偏微分方程工具箱--第一讲

1、偏微分方程工具箱 主讲人：贺英 数学科学学院 考试要求o 平时上机占20% (出勤情况)o 期末考试占80%(上机考试)n的取值从0到3，X取值在0到1之间，采样间隔为0.001. 画出四个函数图像。，）（，）（，xnxnxnxn21cos21sincossin课前练习：参考书o 数学物理方程的MATLAB解法与可视化 清华大学出版社 彭芳麟著o 偏微分方程的MATLAB解法武汉大学出版社 陆君安等编著课程介绍 偏微分方程定解问题有着广泛的实际应用背景，很多重要的物理、力学学科的基本方程本身就是偏微分方程。人们用偏微分方程来描述、解释和预见各种自然现象，并用于科学和工程技术的各个领域。随着计算

2、机技术的飞速发展，编制高效的程序求解各种偏微分方程问题已成为可能，偏微分方程数值解法也成为科学和工程计算中的重要分支。MATLAB偏微分方程工具箱（PDE Toolbox）可以实现对于空间二维问题高速、准确的求解过程，通过使用用户界面或M文件，画出所需要的任何区域，课程介绍 输入方程类型和有关系数，就可以显示解的图形和输出数值解。偏微分方程工具箱提供了研究和求解空间二维偏微分方程问题的一个强大而又灵活实用的环境。通过学习本课程，使学生对数学软件MATLAB中PDE Toolbox的基本功能有初步的认识，并且学会使用PDE工具箱解决典型的偏微分方程的数值求解问题。主要内容包括PDE工具箱的介绍、

3、使用工具箱求解特征值函数系与特征振动问题、拉普拉斯方程与泊松方程、热传导方程、波动方程。第一章 MATLAB的偏微分方程工具箱1-1偏微分方程工具箱的功能演示 一、偏微分方程工具箱(PDE Toolbox)：1、PDE Toolbox的功能：(1) 设置PDE定解问题：即设置二维定解区域、边界条件、方程形式和系数。(2) 用有限元求解PDE：即网格的生成、方程的离散以及求出数值解。(3) 解得可视化。1-1偏微分方程工具箱的功能演示2、图形用户界面的启动： 启动MATLAB之后，在MATLAB的工作空间的命令行中键入 pdetool，系统立即产生PDE Toolbox的图形用户界面 (Grap

4、hical User Interface,简记为GUI)，即PDE解得图形环境，可以在上面画出定解区域、设置方程和边界条件，做网格剖分，求解和作图等工作。1-1偏微分方程工具箱的功能演示 3、PDE Toolbox的演示程序： 查看PDE Toolbox的演示程序，简捷了解PDE Toolbox 的基本功能。 在指令窗键入 pde demos，打开一个窗口 Command Line Demos，窗口左边8个演示例子。1-1偏微分方程工具箱的功能演示o Poissons equation 求解的问题是，在单位圆内求解Poisson方程 在单位圆的边界上有u=0。精确解是1u 22()/4uxy

5、1-1偏微分方程工具箱的功能演示o Helmholtzs equation 求解的问题是，研究平面上的方形物体对波的反射，方程为 在物体的正方形边界上，反射波满足 Diriclet 边界条件，在外边界即圆周（计算区域取一个圆）上，反射条件满足 Nuemann 边界条件20uk u 1-1偏微分方程工具箱的功能演示o Minimal surface problem 求解的问题是，给定一条闭合的空间曲线，求张在这一曲线上的曲面，要求使曲面的面积最小。方程为 求解区域为单位圆，在单位圆的边界上2()01uu 2ux1-1偏微分方程工具箱的功能演示o Domain decomposition 求解的问

6、题是，L型区域内的Poission方程 在区域的边界上，有1u 0u 1-1偏微分方程工具箱的功能演示o Heat equation 求解的问题是，在方形区域上求解热源的热传导方程 在方形区域的边界上，有1tuu 0u 1-1偏微分方程工具箱的功能演示o Wave equation 求解的问题是，方形薄膜的振动，即在方形区域解波动方程 在区域的左右边界上有Diriclet边界条件，上下边界上有Neumann边界条件。0ttuu 1-1偏微分方程工具箱的功能演示o Adaptive solver 求解的问题是，单位圆内带点源的poission方程 在区域的边界上，有 精确解是(,)uxy 0ul

7、n2r1-1偏微分方程工具箱的功能演示o Fast poission solver 求解的问题是，在带有Diriclet边界条件的方形区域求解Poission方程 23ux 1-2 PDE Toolbox 求解的问题及其背景一、可解方程的类型 定义在二维有界区域上的方程可以用偏微分方程的工具箱求解椭圆型抛物型()c uauf()udc uauft1-2 PDE Toolbox 求解的问题及其背景双曲型特征值方程偏微分方程组22()udc uauft()c uaudu11112211 1122121122221 12222()()()()cucua ua ufcucua ua uf1-2 PDE

8、 Toolbox 求解的问题及其背景二、边界条件 Diriclet 边界条件：广义的Neumann边界条件： 为边界外法向单位向量hur()nc uqugn1-2 PDE Toolbox 求解的问题及其背景方程组的边界条件Diriclet 边界条件：基本边际条件 广义的Neumann边界条件：自然边际条件 11112211 1122121122221 12222()()()()ncuncuq uq ugncuncuq uq ug11 1122121 12222h uh urh uh ur1-2 PDE Toolbox 求解的问题及其背景三、偏微分方程模型的背景 偏微分方程是广泛应用于科学与工程

9、技术的各个领域的数学工具，PDE Toolbox所解PDE模型有着广泛的背景。o 应用椭圆型方程与抛物型方程的领域-固体中稳恒的与非稳恒的热传导现象，可渗透介质中流动与扩散问题，绝缘与导电材料中的静电场问题，流场的势；1-2 PDE Toolbox 求解的问题及其背景o 应用双曲型方程的领域-声波和电磁波的传播问题，薄膜的横振动；o 应用特征值方程的领域-薄膜和结构力学中的固有振动问题。 1-3 如何使用 PDE Toolbox 用偏微分方程工具箱解偏微分方程有两种方法： 1.在图形用户界面中进行操作，特点是用法简单、无需了解解题的具体过程、不必编程、只要使用图形界面的按钮或菜单操作即可完成解

10、题。 2.利用偏微分方程工具箱提供的指令进行编程计算，它可以解决更复杂的问题。 最简单的方法是在PDE Toolbox直接使用图形用户界面 (GUI),在指令窗键入pdetool，打开图形用户界面窗口。1-3 如何使用 PDE Toolbox一、定解问题的设置使用PDE工具箱的用户界面，包括三种模式(Mode)：(1) Draw 模式：画出方程求解的几何区域；(2) Boundary 模式：定义边界条件；(3) PDE 模式： 确定偏微分方程的类型及系数。1-3 如何使用 PDE Toolbox二、解偏微分方程问题(1) Mesh 模式：将区域分割为三角形网格，网格参数可以改变(2) Solv

11、e 模式：解方程 椭圆型方程：求非线性和自适应解； 抛物型和双曲型方程：在给定初始和边界条件后，能求出 某时刻t的解； 特征值问题：能求解给定区间内的特征值。1-3 如何使用 PDE Toolbox 三、计算结果的可视化 Plot 模式：用Plot模式实现可视化。 图像可以显示在PDE工具箱的用户界面内，也可以是一个新开的图形窗口。可以同时用彩图(color)、高度图(Height)、矢量场图(Vector)来表现解的三种不同的特性。曲面图、网线图、等值线图和箭头图都可以使用。1-3 如何使用 PDE Toolbox四、有特定解法的问题类型在应用界面提供了十种应用类型：Generic Scalar 一般标量场Generic system 一般的偏微分方程组Structual Mechnics,Plan Stress 结构力学平面应力问题Structual Mechnics,Plan Strain 结构力学平面应变问题1-3 如何使用 PDE ToolboxElectrostatics 静电场问题Magnetostatics 静磁场问题Ac Po