理论力学-第3章

1、12 31 平面一般力系向作用面内任一点简化平面一般力系向作用面内任一点简化 32 平面一般力系的简化结果分析平面一般力系的简化结果分析 3-3 平面一般力系的平衡条件与平衡方程平面一般力系的平衡条件与平衡方程 3-4 平面桁架平面桁架 3-5 静定与静不定问题的概念静定与静不定问题的概念 3-6 摩擦摩擦3第一节第一节 平面一般力系向作用面内任一点简化平面一般力系向作用面内任一点简化平面一般力系平面一般力系(coplanar arbitrary force system) ：各力的作用线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行的力系叫平面一般力系.如图起重机横梁。 GQFAyFAxFT4FA

2、OFF FF AOFF M=因此：作用于刚体上的力，可平移到刚体上的作用于刚体上的力，可平移到刚体上的任意一点，但必须附加一力偶，其附加力偶矩任意一点，但必须附加一力偶，其附加力偶矩等于原力对平移点的力矩。等于原力对平移点的力矩。 FMFdFFMO ，dd力线平移定理平面一般力系的简化平面一般力系的简化5 任意多个力组成的力系中所有力的矢量和，称为该力系的主矢主矢。主矢只有大小和方向。 各附加力偶组成的平面力偶系的合力偶矩，称为该力系的主矩主矩。主矩等于各分力对简化中心的力矩的代数和，作用在力系所在的平面上，如图示:6F3 F2 F1 Fn Fn F1 Omn .m3 m1 F2 F3 m2

3、O简化中心O.MOR RR主矢主矢 R=Fi i 与简化中心无关 MO主矩主矩 MO = =mo(Fi) 与简化中心有关力学与实践力学与实践 2004年年3期期 关于力系简化中主矢是不是力的讨论关于力系简化中主矢是不是力的讨论 7力系向一点简化的特殊情况力系向一点简化的特殊情况（1 1）通过简化中心的平面汇交力系：简化为通过简化中心）通过简化中心的平面汇交力系：简化为通过简化中心的力，与简化中心的位置无关。的力，与简化中心的位置无关。（2 2）平面力偶系：与简化位置有关）平面力偶系：与简化位置有关8RMA YA平面一般力系简化结果的应用 固定端约束的反力MA XA简图：固定端约束反力有三个分量

4、：两个正交分力，一个反力偶两个正交分力，一个反力偶9R 主矢主矢 R=Fi 与简化中心无关与简化中心无关 MO主矩主矩 MO =Mo(Fi) 与简化中心有关与简化中心有关 =0,=0,MO00 即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚 体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平 面内任意移动，故主矩与简化中心位置无关。R =0， MO =0，力系平衡，与简化中心位置无关，下节专门讨论。 R 0,0,MO =0=0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时， 简化结果就是合力（这个力系的合力）, 。（此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）

5、RRR 第二节第二节 平面一般力系的简化结果分析平面一般力系的简化结果分析10R 0,MO 0,为最一般的情况。此种情况还可以继续简可以继续简 化为一个合力化为一个合力 。R力线平移定理力线平移定理RMRMd00利用主矩的转向来确定合力R的作用线在简化中心的哪一侧。11)()()()(0000000iimmmmMmdRRMRMdFRFR合力矩定理合力矩定理：当平面一般力系具有合力当平面一般力系具有合力时，合力对平面内任一点之矩就等于该时，合力对平面内任一点之矩就等于该力系的各分力对同一点之矩的代数和。力系的各分力对同一点之矩的代数和。O.d.OR12 = 0 为力平衡 MO = 0 为力偶也平

6、衡第三节第三节 平面一般力系的平衡条件与平衡方程平面一般力系的平衡条件与平衡方程0)()(22YXR0)(iOOFmMR平面任意力系平衡的充要条件为平面任意力系平衡的充要条件为： 力系的主矢力系的主矢 和主矩和主矩 MO 都等于零都等于零，即： R由于130X0)(iAFm0)(iBFm二矩式二矩式条件：条件：x 轴不轴不 AB 连线连线0)(iAFm0)(iBFm0)(iCFm三矩式三矩式条件：条件：A,B,C不在不在 同一直线上同一直线上上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。0X0Y0)(iOFm一矩式一矩式注意：不论采用哪种形式的平衡方程，其独立

7、的平衡方程的注意：不论采用哪种形式的平衡方程，其独立的平衡方程的个数只有三个，对一个物体来讲个数只有三个，对一个物体来讲, 只能解只能解三个三个未知量未知量,不得多不得多列！列！14 平衡方程的其它形式的证明平衡方程的其它形式的证明1 1 二矩式：二矩式：附加条件：附加条件：附加条件：附加条件：0)(FMA0)(FMB2 三三矩式矩式： 0)(FMA0)(FMB0)(FMC15二矩式的证明：二矩式的证明：必要性必要性即即平平 衡衡 平衡平衡 则，力系的主矢在任一轴上的投影为零；则，力系的主矢在任一轴上的投影为零；对任一点的矩为零。对任一点的矩为零。 二矩式成立。二矩式成立。即即平平 衡衡充分性

8、充分性 力系不可能合成为合力偶，力系不可能合成为合力偶，只可能合成为合力或平衡。只可能合成为合力或平衡。0)(FMA0RF16若有合力，则合若有合力，则合力作用线过力作用线过A A点。点。若有合力，则合若有合力，则合力作用线过力作用线过B B点。点。合合力力作作用用线线过过ABAB又有又有 且且 x 轴不与轴不与AB连线垂直连线垂直 必有：合力为零，即力系平衡。必有：合力为零，即力系平衡。证毕证毕三矩式的证明类似，请大家自己证明。三矩式的证明类似，请大家自己证明。由由0)(FMA由由0)(FMB17特殊力的平衡方程n平面汇交力系：n平面平行力系： 有力平行于x轴n平面力偶系:0ixF0iyF0

9、F 0)(iFM 0iM18求解平面一般力系平衡问题的一般方法步骤n1. 选取正确的研究对象，取分离体，作受力图。n2. 建立适当的坐标系（一般为平面直角坐标系） 坐标轴的选择： a：坐标轴的选择应尽可能使较多的力与坐标轴平行或垂直。 b：尽可能将坐标原点设在较多的力的汇交处。n3. 列出平衡方程求出未知力 a：尽可能列一个方程求解一个未知数，注意列出的次序 b：矩心的选择尽可能在比较多的力（未知力）的汇交处。19 例例1 已知：P, a , 求：A、B两点的支座反力？解：选AB梁研究 画受力图（以后注明 解除约束，可把支反 力直接画在整体结构 的原图上）0)(iAFm由32 , 032PNa

10、NaPBB0X0AX0Y3 , 0PYPNYABB解除约束200, 0AXX由022; 0)(aPmaaqaRFmBA0Y0PqaRYBA)kN(122028 .01628 .02022PamqaRB)kN(24128 .02020BARqaPY例例2 已知：P=20kN, m=16kNm, q=20kN/m, a=0.8m 求：A、B的约束反力。解：研究AB梁解得：21 例例33求图示梁支座的约束反力。已知 ：2FkN2amaaaFFAB解:取梁为研究对象。受力图如图示。建立坐标系，列平衡方程：FyFxFByxFx- FBsin30=0 Fy+ FBcos30-2F=0-Fa-2Fa+ 3a

11、FBcos30=000( )0 xyOFFMF即：求得：FB =2.3KN 因为-Fa-2Fa+3aFBcos30=0Fx = 1.15KN Fy =2KN22例4：图示简支梁，求A、B两处的约束反力。ABllq1q2解：研究AB，受力如图：q1ABq2NBYAXA建坐标如图yx000AMYXXA=0YA+ NB - =021lqlq203221)2(212llqlllqlNB23q1Oxxdxqxl下面讨论分布载荷合力Q的大小：xlqqx1xdxlqdxqQx1 0l2131lq= 分布载荷的面积分布载荷合力Q的作用位置：利用合力矩定理，设合力Q的作用点到原点的距离为C，向O点取矩有：cQd

12、xxlqxdxqQcx21 llq32c 2Q1而l0 21lq作用在分布载荷的形心图形的几何中心24例5：2526n例例6：伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂：伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂AB 重重P=2200N，吊车，吊车D、E 连同吊起重物各重连同吊起重物各重QD=QE=4000N。有关尺寸为：。有关尺寸为：l = 4.3m，a = 1.5m，b = 0.9m，c = 0.15m, =25。试求铰链。试求铰链A 对臂对臂AB 的水平和垂直反力，以及拉索的水平和垂直反力，以及拉索BF 的拉的拉力。力。n a ac cb bB BF FA AC CQ QD DQ QE Ely yT TP PQ

13、 QE EQ QD Dx xB BA AE EC CD DF FAyAyF FAxAx27n解：解：n 1、取伸臂、取伸臂AB为研究对象为研究对象n 2、受力分析如图、受力分析如图n 3、列平衡方程：、列平衡方程：:0 xF0cosTFAx:0yF0sinTQPQFEDAy :0FmA0sincos2lTcTblQlPaQEDy yT TP PQ QE EQ QD Dx xB BA AE EC CD DF FAyAyF FAxAx28n4、联立求解，、联立求解，可得：可得：nT = 12456 NnFAx= 11290 NnFAy= 4936 N29 由若干个杆件彼此在两端铰接而成的一种结构,

14、受力后其几何形状不发生改变，如: 桥梁、井架、高压电线杆、起重机架等，称之为桁架。第四节第四节 平面桁架平面桁架303132由物系的多样化，引出仅由杆件组成的系统桁架桁架平面简单桁架的内力分析平面简单桁架的内力分析33桁架桁架(plane truss )：由杆组成，用铰联接，受力不变形的系统。34桁架的优点桁架的优点：减轻结构物的重量，节省材料，使杆件只受到拉压以充分发挥材料的拉压性能。桁架的主要用途桁架的主要用途：高耸，轻载，大跨度结构。若桁架的所有杆件都在统一平面内，则称为平面桁架平面桁架为了简化计算，常作以下假设假设： .各杆都是直的; .所有外力均作用在桁架平面内,且均作用在节点上;

15、.各杆件间彼此均用光滑铰链连接; .各杆自重略去不计 35力学中的桁架模型力学中的桁架模型 ( 三角形有稳定性三角形有稳定性36工程力学中常见的桁架简化计算模型工程力学中常见的桁架简化计算模型37一、节点法一、节点法: (method of joints ) 各节点均构成一平面汇交力系，从只有从只有两个未知力的节点开始两个未知力的节点开始，逐个讨论各节点，联立求解。38, 0X0BX, 0)(FmA, 0)(FmB024 PYB042ANPkN 5 , 0BABYNX解解：研究整体，求支座反力依次取A、C、D节点研究，计算各杆内力。0X030cos012 SS0Y030sin01SNA)(kN

16、10,kN66. 812表示杆受压解得SS390X0Y030cos30cos0104SS030sin30sin04013SSS11SS 代入kN 10 ,kN 10 :43SS解得kN 66. 85 S解得解得0X025SS后代入22SS 节点节点D的另一个方程可用来校核计算结果的另一个方程可用来校核计算结果0Y0,3SP,kN 103解得S恰与 相等，计算准确无误。 3S40QPabcAB例:平面桁架受力如图，求各杆内力abHGEFDC解:所有节点均超过两个未知力，所以，先研究整体，求出外反力：YA NB 000mYXXA+P=0YA+NB -Q =0NB(2a+2b)-Q(a+b)-Pc=

17、0由此解出三个外反力。XA A41S1 B再从只有两个未知力且受力个数较少的节点开始-B点:NB 8QPabcABabHGEFDCYA XA NB 6543211312111097S2 画受力图时注意画受力图时注意:各节点处的已知力不能画错各节点处的已知力不能画错,未未知力必须背离该节点知力必须背离该节点,设为拉力设为拉力,若算出来为负号若算出来为负号,则意为压力则意为压力.列出平面汇列出平面汇交力系的平交力系的平衡方程衡方程00YX-S2cos-S1=0S2sin+NB=0下来再依次研究G、H、F、E、D、C各点即可。42二、截面法二、截面法 (method of sections ) 有时

18、只需求出部分杆件的内力，可假想的将桁架从某一截面截开，利用平面一般力系的平衡方程求解。所截截面的未知力不能超过三个。所截截面的未知力不能超过三个。43解解： 研究整体求支反力 0X0AX0BM023aPaPaYPYA0Am由04aYhSAhPaS40Y0sin5PSYA05S0X0cos456AXSSShPaS 6例例 已知：如图，h，a，P 求：4，5，6杆的内力。选截面 I-I ，取左半部研究IIA448QPabcABabHGEFDCYA XA NB 6543211312111097例:求图示8、9、10三杆的内力。解：一般情况下，应先求出整体的外反力，此处反力已求得。 再从只有三个未知力

19、的截面处截开，此处即8、9、10三杆处。 弃去一部分，保留另一部分，这里保留左半部：作受力图45s8 8PaADCYA XA 131211109s9 s10 000mYXA零杆：若某节点只受三个力，且两力共线，则第三力必为零。列平衡方程：46题1 ：图示桁架，水平、铅直各杆长均相等，求6、7、8三杆的内力并说明是拉力还是压力。1234510118976P000S6S7解：先找出零杆,)压力拉力(2(76PSPSL型结点型结点47题2 ：图示桁架，ABC为等边三角形，E、F为两腰中点，求CD杆的内力。APFEDCB解：先找出零杆ED，mm0BM0沿m-m截面截开，研究右侧，受力如图PSCD23S

20、CD48说明：说明： 节点法：用于设计、计算全部杆内力，工作量节点法：用于设计、计算全部杆内力，工作量比较大，但留有一个节点可以进行校核比较大，但留有一个节点可以进行校核 截面法：用于校核，计算部分杆内力截面法：用于校核，计算部分杆内力 先把杆都设为拉力，计算结果为负时，说明是压力，先把杆都设为拉力，计算结果为负时，说明是压力，与所设方向相反。与所设方向相反。 49第五节第五节 静定与静不定问题的概念静定与静不定问题的概念当：独立方程数目独立方程数目= =未知数数目时，是未知数数目时，是静定问题静定问题（可求解）（可求解） 独立方程数目独立方程数目 m时，刚体是静不定的。53物系（刚体系统）的

21、平衡物系（刚体系统）的平衡n物系：由若干个构件彼此用铰链联结而构成的系统，这个系统又以铰链形式与其他物体（基础物）相联系。n物系的外力：物系外其它物体施加于物系上的力。n物系的内力：物系中各子系统之间的相互作用力。n解物系平衡问题的依据： 物系平衡时，其内部各子系统也处于平衡状态。54求解物系平衡问题的技巧：求解物系平衡问题的技巧：n1. 物系中各部分的连接充分，自身可处于平衡状态（稳定结构）。 可先以整体为研究对象，求出所有外力，然后再分各子系统，根据要求求出内力。n2. 物系中各部分连接不充分（不稳固结构），各部分之间可以相对运动 先以某子系统为研究对象，求出部分未知力，再以整体为研究对象

22、，求出所有未知力。 cS55例例：图示三铰拱。已知：图示三铰拱。已知P=6kN，M=5kNm，A=1m。求支座求支座A、B的反力。的反力。BCXCXBYBYCMACXCXAYAYCPXAYAYBXBABCMP2aPa(2)研究对象：研究对象：BC, AC (1)研究对象：整体研究对象：整体6个未知力，6个独立平衡方程4个未知力，3个独立平衡方程56MA BMqA例例:图示连续梁,求A、B、C三处的约束反力。MlqCBAl解：先以BC为研究对象，做受力图列平衡方程000mYXXB=0YB+NC-ql=0NCl-ql2/2=0000mYXXA-XB=0YA-YB=0MA+M-YBl=0联立求解即可

23、。BCNC YB XB BAXB YB XA YA 再研究AB：（或整体ABC）请同学们研究整体ABC，与上述结果比较。57例例：图示构架，P=1kN，AE=BE=CE=DE=1m，求A处的反力及BC的内力。ABCDEP解：先整体求A处反力：XAYAMA110PMPYXAAA拆开CD：XE YE PCDESCBPSCB2000AmYX0EM58n本节主要介绍静滑动摩擦及考虑摩擦时物体的平衡问题。摩擦按物体间的运动状态分滑动摩擦滚动摩擦静滑动摩擦动滑动摩擦PNGF第六节第六节 考虑摩擦时的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题591. 滑动摩擦：滑动摩擦： 两物体接触表面间产生相对滑动或具有相对滑动趋势时

24、所具有的摩擦。 两物体表面间只具有滑动趋势而无相对滑动时的摩擦，称为静滑动摩擦（静摩擦）静滑动摩擦（静摩擦）； 接触表面间产生相对滑动时的摩擦，称为动滑动摩擦动滑动摩擦（动摩擦）。（动摩擦）。 方向方向: 恒与物体相对滑动的趋势方向相反 大小大小: 一般状态下由平衡方程确定，当物体处于将动未动的临界状态时，由静滑动摩擦定律静滑动摩擦定律计算。Fmax=NfN: 法向反力f: 静滑动摩擦系数，为常数，由材料决定60F FpF FNF FTF F0 F Fmax作用位置作用位置: 作用在两物体的接触面上沿公切线作用在两物体的接触面上沿公切线动摩擦定律动摩擦定律:当水平力FT超过Fmax时，物体开始加速滑动，此时物体所受到的摩擦阻力已由静摩擦力转化为动摩擦力。实验证明，动滑动摩擦力的大小与接触表面间的正压力FN成正比，即：NfFfF式中比例常数f称为动摩擦系数，其大小除了与两接触物体的材料及表面情况有关外，还与两物体的相对滑动速度有关。612