第2章粉体粒径分布的函数形状指数

1、正态分布正态分布对数正态分布对数正态分布Rosin-Rammler(WEIBULL分布）分布）式中式中: x自变量；自变量； a平均值；平均值； 标准偏差。标准偏差。222)(,21aae（2.12）1d, axx）（图图2.10 给出了不同参数的正态分布密度函数图形。其给出了不同参数的正态分布密度函数图形。其中：中：a=0，=1为标准正正态分布，此时的正态分布函数为标准正正态分布，此时的正态分布函数为式（为式（2.13）：）： （2.13） a称为正态分布的称为正态分布的位置参数位置参数，a愈大，函数图形越向右侧移愈大，函数图形越向右侧移动。动。 的大小与曲线的形状有关，的大小与曲线的形状有

2、关，越小越小，曲线越，曲线越尖陡尖陡，粒度分，粒度分布取值越集中，粒度分布越窄；布取值越集中，粒度分布越窄；越大，则相反。通常称越大，则相反。通常称为正为正态分布的态分布的形状系数形状系数。22pp2p0e21q）（）（DDDNDnDipip212)(NDDnppii 用正态分布函数表征粉体粒径分布时，用正态分布函数表征粉体粒径分布时，x指颗粒粒径，指颗粒粒径，a为为平均粒径平均粒径 (Dp)，(x)表示颗粒表示颗粒x频率分布函数，是指颗粒数、质频率分布函数，是指颗粒数、质量或其他参数对粒径的导数。若以量或其他参数对粒径的导数。若以个数个数为基准，为基准，粒径正态频率粒径正态频率分布函数式表示

3、为分布函数式表示为：（2.15） 式中式中 ni直径为直径为Dpi的颗粒数量；的颗粒数量； N颗粒总数；颗粒总数； 与累积含量为与累积含量为50%时的粒径相对应（时的粒径相对应（Q0=0.5）。）。 （2.14） （2.16）其中：其中： pDpD）（）（）（p0ln2lnlngp0lnddeln21lnqg22gpDQDDD （2 2）对数正态分布）对数正态分布 粉体的粒径分布有时也出现粉体的粒径分布有时也出现非对称分布非对称分布，这时将正，这时将正态分布函数中的态分布函数中的Dp和和分别用分别用ln 和和 lng取代，得到对取代，得到对数正态频率分布函数式为数正态频率分布函数式为（2.17

4、）：）：（2.172.17）)lnDdeln21p0ln2lnlng0pg22gp（）（DDDQ 式式2.17的频率分布函数也可转变为累积分布函数，如式的频率分布函数也可转变为累积分布函数，如式（2.18）：）：（2.18）NDnDpiiglnlnNDlnDlnngpi2igln）（ 几何平均粒径几何平均粒径Dg和几何标准偏差和几何标准偏差g分别由式分别由式(2.19)和式和式(2.20)给出：给出：（2.19） （2.20） 依据表依据表2.5数据，绘制出图数据，绘制出图2.11粒径的对数正态分布图。虚粒径的对数正态分布图。虚线和实线分别表示以线和实线分别表示以质量质量为基准和以为基准和以数

5、量数量为基准，显然两者分为基准，显然两者分布明显不同。布明显不同。 图图2.11 2.11 粒径的对数正态分布粒径的对数正态分布np-bD0e1Q（3 3）Rosin-RammlerRosin-Rammler（WEIBULLWEIBULL）分布）分布 粉碎后粉碎后粒径分布范围很宽粒径分布范围很宽 的的细粉细粉，利用对数正，利用对数正态分布函数计算时态分布函数计算时偏差仍然很大偏差仍然很大。RosinRosin、RammlerRammler和和SperlingSperling等人通过对煤粉、水泥等物料粉碎实验的概等人通过对煤粉、水泥等物料粉碎实验的概率和统计理论研究归纳出率和统计理论研究归纳出用

6、指数函数表示的粒径分布用指数函数表示的粒径分布关系式，称为关系式，称为RRSRRS方程方程。累积分布表达式。累积分布表达式(2.21)(2.21)为：为： 在此基础上经过在此基础上经过Bennet研究，取研究，取 b= ，则指数，则指数一项可写成无因次项，既得到一项可写成无因次项，既得到RRB方程方程，累积分布表，累积分布表达式为（达式为（2.22）：）：，（2.21）ne1D 当当Dp =De时，时，即即 ，De定义定义为累积分数达为累积分数达63.2%时的粒径时的粒径。，neDpD0eQ）（1（2.22）6320e11-0.Q 式中式中: n均匀性指数，表示粒径分布范围的宽均匀性指数，表示

7、粒径分布范围的宽 窄，与窄，与 粉体物料的性质及其粉碎设备粉体物料的性质及其粉碎设备 有关，有关， 对于对于同一种粉体同一种粉体，n为常数为常数； De特征粒径，表示颗粒宏观上的粗细程特征粒径，表示颗粒宏观上的粗细程度。度。v RRB能比较好的反应工业上粉磨产品的粒径分布能比较好的反应工业上粉磨产品的粒径分布特性，被特性，被广泛使用广泛使用。图图2.12 2.12 粒径的粒径的Rosin-RammlerRosin-Rammler累积分布图累积分布图依据表依据表2.5数据，数据，绘制出粉末颗粒绘制出粉末颗粒的的Rosin-Rammler累积分布如图累积分布如图2.12所示。所示。p 2.1.3

8、2.1.3 平均粒径平均粒径设颗粒群粒径分别为：设颗粒群粒径分别为：d1，d2，d3，d4，d5didn组成的集合体，其物理特性可表示为函数组成的集合体，其物理特性可表示为函数f(d)，f(d)由组成粉体的各个粒径函数的加成表示，关系式为由组成粉体的各个粒径函数的加成表示，关系式为(2.24)： f(d)= f(d1)+ f(d2)+ f(d3)+ + f(dn) （2.24） 若将粒径不等颗粒群想象成由平均粒径若将粒径不等颗粒群想象成由平均粒径D均一球均一球形颗粒组成，那么其物理特性可表示为形颗粒组成，那么其物理特性可表示为f(d)= f(D)。 基于上述定义，可以推导出以基于上述定义，可以

9、推导出以个数为基准个数为基准和和质质量为基准量为基准的的平均径计算公式平均径计算公式。【例【例1】设粉末由设粉末由d1，d2，d3，d4，d5didn颗粒组颗粒组成，每种颗粒个数对应为成，每种颗粒个数对应为n1，n2，n3，n4，n5nn，试由颗粒总长这一特性推导其平均粒径。试由颗粒总长这一特性推导其平均粒径。解：解：颗粒群的总长可表示成式（颗粒群的总长可表示成式（2.25）：）： n1d1+n2d2+n3d3+ni dinndn=(nd)=f(d ) (2.25) 将全部颗粒视为粒径为将全部颗粒视为粒径为D均一颗粒，式均一颗粒，式(2.25)中的中的d由由D代替，得代替，得: n1 D1+n

10、2 D2+n3 D3+ni DinnDn =(nD)=Dn=f(D ) (2.26) 由由f(d )= f(D )可得可得 （nd）= Dn （2.27） 整理（整理（2.27）式可得式（）式可得式（2.28）：）： D =(nd) /n （2.28） 此粒径即为以此粒径即为以的的个数平均径个数平均径。【例【例2】设颗粒是边长为设颗粒是边长为d的立方体，颗粒群的总质的立方体，颗粒群的总质量为量为m，颗粒密度为，颗粒密度为p，试由比表面积的定义函数求，试由比表面积的定义函数求平均粒径。平均粒径。解：解：比表面积定义为：比表面积定义为： f(d )= (2.29)mnddndn）（）（23ipi2

11、ii66 当全部颗粒视为边长为当全部颗粒视为边长为D的立方体时：定义函数的立方体时：定义函数为式为：为式为： （2.30）mnDDnnDDf）（）（）（26326p由由f(d )= f(D )可得出式（可得出式（2.31）：）： (2.31) mnd ）（26mnD ）（26=将方程式（将方程式（2.31）两边同乘以）两边同乘以pD，整理得：整理得： 式式(2.32) 以质量为基准粉体平均粒径计算公式。以质量为基准粉体平均粒径计算公式。 )( 3p2pdndmndmD?(2.32)(dmmnnd）（）（）（32dmdm）（）（ndnd2）（）（2dmdm）（）（23ndnd）（dmm）（）（3

12、4ndndmmd）（表表2.72.7个数基准和质量基准的平均粒径式个数基准和质量基准的平均粒径式nnd ）（2）（）（3dmdm续表续表2.732nnd ）（33）（dmm）（）（ndnd3）（2dmm44nnd ）（43）（）（dmdm）（dnn）（）（43dmdm）（3vvp1D注：注： D1 D2= Ds2； D1 D2 D3= Dv3； D3= Dv3/ Ds2； D4= (Dw4/ Dv3) D2 D3= Dvd2； D4 D3 Dw（D2= Dv= Dvd） Ds D1 Dh。上述单一粒径和平均粒径的计算是为着不同的实际单元操作上述单一粒径和平均粒径的计算是为着不同的实际单元操作过

13、程或某一粉体研究需要的。过程或某一粉体研究需要的。各平均粒径间的差别较大各平均粒径间的差别较大，可根据具体生产过程单元操作过，可根据具体生产过程单元操作过程、粒径范围、粒径应用的目的等选择应用。程、粒径范围、粒径应用的目的等选择应用。对于对于分离操作系统分离操作系统的颗粒，最好选用重力沉降和离心沉降方的颗粒，最好选用重力沉降和离心沉降方法测定颗粒的法测定颗粒的Stokes径，即按照沉降速度求相当径；径，即按照沉降速度求相当径；测量测量催化剂颗粒催化剂颗粒粒径时，最好采用比表面积及比表面积平均径。粒径时，最好采用比表面积及比表面积平均径。p 2.1.4 2.1.4 颗粒的形状颗粒的形状p 2.1

14、.4.1 2.1.4.1 颗粒形状的概念颗粒形状的概念 颗粒形状是指一个颗粒的轮廓边界或表面上各点颗粒形状是指一个颗粒的轮廓边界或表面上各点所构成图像所构成图像，它是除粒径外，颗粒的另一，它是除粒径外，颗粒的另一几何特征几何特征。 颗粒的形状对粉末体的许多性质均有直接的影响。颗粒的形状对粉末体的许多性质均有直接的影响。粉体的比表面积粉体的比表面积、流动性、压缩、流动性、压缩性、填充性、研性、填充性、研磨性、化学活性磨性、化学活性以及涂料的覆盖以及涂料的覆盖能力等能力等直接与粉末在混直接与粉末在混合、压制、烧结合、压制、烧结、储存、运输等、储存、运输等单元过程行为有单元过程行为有关。关。严格地说

15、，所测得粒径，只是一种定性表示。常用严格地说，所测得粒径，只是一种定性表示。常用各种各种形状因数形状因数表示颗粒形状特征。表示颗粒形状特征。语言术语语言术语描述颗粒描述颗粒形状的方法形状的方法数学术语数学术语表表2.8 2.8 颗粒形状的基本术语颗粒形状的基本术语（语言术语）（语言术语）p 2.1.4.2 2.1.4.2 形状指数和形状系数形状指数和形状系数 通常将通常将表示颗粒外形的几何量的各种表示颗粒外形的几何量的各种无因次组合无因次组合 称为形状指数称为形状指数(Shape Index)。 除特殊情况需要三种尺寸以外，一般除特殊情况需要三种尺寸以外，一般至少至少需要需要两两种数据种数据及

16、其组合。常使用的数据包括及其组合。常使用的数据包括三轴方向三轴方向颗粒大颗粒大小的代表值、二维图像投影的小的代表值、二维图像投影的轮廓曲线轮廓曲线，以及，以及表面积表面积和和体积体积等立体几何各有关数据。等立体几何各有关数据。形状指数形状指数与与外形尺寸外形尺寸相关的相关的形状指数形状指数与与表面积或体积表面积或体积相关的相关的形状指数形状指数与与颗粒投影周长颗粒投影周长相关的相关的形状指数形状指数常用的形状指数有三种：常用的形状指数有三种：（1 1）与颗粒外形尺寸相关的形状指数）与颗粒外形尺寸相关的形状指数 均齐度：均齐度：一个不规则的颗粒放在一平面上，一一个不规则的颗粒放在一平面上，一般情

17、形是颗粒的最大投影面（也就是最稳定的平面）般情形是颗粒的最大投影面（也就是最稳定的平面）与支撑平面相黏合。这时颗粒具有最大的稳定度。与支撑平面相黏合。这时颗粒具有最大的稳定度。 以长方体为颗粒的基准几何形状，根据长、宽、以长方体为颗粒的基准几何形状，根据长、宽、高三轴径高三轴径l、b、h之间的比值，导出下面形状指数：之间的比值，导出下面形状指数： 扁平度扁平度=短径短径/高度高度=b/h （1） (2.34) 长短度长短度=长径长径/短径短径=l/b （1） (2.35)（2 2）与表面积或体积相关的形状指数）与表面积或体积相关的形状指数 体积充满度体积充满度fv：表示外接长方体体积与颗粒体积

18、表示外接长方体体积与颗粒体积Vp之比之比，数学表达式，数学表达式: fv=l b h / Vp （1） （2.35）面积充满度面积充满度fb：表示颗粒投影面积表示颗粒投影面积A与最小外接矩形与最小外接矩形面积之比面积之比，数学表达式为：，数学表达式为： fb=A/ l b（11） (2.36)球形度球形度0：表示颗粒接近球体的程度。表示颗粒接近球体的程度。球形度球形度0是一个应用较广泛的形状系数，定义为：是一个应用较广泛的形状系数，定义为：一个与待测颗粒体积相等的球体表面积与该颗粒的表一个与待测颗粒体积相等的球体表面积与该颗粒的表面积之比。表达式为（面积之比。表达式为（2.37）0 =与颗粒体

19、积相等的球体表面积与颗粒体积相等的球体表面积/颗粒表面积颗粒表面积 (2.37) 对于形状不规则颗粒，当测定其表面积比较困难时，对于形状不规则颗粒，当测定其表面积比较困难时，可采用实用球形度来衡量。可采用实用球形度来衡量。实用球形度实用球形度用式用式(2.38)表示：表示： 0 =与颗粒投影面积相等圆直径与颗粒投影面积相等圆直径/颗粒投影的最颗粒投影的最小外接圆直径（小外接圆直径（1） （2.38）表表2.9为理论计算的一部分形状规则颗粒的球形度值和少数几为理论计算的一部分形状规则颗粒的球形度值和少数几种物料的实测球形度值。种物料的实测球形度值。表表2.9 2.9 各种颗粒的球形度各种颗粒的球

20、形度 ADH4（3 3）与颗粒投影周长相关的形状指数）与颗粒投影周长相关的形状指数 表面粗糙度表面粗糙度：它表示接近球体的程度，颗粒它表示接近球体的程度，颗粒越大越接近球形，数学表达式为（越大越接近球形，数学表达式为（2.412.41）：）： = = 颗粒投影周长颗粒投影周长/ /相同面积椭圆的周长相同面积椭圆的周长 (2.41(2.41) ) 不同形状颗粒在圆形度和表面粗糙度坐标系不同形状颗粒在圆形度和表面粗糙度坐标系中的投影如图中的投影如图2.132.13所示。所示。(2.40)式中式中 圆形度圆形度c：表示表示颗粒投影颗粒投影与圆接近程度，颗粒圆与圆接近程度，颗粒圆形度越大越接近球形，数

21、学表达式如下：形度越大越接近球形，数学表达式如下：c c= =相同投影面积圆周长相同投影面积圆周长/ /颗粒投影周长颗粒投影周长=D=DH H/L (2.39)/L (2.39)图图2.13 2.13 不同形不同形状颗粒在圆形度和状颗粒在圆形度和表面粗糙度坐标系表面粗糙度坐标系中的投影中的投影形状系数形状系数体积形状系数体积形状系数v v阻力形状系数阻力形状系数 k kv v动力学形状系数动力学形状系数k k把与颗粒形状有关因素概括为一把与颗粒形状有关因素概括为一个个修正系数修正系数加以考虑，该修正系数加以考虑，该修正系数即为即为形状系数形状系数。实际上形状系数是实际上形状系数是用来衡量实际颗

22、粒形状与球形或长用来衡量实际颗粒形状与球形或长方体颗粒形状的差异程度方体颗粒形状的差异程度。（1）体积形状系数）体积形状系数v 颗粒的表面积颗粒的表面积Sp与平均粒径与平均粒径dp的关系的关系 Sp=sdp2 （2.44）式中：式中：s为表面积形状系数为表面积形状系数 颗粒的比表面积形状系数定义为颗粒的比表面积形状系数定义为 ： =s/v （2.45）颗粒体积颗粒体积Vp与平均粒径与平均粒径dp的关系的关系 Vp=vdp3 （2.43）式中：式中： v为体积形状系数为体积形状系数球形颗粒：球形颗粒： 球体积球体积Vp=dp3/6 ， 球体积形状系数球体积形状系数 v=/6 球体表球体表Sp=d

23、p2 ， 球表面积形状球表面积形状 s=则：则：球体形状系球体形状系数数=s/v=6（2 2）阻力形状系数）阻力形状系数 kv 用颗粒在流体中所受到的阻力来表示的颗粒形用颗粒在流体中所受到的阻力来表示的颗粒形状系数状系数。在层流区，非球形颗粒受到黏度为在层流区，非球形颗粒受到黏度为，相对，相对流速为流速为u的流体阻力的流体阻力FD，按照，按照Stokes定律计算，数学定律计算，数学表达式为（表达式为（2.46）：）： FD=3u Dpkv （2.46）式中式中 kv阻力形状系数；阻力形状系数； Dp可取可取Stokes径径Dstk、等表面积相当径、等表面积相当径Ds或或等体积相当径等体积相当径 Dv，而得到相应不同的阻力形状系数，而得到相应不同的阻