振动力学第8章第2节

1、 1. 相平面、相轨迹、奇点相平面、相轨迹、奇点 一个微分方程的解可以用相平面上的一条曲线来表示。这样的曲线族表示这个微分方程的通解。 单自由度非线性系统的运动微分方程的一般形式为8.2 非线性振动的稳定性非线性振动的稳定性式中 是x和 的非线性函数。x t , x, xf(8.2-1)0t , x, xfx 换句话说， 表示系统的刚度和阻尼特性，与时间t无关。于是，可以移动时间的起点或改变时间的标度而不影响系统的性能。方程(8.2-1)所表示的系统称为非自治系统，而方程(8.2-2)所表示的系统称为自治系统。 x , xf如果独立变量t隐含在方程中，则方程为0 x , xfx (8.2-2)

2、 在给定时间t，系统的状态可以用它的位移x(t)和速度 来表示，x(t)和 称为状态变量。由状态变量组成的向量 称为状态向量。 tx tx xx 因此，方程(8.2-2)可以写成两个联立的一阶微分方程21221 x ,xfx,xx(8.2-4)xx, xx21 (8.2-3)在方程(8.2-4)中把x1和x2看成是两个地位平等的函数。 因此，在一个特定的时间t，系统的状态可以用它的状态向量来确定。把这个概念一般化，用状态向量 来代替 描述一个系统，即12,x x,x x 22112ddxx,xfxx (8.2-5) 随着时间的推移，系统的状态在变化着，相点就在相平面上运动。将方程(8.2-4)

3、的第二式除以第一式，构成为一个方程，即 如果把x1和x2看成是笛卡儿坐标，则此平面称为相平面。在相平面上，由坐标(x1, x2)所标示的点称为相点，它能代表系统在某一瞬时的状态。这个微分方程的解可以描绘在一个相平面内，如图8.2-1所示。 图 8.2-1坐标 或 代表方程解的曲线称为相轨迹，也就是相点在相平面上运动所生成的曲线，相轨迹能够表示系统的运动性态。 21x ,xx , x 从初始条件点 开始，相轨迹向内趋向原点O。因此，它表示 将随着时间的增加而减小，所以，该系统是渐近稳定。对于同一个系统不同初始条件下的相轨迹，如虚线图所示。换句话说，相平面上的轨迹族表示这个方程的通解。不过这一非线

4、性方程通常难以积分成封闭形式，故而转用定性方法图解的方法来研究。 00 x ,xx ,x 微分方程(8.2-5)建立了相点的坐标与在该点相轨迹的切线斜率之间的关系。因此，上述的微分方程定义了一个方向场，则对于方向场的场矢量不为零的点，有唯一的积分曲线经过，这样的点称为方程(8.2-5)的寻常点。 对于场矢量为零的点(场矢量的两个分量为 )即 =0，积分曲线的切线的斜率为不定，所以经过该点积分曲线，除了其该点本身之外，还可能有许多条乃至无穷条积分曲线沿不同方向趋近它，这样的点称为方程(8.2-5)的奇点。 2120,xfxx12,x x 因为奇点就是 的点，这时系统的速度和加速度都等于零，所以奇

5、点对应于系统的平衡状态，也称为平衡点。如果在奇点的邻域内没有其他奇点，则称该奇点为孤立奇点。120,00,0 xxxx 系统在平衡点附近的稳定性问题是一个十分重要的问题，一个非线性系统可以有多个平衡位置，其中某些位置是稳定平衡，而另一些位置是不稳定平衡。 在非线性分析中，要求：确定平衡位置；决定系统对各平衡位置的稳定性。 2. 平衡的稳定性平衡的稳定性 平衡的条件是 。根据方程(8.2-5)，平衡条件也可以表示成 ，因此，一个平衡位置就是一个奇点。 120 0 x xxx 00dd12xx 为了确定平衡位置，用两个一阶微分方程来说明一个单自由度系统。 设(s1,s2)是一个平衡位置，必定有11

6、122212,0,0 xXs sxXs s (8.2-7)从方程(8.2-7)可以得s1和s2的值。 11122212,xXx xxXx x(8.2-6)式中X1和X2一般是 的非线性函数，所以方程(8.2-6)可以不止有一个解。注意方程(8.2-6)是方程(8.2-4)的更一般形式。21x ,x 考虑一个特殊情况即平衡点与相平面原点相重合(s1=s2=0)的情况，这样并不失一般性，因为总可以借坐标变换把原点移到一个平衡点上去。在原点邻域将X1与X2展开为泰勒级数，方程(8.2-6)可以写成下面的形式111 1122112221 1222212,xa xa xx xxa xa xx x(8.2

7、-8)式中系数0 ,1,2jiijjxXai jx(8.2-9) 这说明为何函数Xi(i=1,2)必须有对x1和x2的一阶偏导数。 由式(8.2-11)表达的微分方程称为系统的非线性完全方程。 式(8.2-8)可以写成矩阵的形式 函数1和2是非线性函数，即它们至少是x1和x2 的二阶函数。引入矩阵符号(8.2-10)222112112121 , ,aaaaxxax(8.2-11)axx这个由式(8.2-12)表示的方程称为线性化方程，取代非线性方程(8.2-11)，而以线性化方程(8.2-12)为基础的分析方法称为无穷小分析。一般可以期望这种无穷小分析提供关于在原点邻域内运动性质的可靠的知识。

8、 设函数1与2在原点邻域中小到可以忽略，有理由认为，式(8.2-11)可以由下式来近似 然而在有些情况下，线性化方程并不提供有关非线性完全系统性态的确切知识。下面将讨论这些情况。 axx (8.2-12) 系统在原点邻域内的性态决定于矩阵a的特征值。为了说明这一点，令式(8.2-12)的解有如下形式式中x0 是一个常数向量。导出特征方程 把解(8.2-13)代入(8.2-12)式并都除以et，得到特征值问题式(8.2-15)有二个解，1和2就是矩阵a的特征值。所得的运动形式决定于特征方程根1和2的性质。(8.2-13) tte0 xx00axIx (8.2-14)(8.2-15)0det Ia

9、式中 为便于讨论式(8.2-12)，引入线性变换式中b是一个非奇异的常数矩阵。把式(8.2-16)代入(8.2-12)式，再把所得结果前乘b-1得到式(8.2-18)表示一个相似变换，矩阵c和a称为相似矩阵。 注意到，为使式(8.2-15)有非零根，必须使 deta0或矩阵a必须是非奇异的。(8.2-16) ttbux(8.2-17) ttcuu(8.2-18)abbc1 因为矩阵a与c具有相同的特征值，系统(8.2-12)和系统(8.2-17)有相同的动态特征。考虑到这些矩阵乘积的行列式等于矩阵行列式的乘积，上述结论就可以容易地证实。考虑到detb-1=(detb)-1，得到 上面分析的目的

10、是要找一个变换矩阵b使c变为简单的形式，如果可能的话变为对角阵或至少是三角阵。 由于a与c具有相同的行列式，它们必然有相同的特征值。(8.2-19) abababbcdetdetdetdetdetdet11 根据特征值1和2，基本上有三种不同的可能的约当形，虽然其中的某一形式涉及一种实际上很少遇到的特殊情况。 需要区分下面几种情况。 对于一个给定系统，c的最简单的可能形式称为约当(Jordan)标准形，它的对角线诸元素是系统的特征值。研究各种可能的约当形可提供有关平凡解邻城内运动性质的知识。 （1）特征值1和2是不同的实数，在这个情况下的约当形是对角阵上式有解12110220e ettuu u

11、u(8.2-22)1200c (8.2-20)把式(8.2-20)代入式(8.2-17)，得到11 1222 uuuu(8.2-21)式中 与 分别是 与 的初值，运动的形式决定于1和2是同号还是异号。10u20u1u2u 如果根1和2同号，平衡点称为结点，图8.2-2(a)表示对应于210情况的相图。这样，这两个特征值都是负实数。图 8.2-2 如果根1和2是实数但异号，当一个解趋向零时另一个却趋向无限大。在这个情况，平衡点是一个鞍点，平衡是不稳定的。图8.2-2(b)表示2010时，箭头改变方向，而这种结点是不稳定的。以及1200c1101c(8.2-23)(8.2-24)由式(8.2-2

12、3)所决定的情况导致11 1222 uuuu(8.2-25)有解12110220e ettuu uu (8.2-26) （2）特征值1和2是相等的实数，在这个情况下可能的约当形有两种对应的轨线是一些通过原点的直线，当10时则是不稳定结点。 式(8.2-24)的情况给出所谓退化结点的情况11 12112, uuuuu(8.2-27)有解1111022010e , ettuu uuu t(8.2-28)图 8.2-3 结点的稳定性用式(8.2-28)判断,10时不稳定。但是相等特征值的情况是不常发生的。若1=0，则相轨迹与u2轴重合。若10，当u10时，u2u1无限增大,du2 du1，即所有的相

13、轨迹都趋向与u2轴相切，奇点为结点。式(8.2-27)的两个方程相除，得到1121112dduuuuu (8.2-29)1122i, iuuuu(8.2-31) （3）特征值1和2是共轭复数，在这种情况下的约当形为1200c(8.2-30)式中1和2是共轭复数，令 ， 其中与是实数，式(8.2-17)成为i ,i21从上式可以得出，解u1和u2也必须是共轭复数。其中v1和v2是实数，写出u1的解如下列形式上式表示一个对数螺线。 引用记号112212i , iuvvuvv(8.2-32)ttuui101ee(8.2-33) 在这个情况下，平衡点是一个螺线极点，或焦点。因为因子eit表示一个单位长

14、度的矢量，它在复平面上以角速度旋转，所以复矢量u1的大小和运动的稳定性，决定于et。 对于0，它是不稳定的，的符号仅给出复矢量旋转的转向，0时逆时针转，而0时顺时针转。 图8.2-4(a)表示0时的典型轨线。 当=0时径矢的大小是个常数，轨线化为一个圆心在原点的圆(图8.2-4(b)。在这个情况平衡点称为中心或涡点。运动是周期的，因此是稳定的。然而这时它仅是稳定的而不是渐近稳定的。图 8.2-4为了方便，引入下面的参数 对一给定系统，所得平衡点的形式还可以更直接地用考查系数aij(i,j=1,2)的方法来决定。为了说明这点，现在回到特征方程(8.2-15)，并把它写成下列形式式中的p和q分别被

15、确认为矩阵a的迹和行列式。 (8.2-34)0det2112221122112aaaaaaIa(8.2-35)qaaaapaaaadettr211222112211它的根为qpp,421221(8.2-37)利用这些记号，特征方程变为02qp(8.2-36) 把前面讨论过的几种情况概括如下：qp42 （1） 特征值 是不等的实数，当q0时，两个根同号，这时如果p0，平衡点是不稳定结点。当q0时，两根异号，这时平衡点是鞍点，而与p的符号无关。 21,qp42 （2）qp42 （3） 两根 是相等的实数，得到边线结点，p0为不稳定结点。从表达式(8.2-35)知，这种情况只在a12和a21符号相反

16、才有可能。21, 对于q0，当p0时平衡点是不稳定焦点。在p=0时，特征值 是纯虚的共轭复数，这时平衡点是一个中心，这种情况可以看成是把稳定和不稳定焦点隔开的边界情况。21,鞍点不稳定稳定结点 0 0 0 0042qppqqp不稳定稳定焦点中心 0 0 0 0042ppppqp 可以归纳出以下结论： 图8.2-5表示p对q的参数图，它给出各种可能情况的一幅完整的图形。从这幅图显然可见： 中心确实是当弱稳定焦点和弱不稳定焦点移到一起时得到的极限情况。因此中心不只限于一个物理现实，更应该看成表示一个数学概念。必须指出，中心是保守系统的一种特征。 图 8.2-5 类似地，在图8.2-5中=0的情况表

17、现为把结点与焦点分开的抛物线。物理上，抛物线=0表示了从振动运动中分离非周期运动的曲线。 稳定结点的区域是以有阻尼非周期运动为表征，而稳定焦点的区域则以具有阻尼振动为表征。 另一方面，在不稳定结点的区域，运动是发散的非周期运动，而在不稳定焦点的区域运动是发散的振动运动。 在中心的区域，它仅包括正的q轴，运动是谐波的。从图8.2-5可以得出，如果p0并且q0则平衡点是稳定的，而对p和q的其他任何组合，平衡点都是不稳定的。 根据上面的讨论看来，结点和焦点或者是渐近稳定的或者是不稳定的，而鞍点总是不稳定的。另一方面，中心仅是稳定的。 对于渐近稳定来说，特征值或者是负的实数，或者是带有负实部的共轭复数

18、。对于不稳定来说，至少有一个根是正实数，或者带有正实部的复数。渐近稳定和不稳定的情况定义了所谓有意义性态，而仅稳定的情况则构成所谓临界性态。这些定义使人们能够讨论在什么情况下非线性完全系统可以由线性化系统来近似。 对有意义性态来说非线性完全系统(8.2-11)的平衡性质是与线性化系统(8.2-12)的平衡性质相同的。 临界性态的情况是不确定的，这时非线性完全方程可以给出或者一个中心或者一个焦点(稳定的或不稳定的)，而与无限小分析所认为的中心相反。在临界性态的情况，不能用线性化系统引出关于非线性完全系统在平衡点邻域内性态的结论，必须研究包含在1和2内的更高阶的项。虽然仅对于正q轴上的点才得到临界

19、状态的情况，但有关的数学模型却用得相当广泛。22sin0, g l 解：解：单摆的运动微分方程为12, 0 0, 1, 2,xnxn21221, sinxxxx 令 ，则单摆的运动微分方程化为一阶微分方程组21 , xx平衡位置应满足 ，则有0 , 021xx 例例8.2-1 考察单摆平衡位置的稳定性。v 在x1=0，x2=0的附近。2010a系数矩阵 可见，当n=0和偶数时，对应于同一个物理位置，即下平衡位置。而当n为奇数时，对应另一个物理位置，即上平衡位置。因此，只须考察x1=0，x2=0和x1= ，x2=0的两个平衡位置。12221 xx,xx非线性一阶微分方程组的线性化方程为22112

20、22112211 0,aaaaqaap特征方程的系数为因为p=0，q0，则该线性化系统的平衡位置为中心。 对于非线性系统该平衡位置是否仍然是中心呢？在这里，仅从物理概念上就可以说清楚，而不必采用其它方法。因为系统是无阻尼非线性保守系统，无能量的耗散和吸入，因此对于非线性系统仍然是中心。2211 xy,xyv 在x1= ，x2=0的附近。1212221sinsin yyy,yy则非线性一阶微分方程组的方程为12221 yy,yy上面方程在y1=0，y2=0附近的线性化方程为首先作变换，使该平衡位置为新坐标系的原点。令由于q0，则该平衡位置为鞍点，是不稳定的。2 , 0qp特征方程的系数为2010a系数矩阵 显然，对于 得到中心；而对于 得到鞍点。可见这个系统只有中心和鞍点。0,4,2,021xx0,5,3,21xx 设机翼面积