dsp_chap2数字信号处理第二章PPT

1、第第1 1章（章（2 2） 离散系统的变换域分析离散系统的变换域分析z变换变换 2.1 z变换和逆z变换2.2 离散系统的系统函数与系统特性的描述2.4 系统的频率响应与系统滤波特性2.3 离散时间信号的傅里叶变换（DTFT）12.1 2.1 z变换和逆变换和逆z变换变换2.1.1 z变换的定义与收敛域1. z变换的定义对于离散时间信号x(n)，x(n)的z变换定义为( )( )nnX zx n z记为：( ) ( )X zZ x n简称z变换。21 0 00nnanx na u nn20 0 0nnx nan1na un 例例1 1 已知两序列分别为分别求它们的z变换。解：解： 1110(

2、) ()nnnnXzx n zaz，11az|za它是几何级数，若时，级数收敛，于是，即111( )1()zXzzazaaz 同理 122( ) ()nnnnnXzx n zaz1111zzazaa z 101nnnnnnazaz 对于任意给定的有界序列xn，使z变换定义式级数收敛的z值的集合，称为z变换的收敛域（变换的收敛域（ROC）。 比值判定法比值判定法：若有一个正项级数nna11lim,11nnnaa收敛， 发散， 不能确定， 根值判定法根值判定法：若有一个正项级数nna1lim|,11nnna收敛， 发散， 不能确定，2. z变换收敛域 按照级数理论，级数收敛的充分必要条件是绝对可和

3、，因此，z变换收敛的充要条件为:( )nnx n zM 通常可以用两种方法求级数的收敛域比值判定法和根值判定法。 所谓根值判定法就是说若有一个正项级数 ，令正项级数一般项的n次根等于 ，即nna limnnna当 时级数收敛， 时级数发散， 时,级数可能收敛也可能发散。 1116( )nnx n zM 要满足上述不等式， 必须限定在一定的范围内，这个范围就称为z变换的收敛域 ( ROC )。z3.序列的类型与收敛域(1) 有限长序列12,n n有限长序列是指在有限区间( )之间内，序列具有非零的有限值，在此区间内，序列值都为零，即：12( )0( )0 x nnx nnnn其它显然，z在 区域

4、，都满足此条件。0z 7有限长序列的收敛域是否包含0点或者 主要由序列的起始、终止位置 和 决定，收敛域可分为以下三种情况：120,0nn当 时（双边有限序列），收敛域为0z 当 时（右边有限序列），收敛域为210nn0z 1n2n当 时（左边有限序列），收敛域为120nn0z X XX X82）右边序列）右边序列 这类序列是有始无终的序列，即当nn1时xn=0。此时 z变换为1( ) nn nX zxnz若满足即 lim 1nnnxn zlimnnzx n 1xR则其级数收敛。其中 为收敛半径。可见，右边序列的收敛域是半径 的圆外部分。 1xR1xR1xRRe( ) zIm( )jz收敛域(

5、b)收敛域1、n10 n2=1xRz 1xzR1xR1xR11因果序列：在右边序列中，有一种特殊的右边序列，即 的序列，这样的序列称为因果序列，即：( )0,0( )0,0 x nnx nn10n 其收敛域为：1xRz 或简记为1xzR3) 左边序列左边序列 这类序列是无始有终的序列，nn2时xn=0。此时z变换为 2( ) nnnX zxn z若令m= - n，上式变为 2( )mmnX zx mz如果将变量再改为n，则 2( )nnnX zx n z若满足lim1nnnxn z即21lim()xnnzRxn则该级数收敛。可见，左边序列的收敛域是半径为Rx2的圆内部分。 2( )nnnX z

6、x n z1、n1=- n202、n1=- n2 0, b 0, b a）。1 nx na u n2 1nx nb un 解解：这是一个双边序列，令12 x nx nx n则：由上例结果可以直接得到x1n与x2n的z变换，即11( ) nnzXzx n zzaza22( ) nnzXzx n zzbzbazbRe(z)jIm(z)ab181222( )( )( )()()()abz zX zXzXzazbza zb例2-5 已知某序列x(n)z变换X(z)的极点分布如图所示，试判断X(z)可能的ROC及对应序列x(n)的类型。 Re(z)jIm(z)z1z2z3解：由于不同的收敛域对应不同的序

7、列，因此有：(1)当 ，对应的序列x(n)为左边序列。1zz(2)当 ，对应的序列x(n)为双边序列。12zzz(3)当 ，对应的序列x(n)为双边序列。23zzz(4)当 ，对应的序列x(n)为右边序列。3zz1920典型离散序列的典型离散序列的z变换变换（一）单位样值序列（一）单位样值序列0( ) 1nnX zn z（二）单位阶跃序列（二）单位阶跃序列1, (0) 0, (0)nnn1, (0)0, (0)nu nn0n1 n211001( ) ,111nnnnzX zu n zzzzz（三）斜变序列（三）斜变序列 x nnu nun01n1 2 3 4220( )nnX znz101 (

8、1)1nnu nzzzZxn0n1122334423上式两边分别对上式两边分别对z -1求导，得求导，得 111 201()(1)nnn zz两边乘以两边乘以z -1 ，得，得 11 20(1)nnznzz2(1)zz（四）指数序列（四）指数序列1 nx na u n101(1)1nnzzz nu nZ（1 1）右边指数序列）右边指数序列(1)z 24（2 2）左边指数序列）左边指数序列2 1nx na un 0 ,nnnnza u na zzazaZ01n1 2 3 41 x n(01)a2511(),nnnnza unazzaza Z0-1n2 x n-2-3(1)a 26（五）单边正、余

9、弦序列（五）单边正、余弦序列xn01n1 2270jnnae0jae01jze令指数序列中令指数序列中 ，那么，那么 ，00 jnjzx neu nze1z 00 jnjzx neu nze1z 000000201(cos) () 2(cos)1()22 cos1jnjnjjn u neeu nz zzzzzzeze1z 0020sin(sin) 2 cos1zn u nzz1z 同理：典型序列的z变换 收敛域 z 变换 序列 u n n1 na u n1zz nu n| | 1z | | 0z zz a| | | |za11nau n1z a| | | |za0cos nu n2(1)zz|

10、 | 1z 020(cos)2 cos1z zzz| | 1z p.228 表表7.2-22.1.2 2.1.2 z逆变换逆变换由z变换表达式X(z)以及相应的收敛域求原序列x(n)过程称为z逆变换，记为：1( )( )x nZX z 求逆z变换的方法主要有三种：围线积分法、部分分式展开法和长除法。3. 部分分式展开法当X(z)是z的有理分式时，一般可以表示为 1110111201( )( ). ( ) mmmmnnnnkB zb zbzb zbX zA za zaXzXzXzaazz然后对每一个部分分式求逆z变换，将各个逆变换相加，就可以得到所要求的x(n)。利用部分分式法求逆z变换，可通过

11、以下几步完成：(1)将X(z)除以z,得到( )X zz(2)将 展开成为部分分式之和的形式。( )X zz(3)将展开的部分分式乘以z,得到X(z)的部分分式表达式。(4)对各部分分式进行逆z变换，求出原序列。展开成部分分式的方法：( )X zz(1) 仅含有单极点仅含有单极点01,.,nppp，则 ( )X zz展开为：0( )niiiKX zzzp( )()z piiiX zKzpz30(2)( )X zz含有重极点含有重极点设 在 ( )X zz1zp处有r重极点， 其余为单实极点01,.,rnppp10111110.( ).()rrnii riKKX zzzpKpzzKzpp 其中待

12、定系数 可由以下关系求得1iK111111( )()(1)!nrnnzpdX zKzpndzz1,2,.,nr例 已知22( ),11.50.5zX zzzz试利用部分分式法求逆z变换。31122( )1.50.510.5KKX zzzzzzz解：1120.5( )(1)2( )(0.5)1zzX zKzzX zKzz ( )2110.5X zzzz2( )10.5zzX zzz( )2 ( )0.5( )nx nu nu n: 1ROCz 32例例 求 的逆z变换。 12(1)(2)(3)X zzzz(12)z解：解： 122121(1)(2)(3)123X zzz zzzzzzz所以，2(

13、 )2123zzzX zzzz 2 ( 1) 2 21 31nnnx nnu nunun 12 ( 1) (23 ) 1nnnnu nu n 12z因为34补例：2(1)( ), 13, ( )(1) (3)z zX zzx nzz求222121322( )(1)13(1) (3)(1)( )(1)1( )(1)1( )(3)1(1)( ) , 1313(1) (3)(1)( )( )( )3(1) zzznX zzABCzzzzzzX zAzzdX zBzdzzX zCzzzzzzX zzzzzzzx nnu nu nun =(1) ( )3(1)nnu nun 2.1.3 2.1.3 z变

14、换的基本性质变换的基本性质例：求序列例：求序列 anun-anun-1 的的z变换。变换。 1212 xxyyx nXzRzRy nYzRzR已知:ZZ 1 1nnnna u na u na u na u nZZZ1()nnnza zzaza)0(1zazaazz 1122 max(,)min(,)xyxyax nby naX zbY zRRzRR 其中其中, , a、b为任意常数。为任意常数。Z1. 线性性质2. 移位性12 ()( ) ;mxxZ x nmzXRzzR如果则有：例2-11 求序列x(n)=RN(n)=u(n)-u(n-N)的z变换。11 ( ),11 (),111 ( )1

15、0,11NNNzZ u nzzzZ u nNzzzzzzZ x nzzzz12 ( )( ),xxZ x nX zRzR363. 3. z z 域微分（序列线性加权）域微分（序列线性加权）推广推广式中符号 表示mdzdzdzdzdzdzdzdzdzdz共求导m次。 dnx nzX zdzZ mmdn x nzX zdz Z) 1(12zzz1zzdzdz 例：例：若已知 ，求斜变序列 的z变换 。 u n1zz nu nZ 解解： dnu nzu ndz ZZ4. 4. 序列指数加权（序列指数加权（z z域尺度变换）域尺度变换） X zx n)(21xxRzR若Z则 nza x nXa)(21

16、xxRazRZ na x nX az)(21xxRazRZ( 1) nx nXzZ)(21xxRzR220101cos21cos1zzz)(z其收敛域为1z，即例：例：已知 求序列0cos ,n u n0cos nn u n的z变换。Z0cos nn u n1cos2)(cos020zzzz由上述性质可得： Z0cos n u n1cos2cos020zzzz1zZ解：解：5. 共轭序列*12( )();xxRxRZnXzz，如果12 ( )( ),xxZ x nX z RzR，则证明：*12 ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( );nnnnnxxnZ x nx n zx n zx

17、n zX zRzR，其中 x*(n)是x(n)的共轭序列416. 翻褶序列(反褶)21111 ()( ) ;xxZ xnXzzRR如果，则证明：，111221 ()()( )1( )()()11nnnnnxxnxxZ xnxn zx n zx n zXRzRzzRR4212 ( )( );xxZ x nX zRzR7. 初值定理和终值定理证明：对于因果序列 则( )x n(0)lim( )zxX z012( )( ) ( )( )(0)(1)(2)lim( )(0)nnnnzX zx n u n zx n zxxzxzX zx初值定理：初值定理：终值定理：终值定理： 设x(n)是因果序列，且X

18、(z)=Zx(n)的极点处于单位圆|z|=1以内(单位圆上最多在z=1处有一阶极点)，则11lim ( )lim(1)( )Re ( )znzx nzX zs X z438.时域卷积定理(序列的卷积和) 如果 ( )( )( )( ) ()my nx nh nx m h nm而且1212( ) ( ),( ) ( ),xxhhX zZ x nRzRH zZ h nRzR，则有：1122( ) ( ) ( )( )(max,min,)( )xhxhY zZ y nZ x nh nX z H zRRzRR证明： ( )( ) ( )( )( ) ()( )()nnnnmnmnZ x nh nx n

19、h n zx m h nm zx mh nm z 441122( )( )( )( )( )( ),max,min,lmmlmmxhxhx mh l zzx m zH zX z H zRRzRR9. z域复卷积定理（序列相乘）如果( )( )( )y nx nh n且12( ) ( ),xxX zZ x nRzR12( ) ( ),hhH zZ h nRzR则有：1111221( ) ( )( )( )21( )( );2cxhxhczY zZ y nXH v v dvjvzX v Hv dv R RzR Rjv452.2 2.2 离散系统的系统函数与系统特性的描述离散系统的系统函数与系统特性

20、的描述1. 1. 系统函数系统函数一个线性时不变系统，在时域中可以用它的单位脉冲响应h(n)来描述。若LTI系统的输入为x(n)，则系统的输出y(n)满足：( )( )* ( )( ) ()my nx nh nx m h nm对等式两边取z变换( )( )( )( )( )( )Y zX z H zY zH zX zH(z)-线性时不变系统的系统函数。因此系统函数H(z)也可看成离散LTI系统的单位冲激响应的h(n)的z变换：( )( )nnH zh n z462.稳定系统(系统的稳定性)对于线性时不变(LTI)系统，系统稳定的充分必要条件是系统的单位冲激响应h(n)满足绝对可和，即( )nh

21、 n 而z变换H(z)的收敛域由满足( )nnh n z 的那些z值确定，所以，当 时，有以下关系：1( )( )nnnzh n zh n 1z 结论：如果系统函数的收敛域包含单位圆 ，则系统是稳定的，否则系统不稳定。 1z 473.因果系统(系统的因果性)对于线性时不变(LTI)系统，系统为因果系统的充分必要条件是系统的单位冲激响应h(n)为因果序列，即( )0,0h nn系统的收敛域一定满足 。即因果系统的收敛域是圆的外部，且包含 。1hRz z 4.因果稳定系统对于线性时不变(LTI)系统，系统为因果稳定系统的充分必要条件是系统函数H(z)的收敛域必须包含单位圆在内的 到 的整个z域也就

22、是说系统函数的全部极点必须在单位圆内。也就是说系统函数的全部极点必须在单位圆内。1hR485. 系统函数和差分方程的关系线性时不变系统常用差分方程表示：000000()()()()()()()NMirirNMiririrMrrrNiiib y nia x nrb zYza zXza zYzHzXzb z取z变换得：对上式因式分解1111(1)( )( )( )(1)MrrNiic zY zH zKX zp z4950例1：LTI系统差分方程为5 12 2y ny ny nx n讨论该系统的稳定性和因果性，并求出对应的 h n例2：某因果LTI系统的系统函数零极点如图所示1 12x nu nu

23、n同时已知当z=1时，H(z)=6， h n求H(z)求单位脉冲响应当输入为 ，求系统响应121351例3：考虑一个LTI系统，其系统函数为211( )1(1)(1 3)2zH zzz(a) 假设系统是稳定的，求当输入 的输出 x nu n(b) 假设H(z)的收敛域包括 ，当输入xn如图所示时，求 n =2时的输出ynz 210n-11序列傅里叶变换的定义序列傅里叶变换的定义() jTjTnnX ex n e 其中： - 模拟角频率， T -取样间隔() jjnnX ex n e（1）、（2）两式就是序列xn的傅里叶变换两种不同的表示形式。DTFT存在的充分条件：存在的充分条件：| |nx

24、n 令 （ 称为数字频率），则上式可写成T 2.32.3离散时间信号的傅里叶变换（离散时间信号的傅里叶变换（DTFTDTFT）() jTjTnnX ex n e (1)() jjnnX ex n e(2)式(1)以模拟角频率（单位：弧度/秒）为变量，而式(2)以数字频率（单位：弧度）为变量，两者的关系为 = T（T为采样间隔）。从式(1)看出，序列xn的傅氏变换X(e jT )是的连续的周期函数，周期为2/T；而从式(2)看出，X(e j)是的连续的周期函数，周期为2。 jj1 (e)ed2nx nX xn FTX(e j)j(e)XX(ej) = ej()其中，j(e)X 称为幅度谱（mag

25、nitude spectrum）， () 称为相位谱（phase spectrum）j21(e)12 cosXaa例例 求xn = anun（ | a | 1）的傅里叶变换X(ej)， 并画出频谱图。11cosj sinaa=sin1cosaa () = arctan解解：由式(2)得j ennx nj0( e)nnaj11eaX(e j) =幅度谱与相位谱如图所示。可见，幅度谱与相位谱都是以2为周期的连续的周期函数。2序列的傅里叶变换和序列的傅里叶变换和z变换的关系变换的关系xn的傅里叶变换为：的傅里叶变换为：() jj nnX ex n exn的的 z 变换为：变换为：( ) nnX zx

26、 n z比较上述两式可得：比较上述两式可得：()( )jjz eX eX z 序列的傅里叶变换就是该序列的序列的傅里叶变换就是该序列的z 变换在单位圆变换在单位圆 上的取值。上的取值。()jze结论：结论：离散时间傅里叶变换的性质1.线性设1122( )(),( )(),jjDTFT x nX eDTFT x nXe则1212( )( )()()jjDTFT ax nbx naX ebXe2.移位(时移和频移)设 ( )()jDTFT x nX e则00 ()()j njDTFT x nneX e5700()( )jnjDTFT ex nX e 3.共轭性 ( )()jDTFT x nX e设

27、，则*( )()jDTFT x nXe4.对称性共轭对称序列：设一复序列xe(n)，如果满足 xe(n)=xe*(-n)则称序列为共轭对称序列。共轭反对称序列： 设一复序列xo(n)，如果满足 xo(n)=-xo*(-n) 则称序列为共轭反对称序列任一序列可表为共轭对称序列与共轭反对称序列之和( )( )( )eox nx nx n58*1( ) ( )()2ex nx nxn*1( ) ( )()2ox nx nxn 序列的DTFT可分解为共轭对称分量与共轭反对称分量之和：()()()jjjeoX eX eX e)()(21)()()(21)(*jjjojjjeeXeXeXeXeXeX其中由

28、此看出，序列x(n)的傅里叶变换具有如下性质：(1)序列x(n)的实部的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭对称分量，即59*1Re ( ) ( )( )()2jeDTFTx nDTFTx nx nXe(2)序列x(n)的虚部乘j后的傅里叶变换等于序列傅里叶变换的共轭反对称分量，即*1 Im ( ) ( )( )()2joDTFT jx nDTFTx nx nXe(3)序列x(n)的共轭对称分量 和共轭反对称分量 的傅里叶变换等于序列的傅里叶变换的实部和j乘以虚部：( )ox n( )ex n*1( )Re()()()21( )Im()()()2jjjejjjoDTFT x nX eX eXeD

29、TFT x njX eX eXe(4)若x(n)为实序列 ，则其傅里叶变换 满足共轭对称性，即：*( )( )x nx n()jX e*()()jjX eXe60()()jjX eX earg()arg()jjX eX e 5. 时域卷积定理若 ，则有( )( )* ( )y nx nh n()()()jjjY eX eH e6. 频域卷积定理(加窗定理)若 ，则有( )( )( )y nx n h n()11()()*()()()22jjjjjY eX eH eX eH ed 6162221( )()2jnx nX ed7. 频域微分定理() jDTFTdX enx njd 8. 帕塞瓦尔(

30、Parseval)定理1 ()()2jjng n h nG eHed63常用的DTFT变换对：Sequence DiscreteTime Fourier Transform n1, ()n u n , (1)na u na 12(2)kk 1(2)1jkke 11jae例1 若x(n)的傅里叶变换为 ，试利用序列傅里叶变换的性质，求下面序列的傅里叶变换。(1)kx(n) (k为常数) (2)x(n-4) (3) x*(n)()jX e( )( )20nxng nn(4)为偶数为奇数解: (1)( )()Fjkx nkX e (2)4(4)()Fjjx neX e (3)*( )( )( )()

31、Fjnjnjnnx nx n ex n eXe 222()( )( )()2nnjjnj njn evennnG exex n eX e (4)64( )( )0 x nny nn(5)为偶数为奇数1( )( )( 1)( )2ny nx nx n 2.4 2.4 系统的频率响应和系统滤波特性系统的频率响应和系统滤波特性1.系统的频率响应系统的频率响应 定义为在单位圆上( )的系统函数，即：()jH ejze()( )jjnnH eh n e也可将系统频率响应表示为：()()()jjjH eH ee其中 称为系统的幅度响应， 称为系统的相位响应()jH e()651020log()jH e-

32、对数幅度 (dB) Gain in dB = 1020log()jH e66) 2c2222222222. 离散系统的滤波特性离散系统的频率响应是 的连续的周期函数，其周期是 。这是离散系统有别于连续系统的一个突出特点。2- 主周期3.系统函数的零、极点分布对系统频率响应的影响频响的零极点表达式111111(1)()( )(1)()MMiiN MiiNNjjjjc zzcH zKKzd zzd67()( )11()()()()Mjijj N MjjiNjjjecH eKeH eeed11()MjijiNjjjecH eKed幅度响应1( )()MjjiiH eKec相位响应jiijABcd零点

33、向量， 零点指向向量；极点向量，极点指向向量。ijjjiiijjjjjecAAeedBB e681212ejw1()NjjjedNM因此：11();MijiNjjAH eKB11( )()MNijijKNM说明 (1)在原点处的极点或者零点至单位圆的距离大小 不变，其值为 故对幅度响应不起作用。(2) 单位圆附近的零点对幅度响应的谷点的位置与 深度有明显影响。(3) 单位圆附近的极点对幅度响应的峰点位置和高度 有明显影响。1je6970补例：补例：求下图所示一阶因果离散系统的频率响应求下图所示一阶因果离散系统的频率响应xna11zyn解解 : 该一阶系统的差分方程为1 1 y na y nx

34、n 它是因果系统，其系统函数为11111( )1zH zzazaa z11111()(1cos )sin1jjH eajaae当 时，频率响应为11a 71a1Re(z)jIm(z)0+1()jH e111a111a0202( )BABA/02/2/3211 a11a11 a1809001802701800111110901802700111a111a111a000001）0 a11()()jjAHeeB72a1Re(z)jIm(z) 0+102( )2）-1a1 0()jH e111a111a0273 0.9 10.81 21y ny ny nx n81. 09 . 081. 09 . 01

35、)(2211zzzzzzzH例：例：求下图二阶离散因果系统的幅频响应。求下图二阶离散因果系统的幅频响应。0.9-0.81741122( )10.90.810.90.81zzH zzzzz331120,0.9,0.9jjzpepe3752 /3 5/31.10.376.066.060.371.10 /3 5/3()jH e 其其基本原理基本原理是，当单位圆上的是，当单位圆上的 e ej j 点在点在 d di i附近时，附近时，分分母向量最短，出现极小值母向量最短，出现极小值，频响在这附近可能出现峰值，且极点，频响在这附近可能出现峰值，且极点d di i越靠近单位圆，极小值越小，频响出现的峰值越尖锐，当越靠近单位圆，极小值越小，频响出现的峰值越尖锐，当d di i处处在单位圆上时，极小值为零，相应的频响将出现在单位圆上时，极小值为零，相应的频响将出现，这相当于在，这相当于在该频率处出现无耗（该频率处出现无耗（Q=Q=）谐振，）谐振，当极点超出单位圆时系统就处当极点超出单位圆时系统就处于不稳定状态。对于现实系统，这是不希望的。于不稳定状态。对于现实系统，这是不希望的。零极点矢量与系统频率特性零极点矢量与系统频率特性 对于对于位置，频响将正好相反，位置，频响将正好相反，e ejj点越接近某零点点越接近某零点c ci i，频