第五章(3)频率特性(闭环特性)

1、1 通过本章前面几节的介绍，我们已经了解到系统通过本章前面几节的介绍，我们已经了解到系统的开环频率特性对分析系统的稳定性和稳定程度具有的开环频率特性对分析系统的稳定性和稳定程度具有十分重要的意义。十分重要的意义。 但稳定性是系统能否正常工作的一个基本条件，为但稳定性是系统能否正常工作的一个基本条件，为了研究自动控制系统的其它性能指标，仅知道系统的了研究自动控制系统的其它性能指标，仅知道系统的开环频率特性是不够的。为此有必要进一步研究系统开环频率特性是不够的。为此有必要进一步研究系统的闭环频率特性。的闭环频率特性。 一般情况下，求解系统的闭环频率特性十分复杂烦一般情况下，求解系统的闭环频率特性十

2、分复杂烦琐，在实际中通常都是采用图解法来求出系统的闭环琐，在实际中通常都是采用图解法来求出系统的闭环频率特性频率特性。.7 系统闭环频率特性系统闭环频率特性2教学要求教学要求: 1.闭环频率特性的概念闭环频率特性的概念 2.闭环频率特性的绘制方法闭环频率特性的绘制方法 3.闭环频率特性与阶跃响应闭环频率特性与阶跃响应3. . )(1)()()(sGsGsRsCjs ()()()()1()C jG jjR jG j 单位反馈系统R(s)-G(s)C(s)用用 代入上式，可得到系统的闭环频率特性为代入上式，可得到系统的闭环频率特性为 上式描述了系统的开环频率特性上式描述了系统的开环频率特性G(jw

3、) 与闭环频率与闭环频率特性特性 之间的关系之间的关系一、向量作图法一、向量作图法如图所示的单位负反馈系统，其闭环传递函数如图所示的单位负反馈系统，其闭环传递函数()jSj4。 设系统的开环频率特性如图所示。由图可见，设系统的开环频率特性如图所示。由图可见，当当 时时由此得到由此得到 时时系统的闭环频率特性为系统的闭环频率特性为 1jeOAjGjGOAjG)()()(111)(1111)(1)()()(jeQAOAjGjGjRjCmIA G0eR0Q) 01(j， 向量作图法求闭环频率特性1上式表明，当上式表明，当 时，系统的闭环频率特性的幅值时，系统的闭环频率特性的幅值等于向量等于向量 与与

4、 的幅值之比，的幅值之比， 而闭环频率特而闭环频率特性的相角等于向量性的相角等于向量 OA与与QA的相角差。的相角差。 这样，逐点测出不同频率处对应向量的幅值和相角，这样，逐点测出不同频率处对应向量的幅值和相角，便可绘制如图所示的便可绘制如图所示的闭环幅频特性闭环幅频特性 A()和和闭环相频特性闭环相频特性 。1OAQA)()(A0)(0001800360 但由于需要逐点测量但由于需要逐点测量和作图，十分不便，因而和作图，十分不便，因而在实际应用中很少采用。在实际应用中很少采用。6二、等二、等M圆图圆图 由向量作图法可看出，对于由向量作图法可看出，对于G平面上任一点平面上任一点A，总有一个闭环

5、幅值总有一个闭环幅值 与之对应，如果令闭环幅与之对应，如果令闭环幅值值 为一常数为一常数M，那么它在，那么它在G平面上是一个什么样平面上是一个什么样的图形呢？的图形呢？ 设单位反馈系统的开环频率特性为设单位反馈系统的开环频率特性为由此得到系统的闭环频率特性为由此得到系统的闭环频率特性为)()(jRjC)()(jRjCjVUjG)(jVUjVUjGjGjRjC1)(1)()()(令令jVUjVUjRjCM1)()(222221VUVUM7 由此得到由此得到 1)若若M=1，则，则 ，这是在，这是在G平面上过点平面上过点且平行于虚轴的直线方程，即且平行于虚轴的直线方程，即 是是 M=1在在G平面上

6、的等幅值轨迹。平面上的等幅值轨迹。 2)若若 ，则上式可写成，则上式可写成 0) 1(2) 1(222222MVMUMUM21U)0,21(j21U112222222MMVUMMU1M这是一个标准圆方程，圆心坐标为这是一个标准圆方程，圆心坐标为 ，半径是半径是 。222222211MMVMMU),1(22joMM12MM即即812MM3)当当M1时，圆的半径时，圆的半径 随随M值的值的增加而减小，圆心位于负实轴上点左侧增加而减小，圆心位于负实轴上点左侧且收敛于且收敛于（-1，j0）点；点；4)当当 M1时，圆的半径时，圆的半径 随随M值的值的增加而增大，圆心位于正实轴上且收敛增加而增大，圆心位

7、于正实轴上且收敛于于（0，j0）点。点。 当当 M=1时，它可看成时，它可看成 是是 半径为无穷大半径为无穷大且圆心位于实轴上无穷远的特殊圆。且圆心位于实轴上无穷远的特殊圆。12MM9 由不同的由不同的 M M值在值在G G平面上构成的这簇圆叫做平面上构成的这簇圆叫做等等M M圆圆或或等幅值轨迹等幅值轨迹。jVU1M2 .1M3 .14 .16 .10 .20 .34320 .5M0211218 .06 .02 .0图5-62 等M圆图 在工程实践中，应用等在工程实践中，应用等M M圆求取闭环幅频特性时，圆求取闭环幅频特性时，需先在透明纸上绘制出标准等需先在透明纸上绘制出标准等M M圆簇，然后

8、按相同的圆簇，然后按相同的比比 例例 尺在白纸或坐标纸上绘制出给定的开环频率尺在白纸或坐标纸上绘制出给定的开环频率特性特性G G（jj）的纸上重叠起来，并将它们的坐标重）的纸上重叠起来，并将它们的坐标重合合最后根据最后根据G G（jj）曲线与等）曲线与等M M圆簇的交点得到对应圆簇的交点得到对应的的M M值和值和值，便可绘制出闭环幅频特性值，便可绘制出闭环幅频特性A A（）（如图（如图5-635-63和图和图5-645-64所示）。所示）。如何绘制闭环幅频特性图如何绘制闭环幅频特性图?如何求对应点的频率值如何求对应点的频率值?11 需要指出，上述方法可直接得到需要指出，上述方法可直接得到G（j

9、）与等）与等M圆簇各交点处的圆簇各交点处的M值，其对应的值，其对应的值还必须查表才值还必须查表才能得到。方法是，能得到。方法是， 1)先根据给定的开环频率特性先根据给定的开环频率特性 G(j)表达式，分表达式，分别由给定的别由给定的 值值(按合适步长从小到大按合适步长从小到大)计算出开环计算出开环幅频特性幅频特性 和开环相频特性和开环相频特性 的对应值，的对应值， 2)对照对照G(j)与等与等M圆簇各交点坐标位置查表得到圆簇各交点坐标位置查表得到对应的角频率对应的角频率值，值， 3)最后将各交点的最后将各交点的值和值和M值列表（如表值列表（如表5-2所示）所示）标出，便可绘出如图标出，便可绘出

10、如图5-64所示的闭环幅频特性所示的闭环幅频特性A()。)(jG)(jG120 . 1MjVU)(jGr1212 . 1M3 . 1M4 . 1M5 . 0M025. 0M图5-63 利用等M圆图求取A()rM)(A0 . 11 . 01r10100图5-64 控制系统闭环幅频特性图如何确定谐振点如何确定谐振点?13用等用等M M圆求取闭环幅频特性不仅简单方便，而且圆求取闭环幅频特性不仅简单方便，而且可以在可以在G G平面上直接看到当开环频率特性曲线平面上直接看到当开环频率特性曲线 G(j)G(j)的形状发生某种变化时，闭环幅频特性的形状发生某种变化时，闭环幅频特性 A()A()将会将会因之出

11、现那些相应的变化，以及这些变化的趋势。因之出现那些相应的变化，以及这些变化的趋势。由图由图5-635-63和图和图5-645-64还可看出，还可看出，与与G(j)G(j)曲线相切曲线相切的圆所表示的的圆所表示的 M M值就是闭环幅频特性的最大值值就是闭环幅频特性的最大值，如，如果切点的果切点的M M值大于值大于1 1，则切点处的，则切点处的M M值就是谐振峰值值就是谐振峰值M Mr r，对应的频率值就是谐振频率对应的频率值就是谐振频率r r。谐振峰值谐振峰值M Mr r和谐振频率和谐振频率r r是闭环幅频特性的两是闭环幅频特性的两个重要特征量。个重要特征量。 它们与闭环系统的控制性能密切相它们

12、与闭环系统的控制性能密切相关关. .14三、等三、等N N圆图圆图用等用等M M圆图和开环频率特性可以求出系统的闭环幅频特性圆图和开环频率特性可以求出系统的闭环幅频特性A A()。现在用类似的方法进一步研究系统的闭环相频特性。现在用类似的方法进一步研究系统的闭环相频特性 及其在及其在G G平面上的图形。单位反馈系统的开环频率特性可以表平面上的图形。单位反馈系统的开环频率特性可以表示为示为则其闭环频率特性是则其闭环频率特性是)(jVUjG)(jVUjVUjGjGjRjC1)(1)()()(用用表示闭环频率特性的相角，则有表示闭环频率特性的相角，则有UVarctgUVarctgjRjC1)()(U

13、VUVUVUVarctg111即15化简后有化简后有令令 则有则有 22VUUVtgtgN 22VUUVN整理后得到整理后得到22221412121NNVU这也是一个标准圆方程，圆心坐是这也是一个标准圆方程，圆心坐是 ，半径，半径为为 。当。当N N或或 为一定值时，它在为一定值时，它在G G平面平面上是一个圆，改变上是一个圆，改变N N或或的大小，它们在的大小，它们在 G G平面上就构成了如平面上就构成了如图图 5-655-65所示的一簇圆，这簇圆的圆心都在虚轴左侧与虚轴距所示的一簇圆，这簇圆的圆心都在虚轴左侧与虚轴距离为离为 且平行于虚轴的直线上，我们称这簇圆为等且平行于虚轴的直线上，我们

14、称这簇圆为等N N圆或等圆或等相角轨迹。相角轨迹。)21,21(Nj22141N)(tgN 2116 由图由图 5-65 5-65 还可看出，对于给还可看出，对于给定的定的值对应的等值对应的等N N 值轨迹，值轨迹，实际上并不是一个完整的圆，实际上并不是一个完整的圆，而只是一段圆弧，这是因为一而只是一段圆弧，这是因为一个角度加上个角度加上（或（或 的倍数）其正切值的倍数）其正切值相等的缘故。例如相等的缘故。例如和和 （或（或-150-1500 0）的）的N N值均为值均为 ，它们在，它们在G G平面平面上是属于同一个圆上的一段圆上是属于同一个圆上的一段圆弧。等弧。等N N圆以实轴为对称，也圆以

15、实轴为对称，也对称于直线对称于直线 。0180018003002103321U图5-65 等N圆图jVU1212020a321 G0100030040060020030123040060由图由图 可看出，不管可看出，不管 N N值的大小如何，当值的大小如何，当U=V=0U=V=0及及U=-1U=-1，V=0V=0时，方程（时，方程（5-1345-134）总是成立的。这就说明，等）总是成立的。这就说明，等N N圆簇中圆簇中每个圆都将通过点（每个圆都将通过点（-1-1，j0j0）和坐标原点（）和坐标原点（0 0，j0j0）。）。等等 N N圆是多值的，即同一个圆是多值的，即同一个N N值值有无穷多

16、个有无穷多个值与之对应，这值与之对应，这些些值是值是 ， 它们都满足正切条它们都满足正切条件件 N=tgN=tg。因此，。因此，用等用等N N圆来确定闭环系统的相角时，圆来确定闭环系统的相角时，就必须就必须确定适当的确定适当的值。应从对应于值。应从对应于 的零频率开始，逐渐增加的零频率开始，逐渐增加频率直到高频，频率直到高频， 所得到的闭环相频曲线应该是连续的。所得到的闭环相频曲线应该是连续的。00180n）、210( n 0)(jV GU10)(jG图5-66 利用等N圆图求取)()(00090018002701 . 0110100图5-67 控制系统的闭环相频特性曲线181.等等M线线:对

17、于特定的对于特定的M值值2.等等 线线:20lg( ) ( )A 对于特定的对于特定的 值值20lg( ) ( )A 四、尼科尔斯图四、尼科尔斯图19 四、非单位反馈系统的闭环频率特性四、非单位反馈系统的闭环频率特性如图5-68所示的非单位反馈系统，其闭环频率特性为 )()(1)()()(jHjGjGjRjC上式可写成 （5-135）式（5-135）的方框图如图5-69所示，它是图5-68的等效方框图。 由式（5-135）得到非单位反馈系统的闭环幅频特性和相频特性分别为)(1)()()(1)()(1)()()()(1jHjRjCjHjHjGjHjGjRjC)(1)()()()(1jHjRjCj

18、RjC)()()()()(1jHjRjCjRjC分贝)(lg20)()(lg20)()(lg201jHjRjCjRjC或(5-136)(5-137)20R(s)C(s)G(s)H(s)图5-68 非单位反馈系统框图R(s)G(s)H(s)(1sHC(s)(1sC图5-69 非单位反馈系统等效框图式（5-136）说明，非单位反馈系统的对数闭环幅频率特性等于由 为前向通道的单位反馈系统的对数闭环幅频特性减去反馈通道 的对数幅频特性得到的差。式 （5-137）说明，非单位反馈系统的闭环相频特性等于由 为前向通道的相频特性减去反馈通道 的相频特性得到的差。这样我们就可以利用等M圆和等N圆图先求出以 为

19、前向通道的 单 位反馈系统的闭环对数幅频特性和闭环相频特性，再分别减去反馈通道 的对数幅频特性和相频率特性， 便可得到非单位反馈系统的闭环对数幅频特性和闭环相频特性。)()(jHjG)(jH)()(jHjG)(jH)()(jHjG)(jHEnd-21五五.利用闭环频率特性分析系统性能利用闭环频率特性分析系统性能1.定性分析定性分析1)零频幅值零频幅值M(0) 反映阶跃作用下的稳态误差反映阶跃作用下的稳态误差.2)谐振峰值谐振峰值Mm 反映系统的平稳性反映系统的平稳性rM)(A0 . 11 . 01r10100图5-64 控制系统闭环幅频特性图223)带宽频率带宽频率Wb 反映系统的快速性反映系

20、统的快速性.一阶系统一阶系统二阶系统二阶系统21(,()0.707(0)()1133bSbjMTtTT1S)=TS+12(,()0.707(0),0.7073.53.5bnSjMtn2nnbS)=S +2S+1234)闭环频率的斜率闭环频率的斜率 反映系统的抗干扰性能反映系统的抗干扰性能2.定量分析定量分析 超调量超调量 调节时间调节时间1200.5(/4)4ln.17%mbM MM00.50.51(13.572.51)mbsMtM24教学要求教学要求:1.开开环频率特性的概念环频率特性的概念2.开开环频率特性的绘制方法环频率特性的绘制方法3.开开环频率特性与阶跃响应环频率特性与阶跃响应.8

21、系统开环频率特性与阶跃响应系统开环频率特性与阶跃响应251、开环对数幅频特性曲线（、开环对数幅频特性曲线（Bode图）低频段的图）低频段的斜率取决于系统含有积分环节的个数。因而决斜率取决于系统含有积分环节的个数。因而决定系统的定系统的稳态精度稳态精度.0 0L L ( () )2 2 0 0 l l g g K K（ a a ） = 0不不 含含 积积 分分 环环 节节260 0L L( () )- -2 20 0d dB B/ /d de ec c（b b）=1含含有有一一个个积积分分环环节节0 0( () )- -9 90 0图图5-6-2 272、中频段的斜率对系统稳定裕度、中频段的斜率对系统稳定裕度(平稳性和快平稳性和快速性速性)影响最大影响最大0 0L L( () )- -2 20 0- -4 40 01111c1)(ca1,()11133CCSCGSSGStTKG(S)=S1)-20Db/dec的情况的情况:2822222,( )1CCCGSSGS2KG(S)=S2)-40Db/dec的情况的情况:2921)1()()(jjKjHjG11arctan180)arctan(180)(ccc1arctan)(180cc0 0L L( () )- -2 20 0- -4 40 01c1)(cb