用二分法求方程的根

1、用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解第一课时第一课时思考思考1:1:从某水库闸房到防洪指挥部的从某水库闸房到防洪指挥部的某一处电话线路发生了故障。这是一某一处电话线路发生了故障。这是一条条10km10km长的线路，如何迅速查出故障长的线路，如何迅速查出故障所在？所在？如图如图, ,设闸门和指挥部的所在处为点设闸门和指挥部的所在处为点A,B, A,B, BAC6.6.这样每查一次这样每查一次, ,就可以把待查的线路长度缩减一半就可以把待查的线路长度缩减一半 1.1.首先从中点首先从中点C C查查2.2.用随身带的话机向两端测试时用随身带的话机向两端测试时, ,发现发现ACAC段正常段正常

2、, ,断定断定 故障在故障在BCBC段段3.3.再到再到BCBC段中点段中点D D4.4.这次发现这次发现BDBD段正常段正常, ,可见故障在可见故障在CDCD段段5.5.再到再到CDCD中点中点E E来看来看DE思考2：从上节课已经知道函数f(x)=lnx+2x-6在区间（2，3）内有零点，那么如何找到这个零点呢？(a，b)中点中点cf(a)f(c )(2 , 3)2.5负负-0.084(2.5,3) 2.75负负0.512(2.5,2.75)2.625负负0.215(2.5,2.625)2.5625负负0.066(2.5,2.5625)2.53125负负-0.009(2.53125,2.5

3、625)2.546875负负0.029(2.53125,2.546875)2.5390625负负0.010(2.53125,2.5390625) 2.53515625 负负0.001| 2.5390625 2.53125|=0.0078125001 f(b)正正正正正正正正正正正正 正正正正精确度已达到精确度已达到001结论结论1.通过这样的方法，我们可以得到任意精确度的零点近似值通过这样的方法，我们可以得到任意精确度的零点近似值2.给定一个精确度，即要求误差不超过某个数如给定一个精确度，即要求误差不超过某个数如001时，可时，可以通过有限次不断地重复上述缩小零点所在区间的方法步骤，以通过有限

4、次不断地重复上述缩小零点所在区间的方法步骤，而使最终所得的零点所在的小区间内的任意一点，与零点的误而使最终所得的零点所在的小区间内的任意一点，与零点的误差都不超过给定的精确度，即都可以作为零点的近似值差都不超过给定的精确度，即都可以作为零点的近似值3.本题中，如在精确度为本题中，如在精确度为001的要求下，我们可以将区间的要求下，我们可以将区间(2.53125,2.5390625)内的任意点及端点作为此函数在区间内的任意点及端点作为此函数在区间(2，3)内的零点近似值内的零点近似值4.若再将近似值保留两为小数，那么若再将近似值保留两为小数，那么253，254都可以作都可以作为在精确度为为在精确

5、度为001的要求下的函数在的要求下的函数在(2，3)内的零点的近似内的零点的近似值一般地，为便于计算机操作，常取区间端点作为零点的值一般地，为便于计算机操作，常取区间端点作为零点的近似值，即近似值，即253125象这种运用象这种运用缩小零点所在范围缩小零点所在范围的方法在数学和计算机科学上被的方法在数学和计算机科学上被称为称为二分法二分法二分法的实质二分法的实质就是将函数零点所在的区间不断地一分为二，就是将函数零点所在的区间不断地一分为二，使新得到的区间不断变小，两个端点逐步逼近零点使新得到的区间不断变小，两个端点逐步逼近零点对于在区间对于在区间a，b上连续不断且上连续不断且 的函数的函数 通

6、过不断地把函数通过不断地把函数 的零点所在的区间一分为二，使区间的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法分法0)()( bfaf)(xfy )(xf概括利用二分法求函数概括利用二分法求函数 零点的近似值的步骤零点的近似值的步骤)(xf1 1确定区间确定区间aa，bb，验证，验证 ，给定精确度，给定精确度 0)()( bfaf 2 2求区间求区间(a(a，b)b)的的中点中点c c3 3计算计算f(cf(c) )(1)(1)若若f(cf(c)=0)=0，则，则c c 就是函数的零点就是函数的零

7、点(2)(2)若若 ，则令，则令b=0b=0（此零点（此零点 ）0)()( bfaf),(0cax 4 4判断是否达到精确度判断是否达到精确度 ：即若：即若 ，则得到零点近似值，则得到零点近似值 a(a(或或b)b)；否则重复步骤；否则重复步骤2-42-4 ba(3)(3)若若 ，则令，则令a=0a=0（此时零点（此时零点 ）0)()( bfcf),(0bcx 求方程求方程 的近似解的近似解(精确到精确到0 01 1)732 xx解解 精确度为精确度为零点为零点为令令, 732)(0 xxxfx 易知：易知：f(1)0f(1)0f(2)0取取x=1.5x=1.5，计算，计算f(1.5)0.330f(1.5)0.330)5 . 1 , 1(0 x取取x=1.25x=1.25，计算，计算f(1.25)-0.870f(1.25)-0.870)5 . 1,25. 1(0 x 取取x=1.375x=1.375，计算，计算f(1f(13