第3章恒定电场(3) 恒定电场的基本方程

1、3.1 3.1 电流密度电流密度3.2 3.2 欧姆定律和焦耳定律欧姆定律和焦耳定律3.3 3.3 恒定电场的基本方程恒定电场的基本方程3.4 3.4 分界面上的边界条件分界面上的边界条件3.5 3.5 恒定电场与静电场的比拟恒定电场与静电场的比拟3.6 3.6 接地电阻接地电阻第三章第三章 恒定电场恒定电场2二、恒定电场的基本方程二、恒定电场的基本方程一、电流连续性方程一、电流连续性方程三、导电媒质内的体积电荷三、导电媒质内的体积电荷3二、恒定电场的基本方程二、恒定电场的基本方程3-3 一、电流连续性方程一、电流连续性方程三、导电媒质内的体积电荷三、导电媒质内的体积电荷4一、电流连续性方程一

2、、电流连续性方程1、积分形式、积分形式2、微分形式、微分形式3、物理意义、物理意义3-3 5一、电流连续性方程一、电流连续性方程电荷守恒定律：电荷守恒定律：在孤立系统中，总电荷量保持不变。在孤立系统中，总电荷量保持不变。 根据电荷守恒，在有电流分布的空根据电荷守恒，在有电流分布的空间做一闭合曲面，单位时间内穿入、间做一闭合曲面，单位时间内穿入、穿出该曲面的电量等于曲面内电量穿出该曲面的电量等于曲面内电量变化率的负值。变化率的负值。 JS1、积分形式、积分形式即：即：电荷既不能产生，也不能被消灭，它只能电荷既不能产生，也不能被消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或从物体的一从一个物体转移到另

3、一个物体，或从物体的一部分转移到另一部分。部分转移到另一部分。6在有电荷流动的导体内在有电荷流动的导体内任取一闭合曲面任取一闭合曲面S，nSdJS设设单位时间单位时间dt内通过面元内通过面元dS的的电量为电量为dq，tqIdd（3-1）亦即：亦即：tqtqdddd根据根据电荷守恒定律电荷守恒定律单位时间向外流出的电荷单位时间向外流出的电荷 应等于应等于此闭合曲面单位时间减少的电荷此闭合曲面单位时间减少的电荷 。qddq即即闭合曲面单位时间内电荷的增量为闭合曲面单位时间内电荷的增量为 。qd则通过则通过dS的电流的电流I为：为：7设设（在有电荷流动的导体内任一）（在有电荷流动的导体内任一）闭合曲

4、面闭合曲面S内的电流体密度为内的电流体密度为 ，闭合曲面闭合曲面S内的电流为内的电流为I ，nSdJSJSSdJI（3-3）根据根据SSdJIqqddqd则：则：tqtqddddddddItqtqIItqIddtqSJSddd8即：即：上式是电荷守恒定律的数学表述，上式是电荷守恒定律的数学表述，又称又称电流连续性方程电流连续性方程（的积分形式）（的积分形式）。VSVttqSJdddd（3-19）VSVtSJdd电流密度矢量的通量电流密度矢量的通量等于该面内电荷减少率。等于该面内电荷减少率。 ：运动电荷的体密度运动电荷的体密度9发出于正电荷减少的地方，发出于正电荷减少的地方，终止于正电荷增加的地

5、方。终止于正电荷增加的地方。S线J0ddtq内电流线：电流线：VSVttqSJdddd0ddtq内0dSSJ0ddtq内0dSSJJS102 2、微分形式、微分形式即：即：（3-13-19 9）VSVtSJdd积分形式积分形式微分形式微分形式SVSdAdVAVVVtVJdd0dVVtJ11（电流连续性方程的微分形式）（电流连续性方程的微分形式）0dVVtJ要使该积分对任意体积都成立，要使该积分对任意体积都成立，只有被积函数为只有被积函数为0 0，即，即0tJ（3-21）12如果闭合曲面如果闭合曲面S内有正电荷积累起来，内有正电荷积累起来，则流入则流入S面内的电荷量多于流出的电荷量；面内的电荷量

6、多于流出的电荷量；3、物理意义、物理意义反之，如果反之，如果S面内的正电荷减少，面内的正电荷减少，则流出的电荷量多于流入的电荷量。则流出的电荷量多于流入的电荷量。13二、恒定电场的基本方程二、恒定电场的基本方程3-3 一、电流连续性方程一、电流连续性方程三、导电媒质内的体积电荷三、导电媒质内的体积电荷14二、二、恒定电场的基本方程恒定电场的基本方程恒定电场恒定电场：维持恒定电流的电场。：维持恒定电流的电场。恒定电流恒定电流：不随时间变化的电流。：不随时间变化的电流。150t即：即：（3-3-1919）VSVtSJdd00dSSJ（3-23-22 2）0tJ（3-3-2121）0 J（3-23-

7、23 3）0160dSSJ（3-23-22 2）0 J（3-23-23 3）积分形式积分形式微分形式微分形式恒定电流的条件恒定电流的条件任意时刻：任意时刻： 流进任意封闭面的电量，与流进任意封闭面的电量，与 流出该封闭面的电量相等。流出该封闭面的电量相等。17恒定电流条件恒定电流条件0dtdqSSdJ0当导体中任意闭合曲面满足上式时，闭合曲当导体中任意闭合曲面满足上式时，闭合曲面内没有电荷被积累起来，此时通过导体截面内没有电荷被积累起来，此时通过导体截面的电流是恒定的面的电流是恒定的恒定电流的条件恒定电流的条件。稳恒电流的电路必须是闭合的。稳恒电流的电路必须是闭合的。导体表面电流密度矢量无法向

8、分量。导体表面电流密度矢量无法向分量。18电流线连续地穿过电流线连续地穿过闭合曲面包围的体闭合曲面包围的体积，稳恒电流的电积，稳恒电流的电流线不可能在任何流线不可能在任何地方中断，永远是地方中断，永远是连续的曲线。连续的曲线。j21jj3s2s1s3S19若节点处无电荷积累若节点处无电荷积累即：即：321III)(113322sjsjsjdtdq0ddddVSVttqSJj21jj3s2s1s3S20稳恒电流是连续的，稳恒电流是连续的，其电流线总是闭合曲线。其电流线总是闭合曲线。21尽管电流是电荷运动形成的，尽管电流是电荷运动形成的，但由于电荷的分布不随时间改变，但由于电荷的分布不随时间改变，

9、因而由分布电荷产生的因而由分布电荷产生的库仑场库仑场 必定同必定同 静电场静电场具有相同的性质，具有相同的性质，即也是保守场（无旋的）。即也是保守场（无旋的）。所以，在电源以外，恒定电场满足：所以，在电源以外，恒定电场满足：由以上分析可知：由以上分析可知：0dClE0E（3-24）（3-25）22因此，恒定电场也可以用电位梯度表示：因此，恒定电场也可以用电位梯度表示：E（3-23-26 6）23EJ（欧姆定律的微分形式）（欧姆定律的微分形式）电源以外的恒定电场的电位满足电源以外的恒定电场的电位满足拉普拉斯方程拉普拉斯方程。推导：推导：0 J（3-23）)( EJ即：即：02对于均匀媒质，对于均

10、匀媒质， 为常量为常量E2)(（3-26）0E（3-27）24静电场的基本方程：静电场的基本方程：qSDlESCd0d积积分分形形式式DE0微微分分形形式式恒定电场的基本方程：恒定电场的基本方程：0d0dSCSJlE）或（E00JE）或（E(电源外电源外)(电源外电源外)25二、恒定电场的基本方程二、恒定电场的基本方程3-3 一、电流连续性方程一、电流连续性方程三、导电媒质内的体积电荷三、导电媒质内的体积电荷26三、三、导电媒质内的体积电荷导电媒质内的体积电荷恒定电场中恒定电场中不均匀的导电媒质不均匀的导电媒质内有可能积累电荷，内有可能积累电荷，其体积密度其体积密度 为：为：JJJJED)()

11、()()(恒定电场恒定电场0J)(（3-29）27J)(（3-29） ：导电媒质的介电常数，导电媒质的介电常数， ：导电媒质的电导率。导电媒质的电导率。在不均匀在不均匀导电媒质中，由于导电媒质中，由于 、 是坐标变量的函数是坐标变量的函数（只要（只要 / 不是处处为常数），体积电荷一般不为不是处处为常数），体积电荷一般不为0。在均匀在均匀导电媒质中，由于导电媒质中，由于 、 处处为常数，处处为常数，故故 =0，体积电荷为，体积电荷为0，即媒质中没有体积电荷的堆积。，即媒质中没有体积电荷的堆积。0)(28在没有达到稳恒状态之前，当电流刚进入导体时，在没有达到稳恒状态之前，当电流刚进入导体时，即便是均匀导体，其体积电荷也不为即便是均匀导体，其体积电荷也不为0。根据根据电流连续性方程电流连续性方程，有有)()()(DDDEJt均匀媒质均匀媒质0t29t 积分得：积分得： Ct lnttCtCteeeee00)0(0teC的初始值，是称为驰豫时间。，的将减至秒，即经过，是时间常数，e/10t30对大多数金属导体，对大多数金属导体， = 0， 纯金属纯金属的电阻率的电阻率 ：10-8W W .m 1 电导率电导率 ：108W W-1 .m-1 )(10101085. 8198120s驰豫时间例如铜的例如铜的 =10-19s。这说明电流一进入导体