2014-2015学年湖南省常德一中高三上第二次月考数学试卷理科解析版

1、2014-2015学年湖南省常德一中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共50分）1已知全集I=1，2，3，0，1，M=1，0，a2+1，则IM为（）A 1，2，3，1B 1，0，1C 1，3D 2，32若|=2sin15°，|=4cos15°，与的夹角为30°，则的值是（）A B C D 3设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则ABC的形状为（）A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 不确定4若等差数列an的前三项为x1，x+1，2x+3，则这数列的通项公式为（）A an=2n5B

2、 an=2n3C an=2n1D an=2n+15将函数y=sin2x的图象先向左平移个单位，再向上平移1个单位长度所得图象对应的函数为（）A y=cos2x+1B y=cos2x+1C y=sin（2x+）+1D y=sin（2x）+16已知函数f（x）=Acos（x+）（A0，0，R），则“f（x）是奇函数”是“=”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件7若2+4+6+2n72，则正整数n的最小值为（）A 7B 8C 9D 108函数f（x）=lg（axbx），常数a1b0，则不等式f（x）0的解集是（1，+）的充要条件是（）A ab+1B a=

3、b+1C ab+1D ab+19若向量与不共线，0，且，则向量与的夹角为（）A 0B C D 10函数f（x）=axm（1x）n在区间0，1上的图象如图所示，则m，n的值可能是（）A m=1，n=1B m=1，n=2C m=2，n=1D m=3，n=1二、填空题（每小题5分，共25分）11已知向量=（1，2），=（2，3），=（4，7），若向量（+），则=12函数f（x）=log7（x22x3）的单调递减区间为13已知cos2=，则sin2=14已知f（x）=，则不等式f（x2x+1）12解集是15将2n按如图所示规律填在5列的数列中，设22014排在数表的第a行，第b列，则第b列中的前a个数

4、的和为（不需要算出具体数字）212223242827262529210211212216215214213三、解答题（本题共6个小题，共75分）16设向量=（sinx，sinx），=（cosx，sinx），x（0，）（1）若|=|，求x的值； （2）设函数f（x）=，求f（x）的最大值17设函数f（x）=x33ax+b（a0）（）若曲线y=f（x）在点（2，f（2）处与直线y=8相切，求a，b的值；（）求函数f（x）的单调区间与极值点18设数列an的前n项为Sn，点（n，），（nN*）均在函数y=3x2的图象上（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=，求数列bn的前n项和Tn19在路边安装路

5、灯，灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路方向垂直，且ABC=120°，路灯C射出的光线如图中虚线所示，已知ACD=60°，路宽AD=18m设灯柱高AB=h（m），ACB=（30°45°）（1）求灯柱的高h（用表示）；（2）若灯柱AB与灯杆BC单位长度的造价相同，问当为多少时，灯柱AB与灯杆BC的总造价最低20已知数列an中，a1=t（t0且t1），a2=t2，且当x=t时，函数f（x）=（anan1）x2（an+1an）x（n2，nN*）取得极值（1）求证：数列an+1an是等比数列；（2）求数列an的通项公式；（3）当t=时，若bn=a

6、nln|an|，数列bn中是否存在最大项？如果存在，说明是第几项，如果不存在，说明理由21已知函数f（x）=ln（x+a）x 的最大值为0，其中a0（1）求a的值；（2）若对任意x0，+） ，有f（x）kx2成立，求实数k的最大值；2014-2015学年湖南省常德一中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1已知全集I=1，2，3，0，1，M=1，0，a2+1，则IM为（）A 1，2，3，1B 1，0，1C 1，3D 2，3考点：补集及其运算专题：集合分析：根据集合补集的定义进行求解即可解答：解：a2+11，全集I=1，2，3，0，1，a2+1=

7、1，即M=1，0，1，则IM=2，3，故选：D点评：本题主要考查集合的基本运算，根据条件求出a2+1=1是解决本题的关键2若|=2sin15°，|=4cos15°，与的夹角为30°，则的值是（）A B C D 考点：平面向量数量积的运算专题：计算题；平面向量及应用分析：根据向量数量积的定义，结合二倍角的正弦公式化简，得=2sin60°，再根据特殊角的三角函数值，得到本题答案解答：解：根据向量数量积的定义，得=|cos，其中为与的夹角|=2sin15°，|=4cos15°，为30°，=2sin15°4cos15

8、76;cos30°=4（2sin15°cos15°）cos30°=4sin30°cos30°=2sin60°=故选B点评：本题以向量数量积的计算为载体，着重考查了二倍角的正弦公式、特殊角的三角函数值和平面向量数量积公式等知识，属于基础题3设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则ABC的形状为（）A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 不确定考点：正弦定理专题：解三角形分析：由条件利用正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式

9、、诱导公式求得sinA=1，可得A=，由此可得ABC的形状解答：解：ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bcosC+ccosB=asinA，则由正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，即 sin（B+C）=sinAsinA，可得sinA=1，故A=，故三角形为直角三角形，故选B点评：本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题4若等差数列an的前三项为x1，x+1，2x+3，则这数列的通项公式为（）A an=2n5B an=2n3C an=2n1D an=2n+1考点：等差数列的通项公式专题：计算题分析：由等

10、差数列an的前三项为x1，x+1，2x+3，知（x+1）（x1）=（2x+3）（x+1），解得x=0故a1=1，d=2，由此能求出这数列的通项公式解答：解：等差数列an的前三项为x1，x+1，2x+3，（x+1）（x1）=（2x+3）（x+1），解得x=0a1=1，d=2，an=1+（n1）×2=2n3故选B点评：本题考查等差数列的通项公式，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用5将函数y=sin2x的图象先向左平移个单位，再向上平移1个单位长度所得图象对应的函数为（）A y=cos2x+1B y=cos2x+1C y=sin（2x+）+1D y=sin（2x）+1考点：函数

11、y=Asin（x+）的图象变换专题：三角函数的图像与性质分析：由条件利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，可得结论解答：解：将函数y=sin2x的图象先向左平移个单位，可得y=sin2（x+）=cos2x的图象；再向上平移1个单位长度所得图象对应的函数为y=cos2x+1，故选：B点评：本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础题6已知函数f（x）=Acos（x+）（A0，0，R），则“f（x）是奇函数”是“=”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：三角函数的图像与性质分析：=f（

12、x）=Acos（x+）f（x）=Asin（x）（A0，0，xR）是奇函数f（x）为奇函数f（0）=0=k+，kZ所以“f（x）是奇函数”是“=”必要不充分条件解答：解：若=，则f（x）=Acos（x+）f（x）=Asin（x）（A0，0，xR）是奇函数；若f（x）是奇函数，f（0）=0，f（0）=Acos（×0+）=Acos=0=k+，kZ，不一定有=“f（x）是奇函数”是“=”必要不充分条件故选B点评：本题考查充分条件、必要条件和充要条件的判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数性质的灵活运用7若2+4+6+2n72，则正整数n的最小值为（）A 7B 8C 9D 10考点：等

13、差数列的前n项和专题：等差数列与等比数列分析：利用等差数列的前n项和公式即可得出解答：解：数列2n是等差数列，首项为2，公差为22+4+6+2n72，72，化为n2+n720，解得n8正整数n的最小值为9故选：C点评：本题考查了等差数列的前n项和公式，属于基础题8函数f（x）=lg（axbx），常数a1b0，则不等式f（x）0的解集是（1，+）的充要条件是（）A ab+1B a=b+1C ab+1D ab+1考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：简易逻辑分析：由axbx0，可得函数的定义域为（0，+），然后由定义法证函数为增函数，进而可得f（x）f（1），只需f（1）0，解之可得解答：

14、解：由axbx0，得（）x1=（）0，由于（）1，所以x0，故f（x）的定义域为（0，+），任取x1，x2（0，+），且x1x2f（x1）=lg（ax1bx1），f（x2）=lg（ax2bx2）而f（x1）f（x2）=（ax1bx1）（ax2bx2）=（ax1ax2）+（bx2bx1）a1b0，y=ax在R上为增函数，y=bx在R上为减函数，ax1ax20，bx2bx10，（ax1bx1）（ax2bx2）0，即（ax1bx1）（ax2bx2）又y=lgx在（0，+）上为增函数，f（x1）f（x2）f（x）在（0，+）上为增函数，一方面，当ab+1时，由f（x）0可推得，f（x）的最小值大于0，

15、而当x（1，+），f（x）0，故只需x（1，+）；另一方面，当ab+1时，由f（x）在0，+）上为增函数，可知当x1，+）时，有f（x）f（1）0，即f（x）取正值，故当ab+1时，f（x）取正值的充要条件是x（1，+），故选：A点评：本题考查充要条件的判断，涉及函数定义域和单调性，属中档题9若向量与不共线，0，且，则向量与的夹角为（）A 0B C D 考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角分析：求两个向量的夹角有它本身的公式，条件中表现形式有点繁琐，我们可以试着先求一下要求夹角的向量的数量积，求数量积的过程有点出乎意料，一下就求出结果，数量积为零，两向量垂直，不用再做就得到结果，有些题目同

16、学们看着不敢动手做，实际上，我们试一下，它表现得很有规律解答：解：=0向量a与c垂直，故选D点评：用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，本题使用两个不共线的向量来表示第三个向量，这样解题时运算有点麻烦，但是我们应该会的10函数f（x）=axm（1x）n在区间0，1上的图象如图所示，则m，n的值可能是（）A m=1，n=1B m=1，n=2C m=2，n=1D m=3，n=1考点：利用导数研究函数的单调性专题：计算题；压轴题；图表型分析：由图得，原函数的极大值点小于0.5把答案代入验证看哪个对应的极值点符合要求即可得出答案解答：解：由于本题是选

17、择题，可以用代入法来作，由图得，原函数的极大值点小于0.5当m=1，n=1时，f（x）=ax（1x）=a+在x=处有最值，故A错误；当m=1，n=2时，f（x）=axm（1x）n=ax（1x）2=a（x32x2+x），所以f（x）=a（3x1）（x1），令f（x）=0x=，x=1，即函数在x=处有最值，故B正确；当m=2，n=1时，f（x）=axm（1x）n=ax2（1x）=a（x2x3），有f'（x）=a（2x3x2）=ax（23x），令f（x）=0x=0，x=，即函数在x=处有最值，故C错误；当m=3，n=1时，f（x）=axm（1x）n=ax3（1x）=a（x3x4），有f（x）

18、=ax2（34x），令f（x）=0，x=0，x=，即函数在x=处有最值，故D错误故选：B点评：本题主要考查函数的最值（极值）点与导函数之间的关系在利用导函数来研究函数的极值时，分三步求导函数，求导函数为0的根，判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值本本题考查利用极值求对应变量的值可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点二、填空题（每小题5分，共25分）11已知向量=（1，2），=（2，3），=（4，7），若向量（+），则=2考点：平面向量共线（平行）的坐标表示专题：平面向量及应用分析：利用向量的坐标运算和向量共线定理即可得出解答：解

19、：向量=（1，2），=（2，3），=（4，7），+=（1，2）+（2，3）=（+2，2+3），（+），7（+2）=4（2+3），解得=2故答案为：2点评：本题考查了向量的坐标运算和向量共线定理，属于基础题12函数f（x）=log7（x22x3）的单调递减区间为（，1）考点：对数函数的图像与性质专题：函数的性质及应用分析：利用复合函数的单调性求解，先将函数转化为两个基本函数t=x22x3，t0，y=log7t，由同增异减的结论求解解答：解：由x22x30得：x（，1）（3，+），令t=x22x3，t0，t在（，1）上是减函数，又y=log7t在（3，+）是增函数，根据复合函数的单调性可知：函数y

20、=log7（x22x3）的单调递减区间为（，1），故答案为：（，1）点评：本题主要考查复合函数的单调性，结论是同增异减，一定要注意定义域，这类题，弹性空间大，可难可易13已知cos2=，则sin2=考点：二倍角的余弦专题：三角函数的求值分析：由条件利用二倍角的余弦公式求得sin2的值解答：解：由于cos2=12sin2，sin2=，故答案为：点评：本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题14已知f（x）=，则不等式f（x2x+1）12解集是（1，2）考点：分段函数的应用专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：由题意可得函数f（x）为奇函数，函数f（x）在R上是增函数令x2+x=1

21、2，求得x=3或x=4（舍去）故由不等式f（x2x+1）12，可得 x2x+13，由此求得x的范围解答：解：f（x）=，f（x）=f（x）恒成立，函数f（x）为奇函数，再根据二次函数的图象和性质可得：f（x）在（0，+）上是增函数，f（0）=0，可得函数f（x）在R上是增函数令x2+x=12，求得x=3 或x=4（舍去）由不等式f（x2x+1）12，可得 x2x+13，即 （x+1）（x2）0，解得1x2，故答案为：（1，2）点评：本题主要考查分段函数的应用，考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于基础题15将2n按如图所示规律填在5列的数列中，设22014排在数表的第a行，第b列，则第b列中的前

22、a个数的和为722014（不需要算出具体数字）212223242827262529210211212216215214213考点：归纳推理专题：推理和证明分析：由已知表格中，数字的填写方式，我们易发现每8个数字占两行，并可以进一步分析出数字填写的具体行和列的变化周期性规律，将2014除以周期后，代入填写规则，即可得到答案解答：解：分析表中数据，发现正整数1，2，3，4，5，6，每8个数分为一组，填写在连续的两行中，第一行的第2，3，4，5列各填写第一个数，第二行的第4，3，2，1列各填写第二个数，2014÷8=2516，故该组数字前共有251组，已经占用了502行，22014为第25

23、2组的第6个数，出现在该组的第二行的第3列，故22014出现在第504行，第3列，故第504行前3列的和为：22014+22015+22016=722014，故答案为：722014点评：本题考查的知识点是归纳推理，其中根据已知表格中填写的数字，找出数字填写的周期性规律是解答醒的关键三、解答题（本题共6个小题，共75分）16设向量=（sinx，sinx），=（cosx，sinx），x（0，）（1）若|=|，求x的值； （2）设函数f（x）=，求f（x）的最大值考点：平面向量数量积的运算专题：三角函数的图像与性质分析：（1）根据|=|，建立方程关系，利用三角函数的公式即可求x的值； （2）利用数量

24、积的定义求出函数f（x）=的表达式，利用三角函数的图象和性质求f（x）的最大值解答：解：（1）由|a|2=（sin x）2+（sin x）2=4sin2 x，|b|2=（cos x）2+（sin x）2=1及|a|=|b|，得4sin2 x=1又x（0，），从而sin x=，x=（2）f（x）=sin xcos x+sin2x=sin 2xcos 2x+=sin（2x）+，当x=（0，）时，sin（2x）取最大值1f（x）的最大值为点评：本题主要考查空间向量的坐标公式的应用，以及三角函数的图象和性质，利用数量积的坐标公式求出函数f（x）是解决本题关键17设函数f（x）=x33ax+b（a0）（

25、）若曲线y=f（x）在点（2，f（2）处与直线y=8相切，求a，b的值；（）求函数f（x）的单调区间与极值点考点：利用导数求闭区间上函数的最值；导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性分析：（1）已知函数的解析式f（x）=x33ax+b，把点（2，f（2）代入，再根据f（x）在点（2，f（2）处与直线y=8相切，求出a，b的值；（2）由题意先对函数y进行求导，解出极值点，然后再根据极值点的值讨论函数的增减性及其增减区间；解答：解：（）f（x）=3x23a，曲线y=f（x）在点（2，f（2）处与直线y=8相切，（）f（x）=3（x2a）（a0），当a0时，f（x）0，函数f（x）在（，+）上单调

26、递增，此时函数f（x）没有极值点当a0时，由，当时，f（x）0，函数f（x）单调递增，当时，f（x）0，函数f（x）单调递减，当时，f（x）0，函数f（x）单调递增，此时是f（x）的极大值点，是f（x）的极小值点点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力18设数列an的前n项为Sn，点（n，），（nN*）均在函数y=3x2的图象上（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=，求数列bn的前n项和Tn考点：数列的求和；数列递推式专题：等差数列与等比数列分析：（1）由于点（n，），（nN*）均在函数y=3x2的图象上，可得，即Sn=3n22n当

27、n=1时，a1=S1=1；当n2时，an=SnSn1即可得出（2）利用“裂项求和”即可得出解答：解：（1）点（n，），（nN*）均在函数y=3x2的图象上，即Sn=3n22n当n=1时，a1=S1=1；当n2时，an=SnSn1=（3n22n）3（n1）22（n1）=6n5当n=1时，上式也成立，an=6n5，nN*（2），Tn=b1+b2+b3+bn=点评：本题考查了利用“当n=1时，a1=S1；当n2时，an=SnSn1”求数列的通项公式的方法、“裂项求和”的方法，考查了计算能力，属于中档题19在路边安装路灯，灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路方向垂直，且ABC=120&

28、#176;，路灯C射出的光线如图中虚线所示，已知ACD=60°，路宽AD=18m设灯柱高AB=h（m），ACB=（30°45°）（1）求灯柱的高h（用表示）；（2）若灯柱AB与灯杆BC单位长度的造价相同，问当为多少时，灯柱AB与灯杆BC的总造价最低考点：解三角形的实际应用专题：应用题；解三角形分析：（1）由条件求得BAC=60°，CAD=30°+，ADC=90°ACD中，利用正弦定理求得AC的值，在ABC中，由正弦定理求得h的值（2）在ABC中，由正弦定理求得BC的值，再根据 S=AB+BC=6+12sin（2+60°），根

29、据30°45°，利用正弦函数的定义域和值域求得S的最小值解答：解：（1）如图所示：由于ABC=120°，ACB=，BAC=60°BAD=90°，CAD=90°（60°）=30°+ACD=60°，ADC=90°ACD中，由于AD=18，由正弦定理可得，解得AC=12cos在ABC中，由正弦定理可得，解得h=12sin2（2）在ABC中，由正弦定理可得，求得BC=24cossin（60°）=6+6cos26sin2S=AB+BC=6+6cos2+6sin2=6+12sin（2+60

30、6;）30°45°，120°2+60°150°，当2+60°=150°，即=45°时，S取得最小值为（6+6）米点评：本题主要考查正弦定理的应用，三角形的内角和公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题20已知数列an中，a1=t（t0且t1），a2=t2，且当x=t时，函数f（x）=（anan1）x2（an+1an）x（n2，nN*）取得极值（1）求证：数列an+1an是等比数列；（2）求数列an的通项公式；（3）当t=时，若bn=anln|an|，数列bn中是否存在最大项？如果存在，说明是第几项，如果不存在，说明

31、理由考点：等比关系的确定；数列递推式专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：（1）根据当x=t时，f（x）=（anan1）x2（an+1an）x（n2）取得极值，求导，得到f'（t）=0，即anan1）t=an+1an（n2）整理可证；（2）通过（1）、利用累加法即可求得数列an的通项公式；（3）根据（2）去绝对值符号可求数列bn的通项公式，对n分奇偶讨论即得结论解答：（1）证明：令f（t）=（anan1）t（an+1an）=0，得：（anan1）t=an+1an（n2），又a2a1=t（t1），t0且t1，a2a10，=t，数列an+1an是首项为t2t、公比为t的等比数列；（2）解：由（1）知an+1an=tn+1tn，anan1=tntn1，an1an2=tn1tn2，a2a1=t2t，上面n1个等式相加并整理得