第三章流体运动学与动力学基础(1)上课

1、1动力学基础动力学基础本章主要内容：本章主要内容： 流体力学基本方程流体力学基本方程 动量矩方程动量矩方程 能量方程能量方程2本章讨论流体运动的基本规律，建立稳定总流的基本方本章讨论流体运动的基本规律，建立稳定总流的基本方程程: :连续性方程、能量方程和动量方程。连续性方程、能量方程和动量方程。学习重点学习重点 1 1、流体运动的分类和基本概念。、流体运动的分类和基本概念。 2 2、稳定总流的连续性方程、能量方程和动量方程及其、稳定总流的连续性方程、能量方程和动量方程及其 应用。应用。 3 3、稳定总流的连续性方程的形式及应用条件。、稳定总流的连续性方程的形式及应用条件。 4 4、稳定总流能量

2、方程的应用条件和注意事项，用能量、稳定总流能量方程的应用条件和注意事项，用能量方程进行水力计算。方程进行水力计算。 5 5、用稳定总流的连续方程、能量方程和动量方程联解、用稳定总流的连续方程、能量方程和动量方程联解 进行水力计算。进行水力计算。 6 6、理解测压管水头线、总水头线、水力坡度与测压管、理解测压管水头线、总水头线、水力坡度与测压管水头、流速水头、总水头和水头损失的关系。水头、流速水头、总水头和水头损失的关系。3 3-1 研究流体流动的方法研究流体流动的方法3-2 流动运动的基本概念流动运动的基本概念 3-3 连续性方程连续性方程34 理想流体运动微分方程式及伯努利理想流体运动微分方

3、程式及伯努利（Bernoulli）方程）方程35 实际流体总流的伯努利（实际流体总流的伯努利（Bernoulli）方程）方程3-6 泵对液流能量的增加泵对液流能量的增加3-7 系统与控制体系统与控制体 3-8 稳定流的动量方程及其应用稳定流的动量方程及其应用 4 概述概述 本章内容将作为解决工程实际问题的基础。由于实本章内容将作为解决工程实际问题的基础。由于实际液体具有粘滞性，必然导致能量的损耗，这就是水际液体具有粘滞性，必然导致能量的损耗，这就是水头损失。关于水头损失放在下一章专门学习。头损失。关于水头损失放在下一章专门学习。本章内本章内容较多而且很重要。容较多而且很重要。5一、拉格朗日法（

4、跟踪法、质点法）一、拉格朗日法（跟踪法、质点法）Lagrangian method 1、定义：、定义：以运动着的流体质点为研究对象，跟踪观察个别以运动着的流体质点为研究对象，跟踪观察个别流体质点在不同时间其位置、流速和压力的变化规律，然流体质点在不同时间其位置、流速和压力的变化规律，然后把足够的流体质点综合起来获得整个流场的运动规律。后把足够的流体质点综合起来获得整个流场的运动规律。 2、拉格朗日变数：、拉格朗日变数：取取t=t0时，以每个质点的空间坐标位置时，以每个质点的空间坐标位置为（为（a，b，c）作为区别该质点的标识，称为）作为区别该质点的标识，称为拉格朗日变数拉格朗日变数。 3、方程

5、：、方程：设任意时刻设任意时刻t，质点坐标为，质点坐标为(x，y，z) ，则：，则： )()()(tcbazztcbayytcbaxx，3-1 研究流体流动的方法研究流体流动的方法 (3-1)(3-1)6ttcbaztcbauuttcbaytcbauuttcbaxtcbauuzzyyxx)()()()()()(，222222)()()()()()()()()(ttcbazttcbautcbaaattcbayttcbautcbaaattcbaxttcbautcbaaazyyyyyxxx，(3-2)(3-2)(3-3)(3-3)7 4、适用情况：、适用情况：流体的振动和波动问题。流体的振动和波动问

6、题。 5、优点：、优点：直观性强、物理概念明确、可以描述直观性强、物理概念明确、可以描述各个质点在不同时间参量变化，研究流体运动轨各个质点在不同时间参量变化，研究流体运动轨迹上各流动参量的变化。迹上各流动参量的变化。 缺点：缺点：不便于研究整个流场的特性。不便于研究整个流场的特性。 数学求解较为困难，一般问题研究中很少采用数学求解较为困难，一般问题研究中很少采用 。8二、欧拉法（站岗法、流场法）二、欧拉法（站岗法、流场法）Eulerian method 1、定义：、定义：以流场内的空间点为研究对象，研究质点以流场内的空间点为研究对象，研究质点经过空间点时运动参数随时间的变化规律，把足够多经过空

7、间点时运动参数随时间的变化规律，把足够多的空间点综合起来得出整个流场的运动规律。的空间点综合起来得出整个流场的运动规律。 2、欧拉变数：、欧拉变数：空间坐标（空间坐标（x，y，z）称为欧拉变数。）称为欧拉变数。 3、方程：、方程：因为欧拉法是描写流场内不同位置的质点因为欧拉法是描写流场内不同位置的质点的流动参量随时间的变化，则流动参量应是空间坐标的流动参量随时间的变化，则流动参量应是空间坐标和时间的函数。和时间的函数。9 位置：位置：x = x(x,y,z,t) y = y(x,y,z,t) z = z(x,y,z,t) 速度：速度：ux=ux（x,y,z,t） uy=uy（x,y,z,t）

8、uz=uz（x,y,z,t） 同理：同理：p=p（x,y,z,t） =(x,y,z,t)说明说明： x、y、z也是时间也是时间t的函数。的函数。(3-4)(3-4)(3-5)(3-5)(3-6)(3-6)10全加速度全加速度=当地加速度当地加速度+迁移加速度迁移加速度当地加速度：当地加速度：在一定位置上，流体质点速度随时间的变化率。在一定位置上，流体质点速度随时间的变化率。迁移加速度：迁移加速度：流体质点所在的空间位置的变化而引起的速度流体质点所在的空间位置的变化而引起的速度 变化率。变化率。说明：说明：两种方法具有互换性。但由于欧拉法较简单，且本书两种方法具有互换性。但由于欧拉法较简单，且本

9、书着重讨论流场的整体运动特性。所以，采用欧拉法研着重讨论流场的整体运动特性。所以，采用欧拉法研 究问题。究问题。加速度：加速度： zuuyuuxuutuaxzxyxxxxzuuyuuxuutuayzyyyxyyzuuyuuxuutuazzzyzxzz(3-7)(3-7)11一维流动一维流动 u= =u( (s,t) )欧拉法与拉格朗日法相比欧拉法与拉格朗日法相比: 布哨布哨 跟踪跟踪 守株待兔守株待兔 跟踪追击跟踪追击 dtdssutudtduasssssuutudtduasss即即(3-8)(3-8)12三、流场分类三、流场分类 1、三元流场：凡具有三个坐标自变量的流场称为三元流、三元流场：

10、凡具有三个坐标自变量的流场称为三元流场（或三维流场）。场（或三维流场）。一般来说，速度是三个坐标自变量的函数：一般来说，速度是三个坐标自变量的函数：u=u (x,y,z,t) 2、二元流场：凡具有两个坐标自变量的流场。、二元流场：凡具有两个坐标自变量的流场。 3、一元流场：具有一个坐标自变量的流场。、一元流场：具有一个坐标自变量的流场。管截面管截面A=A(l)，若人们研究的是各截面上流动的平均物理，若人们研究的是各截面上流动的平均物理参数，则它可以简化为一元流场参数，则它可以简化为一元流场B=B(l, t)。kyxjxyixyu5421221二维流场二维流场 13一维，二维与三维流动一维，二维

11、与三维流动1. 1. 流动维数的确定：流动维数的确定：三维流动三维流动: 速度场必须表示为三个方向坐标的函数速度场必须表示为三个方向坐标的函数 u=u ( x, y, z, t) 二维流动二维流动: 速度场简化为二个空间坐标的函数速度场简化为二个空间坐标的函数 ux=ux( x, y, t) 或或 u=u ( r, z, t) 一维流动一维流动: 速度场可表示为一个方向坐标的函数速度场可表示为一个方向坐标的函数 u=u( x ) 或或 u=u( s )2. 2. 常用的流动简化形式：常用的流动简化形式：(1) (1) 二维流动：平面流动二维流动：平面流动轴对称流动轴对称流动(2) (2) 一维

12、流动：一维流动： 质点沿曲线的流动质点沿曲线的流动 u=u ( s )流体沿管道的平均速度流体沿管道的平均速度u=u ( s )平面流动平面流动轴对称流动轴对称流动14 15速度场速度场速度场是最基本的场速度场是最基本的场v = v (x, y, z, t ) 可用速度廓线（剖面）描述空间线或面上的速度分布可用速度廓线（剖面）描述空间线或面上的速度分布二维速度剖面二维速度剖面 u u ( x, y)速度分量：速度分量：),(),(),(tzyxuutzyxuutzyxuuzzyyxx),(),(),(tzyxwwtzyxvvtzyxuu三维速度廓线三维速度廓线163-2 流动运动的基本概念流动

13、运动的基本概念 17tzyx;,BB 0tzyx,BB 0t181、不稳定流动、不稳定流动（非定常流场）：经过空间点流体质点运动（非定常流场）：经过空间点流体质点运动 参数的全部或者部分随时间而变化的流动。（物理参数场与参数的全部或者部分随时间而变化的流动。（物理参数场与时间有关者）时间有关者）p=p（x,y,z,t） u=u（x,y,z,t）2、稳定流动、稳定流动（定常流场）：物理参数场与时间无关的流动。（定常流场）：物理参数场与时间无关的流动。p=p（x,y,z） u=u（x,y,z）zuuyuuxuuaxzxyxxxzuuyuuxuuayzyyyxyzuuyuuxuuazzzyzxz(3

14、-10)(3-10)(3-11)(3-11)191、迹线：（拉格朗日法）、迹线：（拉格朗日法） 定义：流体质点在一段时间内运动所经过的路线。定义：流体质点在一段时间内运动所经过的路线。 迹线特点：每个质点都有一个运动轨迹，所以迹线是迹线特点：每个质点都有一个运动轨迹，所以迹线是一簇曲线，且只随质点不同而异，与时间无关。一簇曲线，且只随质点不同而异，与时间无关。 迹线方程：可由迹线方程：可由“欧拉法欧拉法”与与“拉格朗日法拉格朗日法”互换求互换求出。出。由欧拉法：由欧拉法： ux=ux（x,y,z,t ） uy=uy（x,y,z,t） uz=uz（x,y,z,t）dtdxuxdtdyuydtdz

15、uz则则 dtudzudyudxzyx 这就是迹线微分方程式。这就是迹线微分方程式。 但但20迹线是流体质点运动的迹线是流体质点运动的轨迹，轨迹，是与拉格朗日观是与拉格朗日观点相对应的概念。点相对应的概念。),(tcbaxx 拉格朗日法中位移表达式拉格朗日法中位移表达式即为迹线的参数方程。即为迹线的参数方程。t 是变数，是变数，a,b,c 是参数。是参数。21 对不同的质点，迹线对不同的质点，迹线的形状可能不同；的形状可能不同； 对一确定的质点，其对一确定的质点，其轨迹线的形状不随时间轨迹线的形状不随时间变化。变化。22kjirtcbaztcbaytcbax,tzyx,vdtrddtdvr d

16、ttzyxudztzyxudytzyxudxzyx,0tt cba,232、流线：（欧拉法）、流线：（欧拉法） 定义：是某一瞬时流场中的一条曲线，该曲线定义：是某一瞬时流场中的一条曲线，该曲线上所有质点的速度矢量都和该曲线相切。上所有质点的速度矢量都和该曲线相切。表表示流场在某一瞬时的流动方向。示流场在某一瞬时的流动方向。 流线的特性：流线的特性： 不稳定流时，流线的空间方位形状随时间变化；不稳定流时，流线的空间方位形状随时间变化； 稳定流时，流线的形状不随时间变化，并与迹线稳定流时，流线的形状不随时间变化，并与迹线重合；重合； 流线是一条光滑曲线，既不能相交，也不能转折。流线是一条光滑曲线，

17、既不能相交，也不能转折。 特例特例：点源、点汇、驻点、相切点：点源、点汇、驻点、相切点24证明：证明：在在M点沿流线方向取有向微元长点沿流线方向取有向微元长dS设设dS=idx+jdy+kdz，M点质点速度为点质点速度为u， u=iux+juy+kuz因为因为 u /dS ， 所以所以 udS=0则：则： 证毕。证毕。 流线方程：流线方程：udsudzudyudxzyxzyxudzudyudx(3-12)(3-12)25dycos( , )xddxxdscos( ,)yddyydscos( , )zddzzdszd sd zyd sd yxd sd xzyx( , , )M x y zdssd

18、xdzozyxdy 在流场中取一点在流场中取一点 , ,某瞬时通某瞬时通过过 点的流线点的流线 如图所示：如图所示：MsM因为因为u与与ds重合，所以重合，所以ds与坐标轴与坐标轴的夹角同的夹角同u与坐标轴的夹角是相等与坐标轴的夹角是相等的，因而相应夹角的余弦必相等。的，因而相应夹角的余弦必相等。zyxudzudyudx(3-12)(3-12)26kjirdzdydxdtzyx,v0vrd),(),(),(tzyxudztzyxudytzyxudxzyx27LagrangeEuler28 流线是同一时刻流线是同一时刻流场中连续各点的流场中连续各点的速度速度方向线。方向线。29 在非定常流情况下

19、，流线在非定常流情况下，流线一般会随时间变化。在定常一般会随时间变化。在定常流情况下，流线不随时间变，流情况下，流线不随时间变，流体质点将沿着流线走，迹流体质点将沿着流线走，迹线与流线重合。线与流线重合。 迹线和流线最基本的差别是：迹线是同一流迹线和流线最基本的差别是：迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与拉格朗日观体质点在不同时刻的位移曲线，与拉格朗日观点对应，而流线是同一时刻、不同流体质点速点对应，而流线是同一时刻、不同流体质点速度矢量与之相切的曲线，与欧拉观点相对应。度矢量与之相切的曲线，与欧拉观点相对应。即使是在定常流中，迹线与流线重合，两者仍即使是在定常流中，迹线与流线重合，两者

20、仍是完全不同的概念。是完全不同的概念。 根据流线的定义，根据流线的定义，可以推断：除非流可以推断：除非流速为零或无穷大处，速为零或无穷大处，流线不能相交，也流线不能相交，也不能转折。不能转折。30流线的应用流线的应用 流线可以用来表现流线可以用来表现流场；流场； 通过作流线可使流通过作流线可使流场中的流动情形更为场中的流动情形更为明白；明白； 对于不可压缩流体，对于不可压缩流体，流线还能定性地反映流线还能定性地反映出速度的大小。出速度的大小。31迹线流线xyot = 0 时过时过 M(-1,-1)(-1,-1)点的流线和迹线示意图点的流线和迹线示意图M(-1,-1)32例题例题 已知流场速度为

21、已知流场速度为 2222,022xyzqxqyuuuxyxy其中其中q为常数为常数, 求流线方程求流线方程222222yxyqdyyxxqdxdx/x=dy/y 积分积分 lnx=lny+c 即即 y=cx为平面点源流动为平面点源流动解解:33例题例题: 已知平面流场速度分布为已知平面流场速度分布为 ux = 2yt+t3 uy = 2xt 求时刻求时刻 t = 2 过点过点 (0,1) 的流线的流线解解:xtdytytdx2232x dx = 2ydy +t2dy t作为参量作为参量(常数常数)处理处理积分积分 有有 x2 y2 = t2y +C 将将 t=2, x=0 , y=1 代入代入

22、 得得 C = -5所以有所以有 x2 y2 4y +5 =034例题：例题：已知：已知： 求：求：t=0 时，时，A（-1，1）点流线的方程。）点流线的方程。0zyxutyutxu解： tydytxdx积分：积分：ln(x+t)=-ln(-y+t)+C (x+t) (-y+t)=C当当t=0时，时，x=-1，y=1，代入上式得：，代入上式得： C=1所以，过所以，过A（-1，1）点流线的方程为：点流线的方程为：xy=-1 流线的绘制方法：采用微元长切线方法流线的绘制方法：采用微元长切线方法 P49351、流管：、流管： 定义：在流场内画一条曲线，从曲线上每一点做流线，由定义：在流场内画一条曲

23、线，从曲线上每一点做流线，由许多流线围成的管子。许多流线围成的管子。（人为引入的一个虚构空间）（人为引入的一个虚构空间） 特性：特性： 流管内外无流体质点交换流管内外无流体质点交换 稳定流时，流管形状不随时间而变稳定流时，流管形状不随时间而变 2、流束：、流束：充满在流管内部的流体充满在流管内部的流体微小流束：断面无穷小的流束微小流束：断面无穷小的流束断面上各点运动要素相等。断面上各点运动要素相等。3、总流：、总流：无数微小流束的总和无数微小流束的总和所有问题都归于总流问题所有问题都归于总流问题三、流管、流束、总流三、流管、流束、总流 图3 8 流 管 36 37流管：流管： 流线围成的管子流

24、线围成的管子流束：流束： 流管内的流体流管内的流体缓变流流束：流线平行或接近平行缓变流流束：流线平行或接近平行微元流束：有限截面无限小的流束微元流束：有限截面无限小的流束总流：总流：微元流束的总和微元流束的总和在有效截面上取平均值，按一维流动处理在有效截面上取平均值，按一维流动处理38四、有效断面、流量和断面平均流速四、有效断面、流量和断面平均流速 1、有效断面（过流断面）：、有效断面（过流断面）：流束或总流上，垂直于流线的断流束或总流上，垂直于流线的断面。面。有效断面可以是曲面或平面有效断面可以是曲面或平面2、流量：、流量：单位时间内流过有效断面的流体量。单位时间内流过有效断面的流体量。它有

25、三种表达方法：它有三种表达方法：（a）体积流量：单位时间内流过有效断面的流体体积）体积流量：单位时间内流过有效断面的流体体积 dQudA 单位单位 m3/s（b）质量流量：）质量流量： 单位单位 Kg/s（c）重量流量：）重量流量： 单位单位 N/sAudAQQMQG(3-15)(3-15)39有效（过流）断面可能是平面，也可能是曲面有效（过流）断面可能是平面，也可能是曲面403、断面平均流速、断面平均流速 一般情况下组成总流的各个元流过水断面上的点一般情况下组成总流的各个元流过水断面上的点流速是不相等的，而且有时流速分布很复杂。为了简流速是不相等的，而且有时流速分布很复杂。为了简化问题的讨论

26、，我们引入了断面平均流速化问题的讨论，我们引入了断面平均流速v的概念。这的概念。这是稳定总流分析方法的基础，也称为一元流动分析是稳定总流分析方法的基础，也称为一元流动分析法，即认为液体的运动要素只是一个空间坐标（流程法，即认为液体的运动要素只是一个空间坐标（流程坐标）的函数。断面平均流速坐标）的函数。断面平均流速v等于通过总流过水断面等于通过总流过水断面的流量的流量Q除以过水断面的面积除以过水断面的面积A，即，即V=Q/A。41断面平均流速断面平均流速V 假想断面上各点流速相等，以假想断面上各点流速相等，以V表示，且其流量等于实际流表示，且其流量等于实际流速速u流过该断面的流量。则：流过该断面

27、的流量。则：QudAvAAAQAudAvA(3-17)(3-17)42流量与平均速度流量与平均速度Q、 指净流出流量指净流出流量 m 封闭曲面时封闭曲面时流量流量体积流量体积流量AnvmAd)(平均速度平均速度体积流量体积流量不可压缩流体质量流量不可压缩流体质量流量质量流量质量流量不可压缩流体不可压缩流体dAnvQA)(QmAQV VAQ VAm431.1.按流体质点的时变加速度是否为零按流体质点的时变加速度是否为零 定常流动；非定常流动定常流动；非定常流动3.3.按流体质点的位变加速度是否为零按流体质点的位变加速度是否为零2.2.按影响流体的空间自变量个数按影响流体的空间自变量个数 一元流动

28、；二元流动；三元流动一元流动；二元流动；三元流动 均匀流；非均匀流均匀流；非均匀流补充内容补充内容: 流动的分类流动的分类44一维流动一维流动二维流动二维流动三维流动三维流动平面流动轴对称流动 任何实际流动从本质上讲都是在三维空间内发生的，二维和任何实际流动从本质上讲都是在三维空间内发生的，二维和一维流动是在一些特定情况下对实际流动的简化和抽象，以便一维流动是在一些特定情况下对实际流动的简化和抽象，以便分析处理。分析处理。 45 流动要素只取决于一个空间坐标变量的流动流动要素只取决于一个空间坐标变量的流动 在实际问题中，常把总流简化为一维流动。在实际问题中，常把总流简化为一维流动。s 一维流动

29、其流场为其流场为s 空间曲线坐标空间曲线坐标 元流是严格的一维流动，空间曲线坐标元流是严格的一维流动，空间曲线坐标 s 沿着流线。沿着流线。46uu x y tuux y tuxxyyz( , , )( , , )0 直角系中的直角系中的平面流动平面流动： 流场与某一空间流场与某一空间坐标变量无关，且沿该坐标坐标变量无关，且沿该坐标方向无速度分量的流动。方向无速度分量的流动。xyoxyzou0u0大展弦比机翼绕流 二维流动47位变加速度 = 0 ？均匀流均匀流非均匀流非均匀流均匀流、非均匀流；渐变流、急变流均匀流、非均匀流；渐变流、急变流 均匀流的流线必为相互平行的直线，而非均匀流的均匀流的流

30、线必为相互平行的直线，而非均匀流的流线要么是曲线，要么是不相平行的直线。流线要么是曲线，要么是不相平行的直线。 判别：判别：48 均匀流均匀流 当流线为相互平行的直线时，当流线为相互平行的直线时，该流动称为均匀流；该流动称为均匀流； 或过水断面的形状、大小、或过水断面的形状、大小、方向沿程方向沿程都都不发生变化的流动。不发生变化的流动。特性特性过流断面为平面，且形过流断面为平面，且形状、尺寸沿流程不变。状、尺寸沿流程不变。 均匀流中，同一流线上均匀流中，同一流线上不同点的流速应相等，从而不同点的流速应相等，从而各过流断面上的流速分布相各过流断面上的流速分布相同，断面平均速度相等。同，断面平均速

31、度相等。 均匀流过均匀流过水断面上的水断面上的压强分布规压强分布规律符合水静律符合水静力学基本规力学基本规律，即：律，即：Cpz49证明证明分析微元体的受力：分析微元体的受力：取一底面积为取一底面积为dA,dA,高为高为dhdh的微元柱体，其轴线的微元柱体，其轴线n-nn-n与流线与流线正交，并与铅垂线成正交，并与铅垂线成角。各参数如图：角。各参数如图：gdAdzgdAdhdGcoscosdAdpp)(表面力表面力： 侧面压力侧面压力及及粘性力粘性力与轴线正与轴线正 交，在轴线上无投影。交，在轴线上无投影。 端面压力：端面压力：pdA 质量力：质量力： 又又： 0FCgpzdpgdzgdAdz

32、pdAdAdpp00)(50特性特性的理解的理解111Cpz 如图如图1，2断面：断面：222Cpz2211pzpz 但：但：在同一过水断面上不同位置点的测压管液在同一过水断面上不同位置点的测压管液面高程相同；即：面高程相同；即：Cpz在在不同不同过水断面上不同位置点过水断面上不同位置点的测压管液面高程的测压管液面高程不相同不相同。51 均匀流的过水断面上粘性力的分量为零，只有压差力与均匀流的过水断面上粘性力的分量为零，只有压差力与重力之间的平衡，所以动水压强按静水压强的规律分布。重力之间的平衡，所以动水压强按静水压强的规律分布。均匀流的过水断面上测压管水头是常数均匀流的过水断面上测压管水头是

33、常数 只能在同一过水断面上应用上只能在同一过水断面上应用上述结论，因为述结论，因为 x 方向的运动方程方向的运动方程里有粘性力项，所以沿着流动方里有粘性力项，所以沿着流动方向动水压强分布不同于静水压强，向动水压强分布不同于静水压强，导致不同过水断面上测压管水头导致不同过水断面上测压管水头可能是不同的常数。可能是不同的常数。 52 在实际流动中，经在实际流动中，经常会见到均匀流，如常会见到均匀流，如等截面的长直管道内等截面的长直管道内的流动、断面形状不的流动、断面形状不变，且水深不变的长变，且水深不变的长直渠道内的流动等。直渠道内的流动等。 定常均匀流的时变加速度定常均匀流的时变加速度和位变加速

34、度都为零，即流和位变加速度都为零，即流体质点的惯性力为零，将作体质点的惯性力为零，将作匀速直线运动。若总流为均匀速直线运动。若总流为均匀流，其过水断面是平面。匀流，其过水断面是平面。这些均匀流的运动学特性，这些均匀流的运动学特性，将给以后处理相关的动力学将给以后处理相关的动力学问题带来便利，因此在分析问题带来便利，因此在分析流动时，特别关注流动是否流动时，特别关注流动是否为均匀流的判别。为均匀流的判别。53非均匀流非均匀流 当流线不平行时，该流动称为当流线不平行时，该流动称为非均匀流；非均匀流； 或过水断面的形状、大小、方或过水断面的形状、大小、方向沿程向沿程有一个有一个发生变化的流动。发生变

35、化的流动。54是否接近是否接近均匀流均匀流？渐变流渐变流流线虽不平行，但夹角较小；流线虽不平行，但夹角较小；流线虽有弯曲，但曲率较小。流线虽有弯曲，但曲率较小。急变流急变流流线间夹角较大；流线间夹角较大；流线弯曲的曲率较大。流线弯曲的曲率较大。 渐变流和急变流是工程意义上对流动是否符合均匀流条件的渐变流和急变流是工程意义上对流动是否符合均匀流条件的划分，两者之间没有明显的、确定的界限，需要根据实际情况划分，两者之间没有明显的、确定的界限，需要根据实际情况来判定来判定是是否否55图图 均匀流、缓变流、急变流均匀流、缓变流、急变流56渐变流过流断面上测压管水头是常数渐变流过流断面上测压管水头是常数

36、31OO1232pz 5723z11pz33p2pz2OO1急变流过流断面上测压管水头不是常数急变流过流断面上测压管水头不是常数离心力方向离心力方向58流体的连续性方程是质量守恒定律的一个特殊形式，对于流体的连续性方程是质量守恒定律的一个特殊形式，对于不同的液流情形，连续性方程有不同的表现形式。不同的液流情形，连续性方程有不同的表现形式。质量守恒定律：质量守恒定律：对于空间固定的封闭曲面，对于空间固定的封闭曲面，dt时间内流出的流体质量与流时间内流出的流体质量与流入的流体质量之差应等于封闭曲面内的流体质量的减少。入的流体质量之差应等于封闭曲面内的流体质量的减少。dt时间内：时间内： 流出质量流

37、入质量流出质量流入质量=减少量减少量3-3 连续性方程连续性方程一、一元流动（管流）的连续性方程一、一元流动（管流）的连续性方程59工程上一般研究均匀管流，即设同一截面上的物理量均匀，工程上一般研究均匀管流，即设同一截面上的物理量均匀，因此，前面引入了断面平均流速的概念。因此，前面引入了断面平均流速的概念。微小流束的连续性方程微小流束的连续性方程有效断面有效断面1上：上：dA1、u1、1有效断面有效断面2上：上：dA2、u2、2dt时间内：（侧面无液体流入或流出）时间内：（侧面无液体流入或流出）流出质量：流出质量：2 u2 dA2dt流入质量：流入质量：1 u1 dA1dt稳定流动，稳定流动，

38、dM=0，即，即 流出质量流出质量=流入质量流入质量2 u2 dA2dt=1 u1 dA1dt即：即： 1u1 dA1=2u2 dA2 可压缩流体可压缩流体沿微小流束沿微小流束稳定流的连续性方程。稳定流的连续性方程。 （3-173-17）602、总流的连续性方程、总流的连续性方程22211121dAudAuAA均匀管流：均匀管流： 22211121dAudAuAA即即 2211QQ 或或 222111AVAV可压缩流体稳定流沿总流可压缩流体稳定流沿总流的连续性方程：的连续性方程：沿流程沿流程的质量流量保持不变。的质量流量保持不变。对于不可压缩流体：对于不可压缩流体：=C21QQ 或或 2211

39、AVAV不可压缩流体稳定流动总流不可压缩流体稳定流动总流的连续性方程：的连续性方程：沿流程的体沿流程的体积流量保持不变。积流量保持不变。 （3-203-20）1221AAvv或或 （3-193-19）61对于有分叉的稳定总流，连续性方程可以表示为：对于有分叉的稳定总流，连续性方程可以表示为：Q流入流入=Q流出流出 连续性方程是一个运动学方程，它没有涉及作用连续性方程是一个运动学方程，它没有涉及作用力的关系，通常应用连续方程来计算某一已知过水断力的关系，通常应用连续方程来计算某一已知过水断面的面积和断面平均流速或者已知流速求流量，它是面的面积和断面平均流速或者已知流速求流量，它是流体力学中三个最

40、基本的方程之一。流体力学中三个最基本的方程之一。分流与汇流分流与汇流 A1，Q1 A2，Q2 A3，Q3 Q1+ Q2Q3 连续性方程式推导.swf62二、空间运动的连续性方程二、空间运动的连续性方程本节介绍直角坐标中的连续性方程：微元分析法。本节介绍直角坐标中的连续性方程：微元分析法。在流场中任取一微元六面体，其边长分别为在流场中任取一微元六面体，其边长分别为dx，dy，dz；a点速度点速度u在三个方向的分量为在三个方向的分量为ux，uy，uz。讨论分两个部分：讨论分两个部分： dt 时间内流出与流入微元体的质量之差时间内流出与流入微元体的质量之差m dt 时间前后，微元体内流体质量变化时间

41、前后，微元体内流体质量变化 m1-m2631、dt 时间内流出与流入微元体时间内流出与流入微元体的质量之差的质量之差mx 方向：方向：dydzdtudtudzdyVdmxx11dt 时间内流出的质量：时间内流出的质量：dydzdtdxxuumxx22沿沿 x 轴方向流出和流入之差：轴方向流出和流入之差： 1122mmmxdxdydzdtxudydzdtudydzdtdxxuumxxxxxdt 时间内流时间内流入入的质量：的质量：64同理可求：同理可求： dxdydzdtyumyydxdydzdtzumzz所以，所以，dt 时间内流出与流入微元体的质量之差时间内流出与流入微元体的质量之差m为为d

42、xdydzdtzuyuxummmmzyxzyx （3-213-21）652、dt 时间前后，微元体内流体质量变化时间前后，微元体内流体质量变化m （由于密度变化引起的）（由于密度变化引起的）dt 时间前：时间前： dxdydzm1dt 时间后：时间后： dxdydzdttm2减少值：减少值： dxdydzdttmmm21 （3-223-22） 663、据流体的连续流动和质量守恒：、据流体的连续流动和质量守恒： mmdxdydzdtzuyuxumzyxdxdydzdttm整理可得流体运动的连续性微分方程式：整理可得流体运动的连续性微分方程式：0zuyuxutzyx （3-233-23）674、公

43、式说明：、公式说明： 物理意义：物理意义：单位时间内，流体流经单位体积的流出与流入之单位时间内，流体流经单位体积的流出与流入之差与其内部质量变化的代数和为零。差与其内部质量变化的代数和为零。 对对稳定流稳定流： 0t0zuyuxuzyx 对于对于不可压流体、稳定流：不可压流体、稳定流： Ct,00zuyuxuzyx三、连续性方程的用途：三、连续性方程的用途：1、反过来判断流场是否连续、反过来判断流场是否连续2、减少未知数，定义流函数、势函数、减少未知数，定义流函数、势函数3、求解复杂问题时，使方程封闭、求解复杂问题时，使方程封闭 （3-243-24） （3-253-25）68d2d12121【

44、例】 管道中水的质量流量为Qm=300kg/s, 若d1=300mm, d2=200mm, 求流量和过流断面 1-1, 2-2 的平均流速解:smQQm/3 . 010003003smdQAQV/24. 43 . 0413 . 04122111smdQAQV/55.92 .0413 .0412222269 【例】【例】 假设有一不可压缩流体三维流动，其速度分布假设有一不可压缩流体三维流动，其速度分布规律为：规律为：ux=3（x+y3)，uy=4y+z2，uz=x+y+2z。试分析该流试分析该流动是否连续。动是否连续。 【解】【解】 根据式根据式 所以所以 故此流动不连续。不满足连续性方程的流动

45、是不存在的故此流动不连续。不满足连续性方程的流动是不存在的 3xux4yuy2zuz09 zuyuxuzyx0zuyuxuzyx70 【例】【例】 有一不可压缩流体平面流动，其速度分布规律有一不可压缩流体平面流动，其速度分布规律为为ux=x2siny，uy=2xcosy，试分析该流动是否连续。，试分析该流动是否连续。 【解】【解】 根据式根据式 所以所以 故此流动是连续的。故此流动是连续的。yxxuxsin2yxyuysin20)sin2(sin2yxyxyuxuyx0zuyuxuzyx7122240 xyzuxyuxyu 某不可压缩液体的速度分量为某不可压缩液体的速度分量为试判别该流动是否连

46、续（或该流动是否成立）试判别该流动是否连续（或该流动是否成立） ？4 ,4 ,0yxzuuuxxxyz 0yxzuuuxyz即该液体的速度分量满足连续性方程式，故该流即该液体的速度分量满足连续性方程式，故该流动是连续的（或该流动是成立的）。动是连续的（或该流动是成立的）。返回返回 【解】【解】 【例】【例】 7234 理想流体运动微分方程式及伯努利理想流体运动微分方程式及伯努利（Bernoulli）方程）方程一、理想流体运动微分方程式（一、理想流体运动微分方程式（Euler方程）方程） 它表达了理想流体受力与运动之间的动力学关系。它表达了理想流体受力与运动之间的动力学关系。公式推导（方法：微元

47、分析法。公式推导（方法：微元分析法。 ）在流场中取微元体如图。在流场中取微元体如图。中心点中心点 a 压力为压力为 p 速度为速度为 ux，uy，uz。以以 x 轴方向为例推导方程。轴方向为例推导方程。1、受力分析：、受力分析：（1）因为理想流体）因为理想流体0，质量力为，质量力为 Xdm，则，则 单位质量流体受的质量力为：单位质量流体受的质量力为：X73（2）单位质量流体受的表面力为：）单位质量流体受的表面力为： xp1（3）单位质量流体的加速度：）单位质量流体的加速度： dtdux所以，所以， dtduxpXx1同理：同理： dtduypYy1dtduzpZz1Euler运动微分方程运动微

48、分方程74以以x轴方向为例，如图所示轴方向为例，如图所示1、取研究对象、取研究对象微元体：无穷小平行六面体，微元体：无穷小平行六面体，dx、dy、dz 0 微元体中心：微元体中心：A(x, y, z) A1点坐标：点坐标： A1(x-dx/2，y，z) A2点坐标：点坐标： A2(x+dx/2，y，z)(推导流体平衡微分方程式）推导流体平衡微分方程式）【】【】75略去二阶以上无穷小量，得到略去二阶以上无穷小量，得到A1、A2处的压强分别为：处的压强分别为：2、受力分析、受力分析（1）表面力）表面力 设设A 处压强：处压强： p(x，y，z)因压强分布是坐标的连续函数，则因压强分布是坐标的连续函

49、数，则A1点、点、A2点的点的压强压强p1、p2可按泰勒级数展开，可按泰勒级数展开，nnndxxpndxxpdxxpzyxpzydxxp2!12212,2222121dxxppp22dxxppp则表面力在则表面力在x方向的合力为：方向的合力为：dzdydxxpdzdydxxppdxxppdzdypp2221【】【】76（2）质量力）质量力微元体质量：微元体质量：Mdxdydz设作用在单位质量流体的质量力在设作用在单位质量流体的质量力在x方向上的分量为方向上的分量为X。则质量力在则质量力在x方向的合力为：方向的合力为：Xdxdydz 3、导出关系式：、导出关系式： 对微元体应用平衡条件，对微元体

50、应用平衡条件， 则则 0F0dxdydzxpdxdydzX4、结论：、结论：01xpX同理，在同理，在y和和z方向可求得：方向可求得： 01ypY01zpZ （2-5） 欧拉平衡微分方程式欧拉平衡微分方程式【】【】772、公式说明：、公式说明：（1）物理意义：物理意义：作用在单位质量流体上的质量作用在单位质量流体上的质量力与表面力之代数和等于加速度。力与表面力之代数和等于加速度。dtduxpXx1dtduypYy1dtduzpZz1(3-26)(3-26)78（2）适用条件：适用条件： 理想流体：无粘性、无能量消耗。理想流体：无粘性、无能量消耗。 可压缩、不可压缩流体可压缩、不可压缩流体 稳定

51、流、不稳定流稳定流、不稳定流（3）ux=uy=uz =0时，得时，得Euler平衡微分方程平衡微分方程（4）方程可解性）方程可解性 四个未知数四个未知数ux，uy，uz，p，三个方程加一个连，三个方程加一个连续性方程：可解。续性方程：可解。79dtduxpXx1dtduypYy1dtduzpZz1dzdtdudydtdudxdtdudzzpdyypdxxpZdzYdyXdxzyx)(1)(Euler方程三式分别乘以流线上两点坐标增量方程三式分别乘以流线上两点坐标增量dx、dy、dz，则，则相加后得：相加后得：二、理想流体流束的伯努利方程二、理想流体流束的伯努利方程(D.Bernoulli方程方

52、程)(3-26)(3-26)(3-29)(3-29)80dzdtdudydtdudxdtdudzzpdyypdxxpZdzYdyXdxzyx)(1)(1、稳定流（、稳定流（条件之一条件之一）00,0tututututpzyx因为稳定流动时，流线与迹线重合，则此时的因为稳定流动时，流线与迹线重合，则此时的dx，dy，dz与与时间时间 dt 的比为速度分量，即有：的比为速度分量，即有：dtdzudtdyudtdxuzyx则则(1)(1)(212udduuduuduudzdtdudydtdudxdtduzzyyxxzyx因此，方程是沿流线才适用的。因此，方程是沿流线才适用的。条件之二条件之二812、

53、设作用在流体上的质量力只有重力（、设作用在流体上的质量力只有重力（条件之三条件之三），则：），则：(2)(2)dpdzzpdyypdxxp则则 2211)(uddpZdzYdyXdxgZYX0（z轴向上）轴向上） 所以所以 0)(2112uddpgdz3、对于不可压缩流体：、对于不可压缩流体： （条件之四条件之四）积分上式得：积分上式得：ccupgz22cgupz22（3-30） )(212udduuduuduudzdtdudydtdudxdtduzzyyxxzyxdzdtdudydtdudxdtdudzzpdyypdxxpZdzYdyXdxzyx)(1)(1)824、公式说明：、公式说明：（

54、1） 适用条件：适用条件：理想流体理想流体 稳定流动稳定流动 质量力只受重力质量力只受重力 不可压流体不可压流体 沿流线或微小流束。沿流线或微小流束。（2） 各项意义：各项意义：对于流线上任意两点对于流线上任意两点 1、2gupzgupz2222222111理想流体沿流线的伯努利方程。理想流体沿流线的伯努利方程。位置水头位置水头压力水头压力水头 速度水头速度水头zpgu22测压管水头测压管水头五个条件五个条件: 理想理想 稳定稳定 不可压不可压 质量力有势质量力有势 沿流线沿流线 几何意义：几何意义：（3-31） cgupz2283 物理意义：物理意义： z比位能比位能p比压能比压能 gu22

55、比动能：单位重量流体所具有的动能比动能：单位重量流体所具有的动能 总比能总比能三种形式的能量和功在流动的过程中是可以相互转化的，三者之三种形式的能量和功在流动的过程中是可以相互转化的，三者之和始终保持一常数。和始终保持一常数。对于实际流体：有粘性存在，消耗能量对于实际流体：有粘性存在，消耗能量,本身摩擦变成热能散发本身摩擦变成热能散发总比能：总比能：1 2 1 2 8435 实际流体总流的伯努利（实际流体总流的伯努利（Bernoulli）方程）方程问题的引出：问题的引出： 方程方程 cgupz22只适用于理想流体，且只适用于流线，而不适用于实际流体的总流。只适用于理想流体，且只适用于流线，而不

56、适用于实际流体的总流。、实际流体总流与理想流体流束的比较、实际流体总流与理想流体流束的比较1、能量的表现形式一致：比位能、比压能、比动能、能量的表现形式一致：比位能、比压能、比动能2、断面上的流速不同：、断面上的流速不同：流束：流束：u 总流总流V =修正修正 u3、断面上、断面上 、不同不同zp4、实际流体有能量损耗、实际流体有能量损耗gupzgupz222222211185二、实际流体总流的伯努利方程二、实际流体总流的伯努利方程1、实际流体沿微小流束（流线）的能量方程、实际流体沿微小流束（流线）的能量方程设：设： 是流束上是流束上1、2两点间单位重量流体的能量损失，则两点间单位重量流体的能

57、量损失，则能量方程式应写成：能量方程式应写成：21wh212222211122whgupzgupz2、实际流体沿总流的伯努利方程、实际流体沿总流的伯努利方程公式推导：因为通过一个通道的流体总流是由许多流束组成公式推导：因为通过一个通道的流体总流是由许多流束组成的。每个流束的流动参量都有差别，而对于总流，希望利用的。每个流束的流动参量都有差别，而对于总流，希望利用平均参量来描述其流动特性。因此，平均参量来描述其流动特性。因此， 用用V 代替公式的代替公式的 u ，使公式适用于总流。，使公式适用于总流。 实际流体有粘性，存在能量损耗实际流体有粘性，存在能量损耗（3-40） 86(2)(2) 单位时

58、间在单位时间在微小流束微小流束有效断面有效断面上通过流体上通过流体重量重量 (3)(3) 单位时间在单位时间在微小流束微小流束有效断面有效断面上通过流体的上通过流体的总能量总能量udAgupzdGedE)2(2(4)(4) 单位时间通过单位时间通过总流总流有效断面流体总能量有效断面流体总能量AAudAgupzdEE)2(2(5)(5) 给定断面平均单位重量流体的能量给定断面平均单位重量流体的能量AudAgupzQQEe)2(12(1)(1) 单位重量流体单位重量流体总比能总比能： gupze22udAdG（3-41） 87由由（3-40） 式重复以上步骤，整理出式重复以上步骤，整理出1、2两点

59、的平均单位两点的平均单位重量流体的能量关系得：重量流体的能量关系得：221121222221111)2(1)2(1AAAwAudAhQudAgupzQudAgupzQ（*） 积分存在那些问题？积分存在那些问题？总流有效断面上运动参数不等：压总流有效断面上运动参数不等：压力不等力不等 & 速度不等速度不等此式不宜计算，须先求出各项积分，为此引进两个新的概念：此式不宜计算，须先求出各项积分，为此引进两个新的概念：A. 缓变流缓变流 B. 动能修正系数动能修正系数gupze2288A缓变流缓变流（解决压力不等的问题）（解决压力不等的问题） AudApzQ)(111 （1 1）定义：定义：流线

60、间夹角很小，近似平行流线间夹角很小，近似平行；流线曲率半径很流线曲率半径很大，近似直线大，近似直线 的流动。的流动。 忽略直线惯性力忽略直线惯性力 忽略离心惯性忽略离心惯性（2 2）引入目的：忽略由于速度引入目的：忽略由于速度V 的数值或方向变化而产的数值或方向变化而产生的惯性力生的惯性力（3 3）特性：特性： 缓变流断面接近平面缓变流断面接近平面 质量力只有重力。因为质量力只有重力。因为 r 大，大， u2/r 不计，进而不计，进而X=Y=089 证明：在缓变流中取相距极近的两流线证明：在缓变流中取相距极近的两流线 S1 及及 S2 ，并在有效，并在有效断面上取一面积为断面上取一面积为dA，长为，长