dsp6_有限长单位冲激响应数字滤波器的设计方法

1、第6章 无限长单位冲激响应数字滤波器的设计方法6.1 数字滤波器的设计步骤6.2 模拟滤波器的数字化设计IIR数字滤波器6.3 频率变换设计IIR数字滤波器模拟域频率变换法6.4 频率变换设计IIR数字滤波器数字域频率变换法6.1 数字滤波器的设计步骤6.1.1 理想数字滤波器的性能特性数字滤波器按频率特性分类，可分为低通、高通、带通、带阻和全通。它们的理想幅度响应特性如图所示。20()jH e(a) 低通20()jH e(b) 高通20()jH e(c) 带通20()jH e(d) 带阻20()jH e(e) 高通说明： (1)频率变量以数字频率 表示， 为模拟角频率，T为抽样时间间隔； (

2、2)数字滤波器的频率响应以 为周期； (3)频率特性只限于 范围，这是因为依取样定理，实际频率特性只能为抽样频率的一半。22/s6.1.2 数字滤波器的技术指标单位冲激响应为h(n)的数字滤波器，其频率响应 为：()jH e()( )( )jjj nz enH eH zh n e或表示为：()()()jjjH eH ee式中， 称为滤波器的幅度响应， 成为相位响应。()jH e()通常情况下，滤波器的技术指标要求由幅度响应 给出，相位响应 一般不作要求，频率响应由通带、过渡带、阻带三个范围组成。()jH e()通带阻带过渡带111)(1 ,jceH2)(,jsteH,stcc:通带截至频率1:

3、通带容限st2:阻带容限:阻带截至频率11 )e (Hj0cst211 低通滤波器的幅度特性6.1.3 数字滤波器设计的一般步骤数字滤波器的设计一般由以下步骤完成：(1)根据要求，确定滤波器的性能指标。(2)用一因果稳定的离散LTI系统的系统函数去逼近这一性能指标。(3)用有限精度算法来实现这个系统函数（其中包括滤波器结构的选择，有限字长效应的处理方法等）(4)利用计算机软件或专用数字滤波器硬件的实际技术实现。6.2 模拟滤波器的数字化设计IIR数字滤波器 通常模拟滤波器的数字化设计IIR数字滤波器由以下几步完成：(1)根据给定的数字滤波器指标要求，确定模拟滤波器的技术指标。(2)按照模拟滤波

4、器的性能指标要求，设计模拟滤波器的系统函数 。(3)用适当的数字化方法（如冲激响应不变法、双线性变换法等），将模拟滤波器的系统函数 转化成数字滤波器的系统函数。( )aHs( )aHs6.2.1 冲激响应不变法1.变换原理冲激响应不变法的基本原理是将模拟滤波器的单位冲激响应 加以等间隔的抽样（抽样周期为T），使数字滤波器( )ah t的单位冲激响应h(n)正好等于 的抽样值乘T，即( )()ah nTh nT( )ah t使数字滤波器的单位冲激响应h(n)模仿模拟滤波器的单位冲激响应 。( )ah t如果令 是 的拉普拉斯变换 ，H(z)为h(n)的z变换 ，则冲激响应不变法的实现流程图如下：

5、( )aHs( )ah t( )( )aaHsL h t( ) ( )H zL h n( )aHs( )ah t( )h n( )H z拉普拉斯反变换tnTz变换抽样序列的z变换与模拟信号的拉普拉斯关系的关系：2( )()sTaz ekH zHsjkT可见，冲激响应不变法将模拟滤波器的s平面变换映射成数字滤波器的z平面，其变换关系：sTze说明：s平面上的每一条宽度为 的横条都重叠映射到整个z平面上，而每一横条的左半边映射到z平面单位圆内，右半边映射到z平面单位圆外。S平面虚轴映射到z平面单位圆上，虚轴上每一段长为 1. 的线段都映射到z平面单位圆上一周。2T2TIm jzRe zz平面j3

6、/T3 /T/T/T2.模拟滤波器的数字化方法设模拟滤波器的系统函数只有单极点，且假定分母的阶次，因此可将 展开成部分分式：( )aHs1( )NkakkAHsss该模拟滤波器的单位冲激响应 为N1ktSka1a) t (ueA)S(HL) t (hk( )ah t其中u(t)是连续时间的单位阶跃函数。由于冲激响应不变法要求数字滤波器的单位冲激响应h(n)等于 的抽样，所以得：( )ah tN1kN1knTSknTSka)n(u)e (A)n(ueA)nT(h)n(hkknnZ)n(h)n(hZ)Z(H对h(n)求z变换，即得数字滤波器的系统函数：0nN1kkn1TSA)ze (kN1k0nn

7、1TSk)ze (AkN1k1TSkZe1Ak(1)s平面的单极点 变为z平面单极点 (2)H(z)的部分分式的系数是 的(3)数字滤波器系统函数H(z)包含单位圆，数字滤波器 也是稳定的。(4)s平面的极点与Z平面的极点一一对应，但两平面并不结论：kssks Tze( )aHskTA一一对应。例如，零点就没有这种对应关系。例6-1 设模拟滤波器的系统函数为 ，试利用冲激响应不变法是设计IIR数字滤波器。 21( )21aHsss解：由于模拟滤波器的系统函数可以表示为：210.70710.7071( )0.70710.70710.70710.707121ajjHssjsjss1(0.7071

8、0.7071 )1(0.7071 0.7071 )0.70710.7071( )11j Tj Tj Tj TH zz ez e21()( )21aasjHjHsj 20.318()( )1 0.74970.2431jjjjjz eeH eH zee3. 冲激响应不变法的实现步骤(1)确定数字滤波器的性能指标（ )和( )(2)利用 ，将数字滤波器的性能指标变换成模拟滤波器的性能指标( )和( )。(3)利用成熟的模拟滤波器设计方法设计模拟滤波器，求出(4)将模拟滤波器系统函数 转变成数字滤波器的系统函数,pp ,ss T ,pp,ss( )aHs( )aHs( )H z4.冲激响应不变法的优缺

9、点优点：一个线性相位的模拟滤波器可以映射成为一个线性相位的数字滤波器。缺点：根据奈奎斯特抽样定理，冲激响应不变法只适用于限带的模拟滤波器，即只适用低通、带通滤波器的设计，不适合高通、带阻滤波器的设计，否则会出现混叠，而且这种频率混叠现象的出现不会因抽样周期的减少而消失。6.2.2 双线性变换法1.变换原理在s平面与z平面的映射关系中,我们知道，s平面中一条宽为 （如 到 ）的横带就可以变换到整个Z平面。因此，可先将整个S平面压缩到一个中介的 平面的一条横带里，再通过 将此横带变换到整个Z平面上。这样就使S平面和Z平面是一一映射关系。如下图所示：T2TT1STSeZ1j0011jTT01-1Re

10、 zIm jz2.模拟滤波器的数字化方法首先，为了将s平面整个地变换到s1平面的横带 TT范围，取频率变换关系：)2(1TtgC 其中C为任意常数。由上式可知，当 由1TT经过0变到将由经过0变到CeeeejTjTjTjTj22221111可得：将上式关系延拓到整个s和 平面，则有：1sCeeSTSTS1111借助于 平面和z平面的映射关系： ，可以得到：1STSeZ1111111ZZCZZCS上式表示两个线性函数之比，称作线性分式变换，若用s表示z，可得：SCSCZ可见，也是线性分式变换（函数），这样( )间的变 换是双向的，故称作双线性变换。ZS 变换常数C的选择：(1) 由于 ，所以只有

11、当 很小(一般）， 和 之间才存在线性关系，即：)2(1TtgCT13 . 01 T121TC21TC如果使模拟滤波器和数字滤波器在低频处有较确切的对应关系，则选择 TC2，(2)使数字滤波器的某一频率与模拟滤波器的一个特定频率c严格相对应 即：1()()22cccTCtgCtg 2ccctgC3.双线性变换法的实现步骤(1)确定数字滤波器的技术指标（通带频率 ，通带最大衰减 、阻带频率 、阻带最小衰减 等）(2)采用频率转换关系 ，将数字滤波器的技术指标转换成模拟滤器的技术指标。(3)按照模拟滤器的技术指标设计模拟滤波器，获得模拟滤波器的系统函数(4)将系统函数从s平面转换到z平面，得到数字

12、滤波器的系统函数，即：1111( )( )azs czH zHs( )aHstan2c ppss例6-3 已知二阶模拟低通滤波器系统函数为其中， 为3dB带宽。用双线性变换法将其转换成数字滤波器 ，并要求3dB带宽为222( )2pppH sssp0.2p( )H z解：由 得预畸变后的模拟截止频率为：tan0.32492ppcc 0.2p故模拟滤波器的系统函数为：222222(0.3249 )( )0.4595(0.3249 )2pppcH sscscss经双线性变换法得：111212110.06740.13490.0674( )( )1 1.1430.4128zs czzzH zH szz

13、频率响应：220.06740.13490.0674()( )1 1.1430.4128jjjjjjz eeeH eH zee0.220lg()3jH edB 满足设计要求。4.双线性变换法的特点优点：避免了频率响应的混叠现象缺点：模拟角频率和数字角频率之间存在非线性变换关系，使一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到一个非线性相位的数字滤波器，不再保持原有的线性相位。6.3 频率变换法设计IIR滤波器模拟域频率变换法设计原理：首先将所要设计数字滤波器的性能指标按照某种频率转换关系，转化成模拟低通滤波器的性能指标：然后利用模拟滤波器设计技术，设计出模拟低通滤波器，该滤波器称为原型滤波器，最后按

14、某种变化关系，再将原型滤波器数字化成各类数字滤波器。模拟归一化低通滤波器1p 实际模拟低通、高通、带通、带阻滤波器实际数字低通高通、带通、带阻滤波器数字化模拟模拟频带变化模拟归一化低通滤波器1p 数字低通滤波器实际数字低通高通、带通、带阻滤波器数字化数字数字频带变化变化类型频率变换关系平面变化关系低通归一化原型低通高通归一化原型低通带通归一化原型低通带阻归一化原型低通p p 220B 220B pss pss220sssB220sBss表6-1 模拟滤波器系统的频率与平面变换关系6.3.1 模拟低通滤波器变换成数字低通滤波器例6-4 试用冲激响应不变法设计一个巴特沃思数字低通滤波器，要求在通带

15、频率低于 时，允许幅度误差衰减1dB以内，在频率 到 之间阻带衰减在15dB。0.2 rad0.3 解：(1)数字滤波器的性能指标 通带频率 ，通带最大衰减 阻带频率 ，阻带最大衰减0.2prad0.3srad1pdB15sdB (2)模拟低通的技术指标 通带频率 ，通带最大衰减 阻带频率 ，阻带最大衰减/0.2/ppTrad s 1pdB/0.3/ssTrad s 15sdB(3)求模拟原型滤波器的系统函数0.10.1101lg1015.8842lgpspsN取整数N=6，则得到归一化的传输系统函数为2221( )(0.51761)(1.41421)(1.93191)anHsssssss将

16、带入到上式/css6222222( )(0.5176)(1.4142)(1.9319)caccccccHsssssss把上式展开成部部分式，并利用冲激响应不变法得：1111212120.28710.44662.14281.14541.85580.6304( )10.12970.69491 1.06910.369910.99720.2570zzzH zzzzzzz6.3.2 模拟低通滤波器变换成数字高通滤波器1.由归一化模拟原型低通滤波器得到高通滤波器的变换归一化原型低通滤波器与模拟高通滤波器的关系为：p 令 ，可导出归一化模拟原型滤波器与实际模拟高通滤波器的平面转换关系为可得到模拟高通滤波器的

17、系统函数为pss,sjsj ( )( )pHPHPssHsHs2. 模拟高通滤波器得到高通滤波器的数字化数字高通滤波器的系统函数为：1111( )( )HPHPzs czHzHs例6-5 利用双线性变换法设计一个巴特沃思高通滤波器，其通带截止频率为 ，阻带截止频率 通带衰减不大于3dB，阻带衰减不小于14dB，抽样频率3pfkHz2sfkHz10cfkHz解：预畸变20.6 ,20.4pspsccffff 预畸变后模拟高通滤波器的通带频率和阻带频率分别为tantan(0.3 ),tantan(0.2 )22pspscccc 利用频率变换关系，可求出归一化原型低通滤波器的通带频率和阻带频率分别为

18、：1,1.8946ppss 求得N:0.10.1101lg1012.49092lgpspsN取N=3，查表得：321( )(221)anHssss33223( )( )22pHPHPspppssHsHssss 求得实际模拟高通滤波器的系统函数为经双线性变换法得：1231230.098531 0.295590.295590.098531( )1 0.577240.421790.056297zzzH zzzz6.3.3 模拟低通滤波器变换成数字带通滤波器1.由归一化模拟原型低通滤波器到模拟带通滤波器的变换归一化原型低通滤波器与模拟带通滤波器的关系为：可得到模拟带通滤波器的系统函数为,sjsj 2.

19、 模拟带通滤波器得到带通滤波器的数字化数字高通滤波器的系统函数为：1111( )( )HPHPzs czHzHs220B 令220sssB220( )( )HPHPsssBHsHs例6-6 利用双线性变换法设计一个巴特沃思数字带通滤波器，通带频率从200Hz到250Hz，在此两频率处衰减不大于3dB，在100Hz和400Hz频率处衰减不得小于20dB，抽样频率1sfkHz解：预畸变1212121220.4 ,20.520.2 ,20.8ppppssssssssffffffff 12121212tan,tan,tan,tan2222ppssppsscccc12220122026.988810.3

20、914ssssBB 0.10.1lg (101)/(101)1.18172lg/pspsN取N=2， 查表得：21( )(1.41421)anHsss求得实际模拟带通滤波器的系统函数为22022222001( )( )()1.41421BPansssBHsHssssBsB22012210.3249,0.6751ppppcBc 代入得：2 212340.020083(1)( )1 0.564011.64140.45040.64135zH zzzzz6.3.4 模拟低通滤波器变换成数字带阻滤波器1.由归一化模拟原型低通滤波器到模拟带阻滤波器的变换归一化原型低通滤波器与模拟带阻滤波器的关系为：220

21、B 可得到模拟带阻滤波器的系统函数为,sjsj 令 可导出归一化模拟原型滤波器与实际模拟带阻滤波器的平面转换关系为220sBss220( )( )BSansBssHsHs2. 模拟带阻滤波器得到数字带阻滤波器的变换数字带阻滤波器的系统函数为：1111( )( )BSBSzs czHzHs例6-7 试设计一个巴特沃思带阻滤波器，在-3dB衰减处的边带频率分别为 ；在-14dB衰减处的频率分别为 ，抽样频率为100sfkHz1210,35ppfkHz fkHz1218,25ssfkHz fkHz解：预畸变1212121220.2 ,20.720.36 ,20.5ppppssssssssffffff

22、ff 12121212tan,tan,tan,tan2222ppssppsscccc121220222011ppppBB 同理，12122022204.42364.5201ssssBB 0.10.1lg (101)/(101)1.07032lg/pspsN取N=2，查表得：21( )(1.41421)anHsss求得实际模拟带阻滤波器的系统函数为22022222001( )( )()1.41421SPansBssHsHssBsBss22012210.6377,1.6377ppppcBc 代入得：123412340.292890.259190.643130.259190.29289( )10.4

23、42460.0573410.0759150.17157zzzzH zzzzz6.4 频率变化法设计IIR数字滤波器 数字域频率变换法数字域频率变换法设计的思想是先将归一化模拟原型低通滤波器变换成数字原型低通滤波器，然后在数字域、通过数字频带变换将数字原型低通滤波器变换成低通、带通、带阻或高通数字滤波器，以获得性能技术指标要求的系统函数。设由归一化模拟原型低通滤波器转换成数字原型低通滤波器的系统函数为 ，从数字原型低通滤波器变换到数字各型滤波器 的映射关系可写为：( )LDHz( )GeHz11()( )( )GeLDzG zHzHz其中 为变换函数。11()zG zz平面和 平面之间的映射关系

24、必须满足z 平面的单位圆必须映射到z平面的单位圆上 平面的单位圆内部必须映射到z平面的单位圆内， 平面的单位圆外必须映射到z平面的单位圆外部。zzz设 和 分别为 平面和z平面的数字频率变量，即z,jjzeze，由频率变换函数11()zG z可得：arg()()()jjjjjG eeG eG ee这要求 的幅度相应和相位响应满足：()jG e()1,arg ()jjG eG e 频带变换函数 可以表示为全通函数的表达式为：11()zG z11111()1NiiizazG za z 1.数字原型低通滤波器变换成数字低通滤波器若N=1，则1111()1izazG za z其中a为实数，且 ，此时，

25、满足G(1)=1，G(-1)=-11a 将,jjzeze代入得：sinarctan1cosaaa的大小可以由原型低通滤波器的截止频率 和变换后对应的截止频率 确定。ccsin()2sin()2cccca则可由数字原型低通滤波器 变换得到实际低通滤波器得系统函数( )LDHz( )LPHz1111( )( )iLPLDzaza zHzHz2.数字低通滤波器变换成数字带通滤波器2111122121()1zd zdzG zd zd z1221,11dd 122121cos()/cos(),tan()cot()2222ppppppp数字原型低通滤波器 到实际带通数字滤波器的变换公式 为( )LDHz( )BPHz2111221211( )( )BPLDzd zdzd zd zHzHz例6-8 试设计一个巴特沃思数字带通滤波器，通带内的衰减=-3dB， ，阻带衰减=-15dB， 求此滤波器的系统函数。0.450.5500.3 ,0.7解：预畸变12121212tantan(0.225 ),tantan(0.275 ),22tantan(0.15 ),tantan(0.35 )22ppppssssccccccc