第6章模拟滤波器设计

1、第第6章章 模拟滤波器设计模拟滤波器设计6.1 滤波的基本概念滤波的基本概念6.2 模拟滤波器的设计原理模拟滤波器的设计原理6.3 典型的模拟滤波器典型的模拟滤波器本章内容参考：本章内容参考：郑君里等郑君里等信号与系统（第二版）信号与系统（第二版）下册下册第十章第十章 模拟与数字滤波器模拟与数字滤波器MATLAB: Signal Processing Toolbox6.1 滤波器的基本概念滤波器的基本概念（1）滤波与滤波器）滤波与滤波器滤波技术是信号处理的一种基本而重要的技术。滤波技术是信号处理的一种基本而重要的技术。采用这种技术，可以从信号中提取所需要的部分，抑采用这种技术，可以从信号中提取

2、所需要的部分，抑制不需要的部分。所谓信号处理，在一般情况下，就制不需要的部分。所谓信号处理，在一般情况下，就是指对信号进行滤波（是指对信号进行滤波（filter）。对信号进行滤波的系）。对信号进行滤波的系统，称为滤波器（统，称为滤波器（filter）。）。英汉双解词典对英汉双解词典对filter的解释：的解释：filter：滤光器，滤色镜，滤波器，：滤光器，滤色镜，滤波器，n. vt. vi.Any of various electric, electronic, acoustic, or optical devices used to reject signals, vibrations,

3、or radiations of certain frequencies while passing others.一种电学的、电子学的、声学的或光学的设备，用于一种电学的、电子学的、声学的或光学的设备，用于在通过其它物时限制特定频率的信号、振动或放射。在通过其它物时限制特定频率的信号、振动或放射。滤波器是一种频率选择装置，可以使输入滤波器是一种频率选择装置，可以使输入信号中的某些特定频率范围的分量通过，阻止信号中的某些特定频率范围的分量通过，阻止或较大地衰减输入信号中的其他频率范围的分或较大地衰减输入信号中的其他频率范围的分量，所以又称为频率选择性滤波器。量，所以又称为频率选择性滤波器。滤波

4、器的这种频率选择特性，由滤波器的滤波器的这种频率选择特性，由滤波器的频率特性频率特性H(j)来决定。来决定。频率特性：频率特性：频率特性：频率特性：幅频特性：幅频特性：相频特性：相频特性：jssHjH)()()()()(jejHjH)(jH)(（2）滤波器的分类滤波器的分类从不同的角度，可以对滤波器进行不同的分从不同的角度，可以对滤波器进行不同的分类。类。根据所处理的信号类型的不同，可以将滤波根据所处理的信号类型的不同，可以将滤波器分为模拟滤波器和数字滤波器两大类。器分为模拟滤波器和数字滤波器两大类。模拟滤波器是连续时间系统，用来处理模模拟滤波器是连续时间系统，用来处理模拟信号或连续时间信号。

5、拟信号或连续时间信号。数字滤波器是离散时间系统，用来处理数数字滤波器是离散时间系统，用来处理数字信号或离散时间信号。字信号或离散时间信号。模拟滤波器设计是数字滤波器设计的基础。模拟滤波器设计是数字滤波器设计的基础。根据滤波器的频率选择作用的不同，根据滤波器的频率选择作用的不同，可以将滤波器分为以下可以将滤波器分为以下4类：类：低通滤波器低通滤波器(lowpass filter)高通滤波器高通滤波器(highpass filter)带通滤波器带通滤波器(bandpass filter)带阻滤波器带阻滤波器(bandstop filter)其中低通滤波器是基础，其他其中低通滤波器是基础，其他3类滤

6、波器类滤波器均可以从低通滤波器转化而来。均可以从低通滤波器转化而来。低通低通高通高通带通带通带阻带阻（3）理想低通滤波器）理想低通滤波器理想低通滤波器的频率特性：理想低通滤波器的频率特性：理想低通滤波器的幅频特性：理想低通滤波器的幅频特性：理想低通滤波器的相频特性：理想低通滤波器的相频特性：0)(tjeH其它, 0, 1)(ccjH0)(t理想低通滤波器的幅频特性：矩形窗。理想低通滤波器的幅频特性：矩形窗。理想低通滤波器的相频特性：线性相位。理想低通滤波器的相频特性：线性相位。相关概念的定义：相关概念的定义：通带：通带：0c截止频率：截止频率：cccjH0 00t因为理想低通滤波器的单位脉冲响

7、应函数因为理想低通滤波器的单位脉冲响应函数是非因果、无限长的函数（从傅里叶变换的性是非因果、无限长的函数（从傅里叶变换的性质即可看出）。所以，实际上，理想低通滤波质即可看出）。所以，实际上，理想低通滤波器在物理上是无法实现的。因此，设计滤波器器在物理上是无法实现的。因此，设计滤波器的核心问题，就是求出一个在物理上可以实现的核心问题，就是求出一个在物理上可以实现的系统的系统H(s)，使其频率特性，使其频率特性H(j)尽量逼近理尽量逼近理想低通滤波器的频率特性，以满足所给定的滤想低通滤波器的频率特性，以满足所给定的滤波参数的要求。波参数的要求。ccjH0 00t（4）实际低通滤波器的性能指标）实际

8、低通滤波器的性能指标通带通带 0 p 中，中，pppjH,1)(1阻带阻带s 中，中，ssjH,)(0p:通带截止频率通带截止频率s:阻带截止频率阻带截止频率 p:通带波纹通带波纹 s:阻带波纹阻带波纹 p:通带峰值波纹通带峰值波纹 s:最小阻带衰减最小阻带衰减dBpp)1 (log2010dBss10log20实际低通滤波器的性能指标：实际低通滤波器的性能指标：只考虑幅频特性，不考虑相频特性。只考虑幅频特性，不考虑相频特性。通带通带: 使信号通过的频带。使信号通过的频带。阻带：抑制噪声通过的频带。阻带：抑制噪声通过的频带。过渡带：通带到阻带间过渡的频率范围。过渡带：通带到阻带间过渡的频率范围

9、。c：截止频率，半功率点，功率衰减：截止频率，半功率点，功率衰减1/2，-3db衰减点，幅值衰减衰减点，幅值衰减理想低通滤波器：理想低通滤波器：过渡带为零，过渡带为零，阻带内幅值阻带内幅值|H(j)|=0，通带内幅值通带内幅值|H(j)|=常数，常数，H(j)的相位是线性的。的相位是线性的。216.2 模拟滤波器的设计原理模拟滤波器的设计原理根据拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系，根据拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系，可得从模拟滤波器的传递函数可得从模拟滤波器的传递函数H(s)来确定模拟来确定模拟滤波器的频率特性滤波器的频率特性H(j)的方法：的方法：jssHjH)()(所谓模拟滤波器的设计问题，就

10、是已知所谓模拟滤波器的设计问题，就是已知模拟滤波器的频率特性模拟滤波器的频率特性H(j)，进而确定模拟，进而确定模拟滤波器的传递函数滤波器的传递函数H(s)。解决方法：在一定的前提条件下，从频解决方法：在一定的前提条件下，从频率特性率特性H(j)的模的平方函数的模的平方函数|H(j)|2，可以确，可以确定模拟滤波器的传递函数定模拟滤波器的传递函数H(s)。j000jssHjH)()(现在需要解决的就是这样一个相反的问题：现在需要解决的就是这样一个相反的问题：如何从模拟滤波器的频率特性如何从模拟滤波器的频率特性H(j)来确定模拟来确定模拟滤波器的传递函数滤波器的传递函数H(s)？非常困难。？非常

11、困难。模拟滤波器的设计，就是根据一组设计规模拟滤波器的设计，就是根据一组设计规范，设计模拟滤波器的系统函数范，设计模拟滤波器的系统函数H(s)，使其近似，使其近似某个理想的滤波器特性某个理想的滤波器特性H(j)。针对所分析的模拟滤波器进行一些必要的针对所分析的模拟滤波器进行一些必要的限制和假设，才有可能确定模拟滤波器的传递限制和假设，才有可能确定模拟滤波器的传递函数函数H(s)。假设一：假设所分析的模拟滤波器为因果假设一：假设所分析的模拟滤波器为因果系统。此时可以得到一些有用的结论。系统。此时可以得到一些有用的结论。如果系统满足此条件，那么可以得到下面如果系统满足此条件，那么可以得到下面的重要

12、结论。的重要结论。在因果系统中，系统单位脉冲响应函数在因果系统中，系统单位脉冲响应函数h(t)的傅里叶变换就是系统的频率特性的傅里叶变换就是系统的频率特性H(j)其中单位脉冲响应函数其中单位脉冲响应函数h(t) 一般是实函数。因为一般是实函数。因为0)()(dtethjHtj 0sincosdttjtthjH 00sincossincosdttjtthdttjtthjH 0*sincosdttjtthjH即频率特性即频率特性H(j)的翻转的翻转H(-j)与其共轭与其共轭H*(j)相等。相等。此结论为实函数的傅里叶变换的重要结论。此结论为实函数的傅里叶变换的重要结论。所以可得所以可得jHjH*假

13、设二：假设所分析的模拟滤波器的频率假设二：假设所分析的模拟滤波器的频率特性特性H(j)的模的平方函数的模的平方函数|H(j)|2可以表示为可以表示为频率频率的平方的平方2的函数。的函数。如果频率特性如果频率特性H(j)满足此条件，那么则满足此条件，那么则有有jssHsHjHjHjHjHjHAA)()()()()()()()()(*222222,jsjs所以有所以有又因为又因为jssAA)()(22现在的问题是：如何由现在的问题是：如何由A(-s2)得到得到H(s)？) 1 ()()()(2jsjssAsHsH进而有进而有假设三：假设所分析的模拟滤波器为稳定假设三：假设所分析的模拟滤波器为稳定系

14、统。系统。如果系统满足此条件，那么可以进行以下如果系统满足此条件，那么可以进行以下的一些推断。的一些推断。对于给定的对于给定的A(-s2)，首先在，首先在s复平面上标出复平面上标出A(-s2)的极点和零点。由的极点和零点。由(1)式知，式知， A(-s2) 的极点的极点和零点总是成对出现，而且对称于和零点总是成对出现，而且对称于s平面的实轴平面的实轴和虚轴。选用和虚轴。选用A(-s2)的对称极点和零点的任意一的对称极点和零点的任意一半作为半作为H(s)的极点和零点，则可得到的极点和零点，则可得到H(s)。) 1 ()()()(2jsjssAsHsHh(t)是实函数是实函数H(s)H(-s)的零

15、、极点分布的零、极点分布 ) 1 ()()()(2jsjssAsHsH根据系统的稳定性判据，当极点位于左半根据系统的稳定性判据，当极点位于左半平面时，则系统稳定。为了保证系统平面时，则系统稳定。为了保证系统H(s)的稳的稳定性，应当选用定性，应当选用A(-s2) 在在s平面的左半平面的极平面的左半平面的极点作为点作为H(s)的极点，而零点则可以选用任何一的极点，而零点则可以选用任何一半的零点。半的零点。进一步说明：进一步说明：（1）极点的归属：为了保证系统）极点的归属：为了保证系统H(s)的稳定性，的稳定性，如果位于左半平面，则此极点归如果位于左半平面，则此极点归H(s)。如果位于右半平面，则

16、此极点归如果位于右半平面，则此极点归H(-s)。（2）零点的归属：零点的归属不唯一，但是一）零点的归属：零点的归属不唯一，但是一般与极点相同，即左半平面归般与极点相同，即左半平面归H(s)，右半平面归，右半平面归H(-s)，则得到的系统为最小相位系统。，则得到的系统为最小相位系统。（3）从频率特性）从频率特性H(j)的模的平方函数的模的平方函数|H(j)|2来来确定模拟滤波器的传递函数确定模拟滤波器的传递函数H(s)，因为只考虑了，因为只考虑了幅频特性，并没有考虑相频特性，所以丢失了相幅频特性，并没有考虑相频特性，所以丢失了相频特性的信息。这就是这种设计方法的缺陷。频特性的信息。这就是这种设计

17、方法的缺陷。)16)(9(25)(222A例：已知模的平方函数为：例：已知模的平方函数为：确定系统的传递函数。确定系统的传递函数。解：解：)4)(4)(3)(3(25)16)(9(25)()()(222sssssssAsHsH222jsjs系统系统无零点无零点，有，有4个极点：个极点：4, 4, 3, 34321ssss4, 342ss极点位于左半平面极点位于左半平面，归，归H(s)4, 331ss极点位于右半平面极点位于右半平面，归，归H(-s)确定比例增益常数确定比例增益常数K*K=25，得，得K=5。所以系统函数为。所以系统函数为)4)(3(5)(sssH该系统为低通滤波器，由两个一阶惯

18、性环节和一个比例该系统为低通滤波器，由两个一阶惯性环节和一个比例环节串联组成。环节串联组成。2222216(25) ()( )(49)(36)H jH s已知模的平方函数：，求系统函数。例：解：222222216(25)( )()()(49)(36)ssH s HsH jss7, 6ss 极点：零点： （二阶）5sj 零点：5sj 7, 6ss 的极点：( )H s设增益常数为K020(25)( )(7)(6)KsH sss000164KKK由，得2224(25)4100( )(7)(6)1342ssH sssss6.3 典型的模拟滤波器典型的模拟滤波器三种典型的模拟滤波器：三种典型的模拟滤波

19、器：(1)巴特沃兹滤波器（巴特沃兹滤波器（Butterworth Filter） (2)切比雪夫滤波器（切比雪夫滤波器（Chebyshev Filter）(3)椭圆滤波器（椭圆滤波器（Elliptic Filter）这三种著名滤波器的特点：这三种著名滤波器的特点：性能良好、理论完善。性能良好、理论完善。本节内容主要参考：本节内容主要参考：MATLAB: Signal Processing Toolbox6.3.1 巴特沃兹滤波器巴特沃兹滤波器(Butterworth Filter)Butterworth filters are characterized by a magnitude resp

20、onse that is maximally flat in the passband and monotonic overall. In the lowpass case, the first 2N-1 derivatives of the squared magnitude response are zero at = 0. The squared magnitude response function isNcjH211NcjH2211其中其中c为有效通带的截止频率。为有效通带的截止频率。N为滤波器的为滤波器的阶数。并可称为阶数。并可称为N阶巴特沃斯低通滤波器。阶巴特沃斯低通滤波器。Bu

21、tterworth FilterN阶巴特沃斯低通滤波器的特点：阶巴特沃斯低通滤波器的特点：（1）=0处的最大平坦幅频特性，前处的最大平坦幅频特性，前2N-1阶导阶导数为数为0。（2）-3dB截止频率（参数截止频率（参数c ），半功率点。），半功率点。带宽，半功率点。截止频率，：dBdBdBjHGcc33321log10)(log10)( c10210（3）幅频特性的陡峭程度）幅频特性的陡峭程度由阶数由阶数N决定。决定。（4）幅频特性单调下降。）幅频特性单调下降。012300.20.40.60.81WMagnitudeButterworth FilterN = 2N = 4N = 10幅频响应幅

22、频响应121212211,2,.,2NkckjNcsjekN N阶巴特沃斯低通滤波器没有零点，是阶巴特沃斯低通滤波器没有零点，是一个全极点滤波器。可以证明，一个全极点滤波器。可以证明，H(s)H(-s)的的2N个极点为个极点为N阶巴特沃斯低通滤波器的阶巴特沃斯低通滤波器的H(s)H(-s)的的2N个极点的分布特点：个极点的分布特点：（1）2N个极点在个极点在s平面呈象限对称分布，均平面呈象限对称分布，均匀分布在匀分布在Buttterworth圆上。圆上。（2）极点间的角度间隔为极点间的角度间隔为 。（3）极点不在虚轴上。）极点不在虚轴上。（4）当）当N为奇数时，实轴上有极点。为奇数时，实轴上有

23、极点。（5）当）当N为偶数时，实轴上无极点。为偶数时，实轴上无极点。()radNH(s)H(-s)的零、极点分布的零、极点分布(a)N=3(三阶三阶)，H(s)H(-s)的的6个极点对称分布。个极点对称分布。(b)N=4(四阶四阶)，H(s)H(-s)的的8个极点对称分布。个极点对称分布。MATLAB Function 1: buttapFunction Name: Analog Lowpass Filter PrototypesPurpose: Butterworth analog lowpass filter prototypeSyntax: z,p,k = buttap(n)Descri

24、ption: z,p,k = buttap(n) returns the poles and gain of an order n Butterworth analog lowpass filter prototype. The function returns the poles in the length n column vector p and the gain in scalar k. z is an empty matrix because there are no zeros. The transfer function isnnnnnasasasasKsH12211)(例：例：

25、z,p,k = buttap(2)计算结果：计算结果：z = p = -0.7071 + 0.7071i -0.7071 - 0.7071ik = 1例：例：z,p,k = buttap(3)计算结果：计算结果：z = p = -0.5000 + 0.8660i -0.5000 - 0.8660i -1.0000 k = 1.0000MATLAB Function 2: butterFunction Name: Analog Filter DesignPurpose: Butterworth analog and digital filter designSyntax:b,a = butter

26、(n,Wn)b,a = butter(n,Wn,ftype)b,a = butter(n,Wn,s)b,a = butter(n,Wn,ftype,s)z,p,k = butter(.)A,B,C,D = butter(.)Description:butter designs lowpass, bandpass, highpass, and bandstop digital and analog Butterworth filters. Butterworth filters are characterized by a magnituderesponse that is maximally

27、flat in the passband and monotonic overall.Butterworth filters sacrifice rolloff steepness for monotonicity in the pass- and stopbands. Unless the smoothness of the Butterworth filter is needed, anelliptic or Chebyshev filter can generally provide steeper rolloff characteristics with a lower filter

28、order.例：例：For example, design a 9th-order Butterworth lowpass filter with a cutoff frequency of 400 Hz, based on a 2000 Hz sampling frequency.解：解：b,a = butter(9,400/1000)计算结果：计算结果：分子多项式的系数：分子多项式的系数：b = 0.0011 0.0096 0.0384 0.0895 0.1342 0.1342 0.0895 0.0384 0.0096 0.0011分母多项式的系数：分母多项式的系数：a = 1.0000

29、-1.7916 2.5319 -2.1182 1.3708 -0.6090 0.1993 -0.0431 0.0058 -0.0004Now calculate the 256-point complex frequency response for this filter, and plot the magnitude and phase with a call to freqz.freqz(b,a,256,2000);MATLAB Function 3: buttordFunction Name: Butterworth filter order and cutoff frequencyP

30、urpose: Calculate the order and cutoff frequency for a Butterworth filterSyntax: n,Wn = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)n,Wn = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,s)Description:buttord calculates the minimum order of a digital or analog Butterworth filter required to meet a set of filter design specifications.n,Wn = buttord(Wp

31、,Ws,Rp,Rs) returns the lowest order, n, of the digital Butterworth filter that loses no more than Rp dB in the passband and has at least Rs dB of attenuation in the stopband. The scalar (or vector) of corresponding cutoff frequencies, Wn, is also returned. Use the output arguments n and Wn in butter

32、.n,Wn = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,s) finds the minimum order n and cutoff frequencies Wn for an analog Butterworth filter. 例：例：For data sampled at 1000 Hz, design a lowpass Butterworth filter with less than 3 dB of ripple in the passband, defined from 0 to 40 Hz, and at least 60 dB of attenuation in the s

33、topband, defined from 150 Hz to the Nyquist frequency (500 Hz). 解：解：(1) Calculate the order and cutoff frequency:Wp = 40/500; Ws = 150/500; n,Wn = buttord(Wp,Ws,3,60) 计算结果：计算结果：n = 5Wn = 0.0810(2) Design the filter:b,a = butter(n,Wn)计算结果：计算结果：分子多项式的系数：分子多项式的系数：b = 1.0e-003 * 0.0227 0.1136 0.2272 0.2

34、272 0.1136 0.0227分母多项式的系数：分母多项式的系数：a = 1.0000 -4.1768 7.0358 -5.9686 2.5478 -0.4375(3) Plot the filters frequency response: Now calculate the 512-point complex frequency response for this filter, and plot the magnitude and phase with a call to freqz.freqz(b,a,512,1000); 6.3.2 切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器(Chebyshe

35、v Filter)6.3.2.1 Chebyshev Type I FilterThe Chebyshev Type I filter minimizes the absolute difference between the ideal and actual frequency response over the entire passband by incorporating an equal ripple of Rp dB in the passband. Stopband response is maximally flat. The transition from passband

36、to stopband is more rapid than for the Butterworth filter.)(11)()(2222cNVjHA（实现单调特性）（实现等波纹特性）1)coshcosh(1)coscos()(11xxNxxNxVN其中其中VN(x)为为N阶切比雪夫多项式：阶切比雪夫多项式：c为有效通带的截止频率。为有效通带的截止频率。 为为与通带波纹有关的参数，与通带波纹有关的参数， 越越大，则波纹大，则波纹越大，越大，0 1 。Chebyshev Type I Filter切比雪夫切比雪夫I型滤波器的特点：型滤波器的特点：（1）通带内具有等波纹；）通带内具有等波纹；（2

37、）阻带内单调下降。）阻带内单调下降。012300.20.40.60.81WMagnitudeType 1 Chebyshev FilterN = 2N = 3N = 8幅频响应幅频响应巴特沃斯滤波器与切比雪夫巴特沃斯滤波器与切比雪夫I型滤波器的比较：型滤波器的比较：（1）Butterworth滤波器滤波器的的频率特性，无论在通带与频率特性，无论在通带与阻带，都随频率而单调变化。因此，如果在通带边缘阻带，都随频率而单调变化。因此，如果在通带边缘满足指标，则在通带内肯定会有富裕量，也就是会超满足指标，则在通带内肯定会有富裕量，也就是会超过指标的要求，因而并不经济。过指标的要求，因而并不经济。012

38、300.20.40.60.81WMagnitudeType 1 Chebyshev FilterN = 2N = 3N = 8012300.20.40.60.81WMagnitudeButterworth FilterN = 2N = 4N = 10012300.20.40.60.81WMagnitudeType 1 Chebyshev FilterN = 2N = 3N = 8012300.20.40.60.81WMagnitudeButterworth FilterN = 2N = 4N = 10巴特沃斯滤波器与切比雪夫巴特沃斯滤波器与切比雪夫I型滤波器的比较：型滤波器的比较：（2）更有效

39、的方法是，将指标的精度要求均匀地分更有效的方法是，将指标的精度要求均匀地分布在通带内，或均匀地分布在阻带内，或同时均匀地布在通带内，或均匀地分布在阻带内，或同时均匀地分布在通带与阻带内。这时，就可设计出阶数较低的分布在通带与阻带内。这时，就可设计出阶数较低的滤波器。这种精度均匀分布的办法，可通过选择具有滤波器。这种精度均匀分布的办法，可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来完成。这就是等波纹特性的逼近函数来完成。这就是切比雪夫切比雪夫I型型滤波器的基本思想。滤波器的基本思想。巴特沃斯滤波器与切比雪夫巴特沃斯滤波器与切比雪夫I型滤波器的比较：型滤波器的比较：（3）切比雪夫）切比雪夫I型滤波器在通带内

40、的幅频特性等幅变型滤波器在通带内的幅频特性等幅变化。而巴特沃兹滤波器在通带内的幅频特性单调下降。化。而巴特沃兹滤波器在通带内的幅频特性单调下降。如果二者的阶次一定，则巴特沃兹滤波器在靠近截止如果二者的阶次一定，则巴特沃兹滤波器在靠近截止频率频率c处，幅频特性下降很多。或者说，为了使通带处，幅频特性下降很多。或者说，为了使通带内的衰减足够小，巴特沃兹滤波器需要的阶次内的衰减足够小，巴特沃兹滤波器需要的阶次N很高。很高。为了克服巴特沃兹滤波器的这一缺点，可以采用切比为了克服巴特沃兹滤波器的这一缺点，可以采用切比雪夫多项式逼近所希望的频率特性雪夫多项式逼近所希望的频率特性H(j)的模的平方的模的平方

41、函数函数|H(j)|2。（4）切比雪夫）切比雪夫I型滤波器的频率特性型滤波器的频率特性H(j)的模的平的模的平方函数方函数|H(j)|2在通带范围内是等幅起伏的，所以同在通带范围内是等幅起伏的，所以同样的通带衰减，其阶数小于巴特沃兹滤波器的阶数。样的通带衰减，其阶数小于巴特沃兹滤波器的阶数。可以根据需要，对通带内允许的衰减量（波动范围）可以根据需要，对通带内允许的衰减量（波动范围）提出具体的要求。提出具体的要求。MATLAB Function 1: cheb1apPurpose: Chebyshev Type I analog lowpass filter prototypeSyntax: z

42、,p,k = cheb1ap(n,Rp)Description: z,p,k = cheb1ap(n,Rp) returns the poles and gain of an order n Chebyshev Type I analog lowpass filter prototype with Rp dB of ripple in the passband. The function returns the poles in the length n column vector p and the gain in scalar k. z is an empty matrix, becaus

43、e there are no zeros. The transfer function isnnnnnasasasasKsH12211)(MATLAB Function 2: cheby1Function Name: Chebyshev Type I filter design (passband ripple)Purpose: Chebyshev Type I filter design (passband ripple)Syntax:b,a = cheby1(n,Rp,Wn)b,a = cheby1(n,Rp,Wn,ftype)b,a = cheby1(n,Rp,Wn,s)b,a = ch

44、eby1(n,Rp,Wn,ftype,s)z,p,k = cheby1(.)A,B,C,D = cheby1(.)Description: cheby1 designs lowpass, bandpass, highpass, and bandstop digital and analog Chebyshev Type I filters. Chebyshev Type I filters are equiripple in thepassband and monotonic in the stopband. Type I filters roll off faster than type I

45、I filters, but at the expense of greater deviation from unity in the passband.MATLAB Function 3: cheb1ordFunction Name: Chebyshev Type I filter order Purpose: Calculate the order for a Chebyshev Type I filterSyntax: n,Wn = cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs)n,Wn = cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,s)Description:cheb1ord calcu

46、lates the minimum order of a digital or analog Chebyshev Type I filter required to meet a set of filter design specifications.例：例：For data sampled at 1000 Hz, design a lowpass Chebyshev Type I filter with less than 3 dB of ripple in the passband, defined from 0 to 40 Hz, and at least 60 dB of ripple

47、 in the stopband, defined from 150 Hz to the Nyquist frequency (500 Hz).解：解：(1) Calculate the order and cutoff frequency:Wp = 40/500; Ws = 150/500;Rp = 3; Rs = 60;n,Wn = cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs)计算结果：计算结果：n = 4Wn = 0.0800(2) Design the filter:b,a = cheby1(n,Rp,Wn)计算结果：计算结果：分子多项式的系数：分子多项式的系数：b = 1.0e-003

48、 * 0.0292 0.1168 0.1752 0.1168 0.0292分母多项式的系数：分母多项式的系数：a = 1.0000 -3.7925 5.4556 -3.5266 0.8641(3) Plot the filters frequency response: Now calculate the 512-point complex frequency response for this filter, and plot the magnitude and phase with a call to freqz.freqz(b,a,512,1000);6.3.2.2 Chebyshev

49、Type II FilterThe Chebyshev Type II filter minimizes the absolute difference between the ideal and actual frequency response over the entire stopband by incorporating an equal ripple of Rs dB in the stopband. Passband response is maximally flat. The stopband does not approach zero as quickly as the

50、type I filter (and does not approach zero at all for even-valued filter order n). The absence of ripple in the passband, however, is often an important advantage.)()(11)()(22222cNcNVVjHA其中其中VN(x)为为N阶切比雪夫多项式：阶切比雪夫多项式：c为有效通带的截止频率。为有效通带的截止频率。 为为与阻带波纹有关的参数，与阻带波纹有关的参数， 越越大，则波纹大，则波纹越大，越大，0 1 。（实现单调特性）（实现等

51、波纹特性）1)coshcosh(1)coscos()(11xxNxxNxVNChebyshev Type II Filter切比雪夫切比雪夫2型滤波器的特点：型滤波器的特点：（1）通带内单调下降；）通带内单调下降；（2）阻带内具有等波纹。）阻带内具有等波纹。幅频响应幅频响应012300.20.40.60.81WMagnitudeType 2 Chebyshev FilterN = 3N = 5N = 7MATLAB Function 1: cheb2apPurpose: Chebyshev Type II analog lowpass filter prototypeSyntax: z,p,k

52、 = cheb2ap(n,Rs)Description: z,p,k = cheb2ap(n,Rs) finds the zeros, poles, and gain of an order n Chebyshev Type II analog lowpass filter prototype with stopband ripple Rs dB down from the passband peak value. heb2ap returns the zeros and poles in length n column vectors z and p and the gain in scal

53、ar k. If n is odd, z is length n-1. The transfer function isnnnnnnnnnnasasasasbzbzbzbzKsH1221112211)(MATLAB Function 2: cheby2Function Name: Chebyshev Type II filter design (stopband ripple)Purpose: Chebyshev Type II filter design (stopband ripple)Syntax:b,a = cheby2(n,Rs,Wn)b,a = cheby2(n,Rs,Wn,fty

54、pe)b,a = cheby2(n,Rs,Wn,s)b,a = cheby2(n,Rs,Wn,ftype,s)z,p,k = cheby2(.)A,B,C,D = cheby2(.)Description: cheby2 designs lowpass, highpass, bandpass, and bandstop digital and analog Chebyshev Type II filters. Chebyshev Type II filters are monotonic in the passband and equiripple in the stopband. Type

55、II filters do not roll off as fast as type I filters, but are free of passband ripple.MATLAB Function 3: cheb2ordFunction Name: Chebyshev Type II filter orderPurpose: Calculate the order for a Chebyshev Type II filterSyntax: n,Wn = cheb2ord(Wp,Ws,Rp,Rs)n,Wn = cheb2ord(Wp,Ws,Rp,Rs,s)Description:cheb2

56、ord calculates the minimum order of a digital or analog Chebyshev Type II filter required to meet a set of filter design specifications.例：例：For data sampled at 1000 Hz, design a lowpass Chebyshev Type II filter with less than 3 dB of ripple in the passband, defined from 0 to 40 Hz, and at least 60 d

57、B of attenuation in the stopband, defined from 150 Hz to the Nyquist frequency (500 Hz).解：解：(1) Calculate the order and cutoff frequency:Wp = 40/500; Ws = 150/500;Rp = 3; Rs = 60;n,Ws = cheb2ord(Wp,Ws,Rp,Rs)计算结果：计算结果：n = 4Ws = 0.3000(2) Design the filter:b,a = cheby2(n,Rs,Ws)计算结果：计算结果：分子多项式的系数：分子多项式

58、的系数：b = 0.0024 -0.0012 0.0034 -0.0012 0.0024分母多项式的系数：分母多项式的系数：a = 1.0000 -3.2179 3.9457 -2.1773 0.4553(3) Plot the filters frequency response: Now calculate the 512-point complex frequency response for this filter, and plot the magnitude and phase with a call to freqz.freqz(b,a,512,1000);6.3.3 椭圆滤波器椭圆滤波器(Elliptic Filter)Elliptic filters are equiripple in both the p