同济大学结构力学弯矩分配法

1、结构力学结构力学第九章第九章 超静定结构的实用计算方法与概念分析超静定结构的实用计算方法与概念分析同济大学土木工程学院同济大学土木工程学院School of Civil Engineering,Tongji UnivesityStructural Mechanics Chapter 9Contents概述概述弯矩分配法弯矩分配法剪力分配法剪力分配法超静定结构受力状态的概念分析超静定结构受力状态的概念分析超静定结构的影响线及其应用超静定结构的影响线及其应用2022-6-12Structural Mechanics Chapter 92022-6-12概述概述v 什么叫超静定结构的实用计算方法？什

2、么叫超静定结构的实用计算方法？ 超静定结构的计算以超静定结构的计算以20世纪世纪50年代（计算机的出现）作为分水岭划分为两个阶段。年代（计算机的出现）作为分水岭划分为两个阶段。 第一类（渐近法）：利用相关物理量之间内在的数学关系，运用逐次计算逼近的方法求解。第一类（渐近法）：利用相关物理量之间内在的数学关系，运用逐次计算逼近的方法求解。 该方法属于数学简化方法，如弯矩分配法、叠代法等。该方法属于数学简化方法，如弯矩分配法、叠代法等。结构分析技术手段：手算技术要求：计算尽可能简化结构分析技术手段：电算技术要求：结果尽可能精确1940s1950s计算机的发明 超静定结构实用计算方法主要是指用于手算

3、的超静定结构分析方法。超静定结构实用计算方法主要是指用于手算的超静定结构分析方法。 其简化的主要目的是避免求解大型联立方程组。其简化的主要目的是避免求解大型联立方程组。 根据简化方法的不同，超静定结构实用计算方法主要有以下两类：根据简化方法的不同，超静定结构实用计算方法主要有以下两类： 第二类（近似法）：通过忽略影响结构内力的某些次要因素，对计算模型采取近似处理，从而达到简第二类（近似法）：通过忽略影响结构内力的某些次要因素，对计算模型采取近似处理，从而达到简化化 分析的目的。分析的目的。 该方法属于物理简化方法，如剪力分配法、分层法等。该方法属于物理简化方法，如剪力分配法、分层法等。 关于超

4、静定结构的实用计算方法，本章主要介绍弯矩分配法和剪力分配法两种。关于超静定结构的实用计算方法，本章主要介绍弯矩分配法和剪力分配法两种。 在计算机应用日益广泛的今天，实用计算方法对理解和强化结构概念仍然具有非常在计算机应用日益广泛的今天，实用计算方法对理解和强化结构概念仍然具有非常重要的价值和作用。重要的价值和作用。Structural Mechanics Chapter 9教材中所谓的“概念分析”2022-6-12概述概述v 什么叫概念分析？什么叫概念分析？ 结构结构“概念设计概念设计”和和“概念分析概念分析”是现代结构设计思想的一个重是现代结构设计思想的一个重要理念，一代宗师林同炎先生的要理

5、念，一代宗师林同炎先生的结构概念和体系结构概念和体系是这一理念是这一理念的代表作，被尊称为结构界的的代表作，被尊称为结构界的“红宝书红宝书”。 现行的结构设计理论与计算理论存在许多缺陷或不可计算性，比如混凝土结构设计中，内力计算是基于现行的结构设计理论与计算理论存在许多缺陷或不可计算性，比如混凝土结构设计中，内力计算是基于弹性理论的计算方法，而截面设计却是基于塑性理论的极限状态设计方法，这一矛盾使计算结果与结构弹性理论的计算方法，而截面设计却是基于塑性理论的极限状态设计方法，这一矛盾使计算结果与结构的实际受力状态不尽一致，为了弥补这类设计计算理论的缺陷，或者实现对实际存在的大量无法计算的的实际

6、受力状态不尽一致，为了弥补这类设计计算理论的缺陷，或者实现对实际存在的大量无法计算的结构构件的设计，这就需要通过优秀的概念设计与结构措施来满足结构设计的目的。结构构件的设计，这就需要通过优秀的概念设计与结构措施来满足结构设计的目的。 结构概念的重要性主要体现在以下三个方面：结构概念的重要性主要体现在以下三个方面： 电算结果的高精度特点，往往给结构工程技术人员带来对结构工作性能的误解，结构工程师只有加强结电算结果的高精度特点，往往给结构工程技术人员带来对结构工作性能的误解，结构工程师只有加强结构概念的培养，才能比较客观、真实地理解结构的整体工作性能。构概念的培养，才能比较客观、真实地理解结构的整

7、体工作性能。 结构方案设计阶段，设计过程通常是不能借助于计算机来实现的。这就需要结构工程师必须熟练而准确结构方案设计阶段，设计过程通常是不能借助于计算机来实现的。这就需要结构工程师必须熟练而准确地综合运用结构概念，选择最优的的结构方案。地综合运用结构概念，选择最优的的结构方案。基本概念基本概念与与方法方法内力和变形内力和变形定量分析定量分析内力和变形内力和变形定性分析定性分析境界：境界：子曰：子曰：“知之者不知之者不如好之者，好之者如好之者，好之者不如乐之者。不如乐之者。” ” （论语论语雍也雍也） 本课程本课程不求达到那不求达到那么高远的境界，但么高远的境界，但求明白其中的奥妙。求明白其中的

8、奥妙。Structural Mechanics Chapter 92022-6-12弯矩分配法弯矩分配法v 弯矩分配法的历史背景弯矩分配法的历史背景 求解超静定结构的力法是求解超静定结构的力法是19世纪末建立的，之后到世纪末建立的，之后到20世纪初，世纪初，本笛克森（本笛克森（Axel Bendixen）在）在1914年年提提出出了位移法。由于人工求解大型线性联立方程组困难，通了位移法。由于人工求解大型线性联立方程组困难，通常其人工求解時間与未知量的数目成三次方的比例递增，故早期超静定结构分析仅常其人工求解時間与未知量的数目成三次方的比例递增，故早期超静定结构分析仅限于简单的桁架和刚架，或跨数

9、不多的连续梁。限于简单的桁架和刚架，或跨数不多的连续梁。 1930年美國伊利诺大学的年美國伊利诺大学的Hardy Cross教授发明了弯矩分配法，一时突破了求解高教授发明了弯矩分配法，一时突破了求解高阶联立方程组的瓶颈。由于其收敛速度快，运算量少，顿时成为当时结构分析的不阶联立方程组的瓶颈。由于其收敛速度快，运算量少，顿时成为当时结构分析的不二法宝，结构分析进入了一个斩新而实用的阶段，从此，弯矩分配法独領结构分析二法宝，结构分析进入了一个斩新而实用的阶段，从此，弯矩分配法独領结构分析风骚五十年。风骚五十年。 在建筑工程英文专用词汇中，弯矩分配法又称为在建筑工程英文专用词汇中，弯矩分配法又称为h

10、ardy cross method。 弯矩分配法后来引出了应用较广的松弛法，最后导致了有限元法的建立。弯矩分配法后来引出了应用较广的松弛法，最后导致了有限元法的建立。 对弯矩分配法作出重要贡献的学者还有：对弯矩分配法作出重要贡献的学者还有： 林同炎（林同炎（T.Y.LIN） ：1933年，以年，以直接弯矩分配法直接弯矩分配法发表论文获得美国加州大学伯克利分发表论文获得美国加州大学伯克利分校土木工程硕士学位，该论文引起学术界及工程界热烈的讨论，他所阐述的方法被命名为校土木工程硕士学位，该论文引起学术界及工程界热烈的讨论，他所阐述的方法被命名为“林氏法林氏法”而广泛应用。其方法对而广泛应用。其方法

11、对H.Cross 的逐次渐近法进行了改进。的逐次渐近法进行了改进。 德列斯（德列斯（Charles Derleth）：最早以弯矩分配法分析桥塔大型结构，代替原设计需数千人时的分析工：最早以弯矩分配法分析桥塔大型结构，代替原设计需数千人时的分析工作。（林同炎就读伯克利期间，作。（林同炎就读伯克利期间， 德氏是伯克利分校工学院院长，时任金门大桥顾问）德氏是伯克利分校工学院院长，时任金门大桥顾问）Structural Mechanics Chapter 92022-6-12弯矩分配法弯矩分配法v 弯矩分配法的本质及其适用范围弯矩分配法的本质及其适用范围 弯矩分配法属于位移法的范畴，是基于位移法的逐次

12、逼近精确解的近似方法。弯矩分配法属于位移法的范畴，是基于位移法的逐次逼近精确解的近似方法。 弯矩分配法的适用范围：弯矩分配法的适用范围： 单独使用时，只能用于只有结点角位移而无结点线位移的结构。单独使用时，只能用于只有结点角位移而无结点线位移的结构。 弯矩分配法与位移法联合应用，可求解有结点线位移的结构。弯矩分配法与位移法联合应用，可求解有结点线位移的结构。v 弯矩分配法的基本概念弯矩分配法的基本概念 以图示结构为例说明，所有杆件的线刚度均为以图示结构为例说明，所有杆件的线刚度均为 ，杆长均为，杆长均为 ，不计杆件轴向变形。，不计杆件轴向变形。il 根据位移法原理，原结构分解为根据位移法原理，

13、原结构分解为(a)(b)两种受力状态。两种受力状态。 只有一个位移法未知量只有一个位移法未知量A结点的角位移。弯矩分配法中，把具有待求角位移的结点称为结点的角位移。弯矩分配法中，把具有待求角位移的结点称为分配单元分配单元。qABCD原结构原结构qABCD(a)状态状态uAMABCD(b)状态状态uAM (a)状态：只承受外荷载，不发生节结点位移 固定状态 (b)状态：只发生结点位移，无外荷载 放松状态相当于原结构“先固定、后放松”Structural Mechanics Chapter 92022-6-12弯矩分配法弯矩分配法 固定状态下，由荷载引起的杆端弯矩称为固定状态下，由荷载引起的杆端弯

14、矩称为固端弯矩固端弯矩。正负号规定：绕杆端顺时针为正。正负号规定：绕杆端顺时针为正。qABCD原结构原结构qABCD(a)固定状态固定状态uAMABCD(b)放松状态放松状态uAM 固定状态内力分析固定状态内力分析弯矩分配法是一种数值算法，正负号规定非常重要！弯矩分配法是一种数值算法，正负号规定非常重要！ 固端弯矩根据第7章位移法表7-1计算，其本质就是位移法Mp图的计算。 21,0;8ggABBAMqlM0,0;ggACCAMM0,0;ggADDAMM 结点附加刚臂上的约束力矩称为结点附加刚臂上的约束力矩称为结点不平衡力矩结点不平衡力矩。正负号规定：顺时针为正。正负号规定：顺时针为正。 结点

15、不平衡力矩的计算：根据固端弯矩，利用结点力矩平衡条件计算。 在上述正负号规定条件下，结点不平衡力矩就是与该结点相连的所有杆件该端固端弯矩的代数和。 218ugggAABACADMMMMqlStructural Mechanics Chapter 92022-6-12弯矩分配法弯矩分配法 放松状态就是原结构承受结点不平衡力矩的放松状态就是原结构承受结点不平衡力矩的反向反向力矩（相当于解除约束）。力矩（相当于解除约束）。qABCD原结构原结构qABCD(a)固定状态固定状态uAMABCD(b)放松状态放松状态uAM 放松状态内力分析放松状态内力分析 放松状态的内力可借助放松状态的内力可借助转动刚度

16、、分配系数、传递系数转动刚度、分配系数、传递系数等概念计算。等概念计算。 转动刚度：转动刚度：AB杆件杆件A端（又称近端）发生单位转角时，端（又称近端）发生单位转角时，A端产生的弯矩值，称为端产生的弯矩值，称为AB杆杆A端的转动刚度，端的转动刚度， 记为记为 。ABS 转动刚度不仅与杆件的弯曲线刚度 有关，而且与杆件另一端（又称远端）的支承条件有关。iEI li4ABSi2BAMiAB1A 远端为固定支座：4ABSii3ABSi0BAMAB1AiABSiBAMi AB1A 远端为铰支座：3ABSi 远端为定向滑动支座：ABSiStructural Mechanics Chapter 9 弯矩分

17、配法中，结点转动在远端产生的弯矩可通过近端弯矩乘以传递系数得到。2022-6-12弯矩分配法弯矩分配法ABCD(b)放松状态放松状态uAM 放松状态内力分析放松状态内力分析 传递系数：传递系数：AB杆件仅杆件仅A端发生转角时，端发生转角时，B端弯矩与端弯矩与A端弯矩之比，称为从端弯矩之比，称为从A到到B的弯矩传递系数，记的弯矩传递系数，记为为 。A BCi4ABSi2BAMiAB1A 远端为固定支座：1 2ABCi3ABSi0BAMAB1AiABSiBAMi AB1A 远端为铰支座：0ABC 远端为定向滑动支座：1ABC 放松状态内力（分配系数）放松状态内力（分配系数）AA结点力矩结点力矩uA

18、MfABMfADMfACMA结点力矩平衡方程：fffuABACADAMMMM 而，;fABABAMS;fACACAMSfADADAMS所以，uABACADAASSSM 得，uAAABACADMSSS 从而，fuuABABAABAAjSMMMSfuuACACAACAAjSMMMSfuuADADAADAAjSMMMS称为称为力矩分配系数力矩分配系数，表示杆件刚度在结点刚度中占的比例。，表示杆件刚度在结点刚度中占的比例。每个分配单元上，力矩分配系数之和恒等于每个分配单元上，力矩分配系数之和恒等于1，即，即 。1Why?物理含义：结点力矩平衡Structural Mechanics Chapter 9

19、2022-6-12弯矩分配法弯矩分配法qABCD原结构原结构qABCD(a)固定状态固定状态uAMABCD(b)放松状态放松状态uAM 计算过程小结计算过程小结 固定状态，计算固端弯矩和结点不平衡力矩。固定状态，计算固端弯矩和结点不平衡力矩。 固端弯矩21,0;8ggABBAMqlM0,0;ggACCAMM0,0;ggADDAMM218ugggAABACADMMMMql 结点不平衡力弯矩 放松状态，计算分配力矩和传递力矩。放松状态，计算分配力矩和传递力矩。 杆件转动刚度： 分配系数： 近端分配力矩： 3 ;4ABACADSiSiSi3 8;1 8;1 2ABACAD222311;646416f

20、ffABACADMqlMqlMql 远端传递力矩： 22110;6432cccBACADAMMqlMql 杆端最终弯矩固端弯矩分配力矩传递力矩杆端最终弯矩固端弯矩分配力矩传递力矩Structural Mechanics Chapter 92022-6-12弯矩分配法弯矩分配法qABCD原结构原结构 计算过程小结计算过程小结 固定状态，计算固端弯矩和结点不平衡力矩。固定状态，计算固端弯矩和结点不平衡力矩。 固端弯矩21,0;8ggABBAMqlM0,0;ggACCAMM0,0;ggADDAMM218ugggAABACADMMMMql 结点不平衡力弯矩 放松状态，计算分配力矩和传递力矩。放松状态，

21、计算分配力矩和传递力矩。 杆件转动刚度： 分配系数： 近端分配力矩： 3 ;4ABACADSiSiSi3 8;1 8;1 2ABACAD222311;646416fffABACADMqlMqlMql 远端传递力矩： 22110;6432cccBACADAMMqlMql 杆端最终弯矩固端弯矩分配力矩传递力矩杆端最终弯矩固端弯矩分配力矩传递力矩弯矩分配法通常列表计算结点结点杆端杆端BACDBAABADACCADAgM分配分配传递传递M终备注备注3 81 81 21 82ql3 641 641 1601 641 3205 641 641 161 641 32分配力矩下划线，以示与传递力矩区分Stru

22、ctural Mechanics Chapter 92022-6-12弯矩分配法弯矩分配法qABCD原结构原结构 弯矩分配法的物理含义：弯矩分配法的物理含义： 弯矩分配法实质，是在原结构上施加约束、再解除约束的过程。弯矩分配法实质，是在原结构上施加约束、再解除约束的过程。结点结点杆端杆端BACDBAABADACCADAgM分配分配传递传递M终备注备注3 81 81 21 82ql3 641 641 1601 641 3205 641 641 161 641 32ABCDM图图(xql2)56418164116132施加约束(固定)解除约束(放松) 注意问题：注意问题： 弯矩分配法是数值计算方法

23、，弯矩的方向用正负号表示，故，必须牢记弯矩分配法是数值计算方法，弯矩的方向用正负号表示，故，必须牢记正负号规定正负号规定，计算过程中切勿混，计算过程中切勿混淆和遗漏正负号。淆和遗漏正负号。 结点不平衡力矩结点不平衡力矩必须反号必须反号后才能进行分配和传递。后才能进行分配和传递。 弯矩分配法计算步骤：弯矩分配法计算步骤： 计算各杆的分配系数和传递系数。计算各杆的分配系数和传递系数。 计算荷载作用下的固端弯矩。计算荷载作用下的固端弯矩。 将结点不平衡力矩将结点不平衡力矩反号反号后，进行力矩分配和传递。后，进行力矩分配和传递。 按叠加原理计算最终杆端弯矩。按叠加原理计算最终杆端弯矩。Structur

24、al Mechanics Chapter 9M终02.41.8056.44.851.62.470.22022-6-12弯矩分配法弯矩分配法v 单结点弯矩分配法单结点弯矩分配法 【例例1】试用弯矩分配法作图示刚架的弯矩图。试用弯矩分配法作图示刚架的弯矩图。【解解】2 36,2 48,1.5 46 ABACADSSS6860.3,0.4,0.3202020ABACAD2130 4608gABMkNm22100 3 2485gADMkNm 22100 32725gDAMkNm计算分配系数：4m3m2m30/kN mABDC100kN4m2i 2i 1.5i 杆端杆端BAABADACCADA结点结点B

25、ACD0.30.40.3分配分配传递传递3.64.83.6计算固端弯矩：gM60487256.44.851.62.470.212060ABDCM图图(kNm)Structural Mechanics Chapter 92022-6-12弯矩分配法弯矩分配法v 单结点弯矩分配法单结点弯矩分配法 【例例2】试用弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。试用弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。gM分配分配传递传递M终0.40.66020.430.670.239.639.60【解解】423,633BABCEIEIEISSEI0.4,0.6BCBABABCBABCBABCSSSSSS21110 640 660128g

26、ABMkNm 60ggBAABMMkNm 218 398gBCMkNm 6093m3m3m10/kN mABC40kNEIEI8/kN m只有B结点1个分配单元。10.20ABC70.239.621110 640 6105842110 322.5822.5218 398 M图图(kNm)单结点弯矩分配法计算结果是近似解吗？单结点弯矩分配法计算结果是近似解吗？答：是精确解。答：是精确解。如何通过弯矩分配过程计算如何通过弯矩分配过程计算B截面的转角？截面的转角？答：只有放松状态，即分配过程产生结点角位移。答：只有放松状态，即分配过程产生结点角位移。 30.6ffBCBABBBCBAMMSEIS逆转

27、 ，或Structural Mechanics Chapter 9C端既无线位移又无角位移，相当于固定端，故端既无线位移又无角位移，相当于固定端，故 。54144,52ACACCAEISiEIC2022-6-12弯矩分配法弯矩分配法v 单结点弯矩分配法单结点弯矩分配法 【例例3】试用弯矩分配法作图示结构的弯矩图。试用弯矩分配法作图示结构的弯矩图。DA结点结点杆端杆端BACDBAABADACCAgM分配分配传递传递M终AD杆件的处理：杆件的处理：?gADADMS8/kN mABCD20kNEIEI54EI3m4m2m3m2mD端的链杆只产生轴力，故端的链杆只产生轴力，故 。20240,0gADA

28、DMkNmkNmSAC杆件的处理：杆件的处理：?ACCASC0.50.5094024.524.5012.25015.524.54012.250（M图略）图略）Structural Mechanics Chapter 92022-6-12弯矩分配法弯矩分配法v 单结点弯矩分配法单结点弯矩分配法 【例例4】试用弯矩分配法作图示结构的弯矩图。试用弯矩分配法作图示结构的弯矩图。几个分配单元？几个分配单元？2个或个或1个。个。法一：法一：B结点和结点和C结点结点2个分配单元。个分配单元。(多结点弯矩分配法后续介绍多结点弯矩分配法后续介绍)法二：法二：B结点结点1个分配单元。（个分配单元。（CD弯矩静定，

29、原结构可简化）弯矩静定，原结构可简化）ABC20kNEIEI4m4m2mEI41kNmDABC20kNEIEI41kNm40kNm弯矩分配法的分配单元数量与位移法的基本未知量数量是统一的。弯矩分配法的分配单元数量与位移法的基本未知量数量是统一的。理论上讲，弯矩分配法即适用于超静定结构，也适用于静定结构，理论上讲，弯矩分配法即适用于超静定结构，也适用于静定结构，但具体应用中，如结构含有内力静定部分，应尽可能先简化结构，但具体应用中，如结构含有内力静定部分，应尽可能先简化结构，以减少计算工作量。以减少计算工作量。gM分配分配传递传递M终4737B结点的集中外力矩如何处理？结点的集中外力矩如何处理？

30、可见，固端弯矩需改变符号后参与分配，可见，固端弯矩需改变符号后参与分配，而作用在结点上的集中而作用在结点上的集中力矩无需改变符号直接参与分配。力矩无需改变符号直接参与分配。4040204112960612 294040ABC20kNEIEI41kNm40kNmuBMB点增加附加刚臂后，刚臂上的约束力矩，即结点不平衡力矩为点增加附加刚臂后，刚臂上的约束力矩，即结点不平衡力矩为 。反号后，即。反号后，即作为结点分配力矩。作为结点分配力矩。41uggBBABCMMM 41uggBBABCMMMuBMB41kNmgBCMgBAM结点分配力矩为412021（M图略）图略）Structural Mecha

31、nics Chapter 92022-6-12弯矩分配法弯矩分配法v 单结点弯矩分配法单结点弯矩分配法 【例例5】试用弯矩分配法作图示结构的弯矩图。试用弯矩分配法作图示结构的弯矩图。ABC1EI EI4m4mEID3m9/kN m216NEIkmCB结点结点杆端杆端ABDCABBABCBDDBgM分配分配传递传递M终B分配单元的分配系数如何计算？分配单元的分配系数如何计算？4343BCBDEIEISEISEI?BAS244441 4416BAANANBNNSVmkvmkmmkmmkmEI13BABCBD1 31 31 3219 412(),1212ggBCCBMkNmMkNm 12124442

32、0448014（M图略）图略）Structural Mechanics Chapter 92022-6-12弯矩分配法弯矩分配法v 单结点弯矩分配法单结点弯矩分配法 【例例6】试用弯矩分配法作图示带刚域结点连续梁的弯矩图。试用弯矩分配法作图示带刚域结点连续梁的弯矩图。如何计算转动刚度、分配系数和传递系数？如何计算转动刚度、分配系数和传递系数？gM分配分配传递传递M终M124199M75199M17366169M0（M图略）图略）ABCEIEIMll4l4l1EI 根据转动刚度的定义，根据转动刚度的定义， 和和 分别表示分别表示B发生单位转角时发生单位转角时BA和和BC的杆端弯矩。的杆端弯矩。B

33、ASBCSABC1B4l4l时变形时变形1BABC1M2MBCMBAMABM时弯矩时弯矩1B226742ABEIEIlEIMlll12461142EIEIlEIMlll11131444ABBABAABMMllEISMMQMll14 31ABABBACMM22331544EIEIlEIMlll2575416BCBCMlEISMll124199BABABABCSSS75199BCBCBABCSSS12419975199124199M75199M17366169M0Structural Mechanics Chapter 92022-6-12弯矩分配法弯矩分配法v 单结点弯矩分配法单结点弯矩分配法

34、【例例6】试用弯矩分配法作图示带刚域结点连续梁的弯矩图。试用弯矩分配法作图示带刚域结点连续梁的弯矩图。错误。错误。因为因为MDA+MECM(D、E截面剪力对截面剪力对B点也产点也产生矩生矩)，故结点力矩，故结点力矩M不能向不能向D、E两点分配。两点分配。ABC1B4l4l时变形时变形1BABC1M2MBCMBAMABM时弯矩时弯矩1B226742ABEIEIlEIMlll12461142EIEIlEIMlll22331544EIEIlEIMlll1112DAEISMl2154ECEISMl17 11ADABCMM22 37DADADAECSSS15 37BCECDAECSSS思考题：将结点力矩

35、思考题：将结点力矩M向刚域两侧向刚域两侧D和和E点分配，计算过程如下，是否正确？为点分配，计算过程如下，是否正确？为什么？什么？ABCEIEIMll4l4l1EI DE2237DADAMMM1537ECECMMM1437ADADDAMCMMStructural Mechanics Chapter 92022-6-12弯矩分配法弯矩分配法v 多结点弯矩分配法多结点弯矩分配法 【例例1】试用弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。试用弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。4m4m3m3/kN mACDEIEIBEI 固定状态固定状态 固端弯矩213 44,412ggBCCBMkNmMkNm 4,4uuBCMkN

36、mMkNm 结点不平衡力弯矩3/kN mACDEIEIBEIuBMuCM 放松状态放松状态 两个分配单元B和C结点转角是耦合的，如同时放松，需建立并求解联立方程组。 为了避免求解联立方程，将各分配单元依次逐个放松。放松C(B保持锁定状态),;CBCDSEISEI0.5CBCD440.50.52211此时，C结点力矩平衡，B结点不平衡力矩为-5kNm锁住C，放松B,;BABCSEISEI0.5BABC此时，B结点力矩平衡，C结点不平衡力矩为1.25kNm50.50.52.52.51.251.251.25完成一轮分配 由于分配系数和传递系数不大于1且不可能全为1，故，经过弯矩分配和传递后，结点不平

37、衡力矩逐渐减小。依次经过多轮分配，可使结构受力和变形逐步接近实际状态。Structural Mechanics Chapter 90.0844gM0.320.16 0.162022-6-12弯矩分配法弯矩分配法v 多结点弯矩分配法多结点弯矩分配法 【例例1】试用弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。试用弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。4m4m3m3/kN mACDEIEIBEI 上述计算过程一般通过列表进行上述计算过程一般通过列表进行2.52.51.251.250.50.50.50.5（固定状态）（固定状态）分分配配与与传传递递221（锁（锁B放放C）（锁（锁C放放B）第第1轮分配轮分配0.630.

38、63（锁（锁B放放C）0.08（锁（锁C放放B）第第2轮分配轮分配00.020.01 0.010.040.04（锁（锁B放放C）0（锁（锁C放放B）第第3轮分配轮分配M终2.662.67 2.67-1.332.670 多结点弯矩分配法是一种渐近法，多结点弯矩分配法是一种渐近法，计算结果为近似解。计算结果为近似解。 为了使计算收敛速度快，通常先为了使计算收敛速度快，通常先从不平衡力矩较大的分配单元开从不平衡力矩较大的分配单元开始分配。始分配。 终止弯矩分配的条件一般有两种：终止弯矩分配的条件一般有两种： a）明确分配轮次。如：要求完）明确分配轮次。如：要求完成两轮分配，则不管计算误成两轮分配，则

39、不管计算误差多大，两轮分配完成后即差多大，两轮分配完成后即可终止计算。可终止计算。 b）明确计算精度。如：计算要求）明确计算精度。如：计算要求保留到小数点后两位，则应保留到小数点后两位，则应计算至分配弯矩或传递弯矩计算至分配弯矩或传递弯矩小于小于0.01。注意最后一个轮。注意最后一个轮次分配与传递需同时完成，次分配与传递需同时完成，不可以只分配不传递。不可以只分配不传递。ACDB1.332.676M图图(kNm)Structural Mechanics Chapter 90.0844gM0.320.16 0.162022-6-12弯矩分配法弯矩分配法v 多结点弯矩分配法多结点弯矩分配法 【例例

40、1】试用弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。试用弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。4m4m3m3/kN mACDEIEIBEI2.52.51.251.250.50.50.50.5（固定状态）（固定状态）分分配配与与传传递递221（锁（锁B放放C）（锁（锁C放放B）0.630.63（锁（锁B放放C）0.08（锁（锁C放放B）00.020.01 0.010.040.04（锁（锁B放放C）0（锁（锁C放放B）M终2.662.67 2.67-1.332.670思考题一：如何通过计算过程求思考题一：如何通过计算过程求C结点转角？结点转角？ACDB1.332.676M图图(kNm)C20.630.042.67(

41、)fCBCBMSEIEI 逆转C2.67()fCDCDMSEI 或逆转思考题二：思考题二：B支座反力为多少？支座反力为多少？1.332.671()4BAQkN3 46()2BCQkNB?BR 7()()BBABCRQQkN向上Structural Mechanics Chapter 9gM2022-6-12弯矩分配法弯矩分配法v 多结点弯矩分配法多结点弯矩分配法 【例例2】试用弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。试用弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。(只分配两轮只分配两轮)56.293.846.928.1分分配配与与传传递递（锁（锁C放放B、D）（锁（锁B、D放放C）M终3m5m200kNAC2EI

42、EIBEI3m5mD6m2EIE100kN0.625 0.3750.5 0.50.706 0.294150150300300211.8 88.2105.988.2-本结构三个分配单元：本结构三个分配单元：B、C、D锁锁C后，后，B、D相互之间无影响，故，可相互之间无影响，故，可同时放松同时放松38.938.919.519.5第第1轮轮12.2 7.36.13.7（锁（锁C放放B、D）（锁（锁B、D放放C）13.8 5.76.95.7-5.35.32.72.7第第2轮轮68.668.471.1-190.868.6203.4206.1393.9190.830068.668.4 71.1203.42

43、06.1393.9ACBDEM图图(kNm)Structural Mechanics Chapter 92022-6-12弯矩分配法弯矩分配法v 多结点弯矩分配法多结点弯矩分配法 【例例3】试用弯矩分配法作算图示刚架的弯矩图。已知材料弹模试用弯矩分配法作算图示刚架的弯矩图。已知材料弹模 ， 梁梁 ，柱，柱 ，A支座下沉支座下沉2cm，D支座下沉支座下沉8cm。要求计算。要求计算结果保留到小数点后两位。结果保留到小数点后两位。220000/EkN cm440000bIcm410000cIcm10m8mBEA5mCD2Acm 8DcmgM分配分配与与传递传递M终0.3330.6670.4100.2

44、050.385288288300961929648结点结点杆端杆端ABCABBACBBCCDCEDEDCEC【解解】4820000 1010000 1040005ABCDiikNm4820000 1040000 10800010BCikNm4820000 1040000 10100008CEikNm66288ggBCBCBCCBBCDABCBCiiMMkNmll 33300gCECECECEDCECEiiMkNmll 22.1441.5844.2822.1411.077.3814.767.383.691.512.843.030.511.010.510.250.100.200.210.100.0

45、50.030.070.030.020.010.010.0100130.92103.92231.6151.9623.76255.3711.8801.520.76（M图略）图略）弯矩分配法只适用于结点无线位移的结构。当支座移弯矩分配法只适用于结点无线位移的结构。当支座移动时，结点是有线位移的，为什么还可以直接用弯矩动时，结点是有线位移的，为什么还可以直接用弯矩分配法计算？分配法计算？Structural Mechanics Chapter 92022-6-12弯矩分配法弯矩分配法v 弯矩分配法应用拓展弯矩分配法应用拓展 弯矩分配法弯矩分配法主要适用于无结点线位移的超静定结构主要适用于无结点线位移的

46、超静定结构，因为有结点线位移时，杆件的，因为有结点线位移时，杆件的转动刚度和传递系数一般难以确定。转动刚度和传递系数一般难以确定。 对于有结点线位移的超静定结构，弯矩分配法可以从以下两个方面修正或拓展应用。对于有结点线位移的超静定结构，弯矩分配法可以从以下两个方面修正或拓展应用。 无剪力分配法无剪力分配法 有结点线位移，而且结点线位移必须作为位移法基本未知量，此时，弯矩分配法可以而且必须与位移法有结点线位移，而且结点线位移必须作为位移法基本未知量，此时，弯矩分配法可以而且必须与位移法联合应用。联合应用。 有结点线位移，但有杆端相对侧移的杆件均为剪力静定杆，则结点线位移可以不作有结点线位移，但有

47、杆端相对侧移的杆件均为剪力静定杆，则结点线位移可以不作为位移法的基本未知量，此时，可以利用有侧移杆件剪力静定的特点，求得有线位为位移法的基本未知量，此时，可以利用有侧移杆件剪力静定的特点，求得有线位移情况下的转动刚度和传递系数，所以弯矩分配法仍然可以适用。移情况下的转动刚度和传递系数，所以弯矩分配法仍然可以适用。 该方法是钱令希院士（该方法是钱令希院士（1916.7.16 2009.4.20）1951年在年在超静定结构学超静定结构学一书中一书中提出的，因为该法需要对有侧移剪力静定杆的转动刚度和传递系数在常规弯矩分配提出的，因为该法需要对有侧移剪力静定杆的转动刚度和传递系数在常规弯矩分配法的基础

48、上进行调整，所以时称为法的基础上进行调整，所以时称为“调整分配法调整分配法”。后人称该法为。后人称该法为“无剪力分配无剪力分配法法”。 适用条件：有相对侧移的杆件剪力静定；适用条件：有相对侧移的杆件剪力静定； 剪力静不定的杆件无相对侧移。剪力静不定的杆件无相对侧移。例：例：柱子：有相对侧移，但剪力静定；柱子：有相对侧移，但剪力静定；横梁：横梁： 剪力未知，但两端无相对侧移。剪力未知，但两端无相对侧移。PPPStructural Mechanics Chapter 92022-6-12弯矩分配法弯矩分配法v 弯矩分配法应用拓展弯矩分配法应用拓展 无剪力分配法无剪力分配法 剪力静定杆考虑两端相对侧

49、移后的转动刚度、传递系数和固端弯矩：剪力静定杆考虑两端相对侧移后的转动刚度、传递系数和固端弯矩：PPPmnimnh对对mn柱，由位移法知：柱，由位移法知：642mnmnmnmniMiih624nmmnmnmniMiih1266mnmnmnnmmnnmmnmniiiMMhQhh 根据静力平衡条件可得：根据静力平衡条件可得：mnQP从而，从而，2212mnmnmnmnhP hi剪力静定杆的剪力静定杆的相对侧移与杆相对侧移与杆端转角是相关端转角是相关的，二者关系的，二者关系可以通过杆件可以通过杆件剪力大小确定剪力大小确定2mnmnmnhMiP2mnnmnmhMiP根据转动刚度和传递系数的定义：根据转动刚度和传递系数的定义：gmnmnmnmnmnMSCMgnmnmnmnmnmMSCM比较可见：比较可见：mnnmSSi1mnnmCC 2ggmnmnnmhMMP 剪力静定杆的转动刚度和剪力静定杆的转动刚度和传递系数与一端固定一端传递系数与一端固定一端定向滑动约束的杆件相同定向滑动约束的杆件相同 固端弯矩根据剪力和反弯固端弯矩