第十二章 达朗贝尔原理

1、 理论力学多媒体课件 单单 位：理学院工力系位：理学院工力系 制作人：制作人：王王 永永 刚刚 时时 间：间：20132013、0303前面介绍的动力学普遍定理, 为解决质点系动力学问题提供了一种普遍的方法。达朗贝尔原理为解决非自由质点系动力学问题提供了另一种普遍的方法。这种方法的特点是：用静力学研究平衡问题的方法来研究动力学的不平衡问题, 因此这种方法又叫动静法。由于静力学研究平衡问题的方法比较简单, 也容易掌握, 因此动静法在工程中被广泛使用。 121 惯性力惯性力 质点的达朗贝尔原理质点的达朗贝尔原理 122 质点系的达朗质点系的达朗贝尔贝尔原理原理 123 刚体惯性力系的简化刚体惯性力

2、系的简化 124 绕定轴转动刚体的轴承动约束力绕定轴转动刚体的轴承动约束力 第十二章第十二章 达朗贝尔原理达朗贝尔原理C人用手推车力为人用手推车力为F，车的加速度为车的加速度为a。amF一、惯性力的概念惯性力的概念 由牛顿第二定律：由牛顿第二定律：FC施力物体施力物体(人手人手)也受到一个也受到一个根据作用与反作用定律：根据作用与反作用定律：力FFFamF质点受力作用而改变运动状态时，质点受力作用而改变运动状态时，由于本身的惯性对施力物体的反作由于本身的惯性对施力物体的反作用力。用力。amFg质点惯性力定义：质点惯性力定义：FamFg注注 1：质点惯性力不是作用：质点惯性力不是作用在质点在质点

3、 上的真实力上的真实力，它是质点，它是质点对施力体反作用力的合力对施力体反作用力的合力。 注注 2： 惯性力的作用点在施力体上惯性力的作用点在施力体上。二、质点的达朗伯原理二、质点的达朗伯原理 设一质点质量为m, 加速度为a, 作用于质点的主动力为F, 约束反力为FN 。由牛顿第二定律，有Nm aFF将上式改写成0Nm FFa令mFFNFgaFg具有力的量纲, 且与质点的质量有关，称其为质点的惯性力。它的大小等于质点的质量与加速度的乘积, 方向与质点加速度的方向相反。amFg即：在质点运动的任一瞬时, 作用于质点上的主动力、约束反力和假想加在质点上的惯性力构成形式上的平衡力系。这就是质点的达朗

4、贝尔原理。则有应该强调指出，质点并非处于平衡状态，这样做的目的是将动力学问题转化为静力学问题求解。达朗贝尔原理与虚位移原理构成了分析力学的基础。0gNFFF sin2nlvmmaFg0gmFgF, 0bF0 cosmgF, 0nF0 singFF0 cosmgF0 singFFN 6 .19 cosmgFsm m Flv/1 . 2sin2例例2 2: : 飞球调速器以等角速度飞球调速器以等角速度 转动，已知转动，已知:重锤重重锤重P，飞球，飞球A、B均重均重G，各联杆长，各联杆长l。求。求:A、B在转动时的张角在转动时的张角 。sin2lgGFg 0ixF0cosFFG21 ）（ cos2P

5、F1gGlPGcos2 惯性力惯性力:A:C:得得: cos2Glg2GF21得得:0sin)FF(sinlgG212 0iyF gF1F2FG1F1FPP BACGGgFgF解解: 设质点系由 n 个质点组成, 其中任一质点i的质量为mi, 加速度为ai, 把作用在此质点上的力分为主动力的合力Fi、约束力的合力为FNi，对这个质点上假想地加上它的惯性力Fgi-miai , 则由质点的达朗贝尔原理, 有即：质点系中每个质点上作用的主动力、约束力和它的惯性力在形式上组成平衡力系。这就是质点系的达朗贝尔原理。), 2 , 1(0niFFFgiNii 把作用在第i个质点上的所有力分为外力的合力为Fi

6、(e), 内力的合力为Fi(i)及惯性力Fgi，则有质点系中第个质点上作用的外力、内力和它的惯性力在形式上组成平衡力系。由静力学知，空间任意力系平衡的充分必要条件是力系的主矢和对于任一点的主矩等于零，即), 2 , 1(0)()(niFFFgiiiei0)()(giiieiFFF0)()()()()(giOiiOeiOFMFMFM因为质点系的内力总是成对出现, 且等值、反向、共线, 因此有Fi(i) = 0和MO(Fi(i) = 0, 于是的有 即：作用在质点系上的所有外力与虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系。这是质点系达朗贝尔原理的又一表述。称Fgi为惯性力系的主矢， MO(Fgi

7、)为惯性力系的主矩。0)(gieiFF0)()()(giOeiOFMFM 例例3 重重P长长l的等截面均质细杆的等截面均质细杆AB, 其其A端铰接于铅直轴端铰接于铅直轴AC上上, 并以匀角速并以匀角速度度 绕该轴转动绕该轴转动, 如图。求角速度如图。求角速度 与角与角 的关系。的关系。 解：以杆解：以杆AB为研究对象为研究对象, 受力如图。受力如图。 杆杆AB匀速转动匀速转动, 杆上距杆上距A点点x x 的微元段的微元段dx x 的加速度的大小为的加速度的大小为2)sin(xna 微元段的质量微元段的质量dmPdx x/ /gl。在该微元段。在该微元段虚加惯性力虚加惯性力dFg, 它的大小为它

8、的大小为xdxdFganBACyxBAxdPFAxFAyRg 于是整个杆的惯性力的合力的大小为于是整个杆的惯性力的合力的大小为xxdglpadmdFngsin2xxsin2sin220lgpdglpRlg设力设力Rg 的作用点到点的作用点到点A的距离为的距离为d, 由合力矩定理由合力矩定理, 有有即2202sind23sin2lPgldlPlg xx假想地加上惯性力假想地加上惯性力, 由质点系的达朗贝尔原理由质点系的达朗贝尔原理BAxdPFAxFAyRg代入代入Rg 的数值的数值, 有有0) 1cos32(sin22glPl)23arccos(2lg故有故有 0或或glgdFdR)cos()c

9、os(0 x0sin2cos:0)(lpdRFMgA 例例4. 小球小球M1，M2与铅锤转轴与铅锤转轴AB刚性连接，如图所示。小刚性连接，如图所示。小球重球重W，连杆的质量忽略不计，连杆的质量忽略不计，AB =L，连杆长，连杆长2b，连杆和轴，连杆和轴AB的的夹角夹角，求角速度求角速度时轴承的约束反力。时轴承的约束反力。lABM1M2 用质点系的达朗贝尔原理求解质点系的动力学问题，需要对质点内每个质点加上各自的惯性力，这些惯性力也形成一个力系，称为惯性力系，这个力系构成了一组空间任意力系，利用静力学力系简化理论，求出惯性力系的主矢和主矩。以Rg表示惯性力系的主矢, 得此式表明：无论刚体作什么运

10、动, 惯性力系的主矢都等于刚体的质量与其质心加速度的乘积, 方向与质心加速度的方向相反。ciigigaMamFR由静力学中任意力系简化理论知，主矢的大小和方向与简化中心的位置无关，主矩一般与简化中心的位置有关。下面就刚体平移、定轴转动和平面运动讨论惯性力系的简化结果。 刚体平移时，刚体内任一质点i的加速度ai与质心的加速度aC相同，有ai aC，任选一点O为简化中心，主矩用MgO表示，有1. 刚体作平移a11Fg1aiiFgiCOrCaC主矩giigoFrM 式中，rC为质心C到简化中心O的矢径。若选质心C为简化中心，主矩以MgC表示，则rC0，有综上可得结论：平移刚体的惯性力系可以简化为通过

11、质心的合力, 其大小等于刚体的质量与加速度的乘积,合力的方向与加速度方向相反。a11Fg1aiiFgiCOrCaCccciiiiigiigoarMarmamrFrM)()(0gcMciigigaMamFR 2. 刚体绕定轴转动 如图所示, 具有质量对称面且绕垂直于质量对称面的轴转动的刚体。其上任一点的惯性力的分量的大小为方向如图所示。该惯性力系对转轴O的主矩为FginFgiiOMgOri一般证明iiiigirmamF2iiniingirmamF)()(giongiogoFMFMM 由于Fgin通过O点, 则有 MO( Fgin )= 0, 所以即 综上可得结论：定轴转动刚体的惯性力系, 可以简

12、化为通过转轴O的一个惯性力Rg和一个惯性力偶Mgo。力Rg的大小等于刚体的质量与其质心加速度大小的乘积, 方向与质心加速度的方向相反，作用线通过转轴；力偶Mgo的矩等于刚体对转轴的转动惯量与其角加速度大小的乘积, 转向与角加速度的转向相反。)()(2iiigigiogormrFFMMogoJM现在讨论以下三种特殊情况：2. 当刚体作匀速转动时, 0, 若转轴不过质心, 惯性力系简化为一惯性力Rg , 且Rg maC, 同时力的作用线通过转轴O。1. 当转轴通过质心C时, aC0, Rg0, MgCJC。此时惯性力系简化为一惯性力偶。3. 当刚体作匀速转动且转轴通过质心C时, Rg0, MgC0

13、, 惯性力系自成平衡力系。 3. 刚体作平面运动(平行于质量对称面） 工程中，作平面运动的刚体常常有质量对称平面，且平行于此平面运动。当刚体作平面运动时，其上各质点的惯性力组成的空间力系，可简化为在质量对称平面内的平面力系。 取质量对称平面内的平面图形如图所示, 取质心C为基点, 设质心的加速度为aC，绕质心转动的角速度为，角加速度为，与刚体绕定轴转动相似，此时惯性力系向质心C简化的主矩、主矢为RgCMgCaCcgcJM综上可得结论：有质量对称平面的刚体，平行于此平面运动时，刚体的惯性力系简化为在此平面内的一个力和一个力偶。这个力通过质心，其大小等于刚体的质量与质心加速度的乘积, 其方向与质心

14、加速度的方向相反；这个力偶的矩等于刚体对过质心且垂直于质量对称面的轴的转动惯量与角加速度的乘积, 转向与角加速度相反。ciigigaMamFR例例5 如图所示如图所示, 均质杆均质杆AB的质量的质量m40 kg, 长长l4 m, A点以铰链连接于小车上。不计摩擦点以铰链连接于小车上。不计摩擦, 当小车以加速度当小车以加速度a15 m/s2向左运动时向左运动时, 求求D处和铰处和铰A处的约束反力。处的约束反力。lA30DBh1maDBA 求求: D处和铰处和铰A处的约束反力处的约束反力 解：以杆为研究对象解：以杆为研究对象, 受力如图受力如图, 建建立如图坐标。立如图坐标。 杆作平动杆作平动,

15、惯性力的大小为惯性力的大小为Rgma。假想地加上惯性力假想地加上惯性力, 则由质点系的达朗贝则由质点系的达朗贝尔原理尔原理于是得于是得( cos30sin30 )DFm gaRglA30DBh1maaFDmgFAxFAyxy030sin2230cos2lRlFlmggD0)(FMA 0cos300yAyDFFFmg代入数据代入数据, 解之得：解之得：617.9357.8239.47AxAyDFNFNFN DBARgaFDmgFAxFAyxy030sin0DgAxxFRFF 例例6 均质杆均质杆AB长长l, 重重W, B端与重端与重G、半径为、半径为r的均质圆轮铰接。在圆轮的均质圆轮铰接。在圆轮

16、上作用一矩为上作用一矩为M的力偶的力偶, 借助于细绳提升重为借助于细绳提升重为P的重物的重物C。试求固定端。试求固定端A的的约束反力。约束反力。ABMlCBC 解：先以轮和重物为研究对象解：先以轮和重物为研究对象, 受力受力如图。假想地加上惯性力如图。假想地加上惯性力由质点系的达朗贝尔原理由质点系的达朗贝尔原理aMGFBxFByMgBPFgcgPGrrPMa)2()(2代入代入MgB 和和FgC得得agGrrargGJMBgB2212agPFgc0)(0)(gcgBBFPrMMFM 再以整体为研究对象再以整体为研究对象, 受力如图受力如图, 假假想地加上惯性力想地加上惯性力00 xAxFFBC

17、AaMGFAxFAyMgBPFgCWmA2()(2 )AyMrPFWGPPr GP()2()()2(2 )(2 )AWMrPrGMmlGMGlrPGPr GP代入代入MgB 和和FgC解得解得由质点系的达朗贝尔原理由质点系的达朗贝尔原理00gcAyyFPGWFF0)(20)(rlFPMMGllWmFMgcgBAA 例例7. 重重P、半径为、半径为r的均质圆轮沿倾角为的均质圆轮沿倾角为 的斜面向下滚动。求轮心的斜面向下滚动。求轮心C的加速的加速度度, 并求圆轮不滑动的最小摩擦系数。并求圆轮不滑动的最小摩擦系数。CrrC 解：以解：以圆轮圆轮为研究对象为研究对象, 受力如图受力如图, 建立如图坐标

18、。建立如图坐标。 圆轮作平面运动圆轮作平面运动, 轮心作直线运动轮心作直线运动, 则则Car将惯性力系向质心简化将惯性力系向质心简化, 惯性力和惯性力偶矩的大小为惯性力和惯性力偶矩的大小为FfRgMgFNPxyaC则由质点系的达朗贝尔原理则由质点系的达朗贝尔原理0cos0 xNFFPcosNFP22rgPMrgPRgg 解之得解之得2sin3Cag由于圆轮没有滑动由于圆轮没有滑动, 则则Fff N, 即即sincos3Pf P由此得由此得1tan3f所以所以, 圆轮不滑动时圆轮不滑动时, 最小摩擦系数最小摩擦系数min1tan3frCFfRgMgFNPxyaC0sin0gfyRFPF00)(g

19、fCMrFFMsin3PFf例题例题8 已知已知两均质直杆两均质直杆质量质量mm，杆长，杆长l，自水自水平位置无初速地释放。平位置无初速地释放。求求两杆的角加速度和两杆的角加速度和O、A处的约束反力。处的约束反力。ABO解解: (1) 取系统为研究对象取系统为研究对象，受力图如图所示，受力图如图所示Mg1Mg2mgmgRg2Rg1BAO12111312mlMlmRgg12222212121)2(mlMllmRgg0232320)(221lRlmglmgMMFMgggo(2) 取取AB 杆为研究对象杆为研究对象Mg2mgRg2FAFAxBAlglg73,7921lg12511210220)(22

20、lRlmgMFMggAlg323212(3) 取取AB 杆为研究对象杆为研究对象Mg2mgRg2FAyFAxBA00002gAyyAxxRmgFFFFmgFFAyAx1410 xy2 (4) 取系统为研究对象取系统为研究对象Mg1Mg2mgmgBAO000021ggOyyOxxRRmgmgFFFFmgFFOyOx72012xy 例例7 均质杆的质量为均质杆的质量为m, 长为长为2l, 一端放在光滑地面上一端放在光滑地面上, 并用两软绳支持并用两软绳支持, 如图所示。求当如图所示。求当BD绳切断的瞬时绳切断的瞬时, B点的加速度点的加速度、AE绳的拉力及地面的反力绳的拉力及地面的反力。BCAED

21、30o 解：以解：以AB杆为研究对象杆为研究对象,杆杆AB作平面运动作平面运动, 如如图图, 以以B点为基点点为基点, 则则C点的加速度为点的加速度为其中其中n20CBal将惯性力系向质心将惯性力系向质心C简化简化, 得惯性力得惯性力FgFgeFgr , 其中其中Fge maB , Fgr matCB ml 和惯性力偶和惯性力偶, 其力偶的矩为其力偶的矩为AECBxy30oBCAED30oTFNmgFgeFgrMgaBaBa tCB在在BD绳切断的瞬时绳切断的瞬时, 受力如图受力如图, 建立如图坐标。建立如图坐标。2231)2(121mllmJMglaCBnCBCBBcaaaa由质点系的达朗贝

22、尔原理由质点系的达朗贝尔原理AECBxy30oTFNmgFgeFgrMg030cos0grgexFFTF) 1 (030cosmlmaTB030sin0mgFFFgrNy)2(030sinmgmlFN030sin30cos0)(gNCMlFTlFM) 3(03130sin30cos2mlFTlNBA30ox x以以B为基点为基点, 则则A点的加速度为点的加速度为其中其中n2n2020AAABavAEal将上式投影到将上式投影到x x 轴上得轴上得联立求解（联立求解（1）（4）式）式, 得得ggaB833302sin43113tan30216NBFmgmamgaBaBa tCBa tAnABAB

23、BnAAaaaaa30cos0ABBaa)4(30cos2laBlglaB8330cos2mgmaTB163321一、定轴转动刚体一、定轴转动刚体向转轴上任一点向转轴上任一点O简化简化,刚体上任一点刚体上任一点i的惯性力的惯性力：2iiniingirmamFiiiigirmamF下面分别计算惯性力系对下面分别计算惯性力系对x，y，z轴的矩，分别以轴的矩，分别以Mgx ， Mgy， Mgz表示表示)()( ngixgixgxMMMFFiiiizrmcos iiiiiizymzxm2iiiizrmsin2 ry rxiiiiiisincosiiiiiigxzymzxmM2iiixziiiyzzxm

24、JzymJ令令：称为对z轴的惯性积，它取决于刚体质量对于坐标轴的分布情况2 yzxzgxJJMyzxzgyJJMy2 轴的矩为同理可得惯性力系对于ziiiiigizgzJrmrrmMMz)()( 2F轴的矩为惯性力系对于zgzgOJMMkjiMgzgygxgOMMM刚体定轴转动时，惯性力系向转轴上任一点刚体定轴转动时，惯性力系向转轴上任一点O简化的主矩为简化的主矩为 如果刚体具有垂直于转轴的质量对称平面，简化中心如果刚体具有垂直于转轴的质量对称平面，简化中心O取取为此平面与转轴的交点，则为此平面与转轴的交点，则0, 0iiiyziiixzzymJzxmJ惯性力系简化的主矩为惯性力系简化的主矩为

25、当刚体质量有对称平面且绕垂直于此对称面的轴作定当刚体质量有对称平面且绕垂直于此对称面的轴作定轴转动时，惯性力系向转轴简化为此对称面内的一个力和轴转动时，惯性力系向转轴简化为此对称面内的一个力和一个力偶。这个力等于刚体质量与质心加速度的乘积，方一个力偶。这个力等于刚体质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反，作用线通过转轴；这个力偶的向与质心加速度方向相反，作用线通过转轴；这个力偶的矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积，转向与角加速度的转向相反。角加速度的转向相反。 二、刚体的轴承动反力二、刚体的轴承动反力 刚体的角速度刚体的角速度 ，角加速度，角加速度（逆时针）逆时针） 主动力系向主动力系向O点简化点简化: 主矢主矢 ,主矩主矩 惯性力系向惯性力系向O点简化点简化: 主矢主矢 ,主矩主矩ROMgFgOM轴承轴承A处动反力：处动反力：轴承轴承B处动反力：处动反力：FAx，FAyFBx，FBy， FBz根据动静法，列平衡方程如下根据动静法，列平衡方程如下FgiMgo0 0 0 RzBzgygyByAygxgxBxAx