方程的近似解

1、三、一般迭代法 (补充) 第八节第八节的实根求方程0)(xf可求精确根无法求精确根求近似根两种情形(有时计算很繁)本节内容:一、根的隔离与二分法 二、牛顿切线法及其变形 方程的近似解 第三三章 一、问题的提出一、问题的提出求近似实根的步骤：求近似实根的步骤：确定根的大致范围确定根的大致范围根的隔离根的隔离根的隔离区间根的隔离区间称为所求实称为所求实间间区间内的唯一实根区区间内的唯一实根区使所求的根是位于这个使所求的根是位于这个确定一个区间确定一个区间,baba问题：问题：高次代数方程或其他类型的方程求精确高次代数方程或其他类型的方程求精确根一般比较困难根一般比较困难,希望寻求方程近似根的有效计

2、希望寻求方程近似根的有效计算方法算方法轴交点的大概位置轴交点的大概位置定出它与定出它与的图形，然后从图上的图形，然后从图上如图，精确画出如图，精确画出xxfy)( 以根的隔离区间的端点作为根的初始近似以根的隔离区间的端点作为根的初始近似值，逐步改善根的近似值的精确度，直至求得值，逐步改善根的近似值的精确度，直至求得满足精确度要求的近似实根满足精确度要求的近似实根常用方法常用方法二分法和切线法（牛顿法）二分法和切线法（牛顿法）二、二分法二、二分法区间区间即是这个根的一个隔离即是这个根的一个隔离，于是，于是内仅有一个实根内仅有一个实根在在且方程且方程，上连续，上连续，在区间在区间设设,),()(0

3、)()(,)(babaxfbfafbaxf ；，那末，那末如果如果110)( f作法：作法：).(2,11 fbaba，计算，计算的中点的中点取取 ,)()(1111bbaaff 同号，那末取同号，那末取与与如果如果);(210)()(111111ababbabfaf ，且，且，即知，即知由由 ,)()(1111 baabff同号，那末取同号，那末取与与如果如果);(211111ababba 及及也有也有 总之，总之，);(211111ababba 且且时，可求得时，可求得当当 );(21)(21,2222211211ababbababa 且且时，可求得时，可求得当当复上述做法，复上述做法，作

4、为新的隔离区间，重作为新的隔离区间，重以以).(21,ababbannnnnn 且且可求得可求得次次如此重复如此重复 小于小于的近似值，那末其误差的近似值，那末其误差作为作为或或如果以如果以)(21abbannn 例例.10,04 . 19 . 01 . 1323 使误差不超过使误差不超过的实根的近似值的实根的近似值用二分法求方程用二分法求方程xxx解解, 4 . 19 . 01 . 1)(23 xxxxf令令.),()(内连续内连续在在显然显然xf, 9 . 02 . 23)(2 xxxf. 0)(, 049. 1 xf,),()(内单调增加内单调增加在在故故xf如图如图至至多多有有一一个个

5、实实根根0)( xf, 06 . 1)1(, 04 . 1)0( ff.1 , 00)(内有唯一的实根内有唯一的实根在在 xf.1 , 0, 1, 0即即是是一一个个隔隔离离区区间间取取 ba计算得计算得:; 1, 5 . 0, 055. 0)(, 5 . 01111 baf故故 ;75. 0, 5 . 0, 032. 0)(,75. 02222 baf故故 ;75. 0,625. 0, 016. 0)(,625. 02333 baf故故 ;687. 0,625. 0, 0062. 0)(,687. 04444 baf故故 ;687. 0,656. 0, 0054. 0)(,656. 0555

6、5 baf故故 ;672. 0,656. 0, 0005. 0)(,672. 06666 baf故故 ;672. 0,664. 0, 0025. 0)(,664. 07777 baf故故 ;672. 0,668. 0, 0010. 0)(,668. 08888 baf故故 ;672. 0,670. 0, 0002. 0)(,670. 09999 baf故故 .671. 0,670. 0, 0001. 0)(,671. 010101010 baf故故 .671. 0670. 0 .10,671. 0,670. 03 其误差都小于其误差都小于作为根的过剩近似值作为根的过剩近似值作为根的不足近似值作

7、为根的不足近似值即即三、切线法三、切线法是根的一个隔离区间是根的一个隔离区间，内有唯一个的实根内有唯一个的实根在在则方程则方程上保持定号上保持定号在在及及且且，上具有二阶导数，上具有二阶导数，在在设设,),()(,)()(0)()(,)(babaxfbaxfxfbfafbaxf 定义定义用曲线弧一端的切线来代替曲线弧，从用曲线弧一端的切线来代替曲线弧，从而求出方程实根的近似值，这种方法叫做切线而求出方程实根的近似值，这种方法叫做切线法（牛顿法）法（牛顿法）如图，如图，更接近方程的根更接近方程的根比比轴的交点的横坐标轴的交点的横坐标线与线与作切线，这切作切线，这切那个端点（此端点记作那个端点（此

8、端点记作同号的同号的在纵坐标与在纵坐标与 0100)(,()(xxxxfxxf ,0ax 令令).)()(000 xxxfxfy 则则切切线线方方程程为为ABxyoab 1x)(xfy 0)(, 0)(0)(, 0)( xfxfbfaf作切线，作切线，在点在点)(,(11xfx.)()(1112xfxfxx 得根的近似值得根的近似值如此继续，得根的近似值如此继续，得根的近似值)1()()(111 nnnnxfxfxx.,)()(:0bxxfbf 可可记记同同号号与与如如果果注注意意,)()(0001xfxfxx 得得令令, 0 yABxyoab 1x)(xfy 2x牛顿法的误差估计:)()(1

9、11nnnnxfxfxx由微分中值定理得)()()(nnxffxfyxbao1x0 x2x)(之间与在nx,0)(f)()(fxfxnn,0则得mxfxnn)(说明说明: 用牛顿法时,若过纵坐标与)(xf 异号的端点作切线 ,则切线与 x 轴焦点的横坐标未必在.,内ba)(min,xfmba记牛顿法的变形:(1) 简化牛顿法简化牛顿法若用一常数代替yxbao, )(1nxf即用平行, )()(10nxfxf代替例如用则得简化牛顿迭代公式. 线代替切线,得)()(011xfxfxxnnn),2, 1(n优点:，避免每次计算)(1nxf因而节省计算量.缺点: 逼近根的速度慢一些. yxo0 x1x

10、(2) 割线法为避免求导运算 , )(1nxf用割线代替切线,2121)()(nnnnxxxfxf例如用差商代替从而得迭代公式:)()()()(212111nnnnnnnxxxfxfxfxx2x3x(双点割线法), 3,2(n特点特点: 逼近根的速度快于简化牛顿法, 但慢于牛顿法.说明说明: 若将上式中,02xxn换为则为单点割线法, 逼近根的速度与简化牛顿法相当.例例.10,04 . 19 . 01 . 1323 使误差不超过使误差不超过的实根的近似值的实根的近似值用切线法求方程用切线法求方程xxx解解, 4 . 19 . 01 . 1)(23 xxxxf令令. 0)1(, 0)0(.1 ,

11、 0 ff是是一一个个隔隔离离区区间间上，上，如图，在如图，在1 , 0, 02 . 26)( xxf, 09 . 02 . 23)(2 xxxf同号，同号，与与)()(xfxf . 10 x令令代入代入(1),得得;738. 0)1()1(11 ffx;674. 0)738. 0()738. 0(738. 02 ffx;671. 0)674. 0()674. 0(674. 03 ffx;671. 0)671. 0()671. 0(671. 04 ffx计算停止计算停止.10,671. 03 其误差都小于其误差都小于得根的近似值为得根的近似值为四、小结四、小结求方程近似实根的常用方法求方程近似实根的常用方法:二分法、切线法（牛顿法）、割线法二分法、切线法（牛顿法）、割线法切线法实质切线法实质：特定的迭代法：特定的迭代法求方程的根的求方程的根的迭代法迭代法是指由根的近似值出发是指由根的近似值出发,通过通过递推公式将近似值加以精确化的反复演算过程递推公式将近似值加以精确化的反复演算过程.基本思想基本思想:)(0)(xxxf )()()(xfxfxx 优点优点: :.形式简单便于计算形式简单便于计算;2.形式多样便于选择形式多样便于选择.练练 习习 题题误