常微分方程习题课

1、一阶微分方程的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解二、解微分方程应用问题二、解微分方程应用问题解法及应用 第十二章 一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解 1. 一阶标准类型方程求解 关键关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤2. 一阶非标准类型方程求解 (1) 变量代换法 代换自变量自变量代换因变量因变量代换某组合式某组合式(2) 积分因子法 选积分因子, 解全微分方程四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求下列方程的通解; 01) 1 (32xyeyy提示提示: (1)

2、,33xyxyeee因故为分离变量方程:通解;)2(22yyxyx;21)3(2yxy.2336)4(3223yyxyxxyxeyeyxydd32Ceexy331机动 目录 上页 下页 返回 结束 方程两边同除以 x 即为齐次方程 , ,0时xyyxyx22)2(时，0 x21uux21uuxxyxyy21xyxyy21令 y = u x ,化为分离变量方程.调换自变量与因变量的地位 ,221)3(yxy,2dd2yxyx用线性方程通解公式求解 .化为机动 目录 上页 下页 返回 结束 32232336)4(yyxyxxy方法方法 1 这是一个齐次方程 .方法方法 2 化为微分形式 0d)23

3、(d)36(3223yyyxxyxx故这是一个全微分方程 .xyu 令机动 目录 上页 下页 返回 结束 xQyxyP6例例2. 求下列方程的通解:)lnln() 1(yxyyyx提示提示: (1)令 u = x y , 得(2) 将方程改写为0d)1ln(dln2)2(2xxyyyxxyyxxyxy22363)3(220d)31(d)3()4(22yyxxyxyuxuxulndd)(ln)(yxyyxxyyxxxy2ln21dd3(贝努里方程) 2 yz令(分离变量方程)原方程化为机动 目录 上页 下页 返回 结束 令 y = u tyyxxyxy22363)3(22) 1(2) 1(3dd

4、22xyyxxy(齐次方程)ytytty23dd22令 t = x 1 , 则tyxttyxydddddddd可分离变量方程求解化方程为机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.机动 目录 上页 下页 返回 结束 设F(x)f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(,+)内满足以下条件:, 0)0(),()(),()(fxfxgxgxf且(1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ;(03考研) (2) 求出F(x) 的表达式 .解解: (1) )()()()()(xgxfxgxfxF)()(22xfxg)()(2)()(2xgxfxfxg)(2)2(2xFex所以F(x)

5、满足的一阶线性非齐次微分方程:.2)()(xexgxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 由一阶线性微分方程解的公式得CxeeexFxxxd4)(d22d2Cxeexxd442代入上式，将0)0()0()0(gfF1C得于是 xxeexF22)(xexFxF24)(2)(xxCee22 求下列微分方程的通解:xyyyx2) 1 (提示提示: 令 u = x y , 化成可分离变量方程 :uu2) 1ln(ln)2(xxayxyx提示提示: 这是一阶线性方程 , 其中,ln1)(xxxP)ln11()(xaxQ机动 目录 上页 下页 返回 结束 )ln(2dd)3(xyyxy提示提示:

6、可化为关于 x 的一阶线性方程yyxyyxln22dd0dd)4(33yxyxxy提示提示: 为贝努里方程 , 令2 yz0dddd)5(22yxyxyyyyxx提示提示: 为全微分方程 , 通解Cyxyxarctan)(21220dd)3()9(24xyxyxy提示提示: 可化为贝努里方程xyxyxy43dd令2xz 微分倒推公式微分倒推公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 原方程化为 yxxy2)10(xyxu2, 即,22uuxy则xydduxuuxudd)(22故原方程通解Cyxxyx23)(33222ddxuuxuuexd2Cueuud2d2Cuuud21222232uCu u2x

7、uxdd2xuudd2提示提示: 令机动 目录 上页 下页 返回 结束 二阶微分方程的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、微分方程的应用二、微分方程的应用 解法及应用 一、两类二阶微分方程的解法一、两类二阶微分方程的解法 第十二章 一、两类二阶微分方程的解法一、两类二阶微分方程的解法 1. 可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法 降阶法降阶法)(dd22xfxy)dd,(dd22xyxfxy令xyxpdd)(),(ddpxfxp)dd,(dd22xyyfxy令xyypdd)(),(ddpyfypp逐次积分求解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 二阶线性微分方程的解法二阶线性微分

8、方程的解法 常系数情形齐次非齐次代数法 欧拉方程yx 2yxpyq)(xftDextdd,令qpDDD ) 1(y)(tef机动 目录 上页 下页 返回 结束 解答提示解答提示 求以xxeCeCy221为通解的微分方程 .提示提示: 由通解式可知特征方程的根为,2,121rr故特征方程为,0)2)(1(rr0232 rr即因此微分方程为023 yyy 求下列微分方程的通解, 01)6(2 yyy.2sin52)7(xyyy 提示提示: (6) 令, )(ypy 则方程变为,01dd2 pyppyyypppd1d2即机动 目录 上页 下页 返回 结束 特征根:xyyy2sin52)7( ,212

9、, 1ir齐次方程通解:)2sin2cos(21xCxCeYx令非齐次方程特解为xBxAy2sin2cos*代入方程可得174171,BA思思 考考若 (7) 中非齐次项改为,sin2x提示提示:,sin22cos12xxxBxAy2sin2cos*故D原方程通解为xx2sin2cos174171)2sin2cos(21xCxCeyx特解设法有何变化 ?机动 目录 上页 下页 返回 结束 求解02 yay,00 xy10 xy提示提示: 令),(xpy 则方程变为2ddpaxp积分得,11Cxap利用100 xxyp11C得再解,11ddxaxy并利用,00 xy定常数.2C思考思考若问题改为

10、求解0321 yy,00 xy10 xy则求解过程中得,112xp问开方时正负号如何确定正负号如何确定?机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数222, )(zyxrrfu在 r 0内满足拉普拉斯方程, 0222222zuyuxu)(rf其中二阶可导, 且,1) 1 () 1 ( ff试将方程化为以 r 为自变量的常微分方程 , 并求 f (r) .提示提示:rxrfxu)( 2222)(rxrfxu )(rf r132rx利用对称性, 0)(2)( rfrrf即0)(2)(2 rfrrfr( 欧拉方程欧拉方程 )原方程可化为机动 目录 上页 下页 返回 结束 0)(2)(2 rfrrfr,

11、lnrt 令1) 1 () 1 ( ff.12)(rrf解初值问题:,ddtD 记则原方程化为 02) 1(fDDD02fDD即通解: teCCrf21)(rCC121利用初始条件得特解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.,)(二阶导数连续设xf且满足方程xtdtftxxxf0)()(sin)(. )(xf求提示提示: ,)()(sin)(00 xxtdtfttdtfxxxf则xxfcos)()(sin)(xfxxf xtdtf0)()(xfx)(xfx问题化为解初值问题:xxfxfsin)()( ,0)0(f1)0( f最后求得xxxxfcos2sin21)(机动 目录 上页 下

12、页 返回 结束 的解. 例例3.设函数),()(在xyy,)()(, 0的函数是xyyyxxy内具有连续二阶导机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 试将 xx( y) 所满足的微分方程 变换为 yy(x) 所满足的微分方程 ;(2) 求变换后的微分方程满足初始条件 0)dd)(sin(dd322yxxyyx, 0)0(y数, 且23)0( y解解: ,1ddyyx, 1ddyxy即上式两端对 x 求导, 得: (1) 由反函数的导数公式知(03考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 0)(dddd222 yyxyxy222)(ddddyyxyyx 3)(yy 代入原微分方程得 xy

13、ysin (2) 方程的对应齐次方程的通解为 xxeCeCY21设的特解为 ,sincosxBxAy代入得 A0,21B,sin21xy故从而得的通解: 题 目录 上页 下页 返回 结束 xeCeCyxxsin2121由初始条件 ,23)0(, 0)0(yy得1, 121CC故所求初值问题的解为 xeeyxxsin21备用题备用题 )()(xfyxy 有特,1xy 解而对应齐次方程有解,2xy 及求)(, )(xfx微分方程的通解 . 解解:, 0)(2 yxyxy代入将xx1)(得代入再将xy1)(1xfyxy 33)(xxf得故所给二阶非齐次方程为331xyxy ),(xpy 令方程化为3

14、31xpxp1. 设二阶非齐次方程一阶线性非齐次方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 331xpxp故py xxed1xCx121再积分得通解2211CxCxy)(1211CC1d13d3Cxexxx)()(xfyxpyCxexfeyxxpxxpd)(d)(d)(复习: 一阶线性微分方程通解公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. ! )3(!9!6!31)(3963nxxxxxyn(1) 验证函数)(x满足微分方程;xeyyy (2) 利用(1)的结果求幂级数! )3(30nxnn的和.解解: (1)! )3(!9!6!31)(3963nxxxxxyn! ) 13(!8!5!2)(13852nxxxxxyn ! )23(!7!4)(2374nxxxxxyn机动 目录 上页 下页 返回 结束 (02考研考研)!0nxnn所以 yyyxe(2) 由(1)的结果可知所给级数的和函数满足