概率论与数理统计课件(2-1)

1、第二章 随机变量共4学时 关于随机变量(及向量)的研究，是概率论的中心内容这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量也可以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，一如数学分析中的常量与变量的区分那样变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是随机变量随机变量2.12.1随机变量的概念随机变量的概念(p24)定义定义. . 设设S=eS=e是试验的样本空是试验的样本空间，如果量间，如果量X X是定义在是定义在S S上的一个单上的一

2、个单值实值函数即对于每一个值实值函数即对于每一个e e S S，有一，有一实数实数X=X(e)X=X(e)与之对应，则称与之对应，则称X X为为随机随机变量变量。随机变量随机变量常用常用X X、Y Y、Z Z 或或 、 、 等表示。等表示。随机变量的特点随机变量的特点: 1 X X的全部可能取值是互斥且完备的的全部可能取值是互斥且完备的2 X X的部分可能取值描述随机事件的部分可能取值描述随机事件EXEX引入适当的随机变量描述下列事件：引入适当的随机变量描述下列事件：将将3 3个球随机地放入三个盒子中，个球随机地放入三个盒子中，事件事件A=A=有有1 1个空盒个空盒 ，B=B=有有2 2个空盒

3、个空盒 ，C=C=全有球全有球 。进行进行5 5次试验，事件次试验，事件D=D=试验成功一次试验成功一次 ，F=F=试验至少成功一次试验至少成功一次 ，G=G=至多成功至多成功3 3次次 奇异型（混合型）连续型非离散型离散型随机变量随机变量的分类随机变量的分类：随机变量随机变量一、离散型随机变量一、离散型随机变量1.(P25)1.(P25)定义定义 若随机变量若随机变量X取值取值x1, x2, , xn, 且取这些值的概率依次为且取这些值的概率依次为p1, p2, , pn, , 则称则称X为离散型随机变量，而称为离散型随机变量，而称PX=xk=pk, (k=1, 2, ) 为为X的的分布律分

4、布律或概率分布。可表为或概率分布。可表为 X PX=xk=pk, (k=1, 2, )，或或 XX Xx x1 1 x x2 2x xK KP Pk kp1p2pk(1) pk 0, k1, 2, ;(2) 1.1kkp .35332CCCkXPkk例例1 设袋中有设袋中有5只球，其中有只球，其中有2只白只白3只黑。现从只黑。现从中任取中任取3只球只球(不放回不放回)，求抽得的白球数，求抽得的白球数X为为k的的概率。概率。解解 k可取值可取值0，1，22. 分布律的性质分布律的性质例例2.2.某射手对目标独立射击某射手对目标独立射击5 5次，每次命中目标的概次，每次命中目标的概率为率为p p，

5、以，以X X表示命中目标的次数，求表示命中目标的次数，求X X的分布律。的分布律。解：设解：设A Ai i第第i i次射击时命中目标，次射击时命中目标，i=1,2,3,4,5i=1,2,3,4,5则则A A1 1,A,A2,2,A A5,5,相互独立且相互独立且 P(A P(Ai i)=p,i=1,2,)=p,i=1,2,5. S5. SX X=0,1,2,3,4,5,=0,1,2,3,4,5,(1-p)5 )(054321AAAAAPXPAAAAAAAAAPXP4)1 (5pp5,.,1 , 0)1 (55kppCkXPkkk.25432154321AAAAAAAA

6、AAPXP3225)1 (PPC3几个常用的离散型分布几个常用的离散型分布（一）贝努里(Bernoulli)概型与二项分布1）. (0-1)分布分布(p26) 若以若以X表示进行一次试验事件表示进行一次试验事件A发生的次数，则称发生的次数，则称X服从服从(01)分布分布(两点分布两点分布) XPXkpk(1p)1k, (0p1时时,X的全部取值为的全部取值为:m,m+1,m+2,mpmXPPX=m+1=P第第m+1次试验时成功并且次试验时成功并且 在前在前m次试验中成功了次试验中成功了m-1次次,.2, 1,)1 (111mmmkpppCkXPmkmmkpppCmmm)1 (11想一想：离散型

7、随机变量的统计特征可以想一想：离散型随机变量的统计特征可以用分布律描述，非离散型的该如何描述？用分布律描述，非离散型的该如何描述？如：熊猫彩电的寿命如：熊猫彩电的寿命X X是一个随机变量，对是一个随机变量，对消费者来说，你是否在意消费者来说，你是否在意X5X5年年 还是还是X5X5年零年零1 1分钟分钟 2.3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数一、分布函数的概念一、分布函数的概念. 定义定义(P29)(P29) 设设X是是随机变量，对任意实数随机变量，对任意实数x，事事件件X x的概率的概率PX x称为随机变量称为随机变量X的的分布函数分布函数。记为记为F(x)，即即 F(x)P X x.

8、 易知，对任意实数易知，对任意实数a, b (ab), P aX bPX bPX a F(b)F(a).xX二、分布函数的性质二、分布函数的性质(P29) 1、单调不减性单调不减性：若：若x1x2, 则则F(x1) F(x2); 2、归一归一 性性：对任意实数：对任意实数x，0 F(x) 1，且且 ;1)x(Flim)(F,0)x(Flim)(Fxx ).x(F)x(Flim) 0 x(F0 xx00 3、右连续性：对任意实数右连续性：对任意实数x，反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是随机变量的分布函数。故该三个性质

9、是分布函数的充分必要性质分布函数的充分必要性质。一般地，对离散型随机变量一般地，对离散型随机变量 XPX= xkpk, k1, 2, 其分布函数为其分布函数为 xxkkkpxXPxF:)(例例1 设随机变量设随机变量X具分布律具分布律如右表如右表解解 )(xFx0112)(xXPxFX012P0.1 0.60.3试求出试求出X的分布函数的分布函数。2, 121 ,7 .010 , 1 .01,0 xxxx例例2 向向0,1区间随机抛一质点，以区间随机抛一质点，以X表示质点坐表示质点坐标标.假定假定质点落在质点落在0,1区间内任一子区间内的概区间内任一子区间内的概率与区间长成正比率与区间长成正比

10、，求，求X的分布函数的分布函数解：解： F(x)=PXx 1, 110,0, 0)()(xxxxxXPxF)(xFx101当x1时,F(x)=1当0 x1时,kxxXPxF0)(特别,F(1)=P0 x1=k=1用分布函数描述随机变量不如分布律直观，用分布函数描述随机变量不如分布律直观，对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法对非离散型随机变量，是否有更直观的描述方法？a ab b?bXap2.4 连续型随机变量一、概率密度一、概率密度 1. 定义定义(p33) 对于随机变量对于随机变量X，若存在非负函若存在非负函数数f(x)，(- x+ )，使对任意实数使对任意实数x，都有都有xduufx

11、XPxF)()()(则称则称X为连续型随机变量，为连续型随机变量， f(x)为为X的的概率概率密度函数密度函数，简称概率密度或密度函数，简称概率密度或密度函数. 常记为常记为 X f(x) , (- x+ )密度函数的密度函数的几何意义几何意义为为 badu)u(f)bXa(P2. 密度函数的性质密度函数的性质 (p34) (1) 非负性非负性 f(x) 0，(- x )； (2)归一性归一性.1)(dxxf性质性质(1)、(2)是密度函数的充要性质；是密度函数的充要性质； xaexf)(设随机变量X的概率密度为求常数a.答:21a(3) 若若x是是f(x)的连续点，则的连续点，则)()(xf

12、dxxdF设随机变量X的分布函数为求f(x)0211021)(xexexFxx（4 4） 对任意实数对任意实数b b，若若X X f(x)f(x)，(- (- xx ) )，则则PX=PX=b b 0 0。于是于是badxxfbXaPbXaPbXaP)(P(35) P(35) 例例2.3.2.2.3.2.已知随机变量已知随机变量X X的概率密度为的概率密度为1)1)求求X X的分布函数的分布函数F(x), 2)F(x), 2)求求PXPX (0.5,1.5)(0.5,1.5)其他021210)(xxxxxf二、几个常用的连续型分布二、几个常用的连续型分布1. 均匀分布均匀分布(p36) 若Xf

13、(x) ，其它0bxa,ab1。0ababcddxabdxxfdXcPdcdc1)() x ( fx则称则称X在在(a, b)内服从内服从均匀分布。记作均匀分布。记作 XU(a, b) 对任意实数对任意实数c, d (acd0的的指数分布。指数分布。其分布函数为其分布函数为)x(fx00, 00,1)(xxexFx例例 .电子元件的寿命电子元件的寿命X(X(年）年）服从参数为服从参数为3 3的指数的指数分布分布(1)(1)求该电子元件寿命超过求该电子元件寿命超过2 2年的概率。年的概率。(2)(2)已知该电子元件已使用了已知该电子元件已使用了1.51.5年，求它还能使年，求它还能使用两年的概率

14、为多少？用两年的概率为多少？解解, 000)(3xxexfx,.32) 1 (623edxeXpx65 . 135 . 33335 . 15 . 1, 5 . 35 . 1|5 . 3)2(edxedxeXXXpXXpxx例例. .某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为某公路桥每天第一辆汽车过桥时刻为T T，设设00，tt时段内过桥的汽车数时段内过桥的汽车数 X Xt t 服从服从参数为参数为 的泊松分布，求的泊松分布，求 T T 的概率密度。的概率密度。解)(tTPtF当t 0时，0)(tF当t 0时，)(tTPtF1tTP=1- 在在t t时刻之前无汽车过桥时刻之前无汽车过桥01tXPte1于是

15、000)( )(ttetFtft正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上 研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特 别重要的地位。别重要的地位。3. 正态分布正态分布ABA，B间真实距离为间真实距离为 ，测量值为，测量值为X。X的概率密度应该是什么形态？其中其中 为实数，为实数， 0 ，则称，则称X服从参数为服从参数为 , 2的的正态正态分布分布,记为记为N( , 2)，可表为可表为XN( , 2).若随机变量随机变量2221( ),.2xXf xex (1) 单峰对称单峰对称 密度曲线关于直线密度曲线关于直线x=

16、 对称对称；f()maxf(x) .21正态分布有两个特性正态分布有两个特性：(2) 的大小直接影响概率的分布的大小直接影响概率的分布 越大，曲线越平坦越大，曲线越平坦， 越小，曲线越陡峻越小，曲线越陡峻，。，。正态分布也称为高斯正态分布也称为高斯(Gauss)分布分布4.标准正态分布标准正态分布(p38) 参数参数 0， 21的正态分布称为的正态分布称为标准正态分标准正态分布，记作布，记作XN(0, 1)。.,21)(22xexx分布函数表示为分布函数表示为xdtexXPxxt,)(2212其其密度函数密度函数表示为表示为一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表一般的概率统计教科书均附有标准

17、正态分布表供读者查阅供读者查阅 (x)的值。的值。(P226附表附表1)如，若如，若ZN（0，1）, （0.5)=0.6915,P1.32Z2.43=(2.43)-(1.32)=0.9925-0.9066注注：(1) (x)1 (x)； (2) 若XN(, 2)，则).()(xxXPxF正态分布表设随机变量设随机变量XN(-1,22),P-2.45X2.45=?P(39)P(39)例例2.3.5.2.3.5.设设 X X N(N( , , 2 2),),求求PP -3-3 XX3|X|3的值的值. . 如在质量控制中，常用标准指标值如在质量控制中，常用标准指标值3 3 作两作两条线，当生产过程

18、的指标观察值落在两线之外条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报时发出警报. .表明生产出现异常表明生产出现异常. .正态分布表(p67)14 一种电子元件的使用寿命（小时）服从正态一种电子元件的使用寿命（小时）服从正态分布分布(100,15(100,152 2), ),某仪器上装有某仪器上装有3 3个这种元件，三个元个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的件损坏与否是相互独立的. .求：使用的最初求：使用的最初9090小时内小时内无一元件损坏的概率无一元件损坏的概率. .解:设设Y为为使用的最初使用的最初9090小时内损坏的元件数小时内损坏的元件数, ,2514. 0)67. 0()1510090(90XP