第一类曲线积分

1、曲线积分与曲面积分 积分学积分学 定积分二重积分三重积分定积分二重积分三重积分积分域积分域 区间域区间域 平面域平面域 空间域空间域 曲线积分曲线积分曲线域曲线域曲面域曲面域曲面积分曲面积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分第一类曲线积分第一类曲线积分第二类曲线积分第二类曲线积分第一类曲面积分第一类曲面积分第二类曲面积分第二类曲面积分第一类曲线积分第一类曲线积分第一节第一节 第十章第十章 一、第一类曲线积分的概念与性质一、第一类曲线积分的概念与性质二、第一类曲线积分的计算法二、第一类曲线积分的计算法一、第一类曲线积分的概念与性质一、第一类曲线积分的概念与性质1. 问题的提出问题的提出 曲线形构件

2、的质量曲线形构件的质量ABis ),(ii 设有一位于设有一位于 xOy 平面上的曲平面上的曲线形状的构件线形状的构件(如图如图)，),(yx求构件的质量求构件的质量. 采用采用分割，近似，求和，取极分割，近似，求和，取极限限的方法来求曲线形构件的质量的方法来求曲线形构件的质量:iiis ),( ni10lim M 构件分布是构件分布是非均匀非均匀的，其线密度为的，其线密度为1 iAiA 1 分割分割,isn 小小弧弧段段的的弧弧长长为为小小段段，分分割割成成.max1inis 2 近似近似iiAA1 ，上任取一点上任取一点),(iiiM), 2 , 1(),(nisMiiii 3 求和求和

3、niiiiniisMM11),(4 取极限取极限 niiiisM10),(limABis 1 iAiA),(ii在小弧段在小弧段该弧段该弧段 的质量可近似表示为的质量可近似表示为 整个构件质量的近似值整个构件质量的近似值构件的质量构件的质量,10nAAA用曲线用曲线AB上的上的任意点任意点 将将AB设函数设函数 f (x, y) 在在 xOy 面内的分段光滑曲线弧面内的分段光滑曲线弧 L的的长长度度为为个个小小弧弧段段记记第第iinAAiAAA110., iiiiiiiisfMAA ),(),(1作作乘乘积积上上任任取取一一点点的的取取法法无无关关，的的分分法法及及点点iML 2. 定义定义

4、10.1上有界上有界. . 将将 L L 任意分成任意分成 n 个小弧段，设分点为个小弧段，设分点为在在小小弧弧段段记记）（.max, 2 , 11iniisnis niiiisfni1.),(, 2 , 1并作黎曼和并作黎曼和）（即极限值与曲线即极限值与曲线若此和的极限总存在，若此和的极限总存在，令令0则称该极限值为函数则称该极限值为函数 f (x, y)在曲线在曲线L上的上的第一类第一类 niiiiLsfsyxf10),(limd),( 被积函数被积函数积分弧段积分弧段积分和式积分和式弧微分弧微分被积表达式被积表达式曲线积分曲线积分或或对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分，记作，记作注注 1

5、当当函数函数 f (x, y)在曲线在曲线L上上连续连续时时, 曲线积分曲线积分 Lsyxfd),(2 曲线形构件的质量可以表示为曲线形构件的质量可以表示为 LsyxMd),(存在存在(充分条件充分条件).上上的的表表示示立立于于当当Lyxf),(),(yx柱面在点柱面在点,处的高时处的高时.d),( LsyxfS柱柱面面面面积积时时，当当1),( yxf;d LsL弧长弧长3 4 ,轴轴的的转转动动惯惯量量轴轴及及曲曲线线弧弧对对yx,d2 LxsyI 曲线弧的质心坐标曲线弧的质心坐标.dd,dd LLLLssyyssxx xyOL(x, y).d2 LysxI 5 6 的的区区别别：与与

6、DLyxfsyxf d),(d),(LyxsyxfL ),(:d),(点点.不不独独立立与与 yx:d),( Dyxf Dyx ),(点点.彼彼此此独独立立与与内内，在在yxDxyOL(x, y)(x, y)7 1 若积分弧段为若积分弧段为空间曲线弧空间曲线弧 niiiiisfszyxf10),(limd),(3 如果如果L L 是是闭曲线闭曲线 , , 则记为则记为.d),( Lsyxf推广推广, ,则函数则函数f ( x, y, z )在曲线弧在曲线弧上对弧长的曲线积分为上对弧长的曲线积分为 2 对空间曲线弧对空间曲线弧 有与平面有与平面曲线弧曲线弧类似的类似的重心公式和转动惯量公式重心公

7、式和转动惯量公式. .思考：思考： 定积分定积分 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分但定积分中但定积分中dx 可能为负可能为负.否！否！ baxxfd)(是否可看作对弧长曲线积分的特例是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? xO baab要求要求 ds 0, Lsyxfd),( LLsyxfsyxfd),(|d),(|特特别别的的有有 LLsyxgsyxfd),(d),( 21d),(d),(d),(LLLsyxfsyxfsyxf LLLsyxgsyxfsyxgyxfd),(d),(d),(),(组成组成和和由由21LLL1R ，),(),(yxgyxfL 上上在在3. 性质性质1 线性性质：线性性

8、质：2 可加性：可加性：3 保序性：保序性： Ltttttfsyxfd)()()(, )(d),(22基本思路基本思路:计算定积分计算定积分转转 化化定理定理10.1),(yxf设设且且)()(tty 上的连续函数上的连续函数,是定义在光滑曲线弧是定义在光滑曲线弧则曲线积分则曲线积分),(:txL ,d),(存在存在 Lsyxf求曲线积分求曲线积分二、第一类曲线积分的计算法二、第一类曲线积分的计算法1. 直接法直接法tttskkttkd)()(122 ,)()(22kkkt ,1kkktt 点点将曲线将曲线L 任意分成任意分成 n 份，设各分点对应参数为份，设各分点对应参数为kt, ,1kkk

9、tt ),(kk对应参数为对应参数为 ),1 ,0(nk 证证根据定义根据定义 kknkksf ),(lim10 Lsyxfd),( Lsyxfd),(tttttfd)()()(),(22 因此因此 nk10lim Lsyxfd),(kkkt )()(22 )(, )(kkf连连续续注注意意)()(22tt 则则 nk10limkkkt )()(22 )(, )(kkf注注xdydsdxyo, 0, 0 kkts因此因此积分限积分限必须满足下限小于上限：必须满足下限小于上限：! 2 注意到注意到 22)(d)(ddyxs tttd)()(22 x因此上述计算公式相当于因此上述计算公式相当于“换

10、元法换元法”. 1 则则2 如果如果L为极坐标形式为极坐标形式),()( 则则 Lsyxfd),( )sin)(,cos)(f d)()(22 Lsyxfd),(xxd)(12 baxxf) )(,(),()(bxaxy 1 如果曲线如果曲线 L 的方程为的方程为推广推广 3 设空间曲线弧的参数方程为设空间曲线弧的参数方程为)()(, )(),(:ttztytx szyxfd),(则则ttttd)()()(222 tttf)(),(, )(,d Lsx其中其中 L 是抛物线是抛物线2xy 点点O (0,0)与点与点 B (1,1) 之间的一段弧之间的一段弧 . 解解)10(:2 xxyL Ls

11、xd 10 xxxd)2(12 xxxd41102 10232)41(121 x)155(121 上点上点1Lxy2xy o) 1 , 1 (B例例1 计算计算计算半径为计算半径为 R ,中心角为中心角为2的圆弧的圆弧 L 对于它对于它的对称轴的转动惯量的对称轴的转动惯量I (设线密度设线密度 = 1). 解解 建立坐标系如图建立坐标系如图,R xyoLsyILd2 RRRd)cos()sin(sin2222 Rdsin23 R0342sin22 )cossin(3R 则则 )(sincos:RyRxL 例例2 计算曲线积分计算曲线积分 ,d)(222 szyx其中其中 为螺旋为螺旋的一段弧的

12、一段弧.解解 szyxd)(222tktatat ktatadcossin)()sin()cos(2222220222 ttkakad2022222 02322223 tktaka)43(3222222kaka )20(,sin,cos ttkztaytax线线例例32. 利用对称性利用对称性上上连连续续，在在曲曲线线设设Lyxf),(轴轴对对称称性性)1( ),(),(,d),(2),(),(, 0d),(1yxfyxfsyxfyxfyxfsyxfLL.0:1的的部部分分在在 yLL.论论轴轴对对称称时时，有有类类似似的的结结关关于于当当yL轴轴对对称称，则则关关于于若若xL轮轮换换对对称称

13、性性)2(进进行行交交换换，与与的的方方程程中中，将将若若在在曲曲线线yxL的的方方程程不不变变，则则L LLsxyfsyxfd),(d),(例例4).0()()(,d222222 ayxayxLsxL常数常数为双纽线：为双纽线：其中其中计算计算解解的的极极坐坐标标方方程程为为：L 2cos22a sd1 求求,2sin2)()(22 a )(2sin)(2 a d)()(d22 s d)()2sin()(224a xyO4 da)(2 由由轴轴对对称称性性，2),(),(yxfxyxfxL 轴轴对对称称，关关于于),(),(yxfxyxfyL 轴轴对对称称，关关于于sxsxLLd4d1 ):

14、(1在在第第一一象象限限部部分分LLsxLd41 d)(cos)(4240a 222a xyO4 . 0,d22222zyxazyxsxI为为圆圆周周其其中中求求由轮换对称性由轮换对称性, , 知知.ddd222 szsysx szyxId)(31222故故 sad32解解例例5将圆周表示成参数将圆周表示成参数方程的形式比较困方程的形式比较困难，由表达形式的难，由表达形式的对称性可利用对称对称性可利用对称性计算性计算点点(x, y, z)的坐标满足曲线的方程的坐标满足曲线的方程323a ),d2(球球面面大大圆圆周周长长 saaxyx222 求圆柱面求圆柱面22224azyx 被被球球面面.A

15、所截部分面积所截部分面积解解 曲面对称于曲面对称于面，面，xoy截取的柱面面积截取的柱面面积A是第一卦限是第一卦限部分面积部分面积倍。倍。的的41A圆柱面的准线圆柱面的准线L的参数方程：的参数方程：,sin),cos1(taytax .dd,0tast LszAd1 Lsyxad4222ttad)cos1(202 .4d2sin2202atta 柱面面积柱面面积.16421aAA 1. 定义定义kkknkksf ),(lim10 szyxfd),(2. 性质性质kknkksf ),(lim10 Lsyxfd),( d),(),()1(szyxgzyxf 21d),(d),(d),()2(szy

16、xfszyxfszyxf szyxfd),( szyxgd),(内容小结内容小结3. 计算计算 对参数方程形式对参数方程形式, )( , )(, )(:ttytxL Lsyxfd),( 对显函数形式对显函数形式, )()(:bxaxyL Lsyxfd),( baxxf) )(,(),()(: L Lsyxfd),( )sin)(,cos)(f 对极坐标形式对极坐标形式tttd)()(22 xxd)(12 d)()(22 ttf)(),( 1.例例5中中 改为改为 0)1()1(2222zyxazyx如何计算如何计算?d2sx 解解 令令 11zZyYxX 0 :2222ZYXaZYX, 则则思

17、考题思考题sx d2 sXd)1(2 sX d2 sX d2 sd , 0d)( sZYX sZsYsXddd0d sXaa2323 xyo2. 设设 C 是由极坐标系下曲线是由极坐标系下曲线, a 0 及及4 所围区域的边界所围区域的边界, 求求sICyxde22 2e)24( aa a4xy 0yar 解解 分段积分分段积分xIaxde0 de40aa xaxd2e202 备用题备用题例例1-1,d)(syxL 计计算算L是以是以A(1,0), B(0,1), C(-1,0)为顶点的三角形的边界为顶点的三角形的边界.解解 ACBCABLsyxd)(, 10,1 xxyAB：直直线线xsd2

18、d xxxABd2)1(10 2 , 01,1 xxyBC：直直线线xsd2d xxxBCd2)1(01- 0 xyOABC, 10,1 xxyAB：直直线线xsd2d xxxABd2)1(10 2 , 01,1 xxyBC：直直线线xsd2d xxxBCd2)1(01- 0 , 11, 0 xyAC：直直线线xsdd xxACd011- 0 syxLd)( . 2 .d)432(,1342222 LsyxxyayxL求求，其周长为，其周长为是椭圆是椭圆设设故故时时当当,1243),(22 yxLyx Lsyxxyd)43222（ LLssxyd12d2 Lsxyd)122().(12对对称称

19、性性a 解解例例1-2有一半圆弧有一半圆弧Rxcos ),0( 其线密度其线密度 ,2解解RskFxcosdd2 Rkdcos2 RskFysindd2 Rkdsin2 RRoxy 0dcos2 RkFx 0dsin2 RkFy 0cossin2 RkRk4 0sincos2 RkRk2 故所求引力为故所求引力为),(yx,sinRy 求它对原点处单位质量质点的引力求它对原点处单位质量质点的引力. RkRkF2,4 例例2-1 其其中中计计算算,d222szyxL 解解),1 , 2 , 1( sL的方向向量的方向向量直线直线 tzttytxL210211的的参参数数方方程程：故故tzyxsd

20、d222 ttd6d121222 ttttszyxLd62211d10222222 tttd6266102 69 例例3-1 .312211的的直直线线段段，到到点点，是是点点 Lsd d 计算计算,d)(222szyxI 其中其中 为球面为球面22yx 解解, 1141)21(21:22 zxyx: 20 2)sin2( 2)cos2( 2)sin2( 18d22920 Id2 cos221 z. 1的的交交线线与与平平面面 zx292 z化为参数方程化为参数方程 21cos2 x sin2y 则则例例3-2例例3-3 其中其中L是：是：曲线曲线L的参数方程是：的参数方程是：解解,d222

21、Lszyxy计算计算. 0, 0,2,4222222 azaxyxazyxtaytaxsin),cos1( . 20,2sin2 ttazttztytxsdddddddd222 ttad2cos12 oxyz2a,sin),cos1 (taytax .20,2sin2 ttazttztytxsdddddddd222 ttad2cos12 Lszyxyd222ttaatad2cos14sin2202 tttdsin2cos12120 2cosd2cos1220tt 02322cos132 t).122(32 L为球面为球面2222Rzyx 坐标面的交线坐标面的交线 , 求其形心求其形心 . 在第一卦限与三个在第一卦限与三个解