工程流体力学第二章

1、第二章第二章 流体力学基本方程流体力学基本方程1. 流体运动的基本概念-流体运动的特征2. 4个重要方程：连续性方程连续性方程 根据质量守恒定律导出根据质量守恒定律导出运动方程运动方程 根据牛顿第二运动定律导出根据牛顿第二运动定律导出伯努利方程伯努利方程 根据能量守恒定律导出根据能量守恒定律导出动量积分方程和动量矩积分方程动量积分方程和动量矩积分方程 根据动量定理根据动量定理和动量矩定理导出和动量矩定理导出.这些方程是分析研究和解决流体力学问题的基础这些方程是分析研究和解决流体力学问题的基础.v流体质点流体质点：是从作为连续介质的流体中取出的是从作为连续介质的流体中取出的宏观尺宏观尺度非常小度

2、非常小而而微观尺度又足够大微观尺度又足够大的任意一个的任意一个物理实体物理实体。它具有它具有 层含义：层含义：宏观尺度非常小宏观尺度非常小：几何尺寸可不计，视为一：几何尺寸可不计，视为一几何点几何点;微观尺度足够大微观尺度足够大：分子的平均自由行程分子的平均自由行程;包含足够多分子的物理实体包含足够多分子的物理实体，也称，也称“微团微团”或或“控控制体制体”;形状可任意划分形状可任意划分；具有一定的物理量具有一定的物理量，如速度、加速度、压力和密度，如速度、加速度、压力和密度等等.v空间点空间点: 是一个是一个几何点几何点，表示空间位置，表示空间位置。特点一特点一：空间点是空间点是固定不动固定

3、不动的，仅仅是一个几何位的，仅仅是一个几何位置置;特点二特点二：同一空间点，不同时刻被：同一空间点，不同时刻被不同的流体质点不同的流体质点所占据或经过。所占据或经过。1 1拉格朗日拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)法法2-1 2-1 描述流体运动的方法描述流体运动的方法 拉格朗日法 从流体质点的运动着手,描述每一个流体质点自始至终的运动过程.如果知道的了所有流体质点的运动规律,那么整个流体的运动规律也就清楚了. 是质点-时间描述法。 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )xx a b c tyy a b c tzz a b c t质点运动的轨迹a, b, c

4、- t = t0 时刻质点所在的空间位置坐标， 称为拉格朗日变量，用来指定质点。t - 时间变量。速度: xutyvtzwt加速度:222222 xxzuxattvyattwzatt质点位置是 t 的函数，对 t 求导可得速度和加速度： 由于流体质点的运动轨迹非常复杂，而实用上也无须知道个别质点的运动情况，所以除了少数情况外，在工程流体力学中很少采用拉格朗日法。x, y, z ,t-欧拉变量，其中x，y，z与时间t有关。欧拉法是常用的方法。2 2欧拉欧拉(Euler)(Euler)法法 欧拉法以以考察不同流体质点通过固定空间点的运动情况来了解整个流动空间内的流动情况,即着眼于各种运动要素的场分

5、布.流场法,是空间-时间描述法。),(tzyxuuxx),(tzyxuuzz),(tzyxuuyy),(tzyx),(tzyxpp 欧拉法中的加速度欧拉法中的加速度 - - 质点速度矢量对时间的变化率。 zuuyuuxuutuazuuyuuxuutuazuuyuuxuutuazzzyzxzzyzyyyxyyxzxyxxxx三个分量。zuyuxutzyxuuuuazuyuxutzyxuuuu加速度是流速场的全 导数。全加速度,随体导数,质点导数质点的加速度包括两个部分：（1）当地加速度（时变加速度,局地加速度） 特定空间点处速度对时间的变化率； （2）迁移加速度（位变加速度,对流加速度） 对应于

6、质点空间位置改变所产生的速度变化。当地加速度迁移加速度),(tzyxuu dtdzzdtdyydtdxxtdtduuuuua二、迹线 (path line)kjirtcbaztcbaytcbax,dtdvr dttzyxwdztzyxvdytzyxudx,0tt, ,a b c二、流线(streamline)某一时刻处处与速度矢量相切的空间曲线-瞬时性。ddxdydzrijk, , ,x y z tv0vrd),(),(),(tzyxwdztzyxvdytzyxudxv2v1v3v4迹线与流线的区别例例 已知平面流动 求 t = 0 时，过点 M (-1，-1) 的流线。dxdyxtytlnl

7、nlnx tytc ()()xtytc解解 由式 得将 t = 0，x = -1，y = -1 代入，得瞬时流线 xy = 1, 流线是双曲线。积分后得到：xyyxudyudxtxuxtyuy三流管三流管, , 流束、流量和平均流速流束、流量和平均流速流管 - 由流线组成的管状曲面。流束 - 流管内的流体。例例 管道内、渠道内的流动流体可以被当成是一个总流。总流 -多个流束的集合。 过水断面过水断面, ,流量流量, ,断面平均流速断面平均流速过水断面-与流束或总流流线成正交的断面。AdA,流量-单位时间内通过某一过水断面的流体体积称为流量。AAudAdQQ断面平均流速AQV AVQ 五五一元流

8、一元流, ,二元流二元流, ,三元流三元流一元流动 - 流动参数只与一个坐标变量有关。x例例二元流动- 流动参数与两个坐标变量有关。三元流动(空间流动) - 流动参数与三个坐标变量有关。),(txuu ),(tzsuu zyMsBBM2.3 连续性方程连续性方程V S )(tSSystemControl VolumeVS)(tVControl Surface)(tF微分形式的连续性方程图2.3.1 控制体x方向 dt时间内流入的流体质量tzyvxddd流出的流体质量tzyxxvvxxddd)d(X方向质量的净流入量tzyxxvxddddY方向质量的净流入量方向质量的净流入量tzyxyvyddd

9、dZ方向质量的净流入量方向质量的净流入量tzyxzvzdddd控制体内流体控制体内流体质量的增加量质量的增加量dxdydzdtt 由质量守恒定理得连续性微分方程0zvyvxvtzyx（2.3.1）均质不可均质不可压流体压流体0zvyvxvzyx0v v不可压缩流体的二维流动0yvxvyx例例 不可压缩流体平面流动的速度分布为22 ,uaxyxvxyby 求 a, b 的值。解解 由不可压缩流体二维流动的连续性方程知210uvaxxbxy 由此得到 。0.5 , 1ab例 气体以速度u(x)在多孔壁圆管中流动，管径为d0，气体从壁面细孔被吸出的平均速度为v，试证明下式成立04dvxutvdx0d

10、 xu积分形式的连续性方程单位时间内流体流出的质量流体流入的质量控制体内流体质量的减少量0CSCVCVCVCSdSdVtdVtdVtdSn nv vn nv v连续性积分方程（2.3.9）定常流动CSndSv0不可压缩流体CSndSv02211SvSv定常流动中，定常流动中，从控制体内流从控制体内流出的质量流量出的质量流量等于流入控制等于流入控制体的质量流量体的质量流量对于任意一个流体系统，质量守恒定律的数学表达式为0dddddVVttM（2.3.5）对比两式可得SvVtVtCSnVCVddddd输运公式SvVtVtCSnVCVddddd任一瞬时，流体系统内物理量对时间的变化率等于该瞬时取任一

11、瞬时，流体系统内物理量对时间的变化率等于该瞬时取定的控制体内物理量的当地导数与通过控制面的输运量之和定的控制体内物理量的当地导数与通过控制面的输运量之和例 粘性不可压流体流经一圆管，已知进流段速度为均匀的V2，至末端已发展为完全的抛物线分布，求轴线处的速度Vmax202max11rrvv解：由质量守恒定律2max0120220200vvrdrvrvdSvrCSn2.4 运动微分方运动微分方程程理想流体运理想流体运动微分方程动微分方程 图2.4.1控制体牛顿第二运动定律X方向dtdvxpfdtdvdxdydzdxdydzfdydzxpppdydzxxxx1同理可得tvzpftvypfzzyydd

12、1dd1maF vvvva)(tdtd迁移加速度迁移加速度当地加速度当地加速度欧拉运欧拉运动方程动方程v vv vv v)(1tpf静止流体静止流体pp1ff01考虑粘性考虑粘性N-S方程方程v vv vv vv v)(12tpf2.5 伯努利方程伯努利方程伯努利（瑞典），伯努利（瑞典），17381738，流体动力学流体动力学“流速增加，压强降低流速增加，压强降低”2.5.1 2.5.1 理想流体沿流线的伯努利方程理想流体沿流线的伯努利方程 伯努利方程的推导伯努利方程的推导 （1）理想流体）理想流体欧拉运动方程欧拉运动方程（2）定常流动）定常流动0tV（3）质量力有势）质量力有势dzfdyfd

13、xfdzzUdyyUdxxUdUzyx（4）不可压缩）不可压缩（5）沿流线积分）沿流线积分dzvdxvdyvdxvvdzvdyvdxxzxyzyxPddP1z单位重量流体的重力势能单位重量流体的重力势能 位置水头位置水头 pg单位重单位重量量流体的压强势能流体的压强势能 压力水头压力水头总机械能总机械能 总水头总水头 物理意义 几何意义单位重量流体的动能单位重量流体的动能 流速水头流速水头2gv2gpgvz22伯努利方程伯努利方程Cgpgvz22平面流场平面流场（忽略重力作用）Cp22思 考1. 轿车高速行驶时，为何感觉车身变轻？2. 船舶航行时，船首水位为何会升高？2.5.2 2.5.2 理

14、想流体理想流体总流的伯努利方程总流的伯努利方程动能修正系数AvAuA3321d21平均流速真实流速与速度分布有关，分布均匀为1；不均匀大于1。一般取1缓变流缓变流：流线间夹角很小，流线曲率很小，流线几乎是一些 平行直线的的流动。 特点： （1）质量力只有重力 （2）渐变流的过水断面上,动水压强分布规律于静水压强相同,即同一过水断面上各点的测压管水头为常数：pzCg缓变流缓变流：流线间夹角很小，流线曲率很小，流线几乎是一些 平行直线的的流动。 特点： （1）质量力只有重力 （2）渐变流的过水断面上,动水压强分布规律于静水压强相同,即同一过水断面上各点的测压管水头为常数：pzCg图2.5.3 理想

15、流体总流假设 A1、A2是缓变流截面，对于微元流束：2211221222pupuzzgggg2211dAudAu通过断面1和2的能量222222112111d)2(d)2(21AugugpzAugugpzAA2222222211111111)(d)()(d)(21AvgpzAugpzAvgpzAugpzAA由动能修正系数定义2222222221121111212d22d221AvgvAuguAvgvAuguAA2211AvAvgvgpzgvgpz2222222211112.5.3.2.5.3.实际流体的实际流体的伯努伯努利方程利方程1.沿流线fhgugpzgugpz2222222111能量损失

16、或水头损失2.总流fhgVgpzgVgpz222222221111伯努利方程应用举例伯努利方程应用举例h01p0p0小孔出流20010112ppVzzggg1101zzh12Vghv2.5.4 相对运动的伯努利方程相对运动的伯努利方程图2.5.5 叶轮随体坐标系将坐标固结于旋转的叶轮上。r2叶轮的角速度为gfyfxfzyx,22yfyfxfzzUyyUxxUUyyxdddddddgzugzrU2222121Cgugwgpz2222u：随叶轮旋转的牵连速度w：相对与叶轮的速度B A ABBpp220gHpB)(0hHgpAghppBAB2)(2 2/22121AA22212122pp联立求解：联

17、立求解：)(1 )2212212AApp（)(1 )221221222AAppAAqV（b b 修正系数修正系数，0.950.98 )(1 )2212212AAppAqVb（ghpp)(121)(1 )221212AAghAqVb（例 一大储水箱底部开有一面积为S0的小圆孔，水在定常出流时，孔口处的速度为v0，试证明距离孔口下面z处的水流截面积为20021vgzss例 两块二维平行平板各长2L，相距b，且bL，板间有不可压流体，当上板以缓慢速度v向下板靠拢时，流体从两侧被挤出，不计粘性作用，求距平板中心x处的流速和压力2.6 2.6 动量积分方程和动量矩积分方程及其应用动量积分方程和动量矩积分

18、方程及其应用根据动量定理：流体系统的动量对时间的变化率等于外界作用在该系统上的合力，即 F Fv vK KVVttddddd由于外力有质量力和表面力之分，故上式右边的等式可写为SVVtSVVdddddn np pv vf根据式（2.3.8）可得控制体的动量积分方程SVSvVtSVSnVddddn np pv vv vf f2.6.1 2.6.1 动量积分方程动量积分方程2.6.2 动量矩积分方程 H HF F根据动量矩定理：流体系统对某点的动量矩对时间的变化率等于外界作用在该系统上的合力对同一点的力矩，即F Fr rv vr rH HVVttdddddSVVtSVVdddddn np pr r

19、r rv vr rf f根据雷诺输运方程式（2.3.5）可得控制体的动量矩积分方程SVSvVtSVSnVddddn np pr rr rv vr rv vr rf f关于控制面（1）与问题有关的边界面；（2）已知物理量较多的面；（3）流面即流线组成的面（ vn=0）两端截面垂直于流线（此时 vn=v）在应用控制体的动量积分方程和动量矩积分方程时，还要注意如下几点：（1）方程是矢量式，为计算方便，要选择适宜的坐标系，以便于求出各项的投影值；（2）法向分量的正负号以控制面外法向为正，向内为负；（3）方程未知数较多时，可联立连续方程和伯努利方程求解；（4）控制面上的压力计算最好使用相对压强 2.6.

20、3 2.6.3 动量积分方程和动量矩积分方程的应用动量积分方程和动量矩积分方程的应用app 动量方程求解步骤动量方程求解步骤:(1)建立坐标系, 标出控制体(2)分析控制体所受到的力，表明控制面上各种参数(3)分析动量的变化 (流出减流进, 速度投影有正负)，列动量方程。2.6.3 动量积分方程和动量矩积分方程的应用 (a)(b)(c)图2.6.1 水流对弯管的作用力1. 水流对弯管的作用力动量方程为)()()(12222111v vv vn nn nF FQAppAppaain1sincos2jinsin)(sincos)()()cos(222221112AppQvFAppAppvvQFayaax水流对弯管作用力的两个分量可写为 固定此段弯管所需的外力为sin)(sincos)()()cos(222221112AppQvFAppAppvvQFayaax例例 求射流对斜置平板(单位厚度)的作用力F。 设：流量为 Q，速度为V，