复数的几何意义

1、3.1 3.1 数系的扩充和复数的概数系的扩充和复数的概念念3.1.2 3.1.2 复数的几何意义复数的几何意义 1. 1.虚数单位虚数单位i i的基本特征是什么？的基本特征是什么？（1 1）i i2 21 1； （2 2）i i可以与实数进行四则运算，且原可以与实数进行四则运算，且原 有的加、乘运算律仍然成立有的加、乘运算律仍然成立. . 复习巩复习巩固固 虚数单位虚数单位i i的引入解决了负数不能的引入解决了负数不能 开平方的矛盾，并将实数集扩充到了开平方的矛盾，并将实数集扩充到了 复数集。复数集。2.2.复数的一般形式是什么？复数相等复数的一般形式是什么？复数相等的充要条件是什么？的充要

2、条件是什么？ abi i（a，bR R）；）； 实部和虚部分别相等实部和虚部分别相等. . 复习巩复习巩固固3.3.实数、虚数、纯虚数的含义分别如实数、虚数、纯虚数的含义分别如何？何？ 设设z zabi i（a，bRR）. .当当b b0 0时时z z为实数；为实数； 复习巩复习巩固固当当b b00时，时，z z为虚数；为虚数；当当a0 0且且b b00时，时，z z为纯虚数为纯虚数. . 4. 4.复数集、实数集、虚数集、复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如何？纯虚数集之间的关系如何？复数复数实数实数虚数虚数纯虚数纯虚数复习巩复习巩固固 5. 5.实数与数轴上的点一一对应，从实数与数

3、轴上的点一一对应，从而实数可以用数轴上的点来表示，这而实数可以用数轴上的点来表示，这是实数的几何意义，根据类比推理，是实数的几何意义，根据类比推理，复数也应有它的几何意义复数也应有它的几何意义. .因此，探究因此，探究复数的几何意义就成为一个新的学习复数的几何意义就成为一个新的学习内容内容. . 提出问提出问题题1 1、在什么条件下，复数、在什么条件下，复数z z惟一确定？惟一确定？ 给出复数给出复数z z的实部和虚部的实部和虚部2 2、设复数、设复数z zabi i（a，bRR），以），以 z z的实部和虚部组成一个有序实数对的实部和虚部组成一个有序实数对（a，b），那么复数），那么复数z

4、z与有序实数对与有序实数对（a，b）之间是一个怎样的对应关系？）之间是一个怎样的对应关系？ 一一对应一一对应问题探问题探究究3 3、有序实数对、有序实数对（a，b）的几何意义是什的几何意义是什么？复数么？复数z zabi i（a，bRR）可以用什）可以用什么几何量来表示？么几何量来表示？ 复数复数z zabi i（a，bRR）可以用直角）可以用直角坐标系中的点坐标系中的点Z Z（a，b）来表示）来表示. .x xy yO Oab bZ Z：abi i问题探问题探究究（a，b）用直角坐标系来表示复数的坐标平面用直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做叫做复平面复平面，x x轴叫做轴叫做实轴实轴，y y

5、轴叫做轴叫做虚轴虚轴. .形成结形成结论论一般地，实轴上的点，虚轴上的点，各一般地，实轴上的点，虚轴上的点，各象限内的点分别表示什么样的数？象限内的点分别表示什么样的数？x xy yO Oab bZ Z：abi i各象限内的点表示各象限内的点表示虚部不为零虚部不为零的虚数的虚数. . 形成结形成结论论实轴上的点表示实数；实轴上的点表示实数；虚轴上的点虚轴上的点除原点外除原点外都表示纯虚数，都表示纯虚数，1 1、用有向线段表示平面向量，向量的、用有向线段表示平面向量，向量的大小和方向由什么要素所确定？大小和方向由什么要素所确定？ 有向线段的始点和终点有向线段的始点和终点. . 2 2、用坐标表示

6、平面向量，如何根据向、用坐标表示平面向量，如何根据向量的坐标画出表示向量的有向线段？量的坐标画出表示向量的有向线段？ 以原点为始点，向量的以原点为始点，向量的坐标对应的点为终点画坐标对应的点为终点画有向线段有向线段. . x xy yO O(a，b)问题探问题探究究3 3、在复平面内，复数、在复平面内，复数z zabi i（a，bR R）用向量如何表示？）用向量如何表示？x xy yO Oab bZ Z：abi i以原点以原点O O为始点，点为始点，点Z Z（a，b）为终点的）为终点的向量向量 . .O Zuuu r问题探问题探究究4 4、复数、复数z zabi i（a，bRR）可以用向量）可

7、以用向量 表示，向量表示，向量 的模叫做复数的模叫做复数z z的的模模，记作，记作|z|z|或或| |abi|i|，那么，那么| |abi|i|的计算公式的计算公式是什么？是什么？O Zuuu r22|abiab+=+x xy yO Oab bZ Z：abi i问题探问题探究究5 5、设向量、设向量a，b分别表示复数分别表示复数z z1 1，z z2 2， 若若ab，则复数，则复数z z1 1与与z z2 2的关系如何？的关系如何？ 规定：相等的向量表示同一个复数规定：相等的向量表示同一个复数. .6 6、若、若|z|z|1 1，|z|z|1 1，则复数，则复数z z对应对应复平面内的点的轨迹

8、分别是什么？复平面内的点的轨迹分别是什么？ 单位圆，单位圆内部单位圆，单位圆内部. .问题探问题探究究 例例1 1 已知复数已知复数对应的点在直线对应的点在直线x x2y2y1 10 0上，求实数上，求实数m的值的值. .222l og (33)l og (3)zmmim=-+-15m=典例讲典例讲评评 例例2 2 若复平面内一个正方形的三个顶若复平面内一个正方形的三个顶点对应的复数分别为点对应的复数分别为z z1 11 12i2i，z z2 22 2i i，z z3 31 12i2i，求这个正方形第四个顶，求这个正方形第四个顶点对应的复数点对应的复数. .x xy yO OZ Z1 1Z Z

9、2 2Z Z3 3Z Z4 4z z4 42 2i i 典例讲典例讲评评 例例3 3 设复数设复数 ，若若|z|5|z|5，求，求x x的取值范围的取值范围. .12l og4zxi=+1(0, 8,)8x+ U典例讲典例讲评评1.1.复数集复数集C C和复平面内所有的点所成的集和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即合是一一对应的，即复数复数z zabi i 复平面内的点复平面内的点 Z Z（a，b）一一对应一一对应2.2.复数集复数集C C与复平面内的向量所成的集合与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的，即也是一一对应的，即复数复数z zabi i 复平面内的向复平面内的向量量一一对

10、应一一对应O Zuuu r课堂小课堂小结结 3. 3.复数复数zabi i与复平面内的点与复平面内的点 Z Z（a，b）和向量和向量 是一个三角对应是一个三角对应关系，即关系，即O Zuuu r复数复数z zabi i点点Z(Z(a，b) )向量向量O Zuuu r课堂小课堂小结结3.2 3.2 复数代数形式的四则运算复数代数形式的四则运算3.2.1 3.2.1 复数代数形式的加、减复数代数形式的加、减 运算及其几何意义运算及其几何意义复习巩固复习巩固 1. 1.复数的代数形式是什么？在什么复数的代数形式是什么？在什么条件下，复数条件下，复数z z为实数、虚数、纯虚数？为实数、虚数、纯虚数？

11、代数形式：代数形式：z zabi i（a，bRR）. .当当b b0 0时时z z为实数；为实数；当当b b00时，时，z z为虚数；为虚数；当当a0 0且且b b00时，时，z z为纯虚数为纯虚数. . 2. 2.复数复数z zabi i（a，bRR）对应复）对应复平面内的点平面内的点Z Z的坐标是什么？复数的坐标是什么？复数z z可以可以用复平面内哪个向量来表示？用复平面内哪个向量来表示？对应点对应点Z Z（a，b），）， 用向量用向量 表示表示. . O Zuuu rx xy yO OZ(a，b)提出问题提出问题 3. 3.两个实数可以进行加、减运算，两个实数可以进行加、减运算，两个向量

12、也可以进行加、减运算，根两个向量也可以进行加、减运算，根据类比推理，两个复数也可以进行加、据类比推理，两个复数也可以进行加、减运算，我们需要研究的问题是，复减运算，我们需要研究的问题是，复数的加、减运算法则是什么？数的加、减运算法则是什么？ 提出问题提出问题问题探究问题探究1 1、设向量、设向量m( (a，b) )，n( (c c，d),),则向则向量量mn的坐标是什么？的坐标是什么？ mn(ac，bd) 2 2、设向量、设向量 ， 分别表示复数分别表示复数z z1 1，z z2 2，那么向量，那么向量 表示的复数应该表示的复数应该是什么？是什么？ 1O Zuuu r2O Zuuur12O Z

13、O Z+uuu ruuurz z1 1z z2 2问题探究问题探究 3 3、设复数、设复数z z1 1abi i，z z2 2cdi i对对应的向量分别为应的向量分别为 ， ，那么向量，那么向量 ， 的坐标分别是什么？的坐标分别是什么？ 1O Zuuu r2O Zuuur12O ZO Z+uuu ruuur1O Zuuu r2O Zuuur(a，b)，(c，d)，(ac，bd). 12O ZO Z+uuu ruuur1O Zuuu r2O Zuuur问题探究问题探究4 4、设复数、设复数z z1 1abi i，z z2 2cdi i，则，则复数复数z z1 1z z2 2等于什么？等于什么？

14、z z1 1z z2 2( (ac) )( (bd)i)i. . 问题探究问题探究5 5、( (abi)i)( (cdi i) )( (ac) ) ( (bd)i)i就是复数的就是复数的加法法则加法法则，如何，如何用文字语言表述这个法则的数学意用文字语言表述这个法则的数学意义？义？两个复数的和仍是一个复数两个复数的和仍是一个复数. . 两个复数的和的实部等于这两个复数两个复数的和的实部等于这两个复数的实部之和，两个复数的和的虚部等的实部之和，两个复数的和的虚部等于这两个复数的虚部之和于这两个复数的虚部之和. .问题探究问题探究6 6、两个实数的和仍是一个实数，两个、两个实数的和仍是一个实数，两

15、个复数的和仍是一个复数，两个虚数的和复数的和仍是一个复数，两个虚数的和仍是一个虚数吗？仍是一个虚数吗？不一定不一定. . 问题探究问题探究7 7、复数的加法法则满足交换律和结、复数的加法法则满足交换律和结合律吗？合律吗？ z z1 1z z2 2z z2 2z z1 1， (z(z1 1z z2 2) )z z3 3z z1 1(z(z2 2z z3 3).).问题探究问题探究8 8、规定：复数的减法是加法的逆运算，、规定：复数的减法是加法的逆运算，若复数若复数z zz z1 1z z2 2，则复数，则复数z z1 1等于什么？等于什么？ z z1 1z zz z2 2 9 9、设复数、设复数

16、z z1 1abi i，z z2 2cdi i，z zxyi i，代人，代人z z1 1z zz z2 2，由复数相等的，由复数相等的充要条件得充要条件得x，y分别等于什么？分别等于什么？ xac，ybd.问题探究问题探究1010、根据上述分析，设复数、根据上述分析，设复数z z1 1abi i，z z2 2cdi i，则，则z z1 1z z2 2等于什么？等于什么？ z z1 1z z2 2(ac)(bd)i i问题探究问题探究复数的复数的减法法则：减法法则： 2 2、两个复数的差仍是一个复数两个复数的差仍是一个复数. . 两个复数的差的实部等于这两个复两个复数的差的实部等于这两个复数的实

17、部之差，两个复数的差的虚部等数的实部之差，两个复数的差的虚部等于这两个复数的虚部之差于这两个复数的虚部之差. . 形成结论形成结论1 1、( (abi)i)-( (cdi i) )( (a-c)+()+(b-d)i)i1 1、设复数、设复数z z1 1abi i，z z2 2cdi i对应的对应的向量分别为向量分别为 ， ，则复数，则复数z z1 1z z2 2对应对应的向量是什么？的向量是什么？|z|z1 1z z2 2| |的几何意义是的几何意义是什么？什么？1O Zuuu r2O Zuuur1221O ZO ZZ Z-=uuuruuuruuuu r|z|z1 1z z2 2| |的几何意

18、义的几何意义表示表示复数复数z z1 1，z z2 2对应对应复平面内的点之间的复平面内的点之间的距离距离. .x xy yO OZ1Z2问题探究问题探究2 2、设、设a，b，r r为实常数，且为实常数，且r r0 0，则，则满足满足|z|z( (abi)|i)|r r的复数的复数z z对应复对应复平面上的点的轨迹是什么？平面上的点的轨迹是什么？ 以点以点( (a，b) )为圆心，为圆心，r r为半径的圆为半径的圆. .x xy yO Or rZ ZZ Z0 0问题探究问题探究3 3、满足、满足|z|z( (abi)|i)|z|z( (cdi i)|)|的的复数复数z z对应复平面上的点的轨迹

19、是什么？对应复平面上的点的轨迹是什么？ x xy yO OZ Z2 2Z Z1 1Z Z点点( (a，b) )与点与点( (c，d) )的连线段的垂直平的连线段的垂直平分线分线. . 问题探究问题探究4 4、设、设a为非零实数，则满足为非零实数，则满足|z|za| |z|za| |，|z|zai i| |z|zai i| |的复数的复数z z分别具有什么特征？分别具有什么特征？若若|z|za| |z|za| |，则，则z z为纯虚数或零；为纯虚数或零； 若若|z|zai| |z|zai| |，则，则z z为实数为实数.问题探究问题探究例例1 1 计算计算(5(56i)6i)( (2 2i)i)

20、(3(34i). 4i). 11i 11i 例例2 2 如图，在矩形如图，在矩形OABCOABC中，中，|OA|OA|2|OC|2|OC|点点A A对应的复数为对应的复数为 ，求点，求点B B和向量和向量 对应的复数对应的复数. .3i+A Cuuu rx xy yO OC CB BA A13(3)(1)22i-+13(3)(1)22i-+-典例讲评典例讲评 1. 1.复数的加、减运算法则表明，若干复数的加、减运算法则表明，若干个复数的代数和仍是一个复数，复数的个复数的代数和仍是一个复数，复数的和差运算可转化为复数的实部、虚部的和差运算可转化为复数的实部、虚部的和差运算和差运算. . 2. 2

21、.在几何背景下求点或向量对应的复在几何背景下求点或向量对应的复数，即求点或向量的坐标，有关复数模数，即求点或向量的坐标，有关复数模的问题，根据其几何意义，有时可转化的问题，根据其几何意义，有时可转化为距离问题处理为距离问题处理. .课堂小结课堂小结 3. 3. 在实际应用中，既可以将复数在实际应用中，既可以将复数的运算转化为向量运算，也可以将向的运算转化为向量运算，也可以将向量的运算转化为复数运算，二者对立量的运算转化为复数运算，二者对立统一统一. .课堂小结课堂小结P P109109练习：练习：1 1，2.2. P P112112习题习题3.2A3.2A组：组：2 2，3.3.布置作业布置作

22、业3.2 3.2 复数代数形式的四则运算复数代数形式的四则运算3.2.2 3.2.2 复数代数形式的乘除运算复数代数形式的乘除运算 1. 1.设复数设复数z z1 1abi i，z z2 2cdi i，则，则 z z1 1z z2 2，z z1 1z z2 2分别等于什么？分别等于什么？ z z1 1z z2 2( (ac) )( (bd)i)i. . z z1 1z z2 2(ac)(bd)i i 2. 2.设设z z1 1，z z2 2为复数，则为复数，则|z|z1 1z z2 2| |的几何的几何意义是什么？意义是什么？复数复数z z1 1，z z2 2对应复平面内的点之间的对应复平面内

23、的点之间的距离距离. .复习巩固复习巩固 1 1、设、设a，b，c，dRR， 则则( (ab)()(cd) )怎样展开？怎样展开？ ( (ab)()(cd) )acadbcbd问题探究问题探究1 1、设复数、设复数z z1 1abi i，z z2 2cdi i，其中其中a，b，c，dRR，则，则 z z1 1z z2 2( (abi)(i)(cdi i) )，按照上述运，按照上述运算法则将其展开，算法则将其展开，z z1 1z z2 2等于什么？等于什么？ z z1 1z z2 2( (acbd) )( (adbc)i)i. .形成结论形成结论 2 2、( (abi)i)2 2a2 2b2 2

24、2 2abi.i.1 1、复数的乘法是否满足交换律、复数的乘法是否满足交换律、结合律和对加法的分配律？结合律和对加法的分配律？ z z1 1z z2 2z z2 2z z1 1， (z(z1 1z z2 2) )z z3 3z z1 1(z(z2 2z z3 3) )， z z1 1(z(z2 2z z3 3) )z z1 1z z2 2z z1 1z z3 3. . 问题探究问题探究2 2、对于复数、对于复数z z1 1，z z2 2，|z|z1 1z z2 2| |与与|z|z1 1| |z|z2 2| |相等吗？相等吗？ |z|z1 1z z2 2| |z|z1 1| |z|z2 2|

25、| 问题探究问题探究实部相等，虚部互为相反数的两个复实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数数叫做互为共轭复数. . 3 3、在实数中，、在实数中， 与与 互称为有理化因式，在复数中，互称为有理化因式，在复数中，abi i 与与abi i互称为互称为共轭复数共轭复数，一般地，共，一般地，共 轭复数的定义是什么？轭复数的定义是什么？ 23+23-问题探究问题探究 4 4、复数、复数z z的共轭复数记作的共轭复数记作 ，虚部不，虚部不为零的两个共轭复数也叫做为零的两个共轭复数也叫做共轭虚数共轭虚数，那么那么z z与与 在复平面内所对应的点的位置在复平面内所对应的点的位置关系如何？关系如何

26、？ 等于什么？等于什么？z zzz22| | | |z zzz =x xy yO OZ Zz 关于实轴对称关于实轴对称 问题探究问题探究5 5、若复数、若复数z z1 1z z2 2z z，则称复数，则称复数z z为复为复数数z z1 1除以除以z z2 2所得的商，即所得的商，即z zz z1 1z z2 2. . 一般地，设复数一般地，设复数z z1 1abi i，z z2 2cdi i（cdi0i0），如何求），如何求z z1 1z z2 2？ 2222()()()()abiabi cdiacbdbcadicdicdi cdicdcd+-+-=+-+问题探究问题探究 6 6、就是复数的就

27、是复数的除法法则除法法则，并且两个复数相，并且两个复数相除（除数不为除（除数不为0 0），所得的商还是一个），所得的商还是一个 复数，那么如何计算复数，那么如何计算 ？2222()()acbdbcadabicdiicdcd+-+=+abibai+-()abiiaibibaibai+-+=-问题探究问题探究 7 7、怎样理解、怎样理解 ？1122|zzzz=问题探究问题探究例例1 1 设设z z(1(12i)2i)(3(34i)4i)(1(1i)i)2 2求求 . .z4255zi= -+例例2 2 设复数设复数 ，若，若z z为纯虚为纯虚数，求实数数，求实数m的值的值. .333m izi+=

28、+m3 3 典例讲评典例讲评 1. 1.复数的乘法法则类似于两个多项复数的乘法法则类似于两个多项式相乘，展开后要把式相乘，展开后要把i i2 2换成换成1 1，并将，并将实部与虚部分别合并实部与虚部分别合并. .若求几个复数的若求几个复数的连乘积，则可利用交换律和结合律每连乘积，则可利用交换律和结合律每次两两相乘次两两相乘. .课堂小结课堂小结 2. 2.复数的除法法则类似于两个根式复数的除法法则类似于两个根式的除法运算，一般先将除法运算式写的除法运算，一般先将除法运算式写成分式，再将分子分母同乘以分母的成分式，再将分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母化为实数，分子按共轭复数，使分母化为实数，

29、分子按乘法法则运算乘法法则运算. .课堂小结课堂小结 3. 3.对复数的乘法、除法运算要求对复数的乘法、除法运算要求掌握它们的算法，不要求记忆运算公掌握它们的算法，不要求记忆运算公式，对复数式的运算结果，一般要化式，对复数式的运算结果，一般要化为代数式为代数式. .课堂小结课堂小结P P111111练习：练习：1 1，2 2，3.3.布置作业布置作业复数的概念与运算题型分析复数的概念与运算题型分析第一课时第一课时题型一：复数的混合运算题型一：复数的混合运算例例1 1 计算：计算： 15834(1)12iiii-+-+17173i3i 例例2 2 设复数设复数z z1 1i i，求，求 的值的值

30、. .32(46)3zziz+-1 1i i题型二：复数的变式运算题型二：复数的变式运算 例例3 3 已知复数已知复数z z满足满足 ，求求 的值的值. .10ziz+-=2211zzzz-+i i 例例4 4 已知复数已知复数z z满足满足 ，求求 的值的值. .110zz+=4(1)zz+1 1题型三：求满足某条件的复数值题型三：求满足某条件的复数值 例例5 5 已知复数已知复数z z满足满足 为纯虚数，为纯虚数， 且且 ，求，求z z的值的值. .1izz+| 4| |ziz-=53iizor=- 例例6 6 已知复数已知复数z z满足满足 ，求，求z z的值的值. .21(21)zizi-=+-533iz=-题型三：求满足某条件的复数值题型三：求满足某条件的复数值 例例7 7 已知复数已知复数z z满足满足|z|z2|2|2 2，且，且 ，求，求z z的值的值.