第六章 频响函数脉冲响应函数

1、 第六章 线性系统的动特性分析第六章 线性系统的动特性分析6-1 频率响应函数 6-2 单位脉冲响应函数 6-3 单位脉冲响应函数与频率响应函数的关系 6-4 卷积定理 本章将讨论振动系统的激励与响应关系，且仅限于讨论稳定的常参数线性振动系统。 常参数系统（非时变系统）：振动系统的参数（如质量、刚度和阻尼等）不随时间而变化。 线性系统:是指适用叠加原理的系统。 若系统在激励x1作用下,其响应为y1； 在激励x2作用下，其响应为y2； 则系统在激励ax1与bx2的联合作用下， 其响应为ay1+by2。 系统的线性假设可以使问题的分析大为简化，当系统受到联合激励时，可以分别确定各个激励单独作用时引

2、起的响应，然后把它们叠加起来，便得到系统的总响应。 常参数线性振动系统的运动可用常系数线性微分方程来描述。 单自由度系统可用一个二阶常微分方程来描述； 多自由度系统则需用多个互相耦合的二阶常微分方程来描述，其方程个数与自由度数相同。如图所示的单输入和单输出的常参数系统，其响应y(t)与激励x(t)之间的关系，可用如下一般形式的线性微分方程来描述：常参数线性振动系统常参数线性振动系统y(t)输出（响应）输出（响应）x(t)输入（激励）输入（激励）xbdtdxbdtxdbdtxdbyadtdyadtydadtydammmmmmnnnnnn0111101111激励x(t)可能是力、位移、速度或加速度

3、等；响应y(t)可能是力、位移、速度、加速度或应力等。6-16-1 频率响应函数 频率响应法是描述线性系统动态特性的一种常用方法。 对于常参数线性系统，当激励是稳态简谐输入时，其稳态响应也一定是具有相同频率的简谐输出，但其幅值和相位有所改变： 对常参数线性振动系统，采用频率响应法或脉冲响应法来确定响应与激励之间的关系非常方便，上述两种方法中的频率响应函数与脉冲响应函数互为傅里叶变换的关系。0( )sinx txt0( )sin()y tyt将输入简谐函数表示为复指数稳态输出则可表示为复数H()与输入x0ejt的乘积0( )j tx tx e0( )( )j ty tHx e0( )sinx t

4、xt0( )sin()y tyt( )( )jHHeH()又可写成复指数形式tjjtjjtjexexyeeyeyty0000)(0)(|H()|表示复数H()的模，表示其幅角。于是: 复数H()描述了线性系统在频率域上的动态特性，称为频率响应函数，简称频响函数。频率响应函数是线性动力系统的本身特性，与外加激励(输入)无关。用复数H()表示输出与输入的振幅比y0/x0和相位，其模代表了振幅比，幅角即为输出与输入之间的相位差，前面的负号表示输出比输入滞后。频率响应函数是系统对单位简谐输入的响应。0( )( )j ty tHx etjjtjjtjexexyeeyeyty00000)(若已知系统的运动

5、微分方程，则将x(t)与y(t)代入运动微分方程并消去ejt项，可得到H()的代数方程。求解此代数方程，便可得到复数频率响应函数H()。解：对于刚度为k的线性弹簧和阻尼系数为c的线性阻尼器，可得系统的运动微分方程例5.1 图示弹簧阻尼器系统。假设在质量为m的小车上作用激励力x(t)，小车的位移响应为y(t)。试确定响应对激励的振幅比和相位角。)(txkyycym 对恒幅的正弦激励x(t)=x0sint，稳态响应是具有相同 频 率 的 恒 幅 正 弦 波 ， 但 相 位 滞 后 角 ， 即y(t)=y0sin(t-)0( )j tx tx e设：)(0)(tjeyty带入方程：)(txkyycy

6、m 2()()()00002()00()()jtjtjtj tjtj tjmy ej cy eky ex ekmjcy ex e()00220020020011( )( )1( )1( )(cossin )( )jtj tjjy ex ekmjcy tx tkmjcy exkmjcy eyy tHjx txxkmjc频响函数：)()()()()()(1)(22222222jBAcmkcjcmkmkjcmkH实部A()和虚部B()皆为实函数，它们与的关系曲线分别称为频率响应函数的实频特性和虚频特性。H()的模与相位分别称为幅频特性和相频特性。222)()(1)(cmkH2tanmkc222222

7、22001( )()()()()( )( )(cossin )( )Hkmjckmcjkmckmcyy tHjx tx 除了频率响应函数(对单位简谐输入的响应)也可以用脉冲响应函数来描述系统的动态特性，它定义为系统对单位脉冲（即冲量）输入的瞬态响应。0 (0) ( ) (0) ttt6-2 单位脉冲响应函数 单位脉冲可以用狄拉克函数表示00( )( )1t dtt dt若系统激励x(t)的作用时间非常短，可视为理想脉冲)(t量纲:时间1当x(t)代表力时，则表示一次锤击或一个脉冲冲量，I具有力乘时间的量纲。 ( )( )x t dtIt dtI( )( )x tIt“冲量”一词原只用于力冲量，

8、在此进行扩展，x(t)可代表任意一种输入参量，随x(t)代表的物理量不同，I的量纲也不同。如当x(t) 代表加速度时， I的量纲为加速度时间自读此页系统对在 t=0 时作用的单位脉冲所产生的响应h(t)，称为单位脉冲响应函数。如图所示，由于系统在冲量作用之前是静止的，故当t0 时上式变为0mycyky这是弹簧质量系统的有阻尼自由振动微分方程。表示衰减振动，在小阻尼情况下，其通解为( )sin()pty tAeqt0mycykymkp pq21mkpmc22kmc2两种初始条件分别为： (1)当t0时，系统是静止的(0 )(0 )0yy (2) 在t=0的邻域内，单位脉冲力(t)引起位移与速度:

9、(0 )0y1(0 )ym( )sin()pty tAeqt(0 )0y1(0 )ym( )sin()pty tAeqt1sin (0)( )0 (0)pteqttmqh tt将上述初始位移与初始速度带入方程：0mqA1求得：故在单位脉冲力作用下，图示系统的脉冲响应函数为0(0)sin( *0)sinpyAeqA(0)(sin()ptyAeqt频率响应函数H()描述了系统对单位简谐输入的响应脉冲响应函数h(t)描述了系统对单位脉冲输入的响应两者分别在频域和时域描述了系统的动态特性。6-36-3单位脉冲响应函数与频率响应函数的关系单位脉冲响应函数与频率响应函数的关系 1sin (0)( )0 (

10、0)pteqttmqh tt21( )Hkmjc两者都取决于系统参数，之间有何内在联系假定系统稳定，即受激励前是静止的，且在脉冲作用之后，其运动又逐渐衰减，则系统对单位脉冲输入的响应函数h(t)是绝对可积的，即满足收敛条件：( )0h t dt 单位脉冲输入 脉冲响应函数分别作傅里叶变换( )( )( )1j tj tXx t edtt edt( )( )( )j tj tYy t edth t edt)()(ttx)()(thty对于非周期输入信号x(t)，可将其利用傅立叶变换展成一系列谐和分量之和。分别考虑各个谐和分量对系统的作用结果，然后把它们叠加起来，就得到系统的总响应。对于任意输入信

11、号x(t)，其频谱X()连续变化，取其由到d频带内的频率分量X() d讨论，与之对应的在同一频带内的输出y(t)的频率分量为Y() d对应简谐分量输入的时域波形1( )( )2j tx tXd e与此简谐输入相对应的简谐输出的时域波形1( )( )2j ty tYd e对于简谐输入x(t)=x0ejt来说，与其相应的输出为则输出简谐分量y(t)又可表示为1( )( )( )2j ty tHXd e1( )( )2j tx tXd e1( )( )2j ty tYd e所以X()、Y()和H()三者之间的重要关系式为( )( )( )YHX( )( )( )YHXor( )( ) ( )y tH

12、x t( )( )( )YHX此式对任一频率分量都成立，则对于任意非周期输入来说，频率响应函数等于输出的傅里叶变换与输入的傅里叶变换之比。根据单位脉冲输入和脉冲响应函数的傅里叶变换：( )1( )( )j tXYh t edt将它们代入到X()、Y()和H()三者的关系式( )( )j tHh t edt)()(HY( )( )j tHh t edt说明频率响应函数是脉冲响应函数的傅里叶变换。而脉冲响应函数是频率响应函数的傅里叶逆变换1( )( )2j th tHed1sin (0)( )0 (0)pteqttmqh ttcmkH21)(可证明上述两式分别为傅立叶变换对可证明上述两式分别为傅立

13、叶变换对6-4 卷积定理 本章12节讨论了系统对单位简谐激励和单位脉冲激励的响应。以此为基础应用频率响应法或脉冲响应法分析线性系统对任意输入的响应。( )x t dt 若激励x(t)是任意已知的非周期函数，则在采用频率响应法时，不能将其展开成傅立叶级数，而要采用积分形式，对x(t)作傅里叶变换。只要输入x(t)绝对可积，即则其傅里叶变换存在X()的物理意义是非周期函数激励x(t)的各个简谐分量的幅值密度。对于每个频率的简谐分量，将分别存在下式：( )( )j tXx t edt( )( )( )YHXY()是响应y(t)的傅里叶变换，取其逆傅里叶变换：11( )( )=( )( )22j tj

14、 tj ty tYedHx t edt ed对于任意激励x(t)，只要知道系统的频率响应函数H()，即可得到相应的响应y(t)，但一般按上式对积分是很困难的，于是在确定系统对任意输入的响应时，一般不采用频率响应法。 应用脉冲响应法计算任意激励下的响应。对于图示任意输入x(t)，可以把它分解成一系列的强度为 x()d 脉冲单元。将系统对各个脉冲单元的响应叠加起来，便得到对x(t)的总响应y(t)。 11( )( )=( )( )22j tj tj ty tYedHx t edt edt=0时刻，单位脉冲输入的响应为h(t)。t=时刻，单位脉冲输入的响应则为h(t-)，对于强度为x()d的脉冲输入

15、，其响应为单位脉冲输入响应h(t-)的x()d倍 ( ) ()xdh t应用叠加原理，把对t以前的每个脉冲单元输入的响应加起来，便得到t时刻的总响应。如果脉冲单元分得很细，则极限情况下求和便变成积分。( )( )()ty txh td该形式的积分称为卷积积分或杜哈美(Duhamel)积分对于线性系统来说，该定理为最重要的输入输出关系式之一。这是卷积积分的第一种形式。卷积积分的第二种形式 在卷积积分式中，积分下限，表示包含t时刻以前的所有脉冲单元，积分上限实际可以扩展到 ，因为t以后的输入对时刻t处的响应不产生影响dthxty)()()(0)()(dthxtt0)(th1sin (0)( )0

16、(0)pteqttmqh tt()1sin () (0)()0 (0)p teq ttmqh tt卷积积分的第三种形式0( )() ( )y tx thd t令： 表示脉冲作用时间与计算系统响应时刻t之间的时间推移。对第一种形式进行变量置换( )( )()ty txh td第一种形式)( )()()(0dhtxty去掉负号调换积分限第三种形式卷积积分的第四种形式( )() ( )y tx thd0( )() ( )y tx thd第三种形式 t0t当相当于意味着脉冲输入在计算响应的时刻之后0)(h把第三种形式的下限扩展到卷积积分的四种形式相互等价采用分析方法计算卷积积分一般都比较繁琐。对于某些

17、简单函数，用图解法计算卷积积分却很方便，并可便于理解卷积积分的真实意义。(此部分阅读)( )( ) ()( )( )y txh tdx th t卷积积分的图解算法设有两个时间函数x(t)和h(t)，其数学表达式分别为1 (0) ( )0 (0 ) tTx ttor tT (0) ( )0 (0) ateth tt它们的图形如图所示，在图中将变量 t 换成变量。1 (0) ( )0 (0 ) tTx ttor tT (0) ( )0 (0) ateth tt图解计算的步骤如下:第一步：折转。即把h()图形绕纵轴翻转180o，这样就得到了h(-)的图形。第二步：平移。即把所得的图形往右移一个t 的距离，则得h(t-)的图形。第三步：相乘。即把x()和h(t-)两个图形中对应的时刻的函数值相乘。第四步：积分。即求出h(t-)和x()乘积曲线下的面积，为t时刻的卷积值。则可画出响应y(t)的曲线。时域卷积定理（理解）