北航7系理论力学d-ch6A

1、BUAA2022-6-121第六章第六章- -刚体动力学刚体动力学( (二二) )刚体的定点运动与一般运动刚体的定点运动与一般运动作业：思考题作业：思考题6-16-1、6-36-3，习题，习题6-16-1BUAA2022-6-122引出问题引出问题 刚体一般运动的实例刚体一般运动的实例BUAA2022-6-123刚体的定点运动刚体的定点运动问题：问题：什么是刚体的定点运动什么是刚体的定点运动?BUAA2022-6-1246 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学刚体定点运动刚体定点运动( fixed-point motion of rigid body)： 若刚体在运动过程中其上或

2、其延展体上有一点保持不动。若刚体在运动过程中其上或其延展体上有一点保持不动。则称刚体作定点运动则称刚体作定点运动问题：问题：用什么方法分析和研究刚体的定点运动？用什么方法分析和研究刚体的定点运动？BUAA2022-6-1256 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学一、刚体定点运动的运动学方程一、刚体定点运动的运动学方程xyz xo z yOxyz为固定参考系为固定参考系Oxyz为固连在刚体上的随体参考系为固连在刚体上的随体参考系问题：问题：1：如何描述刚体的定点运动？如何描述刚体的定点运动？ 2：定点运动刚体有几个自由度？定点运动刚体有几个自由度？ 3：用哪些参数描述其运动？用哪

3、些参数描述其运动？ 用随体参考系相对固定参考系位用随体参考系相对固定参考系位置的变化描述刚体的定点运动。置的变化描述刚体的定点运动。BUAA2022-6-1266 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学 用欧拉角描述定点运动刚体的位置用欧拉角描述定点运动刚体的位置BUAA2022-6-1276 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学xyz x y z进动角进动角(angle of precession)xyz x y z 章动角章动角(angle nutation)xyz x y zN自旋角自旋角(spin angle)xyz x y z欧拉角欧拉角(Euler ang

4、le)节线 kkNN欧拉角：欧拉角：绕绕z轴轴,z轴和节线轴和节线N的三个转角的三个转角 BUAA2022-6-1286 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学)()()(321tftftf运动方程：运动方程：BUAA2022-6-1296 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学xyz z例题：例题：试用欧拉角确定陀螺的位置试用欧拉角确定陀螺的位置xyz x y z N欧拉角欧拉角节线节线节线节线确定欧拉角的三个转轴确定欧拉角的三个转轴 kkNBUAA2022-6-12106 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学例题：例题：试用欧拉角确定碾盘的位置试用欧拉

5、角确定碾盘的位置xyz z节线节线xyz x y z N欧拉角欧拉角BUAA2022-6-12116 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学神州飞船神州飞船z节线节线绕三个轴的转角为欧拉角绕三个轴的转角为欧拉角 z例：例：试用欧拉角确定飞船的姿态试用欧拉角确定飞船的姿态BUAA2022-6-12126 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学思考题：思考题：试用欧拉角试用欧拉角确定汽车的姿态。确定汽车的姿态。BUAA2022-6-12136 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学xyzPO x y zxyzPO x y z问题：问题：当定点运动刚体运动时，如何

6、研究其上当定点运动刚体运动时，如何研究其上 P点的随体坐标点的随体坐标x、y、z 与定坐标与定坐标x、y、z间的关系。间的关系。 设正方体棱长为设正方体棱长为LkjirLLLkjirLLLkjirLLLkjirLLL kjirzyxkjirzyxBUAA2022-6-12146 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学问题：问题：给定欧拉角，给定欧拉角，如何确定刚体上某一点在空间的位置如何确定刚体上某一点在空间的位置xyz xo z yr kjirzyxkjirzyxxyz x y zN, , zyx给定：给定：如何确定：如何确定：, ,x y zBUAA2022-6-12156 6

7、1 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学xyz1x1y1z进动角进动角1000cossin0sincos111111111zyxzzyxyzyxxxyz1x1y1z111)(zyxzyxA1000cossin0sincos)(A正交矩阵正交矩阵xy1x1yPBUAA2022-6-12166 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学xyz1x1y1z1y1z2y2z)(cossin0sincos0001222111Azyxzyxxyz1x2y2z 2x1y1z章动角章动角BUAA2022-6-12176 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学xy1zz1x2y2z2

8、x1yxyz x y z1x1y2y2x2z2x x2y y)(1000cossin0sincos222Azyxzyx自旋角自旋角BUAA2022-6-12186 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学)()()(zyxzyxAAA) 1 (),(zyxzyxAxyz x y z1x1y2y2x2z)()()(),(AAAA式式(1)给出了定点运动刚体上某一点在空间的位置与欧拉角的关系给出了定点运动刚体上某一点在空间的位置与欧拉角的关系.BUAA2022-6-12196 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学二、刚体定点运动的有限位移和无限小位移二、刚体定点运动的有限位

9、移和无限小位移1、刚体定点运动的有限位移、刚体定点运动的有限位移有限位移：有限位移：定点运动刚体从某定点运动刚体从某一位置到另一位置的变化一位置到另一位置的变化xyz问题：问题：定点运动刚体的有限位移的顺序可否交换？定点运动刚体的有限位移的顺序可否交换？)90()90( :00jiA)90()90( :00ijB1r2r1r2r21:rrA12:rrBxyzoxyzo点位移的性质：点位移的性质：BUAA2022-6-12206 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学xyzxyzxyzxyzxyzxyz)90()90( :00ijB结论：结论：定点运动刚体有限位移的顺序定点运动刚体有

10、限位移的顺序不可交换不可交换)90()90( :00jiABUAA2022-6-12216 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学2、刚体定点运动的位移定理（达、刚体定点运动的位移定理（达-欧欧 定理）定理）xyzxyz090 xyz0180定理：定理：定点运动刚体的任意有限位定点运动刚体的任意有限位移，可以绕通过固定点移，可以绕通过固定点O 的某一轴的某一轴经过一次转动来实现经过一次转动来实现。0180)180()90( :00jiA)180( :0lBlOBUAA2022-6-12226 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学xyzxyz090 xyz090例题：例

11、题：将定点运动的板从位置将定点运动的板从位置(A)转动到位置转动到位置(B), (1):通过两次转动实现通过两次转动实现; xyz(A)(B)(2)通过一次转动实现通过一次转动实现正方体问题：问题：一次转动轴的方位如何确定一次转动轴的方位如何确定)90()90( :100ik)90()90( :200kjBUAA2022-6-12236 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学1111000)90cos()90sin(0)90sin()90cos(1110000111)90cos()90sin(0)90sin()90cos(000111100000122qAAq xyzAxyz090

12、 xyz0900q1A1q1q2A2q12AAA 02AqqBUAA2022-6-12246 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学000222zyxzyxA000001100010zyx1Aqq 1 ,1 ,1 Tq)1(21arccostrAxyzAxyz02Aqq 111001100010111BUAA2022-6-12256 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学3、刚体定点运动的无限小位移、刚体定点运动的无限小位移问题：问题：在什么条件下，转动位移的顺序可交换在什么条件下，转动位移的顺序可交换1cos,sin110101),( A)()()(),( AAAA可

13、交换可交换结论：结论：定点运动刚体无限小位移的顺序定点运动刚体无限小位移的顺序可交换可交换)()()(),(AAAAxyz x y zNBUAA2022-6-12266 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学rokr k rr 问题：问题：如何确定定点运动刚如何确定定点运动刚体绕某轴的无限小转角与刚体绕某轴的无限小转角与刚体上点的位移的关系？体上点的位移的关系？ lS l|r Sxyz xo z yrBUAA2022-6-12276 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学r1r2r1 2 1r2rrr11 rrrrr111 122rr r21rrr 讨论讨论: 无限小角位移的合成无限小角位移的合成121rrr )(121rrrr )(1221rrrr rrr21 rr rr)(21 0)(21r 12 结论：结论：21 同理同理结论：结论：无限小角位移满足矢量加法规则无限小角位移满足矢量加法规则在定点运动刚体上任意找一点，其矢径为在定点运动刚体上任意找一点，其矢径为 rBUAA2022-6-12286 61 1 刚体定点运动的运动学刚体定点运动的运动学xyzAxyzA110cos0sin010sin0coscos1sin