线性振动的近似计算方法

1、2022-6-14振动力学12022-6-14振动力学2 在线性多自由度系统振动中，振动问题归结为刚度矩阵在线性多自由度系统振动中，振动问题归结为刚度矩阵和质量矩阵的广义特征值问题和质量矩阵的广义特征值问题缺点之一：当系统自由度较大时，求解计算工作量非常大缺点之一：当系统自由度较大时，求解计算工作量非常大 本章介绍几种近似计算方法，可作为实用的工程计算方本章介绍几种近似计算方法，可作为实用的工程计算方法对系统的振动特性作近似计算法对系统的振动特性作近似计算 线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法2022-6-14振动力学3 邓克利法邓克利法- 由邓克利（由邓克利（Dunkerley）在实

2、验确定多圆盘的横向振动固有频率）在实验确定多圆盘的横向振动固有频率时提出的时提出的- 便于作为系统基频的计算公式便于作为系统基频的计算公式 0KXXM 0XXFM 0XXD 自由振动作用力方程：自由振动作用力方程：左乘柔度矩阵左乘柔度矩阵F = K -1，位移方程：，位移方程：定义定义D=FM 为系统的动力矩阵为系统的动力矩阵nRX作用力方程的特征值问题：作用力方程的特征值问题：MK2位移方程的特征值问题：位移方程的特征值问题：D线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 邓克利法邓克利法2022-6-14振动力学4作用力方程的特征值问题：作用力方程的特征值问题：MK2位移方程的特征值问

3、题：位移方程的特征值问题：D特征值：特征值：22221nn21关系：关系：2/1ii位移方程的最大特征根：位移方程的最大特征根：211/1对应着系统的第一阶固有频率对应着系统的第一阶固有频率（基频）（基频） 位移方程的特征方程：位移方程的特征方程：0 ID展开：展开：0)() 1(1111nnnnnaaa其中：其中：Dtrdddann)(22111例如：例如：022211211dddd0)()() 1(21122211221122dddddd线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 邓克利法邓克利法D=FM2022-6-14振动力学5特征方程：特征方程：0)() 1(1111nnnnn

4、aaa其中：其中：Dtrdddann)(22111当当 M 为对角阵时：为对角阵时：)(FMDtrtr 特征方程又可写为：特征方程又可写为：0)()(21n niia11有：有：niiiiniimf11柔度系数柔度系数 fii 的物理意义：沿第的物理意义：沿第 i 个坐标施加单位力时所产生个坐标施加单位力时所产生的第的第 i 个坐标的位移个坐标的位移2/1ii niiiiniimf1121线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 邓克利法邓克利法D=FM niiiimf1trD niiiimf12022-6-14振动力学6如果只保留第如果只保留第 i 个质量，所得的单自由度系统的固有频

5、率为：个质量，所得的单自由度系统的固有频率为：niiiiniimf11iiiiiimfmk12例如：两自由度系统例如：两自由度系统（1）只保留）只保留 m1 时时柔度矩阵：柔度矩阵：2111111111kkkkkF1111kf1121mk（2）只保留）只保留 m2 时时122122111kkkf21222mkm1k1k2m2m1k1m2k1k2 niiiiniimf1121线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 邓克利法邓克利法2022-6-14振动力学7如果只保留第如果只保留第 i 个质量，所得的单自由度系统的固有频率为：个质量，所得的单自由度系统的固有频率为：niiiiniimf

6、11iiiiiimfmk12将将 代入：代入：2i22221121111nnii 对于梁结构系统，第二阶及第二阶以上的固有频率通常远大于对于梁结构系统，第二阶及第二阶以上的固有频率通常远大于基频，因此左端可只保留基频项，有：基频，因此左端可只保留基频项，有：22221211111n 邓克利法邓克利法得到的基频是精确值的下限得到的基频是精确值的下限 niiiiniimf1121线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 邓克利法邓克利法2022-6-14振动力学822221121111nnii 解释：解释：22221211111n ba 21122322111na 22221111nbab

7、 121因在邓克利法中忽略了因在邓克利法中忽略了a，因此所得结果为基频下限，因此所得结果为基频下限得到的基频是精确值的下限得到的基频是精确值的下限线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 邓克利法邓克利法2022-6-14振动力学9例：三自由度系统（教材例：三自由度系统（教材P104算例）算例）000220231012200010001321321xxxkxxxm 采用常规方法，采用常规方法，固有频率：固有频率：mk /3730. 01mk /3213. 12mk /0286. 23邓克利法：邓克利法： 当当 m1 单独存在时单独存在时mk /21当当 m2 单独存在时单独存在时mk/

8、1222kkkkkk21212112当当 m3 单独存在时单独存在时kkkkk25111132112352123kkmk52322221211111nmk /3535. 01代入邓克利法公式：代入邓克利法公式：mmkk2m2k线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 邓克利法邓克利法2022-6-14振动力学10 瑞利法瑞利法- 基于能量原理的一种近似方法基于能量原理的一种近似方法 - 可用于计算系统的基频可用于计算系统的基频 算出的近似值为实际基频的上限算出的近似值为实际基频的上限 - 配合邓克利法算出的基频下限，可以估计实际基频的大致范围配合邓克利法算出的基频下限，可以估计实际基频

9、的大致范围 n 自由度保守系统：自由度保守系统： 0KXXM nRX机械能守恒机械能守恒主振动主振动 ：)sin(tX动能与势能：动能与势能： XMXTT21 KXXTV21 最大值：最大值：MTT2max21KTV21maxmaxmaxVT2)(MKTTR瑞利商瑞利商线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 瑞利法瑞利法2022-6-14振动力学112)(MKTTR瑞利商瑞利商对于第对于第 i 阶模态：阶模态：2)()()()()()(iiTiiTiiRMK当当 为一般向量时（不是实际模态），总能展开为为一般向量时（不是实际模态），总能展开为 n 个正个正则模态的线性组合：则模态的线

10、性组合：)()2(2)1(1nNNNNaaaTnaaa,21a代入瑞利商：代入瑞利商：aMaaKaNTNTNTNTR )(可以证明，可以证明， 和和 分别为瑞利商的极小值和极大值分别为瑞利商的极小值和极大值212n即：即：221)(nR线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 瑞利法瑞利法 njjNja1)(aN ,)()2()1(nNNNN IaaaaTT njjnjjjaa121222022-6-14振动力学12njjnjjjTTNTNTNTNTaaR12122)(IaaaaaMaaKa221)(nR分析：分析：j1换为换为若将瑞利商右端分子内的所有若将瑞利商右端分子内的所有 是最

11、低阶固有频率是最低阶固有频率 1由于由于因此：因此：21121212)(njjnjjaaR21)(R 由瑞利商公式知，当由瑞利商公式知，当 确为第一阶模态时，有：确为第一阶模态时，有：)1(因此，瑞利商的极小值为因此，瑞利商的极小值为21同理可证明，瑞利商的极大值为同理可证明，瑞利商的极大值为2n线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 瑞利法瑞利法2022-6-14振动力学13njjnjjjTTNTNTNTNTaaR12122)(IaaaaaMaaKa221)(nRkjnjaakjj, 2 , 1，如果如果 接近第接近第 k 阶真实模态阶真实模态 )(k比起比起 ak ，其它系数很小

12、，其它系数很小1j代入，得：代入，得：njjkjkR12222)()(线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 瑞利法瑞利法2022-6-14振动力学14kjjaanjjkjkR12222)()(线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 瑞利法瑞利法解释：解释： 例如例如 k1njaajj, 21，222212222222121)(nnnaaaaaaRnjjnjjjaaR12122)(2222122123212221221232122222222211)()(nnnnn22222122222211)()1 (nniiin22222122211)(nniiiniii2212221

13、)(222222222211nnn21221222122122221222121aaaaaannn约去约去a1分子上加减分子上加减1项项2022-6-14振动力学15njjnjjjTTNTNTNTNTaaR12122)(IaaaaaMaaKa221)(nRkjnjaakjj, 2 , 1，如果如果 接近第接近第 k 阶真实模态阶真实模态 )(k比起比起 ak ，其它系数很小，其它系数很小1j代入，得：代入，得：njjkjkR12222)()(因此，若因此，若 与与 的差异为一阶小量，则瑞利商与的差异为一阶小量，则瑞利商与 的差别的差别为二阶小量为二阶小量)(k2k对于基频的特殊情况，令对于基频

14、的特殊情况，令k1，则由于，则由于 瑞利商在基频处取极小值瑞利商在基频处取极小值)2(0212njj利用瑞利商估计系统的基频所得的结果必为实际基频的上限利用瑞利商估计系统的基频所得的结果必为实际基频的上限愈接近系统的真实模态，算出的固有频率愈准确愈接近系统的真实模态，算出的固有频率愈准确线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 瑞利法瑞利法2022-6-14振动力学16njjnjjjTTNTNTNTNTaaR12122)(IaaaaaMaaKa221)(nR解释：解释：njjkjkR12222)()(因为因为)2(0212njj 利用瑞利商估计系统的基频所得的结果必为实际基频的上限利用

15、瑞利商估计系统的基频所得的结果必为实际基频的上限愈接近系统的真实模态，算出的固有频率愈准确愈接近系统的真实模态，算出的固有频率愈准确例如例如 k1njjkjR222221)()(瑞利商：瑞利商：所以所以21)(R得证得证!线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 瑞利法瑞利法2022-6-14振动力学17例：三自由度系统（教材例：三自由度系统（教材P106算例）算例）000220231012200010001321321xxxkxxxm 采用常规方法，固有频率：采用常规方法，固有频率：mk /3730. 01mk /3213. 12mk /0286. 23采用邓克利法，基频：采用邓克利

16、法，基频：mk /3535. 01取在取在2m质量上施加力质量上施加力P所产生的所产生的“静变形曲线静变形曲线”作为近似的第作为近似的第一阶主振型，即：一阶主振型，即：T5 . 2, 2, 1 MKTTR)(代入瑞利商公式：代入瑞利商公式：mkR142857. 0)(mk3780. 01与精确值相比，相对误差与精确值相比，相对误差1.34%mmkk2m2k线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 瑞利法瑞利法2022-6-14振动力学18 里茨法里茨法 里兹法是瑞利法的改进里兹法是瑞利法的改进 里兹法将对近似振型给出更合理的假设，从而使算出的基里兹法将对近似振型给出更合理的假设，从而使

17、算出的基频值进一步下降频值进一步下降 用里兹法不仅可以计算系统的基频，还可以算出系统的前用里兹法不仅可以计算系统的基频，还可以算出系统的前几阶频率和模态几阶频率和模态 瑞利法算出的基频的精度取决于假设的振型对第一阶主振瑞利法算出的基频的精度取决于假设的振型对第一阶主振型的近似程度，而且得到的基频总是精确值的上限型的近似程度，而且得到的基频总是精确值的上限线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 里兹法里兹法2022-6-14振动力学19里兹法基于与瑞利法相同的原理，但将瑞利使用的单个假设里兹法基于与瑞利法相同的原理，但将瑞利使用的单个假设模态改进为模态改进为若干个独立的假设模态的线性组

18、合若干个独立的假设模态的线性组合： A rjjjrraaaa1)()()2(2)1(1rnrR ,)()2()1(121, rTrRaaaA1)( niR元素待定元素待定代入瑞利商：代入瑞利商： MKTTR )()()(ARR rrTR KKrrTR MM由于由于 在系统中的真实主振型处取驻值，所以在系统中的真实主振型处取驻值，所以 A 的各个元的各个元素应当从下式确定：素应当从下式确定： )(R)2 , 1(, 0rjaRj 线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 里兹法里兹法AMAAKATTTT AMAAKATT 2 假设模态假设模态 2022-6-14振动力学20MKTTR )

19、(), 2 , 1(, 0rjaRj 瑞利商：瑞利商： 2)()( AMAAKAAMAAKAATTTTTTRR代入：代入： ), 2 , 1(, 0)()(2rjaaTjTj AMAAKA), 2 , 1(,2)(2)()()(rjaaaaTjTjjTTjTj AKeAKAAKAAKAAKA其中其中je是是 r 阶单位矩阵的第阶单位矩阵的第 j 列列 上面上面 r 个方程可合成为：个方程可合成为： AKAKAA2)( TA 表示将函数分别对表示将函数分别对 A 的各个元素依次求偏导，然后排列成的各个元素依次求偏导，然后排列成列向量列向量线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 里兹法里

20、兹法2022-6-14振动力学21), 2 , 1(, 0rjaRj 瑞利商：瑞利商： 2)()( AMAAKAAMAAKAATTTTTTRR), 2 , 1(, 0)()(2rjaaTjTj AMAAKA同理，有：同理，有：AKAKAA2)( TAMAMAA2)( T0)()(2 AMAAAKAATT两项代入：两项代入： 0AMK )(2可写为：可写为：线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 里兹法里兹法2022-6-14振动力学220AMK )(2由于由于 的阶数的阶数 r 一般远小于系统自由度数一般远小于系统自由度数 n，上式所示，上式所示的矩阵特征值问题比原来系统的矩阵特征值

21、问题解起来容易的矩阵特征值问题比原来系统的矩阵特征值问题解起来容易得多得多 MK、因此里兹法实际上是一种缩减系统自由度求解固有振动的近因此里兹法实际上是一种缩减系统自由度求解固有振动的近似方法似方法就是自由度缩减为就是自由度缩减为 r 的新系统的刚度矩阵和质量矩阵的新系统的刚度矩阵和质量矩阵 MK、), 2 , 1(,22rjjj 22221,r，可求出可求出 r 个特征根个特征根)()2()1(,rAAA及相应的特征向量及相应的特征向量原来系统的前原来系统的前 r 阶固有频率可近似取为：阶固有频率可近似取为：相应的前相应的前 r 阶主振型近似取为：阶主振型近似取为： ), 2 , 1(,)(

22、)(rjjj AA rjjjrraaaa1)()()2(2)1(1线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 里兹法里兹法2022-6-14振动力学230AMK )(222jj ), 2 , 1(,)()(rjjj A正交性分析正交性分析得出的近似主振型式关于矩阵得出的近似主振型式关于矩阵 M 和和 K 相互正交相互正交 00)()()()( jTijTiAKAAMA，ji 时时成立成立jijTijTTijTi 当 0)()()()()()(AMAAMAM同理，有：同理，有：jijTijTTijTi 当 0)()()()()()(AKAAKAK因此：因此：线性振动的近似计算方法线性振动的

23、近似计算方法 / 里兹法里兹法2022-6-14振动力学24例：三自由度系统（教材例：三自由度系统（教材P106算例）算例）000220231012200010001321321xxxkxxxm 采用常规方法，固有频率：采用常规方法，固有频率：mk /3730. 01mk /3213. 12mk /0286. 23采用邓克利法，基频：采用邓克利法，基频：mk /3535. 01采用里兹法，基频：采用里兹法，基频：mk /3780. 01 将假设的振型取为：将假设的振型取为： 13221121）（）（ mmkk2m2k线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 里兹法里兹法2022-6-1

24、4振动力学25将假设的振型取为：将假设的振型取为： 13221121）（）（ kkkk20444TK mmmmTT723MMKTTTMM 缩减后的新系统的刚度矩阵和质量矩阵：缩减后的新系统的刚度矩阵和质量矩阵： 特征值问题：特征值问题：0072044234km20AMK )(2139853. 01860147. 22 T1,927547. 4)1( A T1,018449. 0)2( A 线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 里兹法里兹法2022-6-14振动力学26 13221121）（）（0072044234km2139853. 01860147. 22 T1,927547.

25、4)1( A T1,018449. 0)2( Amkmk691197. 1222 固有频率：固有频率：mkmk373969. 0111 主振型：主振型： T1860148. 1930074. 02)2()2( A T1860147. 0430073. 01)1()1( A12和和 是主振型归一化时产生的常数，不必考虑是主振型归一化时产生的常数，不必考虑 线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 里兹法里兹法2022-6-14振动力学27mk /691197. 122 固有频率：固有频率：mk /373969. 011 主振型：主振型： T1860148. 1930074. 02)2()

26、2( A T1860147. 0430073. 01)1()1( Amkmk/3213. 1,/3730. 021 固有频率精确值：固有频率精确值：主振型精确值：主振型精确值： T18608. 04626. 0)1( T17458. 09339. 2)2( 采用邓克利法，基频：采用邓克利法，基频：mk /3535. 01采用瑞利法，基频：采用瑞利法，基频：mk /3780. 01 里兹法得到的基频精度比用瑞利法的高，但第二阶固有频率的里兹法得到的基频精度比用瑞利法的高，但第二阶固有频率的精度还欠佳精度还欠佳 线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 里兹法里兹法2022-6-14振动力

27、学28 传递矩阵法传递矩阵法- 传递矩阵法适用于计算传递矩阵法适用于计算链状结构链状结构的固有频率和主振型的固有频率和主振型多个圆盘的扭振，连续梁，气轮机和发电机的转轴系统多个圆盘的扭振，连续梁，气轮机和发电机的转轴系统- 特征：特征：可简化为无质量的梁上带有若干个集中质量的横向振动可简化为无质量的梁上带有若干个集中质量的横向振动- 特点：特点：将链状结构划分为一系列单元，每对单元之间的传递矩将链状结构划分为一系列单元，每对单元之间的传递矩阵的阶数等于单元的运动微分方程的阶数，因此传递矩阵法对阵的阶数等于单元的运动微分方程的阶数，因此传递矩阵法对全系统的计算分解为阶数很低的各个单元的计算，然后

28、加以综全系统的计算分解为阶数很低的各个单元的计算，然后加以综合，从而大大减少计算工作量合，从而大大减少计算工作量（1）轴盘扭转振动系统）轴盘扭转振动系统（2）梁的横向弯曲振动系统）梁的横向弯曲振动系统线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法传递矩阵法2022-6-14振动力学29（1）轴盘扭转振动系统）轴盘扭转振动系统(1)(2)(3)(n-2)(n-1)123n-1n 多盘扭振系统（多盘扭振系统（n-1个盘）个盘）(i-1)(i)ili kiJiJi-1 第第 i 个单元个单元n-1个圆盘个圆盘将圆盘和轴自左至右编号将圆盘和轴自左至右编号第第 i-1 个和第个和第 i 个

29、圆盘以及连接两盘的轴段构成个圆盘以及连接两盘的轴段构成第第 i 个单元个单元Ji-1、 Ji：第：第 i-1 个圆盘和第个圆盘和第 i 个圆盘的转动惯量个圆盘的转动惯量li：第：第 i 个单元轴段的长度个单元轴段的长度 ki：第：第 i 个单元轴段的扭转刚度个单元轴段的扭转刚度轴不计质量，只计刚度轴不计质量，只计刚度线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法传递矩阵法2022-6-14振动力学30(i-1)(i)ili kiJiJi-1 第第 i 个单元个单元第第 i 个圆盘两侧的状态变量满足：个圆盘两侧的状态变量满足：第第 i 个圆盘左右两侧状态变量的传递关系：个圆盘左右两

30、侧状态变量的传递关系：定义状态变量：定义状态变量：定义：定义：上角标上角标 L 和和 R 表示盘的左侧和右侧截面表示盘的左侧和右侧截面TT),( XiRiTLiTiJLiRi 1 RiT1 LiTiikl：盘转角：盘转角：盘侧面扭矩：盘侧面扭矩TLiRi iiLiRiJTT ii2 iiLiRiJTT2 当圆盘以频率当圆盘以频率 作简谐振动时，有：作简谐振动时，有：LiiRiTJT 1012线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法传递矩阵法第第i个圆盘右端状态个圆盘右端状态第第i个圆盘左端状态个圆盘左端状态第第i-1个圆盘个圆盘右端状态右端状态第第i个圆盘个圆盘 左端状态左

31、端状态2022-6-14振动力学31(i-1)(i)ili kiJiJi-1 第第 i 个单元个单元第第 i 个圆盘两侧的状态变量满足：个圆盘两侧的状态变量满足：第第 i 个圆盘左右两侧状态变量的传递关系：个圆盘左右两侧状态变量的传递关系：定义状态变量：定义状态变量：定义：定义：上角标上角标 L 和和 R 表示盘的左侧和右侧截面表示盘的左侧和右侧截面TT),( XiRiTLiTiJLiRi 1 RiT1 LiTiikl：盘转角：盘转角：盘侧面扭矩：盘侧面扭矩TLiRi iiLiRiJTT ii2 iiLiRiJTT2 LiPiRiXSX 1012iPiJS点传递矩阵点传递矩阵当圆盘以频率当圆盘

32、以频率 作简谐振动时，有：作简谐振动时，有：LiiRiTJT 1012线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法传递矩阵法第第i-1个圆盘个圆盘右端状态右端状态第第i个圆盘个圆盘 左端状态左端状态2022-6-14振动力学32第第 i 个轴段左右两端状态变量的传递关系：个轴段左右两端状态变量的传递关系：第第 i 个轴段上扭矩平衡条件：个轴段上扭矩平衡条件：状态变量：状态变量：TT),( X)(11RiLiiRiLikTT 1012iPiJS点传递矩阵点传递矩阵第第 i 个圆盘左右两侧状态变量的传递关系：个圆盘左右两侧状态变量的传递关系：LiPiRiXSX (i-1)(i)il

33、i kiJiJi-1 第第 i 个单元个单元iRiTLiTiJLiRi 1 RiT1 LiTiiklRiiLiTkT110/11 线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法传递矩阵法第第i个圆盘左端状态个圆盘左端状态 第第i-1个圆盘右端状态个圆盘右端状态第第i-1个圆盘个圆盘右端状态右端状态第第i个圆盘个圆盘 左端状态左端状态2022-6-14振动力学33第第 i 个轴段左右两端状态变量的传递关系：个轴段左右两端状态变量的传递关系：第第 i 个轴段上扭矩平衡条件：个轴段上扭矩平衡条件：状态变量：状态变量：TT),( X)(11RiLiiRiLikTT RiFiLi1 XSX

34、 1012iPiJS点传递矩阵点传递矩阵 10/11iFikS场传递矩阵场传递矩阵第第 i 个圆盘左右两侧状态变量的传递关系：个圆盘左右两侧状态变量的传递关系：LiPiRiXSX (i-1)(i)ili kiJiJi-1 第第 i 个单元个单元iRiTLiTiJLiRi 1 RiT1 LiTiiklRiiLiTkT110/11 线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法传递矩阵法第第i-1个圆盘个圆盘右端状态右端状态第第i个圆盘个圆盘 左端状态左端状态2022-6-14振动力学34第第 i 个轴段左右两端状态变量的传递关系：个轴段左右两端状态变量的传递关系：状态变量：状态变量

35、：TT),( XRiFiLi1 XSX 1012iPiJS点传递矩阵点传递矩阵 10/11iFikS场传递矩阵场传递矩阵第第 i 个圆盘左右两侧状态变量的传递关系：个圆盘左右两侧状态变量的传递关系：LiPiRiXSX 第第 i-1 个圆盘右侧到第个圆盘右侧到第 i 个圆盘右侧的状态变量传递关系：个圆盘右侧的状态变量传递关系：RiiRiFiPiRi11 XSXSSXFiPiiSSS 单元传递矩阵单元传递矩阵(i-1)(i)ili kiJiJi-1 第第 i 个单元个单元iRiTLiTiJLiRi 1 RiT1 LiTiikl线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法传递矩阵法第

36、第i-1个圆盘个圆盘右端状态右端状态第第i个圆盘个圆盘 左端状态左端状态2022-6-14振动力学35第第 i 个轴段左右两端状态变量的传递关系：个轴段左右两端状态变量的传递关系：RiFiLi1 XSX 1012iPiJS点传递矩阵点传递矩阵 10/11iFikS场传递矩阵场传递矩阵第第 i 个圆盘左右两侧状态变量的传递关系：个圆盘左右两侧状态变量的传递关系：LiPiRiXSX 第第 i-1 个圆盘右侧到第个圆盘右侧到第 i 个圆盘右侧的状态变量传递关系：个圆盘右侧的状态变量传递关系：RiiRiFiPiRi11 XSXSSXFiPiiSSS 单元传递矩阵单元传递矩阵 )/(1/1110/111

37、01222iiiiiiFiPiikJJkkJSSSn 个圆盘的轴系，最左端和最右端状态变量传递关系：个圆盘的轴系，最左端和最右端状态变量传递关系：RRn1SXX S：第：第1至第至第n单元通路中所有单元传递矩阵的连乘积单元通路中所有单元传递矩阵的连乘积最后利用两端边界条件可确定固有频率和模态最后利用两端边界条件可确定固有频率和模态（ 的函数）的函数）11SSSS nn线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法传递矩阵法2022-6-14振动力学36例：三圆盘扭振系统例：三圆盘扭振系统kkk 21用传递矩阵法求固有频率和模态用传递矩阵法求固有频率和模态1J3J2J1k2kJJJ

38、 31JJ22 线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法传递矩阵法2022-6-14振动力学37例：三圆盘扭振系统例：三圆盘扭振系统kkk 211J3J2J1k2kJJJ 31JJ22 解：解：两端无约束，边界条件：两端无约束，边界条件：031 RLTT令：令：11 第一个圆盘左端状态：第一个圆盘左端状态： 011LT 1012iPiJSLiPiRiXSX 第一个圆盘右端状态：第一个圆盘右端状态： JJTR221101101线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法传递矩阵法2022-6-14振动力学38kkk 211J3J2J1k2kJJJ 21JJ23

39、 两端边界条件：两端边界条件：031 RLTT令：令：11 011LT JTR211RiiRi1 XSX：、RR32XX )32(11212112222222kJJkJJkJJkTR )/(1/1122iiiiikJJkS )232142)32(1212112442224222223kJkJJkJkJkJJkJkJJkTR线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法传递矩阵法2022-6-14振动力学391J3J2J1k2k两端边界条件：两端边界条件：031 RLTT令：令：11 011LT JTR211 )32(12222kJJkJTR )23214224422243kJkJ

40、JkJkJTR0)2322442 kJkJJ根据边界条件：根据边界条件： JkJk/2/0321代入各单元状态的第一个元素，得模态：代入各单元状态的第一个元素，得模态： 111)1( 101)2( 111)3(线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法传递矩阵法2022-6-14振动力学40（2）梁的横向弯曲振动系统）梁的横向弯曲振动系统) 1 (n)2(123)0() 1( n)2( n1 n)3()(n传递矩阵法可用于分析梁的横向弯曲振动传递矩阵法可用于分析梁的横向弯曲振动假定梁上有假定梁上有 n-1 个集中质量个集中质量将支座、梁段、集中质量自左向右分别编号将支座、梁段

41、、集中质量自左向右分别编号梁段质量不计，只计刚度梁段质量不计，只计刚度第第 i-1 个和第个和第 i 个质量以及连接两质量的梁段构成个质量以及连接两质量的梁段构成第第 i 个单元个单元状态变量构成：状态变量构成：TsFMy)( X集中质量处梁的横向位移、截面转角、弯矩和剪力集中质量处梁的横向位移、截面转角、弯矩和剪力第第 i 个梁段长个梁段长 li，抗弯刚度，抗弯刚度 EiIi，质量分别为，质量分别为mi-1、mii) 1( iiiiIEl1 im)(iim第第 i 个单元个单元Li 1 XRi 1 XLiXRiX线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法传递矩阵法2022-

42、6-14振动力学41) 1 (n)2(123)0() 1( n)2( n1 n)3()(ni) 1( iiiiIEl1 im)(iim第第 i 个质量两侧满足：个质量两侧满足：第第 i 个质量受力分析个质量受力分析imLisF,RisF,RiMLiM iiLisRisLiRiLiRiLiRiymFFMMyy ,iiyy2 当系统以频率当系统以频率 作简谐振动时：作简谐振动时：iiLisRisymFF2, 第第 i 个质量左右两侧的传递关系：个质量左右两侧的传递关系：LiPiRiXSX 点传递矩阵点传递矩阵第第 i 个单元个单元LisiRisFMymFMy 1000100001000012线性振

43、动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法传递矩阵法2022-6-14振动力学42) 1 (n)2(123)0() 1( n)2( n1 n)3()(ni) 1( iiiiIEl1 im)(iim平衡条件：平衡条件：第第 i 个梁段受力分析个梁段受力分析RisF1, LisF,LiMRiM1 Ri 1 LiRiy1 LiyilxyiRisRiLilFMM1,1 RisLisFF1, 梁段两端位移和转角分析梁段两端位移和转角分析设第设第 i 个梁段距离左端个梁段距离左端 x 远的截面远的截面的弯矩、转角和挠度分别为：的弯矩、转角和挠度分别为：)()()(xyxxMiii，对于弯矩，有

44、：对于弯矩，有：xFMxMRisRii1,1)( 第第 i 个单元个单元Li 1 XRi 1 XLiXRiX线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法传递矩阵法第第i-1个质量个质量右端状态右端状态第第i个质量个质量左端状态左端状态2022-6-14振动力学43设第设第 i 个梁段距离左端个梁段距离左端 x 远的截远的截面的弯矩、转角和挠度分别为：面的弯矩、转角和挠度分别为：)()()(xyxxMiii，对于转角，由材料力学有：对于转角，由材料力学有： xiiiRiidxxMIEx01)(1)(xFMxMRisRii1,1)( 21,11211xFIExMIERisiiRii

45、iRi 对于挠度：对于挠度： xiRiidxxyxy01)()(31,21116121xFIExMIExyRisiiRiiiRiRi RisF1, LisF,LiMRiM1 Ri 1 LiRiy1 Liyilxy线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法传递矩阵法2022-6-14振动力学44设第设第 i 个梁段距离左端个梁段距离左端 x 远的截远的截面的弯矩、转角和挠度分别为：面的弯矩、转角和挠度分别为：)()()(xyxxMiii，xFMxMRisRii1,1)( 21,11211)(xFIExMIExRisiiRiiiRii 31,21116121)(xFIExMIEx

46、yxyRisiiRiiiRiRii 令令)()(xyxii、中中 x=li：iiiRisiiiRiRiLiIElFIElM221,11 iiiRisiiiRiiRiRiLiIElFIElMlyy6231,2111 RisF1, LisF,LiMRiM1 Ri 1 LiRiy1 Liyilxy线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法传递矩阵法2022-6-14振动力学45iRisRiLilFMM1,1 RisLisFF1, iiiRisiiiRiRiLiIElFIElM221,11 iiiRisiiiRiiRiRiLiIElFIElMlyy6231,2111 RisF1, L

47、isF,LiMRiM1 Ri 1 LiRiy1 Liyilxy梁段受力平衡方程：梁段受力平衡方程：第第 i 个梁段左右两端状态变量的传递关系：个梁段左右两端状态变量的传递关系：RiFiLi1 XSX场传递矩阵场传递矩阵RisiiiiiiiiiiiiiiLisFMylIElIElIElIEllFMy12321000100)2/()/(10)6/()2/(1 线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法传递矩阵法第第i-1个质量个质量右端状态右端状态第第i个质量个质量左端状态左端状态2022-6-14振动力学46第第 i 个质量左右两侧的传递关系：个质量左右两侧的传递关系：LiPi

48、RiXSX 第第 i 个梁段左右两端状态变量的传递关系：个梁段左右两端状态变量的传递关系：RiFiLi1 XSX第第 i -1 个质量右侧至第个质量右侧至第 i个质量右侧的状态变量传递关系：个质量右侧的状态变量传递关系：RiiRiFiPiRi11 XSXSSXFiPiiSSS 单元传递矩阵单元传递矩阵对于带对于带 n 个集中质量得梁，总能利用各单元传递矩阵的连乘个集中质量得梁，总能利用各单元传递矩阵的连乘积导出梁的最左端和最右端状态变量传递关系：积导出梁的最左端和最右端状态变量传递关系：RRn1SXX 最后利用两端边界条件可确定固有频率和模态最后利用两端边界条件可确定固有频率和模态i) 1(

49、iiiiIEl1 im)(iim第第 i 个单元个单元Li 1 XRi 1 XLiXRiX线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法传递矩阵法2022-6-14振动力学47 1000100001000012iPimSFiPiiSSS 单元传递矩阵：单元传递矩阵： 1000100)2/()/(10)6/()2/(1232iiiiiiiiiiiiiiFilIElIElIElIEllS )6/(1)2/(100)2/()/(10)6/()2/(1322222232iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiIElmIElmlmmlIElIElIElIEllS代入，得：代入，

50、得：点传递矩阵点传递矩阵场传递矩阵场传递矩阵线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法传递矩阵法2022-6-14振动力学48例：用传递矩阵法求解固有频率例：用传递矩阵法求解固有频率梁的抗弯刚度梁的抗弯刚度 EI mmlll线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法传递矩阵法2022-6-14振动力学49例：用传递矩阵法求解固有频率例：用传递矩阵法求解固有频率梁的抗弯刚度梁的抗弯刚度 EI 解：解：对支座、质量、梁段编号对支座、质量、梁段编号 状态变量：状态变量：两端边界已知条件：两端边界已知条件：0, 03300 LLRRMyMyTsFMy)( Xmmll

51、l无量纲边界条件：无量纲边界条件：0, 03300 LLRRMyMy引入无量纲变量：引入无量纲变量：EImlEIlFFEIMlMlyyss232, 无量纲状态变量：无量纲状态变量：TsFMy)( X) 1 ()2(123)0()3(R0XL1XR1XR2XL2XL3X线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法传递矩阵法2022-6-14振动力学500, 03300 LLRRMyMy点传递矩阵和场传递点传递矩阵和场传递矩阵转到无量纲域矩阵转到无量纲域TsFMy)( X 100010000100001PiS 100011002/11106/12/111FiS) 1 ()2(123

52、)0()3(R0XL1XR1XR2XL2XL3X无量纲变量：无量纲变量：EImlEIlFFEIMlMlyyss232, 1000100001000012iPimS点传递矩阵点传递矩阵 1000100)2/()/(10)6/()2/(1232iiiiiiiiiiiiiiFilIElIElIElIEllS场传递矩阵场传递矩阵线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法传递矩阵法2022-6-14振动力学510, 03300 LLRRMyMy点传递矩阵和场传递矩点传递矩阵和场传递矩阵转到无量纲域，有：阵转到无量纲域，有：TsFMy)( X 100010000100001PiS 100

53、011002/11106/12/111FiS第第 i 个梁段左右两侧的传递关系：个梁段左右两侧的传递关系：RiFiLi1 XSX两支座之间的传递矩阵：两支座之间的传递矩阵：FPFPF11223SSSSSS 梁段梁段1：RFL011XSX 梁段梁段2：RFL122XSX 梁段梁段3：RFL233XSX ) 1 ()2(123)0()3(R0XL1XR1XR2XL2XL3X质量质量1：两支座之间的状态关系：两支座之间的状态关系：RFL233XSX LPR111XSX 质量质量2：LPR222XSX 第第 i 个质量左右两侧的传递关系：个质量左右两侧的传递关系：LiPiRiXSX 线性振动的近似计算方法线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法传递矩阵法R0XS)(223LPFXSS)(1223RFPFXSSS)(11223LPFPFXSSSS)(011223RFPFPFXSSSSS2022-6-14振动力学520, 03300 LLRRMyMy点传递矩阵和场传递矩点传递矩阵和场传递矩阵转到无量纲域，有：阵转到无量纲域，有：TsFMy)( X 10