等差数列及其前n项和讲义

1、等差数列及其前n项和一、等差数列的相关概念（一）等差数列的定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。利用：“ (为常数)”判断一个数列是否是等差数列。注意：（1）如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项起或第4项起，那么此数列不是等差数列；（2）等差数列要求这个常数必须相同；（3）公差： (n2)；（4）当0时，数列为常数数列；当0，数列为递增数列；当0，数列为递减数列；（5）公差必须为后一项减前一项，不能颠倒。（二）、等差数列的通项公式如果等差数列的首项为，公差为，那么它的通项公式是(n1)，或者通项公式的变形：

2、(nm) 。（三）、等差中项：（1）由三个数，A，b组成的等差数列，A叫做和b的等差中项，则2Ab；（2）若在一个等差数列中，除去首项和末项以外，每一项都是它前一项与后一项的等差中项，即2。（3） 特别地：在ABC中，A、B、C成等差数列，则B600。例1：已知数列为等差数列，则_。【基本量法】【解析】.变式练习1：若等差数列的公差0，且，是关于x的方程x2x0的两根，求数列的通项公式。【解】由题意知解得 an2n.变式练习2：（1）方程x26x10的两根的等差中项为_。（2）等差数列中，前三项依次为，则公差_.【解析】(1)设方程两根为x1、x2，则x1x26，所以其等差中项为3.(2)由2

3、得x2，故知等差数列an的首项为，公差d.变式练习3：等差数列中，若20，则()A：40B：30C：25D：20【解析】选B.因为4da7a320，所以d5，于是a2017a20116d6530.二、等差数列的性质1、0，是递增数列； 0， 是常数列； 0， 是递减数列。2、公差(m、nN) 3、若pqmn，则 m、n、p、qN；特别地：k，则2(角标公式)例2：在公差为的等差数列中，（1）若48，则_。（2）若34， 52，则_。【解析】：（1）a1312.（2）或d3或d3.变式练习1：已知等差数列中，1，则_。【解析】：变式练习2：（1）在等差数列中15，4，则()A：10B：11 C：

4、12 D：9【解析】B（2）在等差数列中，若10，则()A：30B：40 C：50 D：60【解析】C变式练习3：在等差数列中，4，则()A：10B：20C：40D：2log25【解析】a1a2a105(a5a6)5420，从而log2(2a12a22a10)log222020.变式练习4：在等差数列中，若80，则的值为()A：4B：6C：8D：10【解析】选C.因为a2a4a6a8a105a680，所以a616.所以(2) ()8三、等差数列前n项和Sn1、公式：n； 由前n项和公式得：An2BnC，则成等差数列的充要条件是C0。2、性质：（1）、在等差数列中，则，成等差数列。例3：设为等差

5、数列的前n项和，若3，27，则该数列的首项等于()A： B： C： D：【解析】：由a1+2d=3,9a1+36d-(6a1+15d)=27,得a1+2d=3,a1+7d=9,解得a1=35.故选D.变式练习1：在等差数列中，已知，求数列的通项公式。【解析】： 4n12变式练习2：九章算术有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十一尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，问第十日织尺数为（ ）A：6 B：9 C：12 D：15【解析】：21，则15变式练习3：已知数列为等差数列，前30项的和为50，前50项的和为30，求前80项的和。【解析】：解：设， 解得 注：等差数列有如下性质

6、：若则。例4：在等差数列中，已知，那么它的前8项之和等于 （ ）A：12 B： 24 C：36 D： 48 【解析】： D变式练习1：已知等差数列中，那么（ ）A：390B：195C：180D：120【解析】：C变式练习2：在等差数列中，20，则_。【解析】820变式练习3：已知在等差数列中，、是方程x26x100的根，则（）A：41 B：51 C：61 D：68【解析】：B变式练习4：已知等差数列的公差，那么（）A：80B：120 C：135D：160【解析】：B例5：等差数列的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为( )A：130 B：170 C：210 D：260

7、【解析】：C变式练习1：设是等差数列的前n项和，若，则 ( )A： B： C： D：【解析】：A变式练习2：等差数列的前n项和为，若9，36，则（）A63 B45 C36 D27【解析】：B变式练习3：等差数列共有项，若前项的和为200，前项的和为225，则中间项的和为 （ ）A：50 B：75 C： 100 D： 125【解析】：B四、等差数列前n项和的最值1、等差数列前n项和n() 上式可变成：An2Bn。 当d0时，数列，的图象是抛物线上的一群弧立点。2、等差数列前n项和的最值：（1）利用二次函数图象的性质；（2）当0，d0时，由0，0，则为最大值；（3）0，d0时，由0，0，则为最小值

8、。例6：在等差数列中，25，S17S9，求Sn的最大值。【解析】：方法一： S17S9得：2517259得：d2， Sn25n(n13)2169 当n13时，Sn有最大值169。方法二：同法一先求出d2， a1250由 得 当n13时，Sn有最大值169。变式练习1：在等差数列中，0，S4S9，则Sn取最大时，n_。【解析】：6或7变式练习2：在等差数列中，前n项和为，若11，6，则当取最小值时，n（ ）。A：6 B：7 C：8 D：9【解析】： A变式练习3：在等差数列中，前n项和为，若0，0，当Sn取最大值时，n（ ）。A：16 B：8 C：9 D：10 【解析】：得得故 B例7：已知数列

9、是等差数列，4，14，则计算的值。【解析】： an103n0，n3，当n3时，an0，当n4时，an0a1a2an1an课 后 综 合 练 习1、在数列an中，a12，2an12an1(nN)，则a101的值（ ）A：49 B：50 C：51 D：52【解析】：D2、在等差数列an中首项为70，公差为9，则这个数列中绝对值最小的一项为（ ）A：a8 B：a9 C：a10 D：a11【解析】：B3、在等差数列an中，a25，a6a46，则a1等于（ ）A：9 B：8 C：7 D：4【解析】：B4、已知数列an为等差数列，且a1a7a13，则tan(a2a12)的值为（ ）A： B： C： D：【

10、解析】：B5、在等差数列an中，首项为a10，公差d0，若aka1a2a3a4a5a6a7，则k的值是（ ）A：21 B：22 C：23 D：24 【解析】：B6、已知等差数列 an 的公差为1，且a1a2a3a9999，则a3a6a9a96a99（ ）A：99 B：66 C：33 D：0【解析】：B7、已知数列为等差数列且4，则cos()的值为()A：B：C：D： 【解析】选D8、在等差数列中，39，33，则的值为()A：30B：27C：24D：21【解析】选B.令b1a1a4a739，b2a2a5a833，b3a3a6a9，因为an成等差数列，所以b1，b2，b3成等差数列，所以a3a6a9b3b2(b2b1)2b2b127.9、等差数列的前n项和为，若2，8，则等于_。【解析】：1410、在等差数列中，若S41，S84，则a17a18a19a20_。【解析】：911、在等差数列中，则_。【解析】： 1012、设等差数列满足1，公差(1，0)，当且仅当n9时，数列的前n项和取得最大值，求该数列首