一X是X中从x到 y的一条道路.定义映射j ： 0 , l -X,使得对于任何t C0, 1有j (t)= f (1-t).容易验证j是一条从y到x的道路.)(3)如果x和y连通,并且y和z连通,那么x和z连通.(设工/ : 0 ,1 f 分别是X中从x至1J y和从y到z的道路.定义映射f:0 , 1 一X使得对 于任何t 0 , l, xeBo 乂匚B oYxgSnxg上相等 4二 go 幺uBaBu乂；(2)证实连续映射：反射开集、闭集、邻域；(3)证实开集：定理2.3.1 .在连续映射下,是否是开集的原象；(4)证实基：定义及定理2.6.2 ;(5)证实凝聚点；XEdO叩W0证实不是凝聚点：1 -1-1-二.,一 “二 二一 证实闭包：工.A OVU4月cA. 0 ；(6)证实序列收敛于x,用定义；证实序列收敛,用反证法；(7)证实连通