电磁场第一张.

1、1 按物理量的性质按物理量的性质 标量场标量场 物理量为标量（电位场物理量为标量（电位场) ) 矢量场矢量场 物理量为矢量（电场、磁场物理量为矢量（电场、磁场)场概念的引入：场概念的引入：广义而言，场是指某种广义而言，场是指某种物理量在空间的分布物理量在空间的分布，这种这种分布还可能随时间变化分布还可能随时间变化，即为，即为时空坐标的函数时空坐标的函数。 按物理量变化特性按物理量变化特性 静态场静态场 物理量不随时间的变化而变化物理量不随时间的变化而变化 时变场（动态场）时变场（动态场） 物理量随时间的变化而变化物理量随时间的变化而变化 场的分类：场的分类：静态标量场静态标量场:u=u(x,y

2、,z)，时变标量场，时变标量场:u=u(x,y,z,t)静态矢量场：静态矢量场： ；时变矢量场：；时变矢量场：),(zyxAA ),(tzyxAA 第章第章 矢量分析矢量分析21.11.1、 矢量代数矢量代数 标量与矢量标量与矢量 标量：只有大小，没有方向的物理量（温度，高度等）标量：只有大小，没有方向的物理量（温度，高度等） 矢量：既有大小，又有方向的物理量（力，电、磁场强度）矢量：既有大小，又有方向的物理量（力，电、磁场强度） 矢量的表示方式矢量的表示方式注：矢量书写时，注：矢量书写时，印刷体印刷体为场量符号加粗，如为场量符号加粗，如 。教材上符。教材上符号即为印刷体。号即为印刷体。D矢量

3、可表示为：矢量可表示为： 其中其中 为其为其模值模值，表征矢量的，表征矢量的大小大小； 为其为其单位矢量单位矢量，表征矢量的，表征矢量的方向方向；AA AeAAe3 矢量的运算矢量的运算一、矢量加法和减法：一、矢量加法和减法：1 、矢量加法：、矢量加法：在直角坐标系中：在直角坐标系中：zzyyxxAeAeAeA zzyyxxBeBeBeB )()()(zzzyyyxxxBAeBAeBAeBA yxozAB42 、矢量减法：、矢量减法：)()()()(zzzyyyxxxBAeBAeBAeBABA在直角坐标系中：在直角坐标系中：二、矢量的乘积：二、矢量的乘积：1 、标量积或、标量积或点点积：积：)

4、,cos(BABABA标量标量积服从乘法交换律和分配律：标量积服从乘法交换律和分配律：ABBACABACBA)(AB5坐标单位矢量的点积：坐标单位矢量的点积：1zzyyxxeeeeee0 xzzyyxeeeeee点积用矢量的分量表示的表达式为：点积用矢量的分量表示的表达式为：zzyyxxBABABABAzzyyxxAeAeAeAzzyyxxBeBeBeB62 、矢量积或叉积：),sin(BAABBABA大小方向BA BA 、满足右手螺旋定则平行四边形面积矢量矢量坐标单位矢量的矢量积：坐标单位矢量的矢量积：0zzyyxxyxzxzyzyxeeeeeeeeeeeeeee7在直角坐标系中，矢量积的表

5、达式为：在直角坐标系中，矢量积的表达式为：zyxzyxzyxBBBAAAeeeBA矢量积不服从交换律，但服从分配律：矢量积不服从交换律，但服从分配律：CABACBAABBA)(AB)()()(xyyxzzxxzyyzzyxBABAeBABAeBABAe8一、矢量的通量：一、矢量的通量：1 、矢量场的矢量线：、矢量场的矢量线： 常用带方向常用带方向( (箭头箭头) )的场线来形象地表示矢量场在空的场线来形象地表示矢量场在空间的分布情况间的分布情况. .那么那么, ,这些场线就称为这些场线就称为矢量线矢量线或或流线流线. . 线上每一点的切线方向代表该点的线上每一点的切线方向代表该点的矢量场的方矢

6、量场的方向向；线的疏密程度就表示该点的；线的疏密程度就表示该点的矢量场的大小矢量场的大小. . 如点电荷产生的电场中的电力线如点电荷产生的电场中的电力线. .1. 矢量场的矢量场的散散度度92 、矢量线的、矢量线的微分方程微分方程： 在直角坐标系中在直角坐标系中,设某一矢量函数设某一矢量函数 为：为：A),(),(),(),(zyxAezyxAezyxAezyxAAzzyyxx 由定义由定义:矢量线上任一点的切向长度元矢量线上任一点的切向长度元 与与该点的矢量场该点的矢量场 平行平行.Al d则则0ldAzzyyxxAeAeAeA 而dzedyedxel d zyx0dzdydxAAAeeel

7、dA 1)4(1 zyxzyx可写成zyxAdzAdyAdx 即求出通解，就可求出通解，就可画出矢量线。画出矢量线。103 、矢量的、矢量的通量通量：ASddSeSdn（1-4-3）q 方向的确定：方向的确定：ne 是是开表面开表面的面元，而开表面的边界为闭合曲线的面元，而开表面的边界为闭合曲线 C，选定选定 C 的绕行方向，则由右手螺旋定则，四指指向的绕行方向，则由右手螺旋定则，四指指向 C 的的绕行方向，大拇指指向绕行方向，大拇指指向 的方向，也即的方向，也即 方向。方向。SdSdneneSd 是是闭合面闭合面的面元，则的面元，则 为该闭合面的为该闭合面的外法线外法线方向。方向。 ndSA

8、SdA cos面元足够小，视其上的面元足够小，视其上的A为常数为常数穿过穿过 的通量的通量ASd有向面元有向面元11 记作记作:dSASdAdcosASd矢量场矢量场 的通量为的通量为标量标量,其正、负其正、负与面元与面元 的的 取向有关。取向有关。Aneq 穿过面积穿过面积 S 的通量为：的通量为： 若若S为开表面，则穿过曲面为开表面，则穿过曲面 S的通量为：的通量为： SSnSSdSAdSeASdAdcos 若若S为闭合面，则穿出为闭合面，则穿出 S的通量为：的通量为：SnSSdSeASdAd（1-4-5）（1-4-6）12 讨论讨论: S: S为闭合面为闭合面 S S内没有内没有净源净源

9、. . :0 S S内必有吸收通量线的源内必有吸收通量线的源 负源负源:0 S S内必有发出通量线的源内必有发出通量线的源 正源正源:0 SnSSdSeASdAd13二、矢量场的散度二、矢量场的散度 、散度的定义、散度的定义v 散度的意义：表示场中任意一点散度的意义：表示场中任意一点M处，处，通通量对体积的变化率量对体积的变化率。也称为。也称为 “通量源密度通量源密度”。 假设空间矢量场假设空间矢量场A中有一点中有一点M，围绕点围绕点M处作闭合曲面处作闭合曲面S，限，限定的体积为定的体积为 ，那么穿过闭合曲面的矢量场的通量除以体积，那么穿过闭合曲面的矢量场的通量除以体积 为为 SASd SSA

10、Adivdlim0 为为 内的平均发散量。令内的平均发散量。令 0，就得到，就得到矢量场矢量场A在在M点的发散量或散度点的发散量或散度，记作：，记作： ，即：，即： Adiv 14v 讨论：讨论：Adiv0：该该点点有发出通量线的有发出通量线的正源正源；Adiv0：该该点点有吸收通量线的有吸收通量线的负源负源；Adiv0： 该该点点无通量无通量源。源。散度是标量。散度是标量。AdivSSdA0lim152 、散度在直角坐标系中的表示式：、散度在直角坐标系中的表示式：zAyAxAAdizyxv即即AAdi v)()(zzyyxxzyxAeAeAezeyexeAdiv矢量微分算子矢量微分算子 ：“

11、 ”zeyexezyx 165 、高斯散度定理：高斯散度定理： 散度定理把一个散度定理把一个体积分体积分变换成一个变换成一个闭合面积分闭合面积分。 证明：证明：任取一体积任取一体积 ，其相应的闭合表面为，其相应的闭合表面为 S。现将体积元现将体积元 分成分成N个体积元：个体积元：Ni,21 对任一体积元对任一体积元而言 i SddSAA 17iiiiiSddSdAAiii00limlim即即iSiASdAii)(lim0 同理：对同理：对 相邻的体积元相邻的体积元 jijSjASdAjj)(lim0 从从 、 组成的体积中穿出的通量为组成的体积中穿出的通量为：jijijiAAji)(lim)(

12、lim00jiSSSdASdA18 相邻两个体积元有一个相邻两个体积元有一个公共表面公共表面，而公共，而公共表面上的通量对这两个体积元来说，其表面上的通量对这两个体积元来说，其 方向方向恰好相反，故恰好相反，故求和时相互抵消求和时相互抵消。结果，上式右边。结果，上式右边的积分只剩下的积分只剩下 、 外表面上的通量外表面上的通量，因，因此，当体积此，当体积 由由N 个小体积元组成时，穿出体积个小体积元组成时，穿出体积 的通量就等于限定它的闭合面的通量就等于限定它的闭合面 S 上的通量。上的通量。nij NiSNiijiSdAA110)(lim即即SSdAdA)(证毕证毕19例：长方体区域由例：长

13、方体区域由0,3z 0,2;y x; 1 ,0六个面组成，设其内矢量场六个面组成，设其内矢量场yxexexyA22 试就此验证散度定理的有效性。试就此验证散度定理的有效性。解：解：由题意知由题意知A矢量为二维矢量，且和矢量为二维矢量，且和3, 0 zz的表面的表面平行，因此只需要计算其余表面的通量。平行，因此只需要计算其余表面的通量。12 edxdzAedxdzA edydzAedydzASdA yyyyxxxxs 30102301003020130200)()()()()()()()(yoz20又因又因yzAyAxAAzyx2yxexexyA22 于是体积分于是体积分122230203020

14、10 ydydzydxdydzdVAV以上计算表明：以上计算表明：散度定理成立散度定理成立。yoz21例：球面例：球面 S 上任意点的位置矢量为上任意点的位置矢量为 , zeyexeAzyx求求.SSdA解：根据散度定理解：根据散度定理SSdAdA3zAyAxA A A zyx的散度为而.4343333RRddASdA S221.3 矢量场的旋度矢量场的旋度一、矢量的环量：1 、定义：、定义：CCdlAldAcos在矢量在矢量 的场中，矢的场中，矢量量 沿某一闭合路径沿某一闭合路径的线积分，称为该矢量的线积分，称为该矢量沿此闭合路径的环量。沿此闭合路径的环量。AA环量是一个标量；可正、可负。x

15、yzcAl d (a) 有散场 (b) 旋涡源 矢量线形态 23对环量的解析对环量的解析：由环量的公式(1-6-1)可见，环量是一个代数量代数量（标量），它的大小和正负不仅与矢量场与矢量场A的分布有关的分布有关，而且与所取的积分环绕方向有关与所取的积分环绕方向有关。环量的物理意义是随矢量所代表的场而定的，如果A是作用在物体上的重力场，则物体在重力场中环绕某一闭合环路C移动一圈后所作的功就是引力场的环量，将来我们会学到电场强度的环量是围绕闭合路径电场强度的环量是围绕闭合路径的电动势。的电动势。xyzcAl d242 、有旋场、有旋场、无旋场无旋场（保守场）：（保守场）： 在某一矢量在某一矢量 的

16、场中，的场中，矢量矢量 沿沿任意任意闭合路径的线闭合路径的线积分，恒等于零，则该矢量场积分，恒等于零，则该矢量场为为无旋场无旋场；反之，为；反之，为有旋场有旋场。AA二、旋度：二、旋度：1 、环流密度：、环流密度：v 在矢量场在矢量场 中来研究其中来研究其 M点的性点的性质，取包含此点的一个面元质，取包含此点的一个面元 ，其，其边界为边界为 C，保持面元，保持面元 的的 方向不方向不变，而变，而 以以任意方式任意方式趋近于零。则趋近于零。则ASSSneSldACS0lim环流密度环流密度环量环量AA线线l dM环量面密度环量面密度25v 讨论：讨论：neA AS 与与 的边界的边界 C 保持一

17、致，保持一致，CldAmax取最大值取最大值l d AAl dM 与与 有一夹角有一夹角 （不垂直），则（不垂直），则Ane CldAmaxne A Cl dA0v 当当 且且 时，时，环流密度有最大值环流密度有最大值，此即，此即被称为被称为 的的旋度旋度大小；大小； 的方向就称为的方向就称为 旋度旋度的方向。的方向。neA nA与与 不在同一平面上不在同一平面上ASAl d A262、旋度的定义：、旋度的定义：矢量矢量 的旋度的旋度。记作。记作ArotA故故即即SdArotldAC方方向向上上的的投投影影在在面面元元矢矢量量是是nne Arot Arot任意方向的环流密度任意方向的环流密度n

18、nCSeArotASl dA rotlim027 、旋度的物理意义、旋度的物理意义 旋度的计算旋度的计算 矢量的旋度为矢量的旋度为矢量矢量，是空间坐标的函数；，是空间坐标的函数； 矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度漩涡源密度； 在直角坐标系下：在直角坐标系下：)()()(yAxAexAzAezAyAeArot xyzzxyyzxA)()(zzyyxxzyxAeAeAezeyexe故故zyxzyxAAAzyxeeeAArot28例：求矢量场例：求矢量场 在在点点 M（1，0，1）处的旋度及沿）处的旋度及沿)()()(xyzezxyeyz

19、xeAzyxzyxeeel362方向的方向的环流密度环流密度。解：矢量场解：矢量场 的旋度的旋度A)()()(xyzzxyyzxzyxeeeAzyx)()()(xyezxeyzezyx在点在点 M（1，0，1）处的旋度）处的旋度zyxMeeeA229方向的单位矢量 l)362(3621222zyxleeellezyxeee737672在点 M（1，0，1）处沿 方向的环流密度7177327672lMeAl30旋度的散度旋度的散度恒恒等于零。等于零。证明：证明：)()(AArotdiv 旋度与散度的定义都与坐标系无关。旋度与散度的定义都与坐标系无关。0)(A 应用：应用：AB B 0若 对于一个

20、散度为对于一个散度为0 0的矢量场，可以将的矢量场，可以将其表示为一个矢量的旋度。其表示为一个矢量的旋度。 三、矢量场旋度的重要性质)()()()(yAxAexAzAezAyAezeyexexyzzxyyzxzyx0)()()(yAxAzxAzAyzAyAxxyzxyz31斯托克斯定理：斯托克斯定理：SCSdAldA证明：证明：将将 S 分成许多面元分成许多面元,21iSSS其相应面元的边界为其相应面元的边界为iCCC,21对每一个面元对每一个面元 ，其边界，其边界 的环绕方向的环绕方向均取与大回路均取与大回路 C一致的环绕方向。一致的环绕方向。iSiC则：相邻两面元则：相邻两面元 、 的边界

21、的边界 、 在公共边界上的积分等值异号，相互抵消。在公共边界上的积分等值异号，相互抵消。iSjSiCjCiCjC3221CCCldAldAldA 又又11SdArotldAC22SdArotldAC故故21SdArotSdArotl dA CSCSdAl dA证毕证毕33例例1.4 已知已知 。现有一个在。现有一个在 面内的面内的闭合路径闭合路径C，此闭合路径由，此闭合路径由 和和 之间的一段抛物之间的一段抛物线线 和两段平行于坐标轴的直线组成，如图所示。和两段平行于坐标轴的直线组成，如图所示。 22,yxxyxyxe ee eA Ayx0 , 02, 2xy 2求：（求：（1 1）矢量场的）

22、矢量场的A A旋度；旋度； （2 2）计算环流）计算环流 。积分区域。积分区域为如图所示的闭合路径为如图所示的闭合路径C C； （3 3）验证斯托克斯定理。）验证斯托克斯定理。 ClAd34解 （1） 2220yyxxzyxzzyxe ee ee ee eA A（2） yyxxxyxyxxyxyxddddd2222e ee ee ee eA Al222022200222003335/20022,/(2),/ 222233358215Cxydydxxy dyxdxxxxxyyxxxyxx2利用y消去一个自变量有ddddA Al35（3） 斯托克斯定理成立。 dxdyydxdyeyeSdAzz22

23、 2158532)2()(205203202220222 yydyyydyydxSdAys因为S在xoy平面内，361.4 标量场的梯度标量场的梯度1.4.1 1.4.1 等值面（线）等值面（线） 由所有场值相等的点所构成的面由所有场值相等的点所构成的面( (线线) )，即为等值面，即为等值面( (线线) )。即。即若标量函数为若标量函数为 ，则等值面方程为：，则等值面方程为： ( , , )uu x y zN1.4.2 1.4.2 标量场的梯度标量场的梯度下面由函数定义梯度。设有一标量场下面由函数定义梯度。设有一标量场，若从场中某一，若从场中某一点位移到另一点，标量函数点位移到另一点，标量函

24、数将变化到将变化到,在直角坐标系内，在直角坐标系内，增量增量可表示为可表示为dzzudyyudxxudu又线元矢量又线元矢量dzedyedxel dzyx于是于是可以表示为可以表示为l duduconstczyxu),(),(zyxuuduu duduuPMleneduu xyzuuuueeexyz 37 标量场的梯度为一标量场的梯度为一矢量矢量，且是坐标位置的函数，且是坐标位置的函数 标量场的梯度表征空间某点处场的变化规律：标量场的梯度表征空间某点处场的变化规律：方向为标方向为标量场增加最快的方向量场增加最快的方向（垂直于等值面垂直于等值面），），幅度表示标量场的幅度表示标量场的最大增加率最

25、大增加率 梯度的性质梯度的性质矢量矢量称为标量场称为标量场的的梯度梯度，也可用，也可用gradu表示表示zueyuexueugraduzyxuuuPMleneduu ldudu381.4.3 1.4.3 标量场的方向导数标量场的方向导数luduu dlu eldldl llel也就是说，也就是说，u沿某个方向的方向导数等于沿某个方向的方向导数等于u的梯度在这个方的梯度在这个方向的投影。向的投影。其中其中 为为 沿沿 方向的变化率，称为标量场方向的变化率，称为标量场 沿沿 方向方向的方向导数。的方向导数。luuldul39例：例：,)()()(222zzyyxxR试证明试证明)1()1(RR x

26、yzeeexyz yxoz),(zyxM),(zyxMrrrrR其中其中表示对场点表示对场点(x,y,z)的梯度，即的梯度，即 40证：21222)()()()1(zzyyxxR12222()()() xexxyyzzx12222()()() yexxyyzzy12222()()() zexxyyzzz32222()()()()()() xyzexxeyyezzxxyyzz 33)1(rrrrRRR 4121222)()()()1(zzyyxxR12222()()() xexxyyzzx12222()()() yexxyyzzy12222()()() zexxyyzzz32222()()()(

27、)()() xyzexxeyyezzxxyyzz)1()1(33RrrrrRRR 42 例例1.5 已知标量场已知标量场 。求空间一点（求空间一点（1,0,1）的梯度和沿方向）的梯度和沿方向 的方向导数。的方向导数。 2/1222,zyxzyxu212zyxe ee ee elA解解 由梯度公式由梯度公式(1.28)有有21211 ,0, 12/12222/12222/12221 ,0, 11 ,0, 1zxzyxzyxzyxzzyxyzyxxzuyuxuue ee ee ee ee ee ee ee e43 方向的单位矢量为 ll21231212212222zyxzyxle ee ee ee

28、 ee ee ee ell故沿 方向的方向导数为3222123121211 ,0, 11 ,0, 1 zyxzxlulue ee ee ee ee ee e441.4.4 矢量场的重要性质(两个重要公式)旋度的散度旋度的散度恒恒等于零。等于零。证明：证明：)()(AArotdiv)()()()(yAxAexAzAezAyAezeyexexyzzxyyzxzyx0)()()(yAxAzxAzAyzAyAxxyzxyz 旋度与散度的定义都与坐标系无关。旋度与散度的定义都与坐标系无关。0)(A 应用：应用：AB B 0若45梯度的旋度梯度的旋度恒恒等于零。等于零。证明：证明：ugradurot)()

29、()xyzxyzuuueeeeeexyzxyz()()()0 xyzuuuuuueeeyzzyzxxzxyyx 旋度与梯度的定义都与坐标系无关。旋度与梯度的定义都与坐标系无关。0u 应用：应用：0 E0E461.5 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理一、一、亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理：若矢量场若矢量场 在无限空间中处处单值，且其导数在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，而源分布在有连续有界，而源分布在有 限空间中，则限空间中，则矢量场矢量场由其散度、旋度和边界条件由其散度、旋度和边界条件唯一确定唯一确定；且可表示；且可表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度

30、之和。和。FAF47处处为零，处处为零， 任一物理场必有源来激发它，若这个场任一物理场必有源来激发它，若这个场 设在无限空间中一个设在无限空间中一个既有散度又有旋度既有散度又有旋度的矢量场，的矢量场，可表示为一个可表示为一个无旋场无旋场 （有散场有散场）和一个）和一个有旋场有旋场（无散场无散场 ）之和：）之和：证证 ：AF1F2F即21FFF（1-5-6）（1） 对无旋场对无旋场01F必使其散度不会必使其散度不会 的旋涡源和通量源都为零，则场不存在。的旋涡源和通量源都为零，则场不存在。1F 0 令（1-5-7）两个重要的恒两个重要的恒等式之一等式之一48（2） 对有旋场对有旋场 AF 0A 2

31、令（1-5-8）（3）综合（）综合（1）与（）与（2），则），则AFFF21证毕证毕两个重要的两个重要的恒等式之一恒等式之一02F49应用：静电场是无旋场，可以表示为标量应用：静电场是无旋场，可以表示为标量场的梯度，这个标量场就是电位；用标量场的梯度，这个标量场就是电位；用标量场的电位间接表示矢量场的电场，在数学场的电位间接表示矢量场的电场，在数学处理上带来许多便利。处理上带来许多便利。已知已知矢量矢量 的通量源密度的通量源密度 矢量矢量 的旋度源密度的旋度源密度 场域边界条件场域边界条件在电磁场中在电磁场中电荷密度电荷密度 电流密度电流密度 场域边界条件场域边界条件（矢量（矢量 唯一地确定）

32、唯一地确定）亥姆霍兹定理在电磁理论中的意义：亥姆霍兹定理在电磁理论中的意义：研究电磁场的一条主线研究电磁场的一条主线。FFJF50空间空间 正交正交曲线坐标系曲线坐标系 直角坐标系直角坐标系 圆柱坐标系圆柱坐标系 球坐标系球坐标系三个坐标矢量互相正交三个坐标矢量互相正交1.6 常用坐标系常用坐标系51一、直角坐标系：一、直角坐标系：1 1、坐标变量坐标变量 x x、y y、z z其变化范围：其变化范围： - x x - y y - z z 2 、坐标单位、坐标单位矢量矢量：zyxeee,符合右手螺旋法符合右手螺旋法则则 相互正交相互正交zyxeeexzyeeeyxzeeeyxozzexeyeM

33、52),(111zyxMyxoz),(111zyxM3 、点、点 是如下三个平面的交点。是如下三个平面的交点。 1xx 1yy 1zz 4 、直角坐标系中任一矢量、直角坐标系中任一矢量 可写成：可写成：AzzyyxxAeAeAeA其中：其中： 分别是分别是 在在 方向上的投影。方向上的投影。Azyxeee,zyxAAA,A535 、作由、作由 六个面六个面决定的直角六面体：决定的直角六面体：dzzzdyyy dxxx,;,;,其其面积元面积元为为： dxdydSzdydzdSxdxdzdSyv 六面体的六面体的体积元标量体积元标量是：是：dxdydzd（1-1-3）外法线外法线方向方向v 其其

34、面积矢量面积矢量为为： xxyyzzxyzSSSyzzxxyddddddddddS Se ee ee ee ee ee e O ze xe M z y x dy dx dz ye 54、直角坐标系中、直角坐标系中线元矢量线元矢量可表示为：可表示为：zyxlzyxdddde ee ee e xyzeeexyz 、哈密顿算子、哈密顿算子表示为：表示为： O ze xe M z y x dly dlx dlz dl ye 55二、圆柱坐标系：二、圆柱坐标系：1 、坐标、坐标变量变量zr,其变化范围： r0z 2056),(111zrM2 、点、点 是如下三个平面的交点。是如下三个平面的交点。 1rr

35、 1 1zz rezee： 是M点到 z 轴的垂直距离；rxoz：是 平面与通过 M点的半平面半平面之间的夹角； ： 是点到平面的垂直距离。xoyz57rezee、坐标单位坐标单位矢量矢量：zreee,相互正交：相互正交：符合右手螺旋关系：符合右手螺旋关系：zreeerzeeeeeerzAr58ryxyxryxyxreeededeeededeeeeeesincoscossincossin,sincos所以有： 它们它们与直角坐标系单位矢量与直角坐标系单位矢量的关系的关系为：为：sinxeerecosyecosxesinye0 xy 59柱坐标系中空间一点的位置矢量可写成：柱坐标系中空间一点的位

36、置矢量可写成：zererzrr它的微分为它的微分为rzrrrdrdrddzrze dre rde dz或写成或写成1, 1zrzzrrhrhhdzhedhedrherd其中rezee60 、在点、在点 处沿处沿 方向的方向的长度元长度元分别为：分别为：),(zrMzreee,zereedrdlrdzdlzrddlv 其其面积元面积元为：为： dzrddldldSzrdrdzdldldSzrrdrddldldSrz作由作由 六个六个坐标坐标曲曲面决定的面决定的六面体六面体：;ddrrr、,dzzz、61zaraav 六面体的体积元为：dzrdrddldldldzr 将此六面体近似为长方体，则62zrrzrdddde ee ee eldddddddrrrzzrzre ee ee eS Szrrzrhhhzrddddddd所以，柱坐标系下的线元矢量、面元矢量和体积元所以，柱坐标系下的线元矢量、面元矢量和体积元分别可写为：分别可写为：63zzrrAeAeAeA、一个矢量在柱坐标中可用下面三个分量