电磁场与电磁波3

1、第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题 主主 要要 内内 容容电位微分方程、镜像法电位微分方程、镜像法电位微分方程电位微分方程镜像法镜像法1. 1. 电位微分方程电位微分方程已知电位已知电位 与电场强度与电场强度 E 的关系为的关系为 E对上式两边取散度，得对上式两边取散度，得 2 E 对于对于线性各向同性线性各向同性的的均匀均匀介质，电场强度介质，电场强度E 的散度为的散度为 E那么，电位满足的微分方程式为那么，电位满足的微分方程式为 2泊松方程泊松方程 拉普拉斯方程拉普拉斯方程202对于对于无源区无源区， ，上式变为，上式变为0VVd|)(41)( rrrr 已知分布在已知分布在V

2、 中的电荷中的电荷 在在无限大无限大的自由的自由空间产生的电位为空间产生的电位为)(r上式为上式为泊松方程泊松方程在在自由空间自由空间的的特解特解。 静电场与静电场与时间时间无关，因此电位所满足的泊松方程无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解及拉普拉斯方程的解仅仅决定于决定于边界条件边界条件。定解条件定解条件初始条件初始条件边界条件边界条件数学物理方程描述物理量随数学物理方程描述物理量随时间时间和和空间空间的变化特性。的变化特性。 根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静电场的静电场的边值问题边值问题。注意：注意：此处边界条件实际上是指给

3、定的此处边界条件实际上是指给定的边值边值，它不同，它不同于前一章描述静电场的边界上场量于前一章描述静电场的边界上场量变化变化的边界条件。的边界条件。边界条件有边界条件有三种三种类型：类型： 第第二二类边界条件是给定边界上物理量的类边界条件是给定边界上物理量的法向导数法向导数值值，这种边值问题又称为，这种边值问题又称为诺依曼诺依曼问题。问题。 第第三三类边界条件是给定一部分边界上的类边界条件是给定一部分边界上的物理量物理量及及另一部分边界上物理量的另一部分边界上物理量的法向导数值法向导数值，这种边界条件，这种边界条件又称为又称为混合混合边界条件。边界条件。 第第一一类边界条件给定的是边界上的类边

4、界条件给定的是边界上的物理量物理量，这种，这种边值问题又称为边值问题又称为狄里赫利狄里赫利问题。问题。解的解的存在存在、稳定稳定及及惟一性惟一性问题。问题。 泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到经得到证明证明。 惟一性惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否是指在给定的定解条件下所求得的解是否是惟一的。是惟一的。 稳定性稳定性是指当定解条件发生微小变化时，所求得是指当定解条件发生微小变化时，所求得的解是否变化很大。的解是否变化很大。存在存在是指在给定的定解条件下，方程是否有解。是指在给定的定解条件下，方程是否有解。 静电场是静电场是客观客

5、观存在的，因此电位微分方程解的存在存在的，因此电位微分方程解的存在确信无疑。确信无疑。可以证明电位微分方程解可以证明电位微分方程解具有具有惟一性。惟一性。静电场惟一性定理：静电场惟一性定理： 当场域边界上的边界条件给定时，当场域边界上的边界条件给定时，空间的静电场满足的电位微分方程的解空间的静电场满足的电位微分方程的解被惟一地确定被惟一地确定。 静电场的静电场的边值问题边值问题 根据给定的根据给定的边界条件边界条件求求解静电场的解静电场的电位分布电位分布。 对于对于线性各向同性线性各向同性的的均匀均匀介质，介质，有源有源区中的区中的电位电位满足满足泊松方程泊松方程方程方程 2在在无源无源区，电

6、位满足区，电位满足拉普拉斯拉普拉斯方程方程02利用利用格林函数格林函数，可以求解，可以求解泊松方程。泊松方程。利用利用分离变量法分离变量法可以求解可以求解拉普拉斯方程。拉普拉斯方程。求解静电场边值问题的另一种求解静电场边值问题的另一种简单简单方法是方法是镜像法镜像法。2. 镜像法镜像法 实质实质: : 以以等效电荷等效电荷代替边界的影响，将原来具有边界的代替边界的影响，将原来具有边界的非均匀非均匀空间变成无限大的空间变成无限大的均匀均匀自由空间，从而使计算过自由空间，从而使计算过程大为程大为简化简化。 这些等效电荷通常处于原电荷的这些等效电荷通常处于原电荷的镜像位置镜像位置，因此称为因此称为镜

7、像电荷镜像电荷，而这种方法称为，而这种方法称为镜像法镜像法。镜像法镜像法概念概念：在一定条件下，可以用一个或多个位于待在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外求场域边界以外虚设的等效电荷虚设的等效电荷来代替来代替导体表面上感应导体表面上感应电荷电荷的作用，且保持原有边界的作用，且保持原有边界上边界条件不变上边界条件不变，则根据，则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷和所有等效电荷惟一性定理，空间电场可由原来的电荷和所有等效电荷产生的电场叠加得到。产生的电场叠加得到。 依据：惟一性依据：惟一性定理。等效电荷的引入不能改变定理。等效电荷的引入不能改变原来的原来的边界条件边界条件。关键：

8、关键：确定镜像电荷的大小及其位置。确定镜像电荷的大小及其位置。 局限性：局限性：仅仅对于某些仅仅对于某些特殊特殊的的边界边界以及以及特殊特殊的的电荷分布电荷分布才有可能确定其镜像电荷。才有可能确定其镜像电荷。 （1）点电荷）点电荷与与无限大的导体平面无限大的导体平面 介质介质 导体导体 q r P 介质介质 q r P hhrq 介质介质 以一个以一个镜像镜像点电荷点电荷q代替边界的影响，使整个空间代替边界的影响，使整个空间变成变成均匀均匀的介电常数为的介电常数为 的空间，则空间任一点的空间，则空间任一点 P 的电的电位由位由 q 及及 q 共同产生，即共同产生，即 rqrq 4 4qq无限大

9、无限大导体平面的电位为零导体平面的电位为零 电场线电场线与与等位面等位面的分布特性与的分布特性与电偶极子电偶极子的的上半上半部分部分完全相同。完全相同。电场线电场线等位线等位线 z * * 根据根据电荷守恒定律电荷守恒定律，镜像点电荷的电荷量应该，镜像点电荷的电荷量应该等等于于导体表面上感应电荷的总电荷量。导体表面上感应电荷的总电荷量。* * 上述等效性仅对于导体平面的上述等效性仅对于导体平面的上半空间上半空间成立，因成立，因为在上半空间中，为在上半空间中，源源及及边界条件边界条件未变。未变。 介质介质 导体导体 q r P 介质介质 q r P hhrq 介质介质 q 对于半无限大导体平面形

10、成的对于半无限大导体平面形成的劈形边界劈形边界也可应用也可应用镜像法。但是为了保证这种劈形边界的电位为零，必镜像法。但是为了保证这种劈形边界的电位为零，必须引入须引入几个几个镜像电荷。镜像电荷。例如，夹角为例如，夹角为 的导电劈需引入的导电劈需引入 5 个镜像电荷。个镜像电荷。 3/3/3q 位于无限大的导体平面附近的位于无限大的导体平面附近的线电荷线电荷，根据叠，根据叠加原理得知，同样可以应用镜像法求解。加原理得知，同样可以应用镜像法求解。 仅当这种导体劈的夹角等于仅当这种导体劈的夹角等于 的的整数整数分之一时，分之一时，才可求出其镜像电荷。才可求出其镜像电荷。lll（2）点电荷）点电荷与与

11、导体球导体球 若导体球若导体球接地接地，导体球，导体球的电位为的电位为零零。令镜像点电荷。令镜像点电荷q 位于球心与点电荷位于球心与点电荷 q 的连的连线上，那么球面上任一点电线上，那么球面上任一点电位为位为 rqrq 4 4 为了保证球面上任一点电位为为了保证球面上任一点电位为零零，必须选择镜，必须选择镜像电荷为像电荷为 qrrqqfOPadrqr 为了使镜像电荷具有一个为了使镜像电荷具有一个确定确定的值，必须要求的值，必须要求比值比值 对于球面上任一点均具有同一数值。对于球面上任一点均具有同一数值。rr 若若 OPq OqP ，则，则常数farr镜像电荷离球心的距离镜像电荷离球心的距离d

12、应为应为 fad2qfaq求得镜像电荷为求得镜像电荷为qfOPadrqr 若导体球若导体球不接地不接地，则其电，则其电位位不为零不为零。q 的的位置位置和和量值量值应该如何应该如何? ? 由由q 及及 q 在球面边界上在球面边界上形成的电位为形成的电位为零零，因此必须再，因此必须再引入一个镜像电荷引入一个镜像电荷q 以产生一以产生一定的电位定的电位。q0以保证导体球表面上总电荷以保证导体球表面上总电荷量为量为零值零值。 为了保证球面边界是一个为了保证球面边界是一个等位面等位面，镜像电荷，镜像电荷 q 必须位于必须位于球心球心。qq 为了满足为了满足电荷守恒定律电荷守恒定律，第二个镜像电荷第二个

13、镜像电荷q 必须为必须为导体球的电位导体球的电位? ?fqaq 4 4 qq ql（3）线电荷）线电荷与与带电的导体圆柱带电的导体圆柱 在圆柱轴线与线电在圆柱轴线与线电荷之间，离轴线的距离荷之间，离轴线的距离d 处，平行放置一根镜处，平行放置一根镜像线电荷像线电荷 。l因此，离线电荷因此，离线电荷 r 处，以处，以 为参考点的电位为为参考点的电位为 0r0 0 dln2rlrrE rr PafdrlOrlreE 2已知无限长线电荷产生的电场强度为已知无限长线电荷产生的电场强度为 ， 若令镜像线电荷若令镜像线电荷 产生的电位也取产生的电位也取相同相同的的 作为参考点，则作为参考点，则 及及 在圆

14、柱面上在圆柱面上P点共同产点共同产生的生的电位电位为为l0rllrrrrllP00ln2ln2rrlln2已知导体圆柱是一个已知导体圆柱是一个等位体等位体，必须要求比值，必须要求比值rr常数adfarr与前同理，可令与前同理，可令fad2 （4）点电荷）点电荷与与无限大的介质平面无限大的介质平面 E 1 1qr0EtEnEEtEn0rq 2 2q0r nE tE E 1 2qeten=+ 对于对于上半空间上半空间，可用镜像电荷，可用镜像电荷 q 等效边界上束缚电等效边界上束缚电荷的作用，将整个空间变为介电常数为荷的作用，将整个空间变为介电常数为1的的均匀均匀空间。空间。 对于对于下半空间下半空

15、间，可用位于原点电荷处的，可用位于原点电荷处的 q 等效原来等效原来的点电荷的点电荷q与边界上束缚电荷的共同作用，将整个空间变与边界上束缚电荷的共同作用，将整个空间变为介电常数为为介电常数为2 的的均匀均匀空间。空间。 必须迫使所求得的场符合必须迫使所求得的场符合边界条件边界条件，即电场切，即电场切向分量和电通密度的法向分量应该保持连续，即向分量和电通密度的法向分量应该保持连续，即 1t1t2tEEEn21n1nDDD 已知各个点电荷产生的电场强度分别为已知各个点电荷产生的电场强度分别为rrqeE2114rrqeE211)(4rrq eE222)(4代入上述边界条件，求得镜像电荷如下：代入上述

16、边界条件，求得镜像电荷如下：qq2121qq2122 例例 已知同轴线的内导体半径为已知同轴线的内导体半径为a，电压为，电压为U，外导，外导体接地，其内半径为体接地，其内半径为b。试求内外导体之间的电位分布。试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。函数以及电场强度。 解解 对于该边值问题，镜像法对于该边值问题，镜像法不不适适用，只好求解电位方程。用，只好求解电位方程。0dddd12rrrr21lnCrC求得求得UbaO 选用选用圆柱圆柱坐标系。由于场量仅坐标系。由于场量仅与坐标与坐标 r 有关，因此，电位所满足有关，因此，电位所满足的拉普拉斯方程变为的拉普拉斯方程变为利用边界条件：利用边界条件：arUbr0baUCln1babUClnln2babrUlnlnbaUrrrrlneeE最后求得最后求得12lnCaCU求得求