点线面之间的位置关系

1、1平面的基本性质公理1：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在此平面内两点公理2：过的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们过该点的公共直线不在一条直线上有且只有一条2直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的 )叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围： 锐角(或直角有无数个有且只有一个没有aaAa4.两个平面的位置关系两平面平行公共点个数表示法图示位置关系0aa无数无数5.平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行垂直于同一直线的两直线的位置关系是怎

2、样的？提示：可能平行，可能相交，也可能异面. 6定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补1给出下列四个命题：垂直于同一直线的两条直线互相平行；垂直于同一平面的两个平面互相平行；若直线l1、l2与同一平面所成的角相等，则l1、l2互相平行；若直线l1、l2是异面直线，则与l1、l2都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是()A1B2C3 D4解析：如右图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1AAB，ADAB，但A1A与AD相交，故错；平面A1ABB1平面ABCD，平面A1ADD1平面ABCD，而平面A1ABB1与A1ADD1相交，故错；直线A1B和直线BC1与平

3、面ABCD所成角都是45，但A1B与BC1相交，故错；直线A1A与直线BC异面，AB、AC均与A1A、BC相交，但AC与AB相交，故错答案：D2若三个平面两两相交，有三条交线，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成()A5部分B6部分C7部分D8部分解析：如右图所示，三个平面、两两相交，交线分别是a、b、c且abc.观察图形，可得、把空间分成7部分答案：C3如下图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是()解析：A中PQRS；B中RSPQ；D中RS和PQ相交答案：C4三个不重合的平面可以把空间分成n部分，则n的可能取值为_解析：当

4、三个平面两两平行时，n4；当三个平面两个平行，第三个与这两个都相交时，n6；当三个平面两两相交于同一直线时，n6；当三个平面两两相交，交线平行时，n7；当三个平面两两相交，只有一个公共点时，n8.答案：4,6,7,85如下图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小解：(1)如右图，连接AC、AB1，由ABCDA1B1C1D1是正方体，知AA1C1C为平行四边形，所以ACA1C1，从而B1C与AC所成的锐角或直角就是A1C1与B1C所成的角由AB1ACB1C可知B1CA60，即A1C1与B1C

5、所成角为60.(2)如右图，连接BD，由(1)知A1ACC1是平行四边形，ACA1C1，AC与EF所成的锐角或直角就是A1C1与EF所成的角EF是ABD的中位线，EFBD.又ACBD，EFAC，即所求角为90.(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E 四点是否共面？为什么？(2)分析一：证明D点在EF、CH确定的平面内分析二：延长FE、DC分别与AB交于M，M，可证M与M重合，从而FE与DC相交B为MA中点，M与M重合，即FE与DC交于点M(M)，C、D、F、E 四点共面变式迁移 1正方体ABCDABCD中，P、Q、R分别是AB、AD、BC的中点，那么，正方体过P、Q、R的

6、截面图形是_(填几边形)解析：如下图，作RGPQ交CD于点G，连结QP并延长与CB的延长线交于点M，连结MR交BB于点E，连结PE、RE为截面的部分外形同理连结PQ并延长交CD的延长线于点N，连结NG交DD于点F，连结QF、FG.截面为六边形PQFGRE.答案：六边形【例2】(2009辽宁高考)如右图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点()若CD2，平面ABCD平面DCEF，求MN的长；()用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线()假设直线ME与BN共面，则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN.由已知，两正方形ABCD和DCEF不

7、共面，故AB 平面DCEF.又ABCD，所以AB平面DCEF，而EN为平面M B E N 与 平 面 D C E F 的 交 线 ， 所 以 A B E N ， 又ABCDEF，所以ENEF，这与ENEFE矛盾，故假设不成立所以ME与BN不共面，它们是异面直线变式迁移 2给出下列命题：若平面上的直线a与平面上的直线b为异面直线，直线c是与的交线，那么c至多与a、b中的一条相交；若直线a与b异面，直线b与c异面，则直线a与c异面；一定存在平面同时和异面直线a、b都平行其中正确的命题为()ABCD解析：错，c可与a、b都相交；错，因为a、c可能相交也可能平行；正确，例如过异面直线a、b的公垂线段的

8、中点且与公垂线垂直的平面即可满足条件故选C.答案：C【例3】空间四边形ABCD中，ABCD且AB与CD所成的角为30，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小思路分析：要求EF与AB所成的角，可经过某一点作两条直线的平行线，考虑到E、F为中点，故可过E或F作AB的平行线取AC的中点，平移AB、CD，使已知角和所求的角在一个三角形中求解解：取AC的中点G，连接EG、FG，则EGAB，GFCD，且由ABCD知EGFG，GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角AB与CD所成的角为30，EGF30或150.由EGFG知EFG为等腰三角形，当EGF

9、30时，GEF75；当EGF150时，GEF15.故EF与AB所成的角为15或75.(1)求异面直线所成的角，关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交，或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交平移直线的方法有：直接平移，中位线平移，补形平移(2)求异面直线所成角的步骤：作：通过作平行线，得到相交直线；证：证明相交直线所成的角为异面直线所成的角；求：通过解三角形，求出该角. 答案：C 【例4】长方形ABCDA1B1C1D1中，AB8，BC6，在线段BD，A1C1上各有一点P，Q，在PQ上有一点M，且PMMQ，则M点的轨迹图形的面积为_答案：24 变式迁移 4在正方体ABCDA1B1

10、C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线()A不存在 B有且只有两条C有且只有三条 D有无数条解析：本小题主要考查立体几何中空间直线相交问题，考查学生的空间想象能力在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点的如下图：答案：D1刻画平面性质的三个公理是研究空间图形进行逻辑推理的基础，三个公理是立体几何作图的依据，通过作图(特别是截面图)的训练，可加深对公理的掌握与理解其中确定平面的公理2是将立体几何问题转化为平面几何问题的依据2注意文字语言、数学图形语言和符号语言的相互转化与应用，能够从集合的角度阐述点、线、面之间的联系，证明共点、共线或共面问题常用归一法，如多线共点问题，先证明两条直线交于一点，再证其余直线都经过这点3异面直线是立体几何的重点和难点之一，对其定义要理解准确，有关异面直线的论证，经常要用反证法；异面直线所成的角，常通过平移，使两异面直线移到同一个平面的位置上来求4平面几何中有些概念和性质，推广到空间不一定正确如：“过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”“同垂直于一条直线的两条直线平行”等在